Fórmula de Haversina

La fórmula de Haversine determina la distancia del círculo máximo entre dos puntos en una esfera dadas sus longitudes y latitudes. Importante en navegación, es un caso especial de una fórmula más general en trigonometría esférica, la ley de haversines, que relaciona los lados y ángulos de triángulos esféricos.

La primera tabla de haversines en inglés fue publicada por James Andrew en 1805, pero Florian Cajori acredita un uso anterior por parte de José de Mendoza y Ríos en 1801. El término haversine fue acuñado en 1835 por James En hombre.

Estos nombres se derivan del hecho de que habitualmente se escriben en términos de la función haversine, dada por hav(θ) = sin^{2(θ/2). Las fórmulas también podrían escribirse en términos de cualquier múltiplo del haversine, como la antigua función versine (el doble del haversine). Antes de la llegada de las computadoras, la eliminación de la división y la multiplicación por factores de dos resultó lo suficientemente conveniente como para que se incluyeran tablas de valores haversine y logaritmos en los textos trigonométricos y de navegación del siglo XIX y principios del XX. Hoy en día, la forma haversine también es conveniente porque no tiene coeficiente delante de la función sin2.}

Formulación

Sea el ángulo central θ entre dos puntos cualesquiera de una esfera:

${displaystyle theta ={frac {d} {r}}$

donde:

• d es la distancia entre los dos puntos a lo largo de un gran círculo de la esfera (ver distancia esférica),
• r es el radio de la esfera.

La fórmula de Haversine permite la haversine de θ (es decir, hav (θ)) que se calculará directamente a partir de la latitud (representada por φ) y la longitud (representada por por λ) de los dos puntos:

${displaystyle operatorname {hav} left(theta right)=operatorname {hav} left(varphi _{2}-varphi _{1}right)+cos left(varphi _{1}right)cos left(varphi) ¿Por qué? ¿Por qué?$

dónde

• φ₁, φ₂ son la latitud del punto 1 y la latitud del punto 2,
• λ₁, λ₂ son la longitud del punto 1 y longitud del punto 2.

Finalmente, la función haversine hav(θ), aplicada arriba tanto al ángulo central θ y las diferencias en latitud y longitud, es

${displaystyle operatorname {hav}(theta)=sin ^{2}left({frac {theta ¿Qué?$

La función haversine calcula la mitad de un verseno del ángulo θ, o los cuadrados de la media cuerda del ángulo en un círculo unitario (esfera).

Para resolver la distancia d, aplique la arcaversina (haversina inversa) a h = hav(θ) o use la función arcoseno (seno inverso):

${displaystyle d=roperatorname {archav}(h)=2rarcsin left({sqrt {h}right)}$

o más explícitamente:

${displaystyle {begin{aligned}d ventaja=2rarcsin left({sqrt {operatorname {hav} (varphi _{2}-varphi _{1})+(1-operatorname {hav} (varphi _{1}-varphi ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{2}-varphi ¿Por qué? _{2}-varphi ¿Qué? ^{2}left({frac {varphi _{2}+varphi {}}{2}right)cdot sin ^{2}left({frac {lambda)} ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} _{2}-varphi ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}$

Al utilizar estas fórmulas, uno debe asegurarse de que h no exceda 1 debido a un error de punto flotante (d sólo es real para 0 ≤ h ≤ 1). h solo se acerca a 1 para los puntos antípodas (en lados opuestos de la esfera); en esta región, errores numéricos relativamente grandes tienden a surgir en la fórmula cuando se utiliza precisión finita. Debido a que d es grande (acercándose a πR, la mitad del circunferencia), un pequeño error a menudo no es una preocupación importante en este caso inusual (aunque existen otras fórmulas de distancia de círculo máximo que evitan este problema). (La fórmula anterior a veces se escribe en términos de la función arcotangente, pero sufre problemas numéricos similares cerca de h = 1.)

Como se describe a continuación, se puede escribir una fórmula similar usando cosenos (a veces llamados ley esférica de los cosenos, que no debe confundirse con la ley de los cosenos para la geometría plana) en lugar de haversenos, pero si los dos puntos están muy juntos (por ejemplo, a un kilómetro de distancia, en la Tierra) uno podría terminar con cos(d /R) = 0,99999999 , lo que lleva a una respuesta inexacta. Dado que la fórmula haversine utiliza senos, evita ese problema.

Cualquiera de las fórmulas es sólo una aproximación cuando se aplica a la Tierra, que no es una esfera perfecta: el "radio de la Tierra" R varía desde 6356,752 km en los polos hasta 6378,137 km en el ecuador. Más importante aún, el radio de curvatura de una línea norte-sur en la superficie de la Tierra es un 1% mayor en los polos (≈6399,594 km) que en el ecuador (≈6335,439 km), por lo que la fórmula de Haversine y la ley de No se puede garantizar que los cosenos sean correctos en más del 0,5%. Las fórmulas de Vincenty y las otras fórmulas del artículo sobre distancia geográfica proporcionan métodos más precisos que consideran la elipticidad de la Tierra.

La ley de haversines

Dada una esfera unitaria, un "triángulo" en la superficie de la esfera está definida por los círculos máximos que conectan tres puntos u, v y w en la esfera. Si las longitudes de estos tres lados son a (de u a v), b (desde u a w), y c (de v a w), y el ángulo de la esquina opuesta a c es C, entonces la ley de haversines establece:

${displaystyle operatorname {hav} (c)=operatorname {hav} (a-b)+sin(a)sin(b)operatorname {hav} (C).}$

Dado que se trata de una esfera unitaria, las longitudes a, b< /span>, y c son simplemente iguales a los ángulos (en radianes) subtendidos por esos lados desde el centro de la esfera (para una esfera no esfera unitaria, cada una de estas longitudes de arco es igual a su ángulo central multiplicado por el radio R de la esfera).

Para obtener la fórmula haversine de la sección anterior a partir de esta ley, simplemente se considera el caso especial donde u es el polo norte, mientras que v y w son los dos puntos cuya separación d está por determinar. En ese caso, a y b son π/2 − φ_1,2 (es decir, las co-latitudes), C es la separación de longitud λ₂ − λ ₁, y c es el < deseado span role="math" class="sfrac tion">d/R. Observando que sin(π/ 2 − φ) = cos(φ), el seno de Havers La fórmula sigue inmediatamente.

Para derivar la ley de los haversenos, se comienza con la ley esférica de los cosenos:

${displaystyle cos(c)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)cos(C).,}$

Como se mencionó anteriormente, esta fórmula es una forma mal condicionada de resolver c cuando c es pequeño. En su lugar, sustituimos la identidad que cos(θ) = 1 − 2 hav(θ), y también empleamos la identidad de suma cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), para obtener la ley de haversines, arriba.

Prueba

Se puede probar la fórmula:

${displaystyle operatorname {hav} left(theta right)=operatorname {hav} left(varphi _{2}-varphi _{1}right)+cos left(varphi _{1}right)cos left(varphi) ¿Por qué? ¿Por qué?$

transformando los puntos dados por su latitud y longitud en coordenadas cartesianas y luego tomando su producto escalar.

Considerar dos puntos ${displaystyle {bf} {p_{1},p_{2}}$ en la esfera de unidad, dada por su latitud ${displaystyle varphi }$ y longitud ${displaystyle lambda }$:

${displaystyle {begin{aligned}{bf {p_{2}} {lambda _{2},varphi _{2}{bf {p_{1}}}} {lambda _{1},varphi _{1})end{aligned}}}}}}}}}} {ccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccccccccccccccH00}}}}}}}}}ccccccccccccccccccccccccccccccH00}}}}}}}}}cccccccccccccc$

Estas representaciones son muy similares a las coordenadas esféricas, sin embargo, la latitud se mide como un ángulo desde el ecuador y no desde el polo norte. Estos puntos tienen las siguientes representaciones en coordenadas cartesianas:

${displaystyle {begin{aligned}{bf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}); {fnMicrosoft Sans Serif})} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ]]bf} {fnMicrosoft ]} {fnMicrosoft ]} {fnun} {fnun}fnun}fnun} {fnun}fnun}fnMinMinMinMinMinMinun}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinun}fnMinMinMinMinMinMinMientras se lo siento lo sé lo sé que no lo sé lo sé lo sé lo siento.$

Desde aquí podríamos intentar calcular directamente el producto de puntos y proceder, sin embargo las fórmulas se vuelven significativamente más sencillas cuando consideramos el siguiente hecho: la distancia entre los dos puntos no cambiará si giramos la esfera a lo largo del eje z. Esto en efecto añadirá una constante ${displaystyle lambda _{1},lambda ¿Qué?$. Tenga en cuenta que consideraciones similares no se aplican para transformar las latitudes - añadir una constante a las latitudes puede cambiar la distancia entre los puntos. Eligiendo nuestra constante para ser ${displaystyle -lambda ¿Qué?$, y configuración ${displaystyle lambda '=lambda ¿Qué? ¿Qué?$, nuestros nuevos puntos se convierten en:

${displaystyle {begin{aligned}{bf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif})\cnMicrosoft Sans Serif}]cnMicros(fnMicrosoft Sans Ser)}cnMicrosoft Sans Serif, ¿por qué?$

Con ${displaystyle theta }$ denotando el ángulo entre ${displaystyle {bf} {}}$ y ${displaystyle {bf} {}}$, ahora tenemos eso:

${displaystyle {begin{aligned}cos(theta) recur=langle {bf {p_{1}}}} {bf {cHFF}rangle =langle {bf}}rangle =langle {bf}}rangle =langle {bf}cHFF}cH00}cH0}cH0}}rangle =langle {cH00}cH00}}rangle {cH00}}cH0}}}rangle {g}rangle {gn}g}rangle {gn}gn}gn}gn}gn}g}gn}g}gn}gn}gn}gn}gn}gn}gn}rangle {rangle {gn}gn}gn}gn}gn}gn}gn}gn}gn}gn}gn}c}gn}c}gn}c}rangle {c {p_{1}}} {bf} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}* _{2}-varphi _{1}right)+cos(varphi _{2})cos(varphi _{1})operatorname {hav} left(lambda) ¿Por qué?$