Fórmula de garza

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Área de triángulo en términos de longitudes laterales

Un triángulo con los lados a, b, y c

En geometría, Fórmula de Heron (o Fórmula de héroe) da el área de un triángulo en términos de las tres longitudes laterales $a$ , $b$ , $c$ . Si ${textstyle s={tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ es el semiperímetro del triángulo, el área $A$ es,

A={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.

Lleva el nombre del ingeniero del siglo I Garza de Alejandría (o Héroe) que lo demostró en su obra Metrica, aunque probablemente se conocía siglos antes.

Ejemplo

Sea $△ ABC$ el triángulo con lados $a = 4$ , $b = 13$ y $c = 15$ . El semiperímetro de este triángulo es

{displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}={frac {4+13+15}{2}}=16}

y entonces el área es

begin{align} A &= sqrt{sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)} = sqrt{16 cdot (16-4) cdot (16-13) cdot (16-15)}\ &= sqrt{16 cdot 12 cdot 3 cdot 1} = sqrt{576} = 24. end{align}

En este ejemplo, las longitudes de los lados y el área son números enteros, lo que lo convierte en un triángulo heroniano. Sin embargo, la fórmula de Heron funciona igualmente bien en los casos en que una o más de las longitudes de los lados no son números enteros.

Expresiones alternativas

La fórmula de Heron también se puede escribir en términos de las longitudes de los lados en lugar de usar el semiperímetro, de varias maneras,

{displaystyle {begin{aligned}A&={tfrac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\[6mu]&={tfrac {1}{4}}{sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\[6mu]&={tfrac {1}{4}}{sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\[6mu]&={tfrac {1}{4}}{sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\[6mu]&={tfrac {1}{4}}{sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.end{aligned}}}

Después de la expansión, la expresión debajo de la raíz cuadrada es un polinomio cuadrático de las longitudes de los lados al cuadrado $a 2$ , $b 2$ , $c 2$ .

La misma relación se puede expresar utilizando el determinante de Cayley-Menger,

{displaystyle -16A^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}.}

Historia

La fórmula se atribuye a Garza (o Héroe) de Alejandría (fl. 60 d. C.), y una demostración se encuentra en su libro Metrica. El historiador matemático Thomas Heath sugirió que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajar.

Una fórmula equivalente a la de Heron, a saber,

{displaystyle A={frac {1}{2}}{sqrt {a^{2}c^{2}-left({frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}right)^{2}}}}

fue descubierto por los chinos. Fue publicado en Tratado matemático en nueve secciones (Qin Jiushao, 1247).

Pruebas

Hay muchas formas de probar la fórmula de Heron, por ejemplo, usando la trigonometría como se muestra a continuación, o el incentro y un excírculo del triángulo, o como un caso especial del teorema de De Gua (para el caso particular caso de triángulos agudos), o como un caso especial de la fórmula de Brahmagupta (para el caso de un cuadrilátero cíclico degenerado).

Prueba trigonométrica usando la ley de los cosenos

A continuación se muestra una demostración moderna, que usa álgebra y es bastante diferente de la proporcionada por Heron. Sean $a$ , $b$ , $c$ sean los lados del triángulo y $α$ , $β$ , $γ$ los ángulos opuestos a esos lados. Aplicando la ley de los cosenos obtenemos

cos gamma = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

De esta prueba, obtenemos el enunciado algebraico que

sin gamma = sqrt{1-cos^2 gamma} = frac{sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

La altura del triángulo en la base $a$ tiene una longitud $b sin γ$ , y sigue

{displaystyle {begin{aligned}A&={tfrac {1}{2}}({mbox{base}})({mbox{altitude}})\[6mu]&={tfrac {1}{2}}absin gamma \[6mu]&={frac {ab}{4ab}}{sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\[6mu]&={tfrac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\[6mu]&={tfrac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\[6mu]&={sqrt {left({frac {a+b+c}{2}}right)left({frac {-a+b+c}{2}}right)left({frac {a-b+c}{2}}right)left({frac {a+b-c}{2}}right)}}\[6mu]&={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.end{aligned}}}

Demostración algebraica usando el teorema de Pitágoras

Triángulo con altitud

h

base de corte

c

d + c - d)

La siguiente demostración es muy similar a la proporcionada por Raifaizen. Por el teorema de Pitágoras tenemos $b 2 = h 2 + d 2$ y $a 2 = h 2 + (c - d) 2$ según la figura de la derecha. Restando estos rendimientos $a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd$ . Esta ecuación nos permite expresar $d$ en términos de los lados del triángulo:

{displaystyle d={frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}

Para la altura del triángulo tenemos que $h 2 = b 2 - d 2$ . Al reemplazar $d$ con la fórmula anterior y aplicar la diferencia de identidad de cuadrados, obtenemos

{displaystyle {begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-left({frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}right)^{2}\&={frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\&={frac {{big (}(b+c)^{2}-a^{2}{big)}{big (}a^{2}-(b-c)^{2}{big)}}{4c^{2}}}\&={frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\&={frac {2(s-a)cdot 2scdot 2(s-c)cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\&={frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.end{aligned}}}

Ahora aplicamos este resultado a la fórmula que calcula el área de un triángulo a partir de su altura:

{displaystyle {begin{aligned}A&={frac {ch}{2}}\&={sqrt {{frac {c^{2}}{4}}cdot {frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\&={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.end{aligned}}}

Prueba trigonométrica usando la ley de las cotangentes

Significado geométrico de

s - a

s - b

, y

s - c

. Vea la ley de los cotangentes por el razonamiento detrás de esto.

Si $r$ es el radio del incírculo del triángulo, entonces el triángulo se puede dividir en tres triángulos de igual altura $r$ y bases $a$ , $b$ y $c$ . Su área combinada es

{displaystyle A={tfrac {1}{2}}ar+{tfrac {1}{2}}br+{tfrac {1}{2}}cr=rs,}

Donde ${textstyle s={tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ es el semiperímetro.

El triángulo se puede dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura $r$ y bases s − a, $s - b$ , y $s - c$ , de área combinada (ver ley de cotangentes)

{displaystyle {begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\[2mu]&=r^{2}left({frac {s-a}{r}}+{frac {s-b}{r}}+{frac {s-c}{r}}right)\[2mu]&=r^{2}left(cot {frac {alpha }{2}}+cot {frac {beta }{2}}+cot {frac {gamma }{2}}right)\[3mu]&=r^{2}left(cot {frac {alpha }{2}}cot {frac {beta }{2}}cot {frac {gamma }{2}}right)\[3mu]&=r^{2}left({frac {s-a}{r}}cdot {frac {s-b}{r}}cdot {frac {s-c}{r}}right)\[3mu]&={frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.end{aligned}}}

El paso medio arriba es ${textstyle cot {tfrac {alpha }{2}}+cot {tfrac {beta }{2}}+cot {tfrac {gamma }{2}}=cot {tfrac {alpha }{2}}cot {tfrac {beta }{2}}cot {tfrac {gamma }{2}},}$ la triple identidad cotangente, que se aplica porque la suma de medio-ángulos es ${textstyle {tfrac {alpha }{2}}+{tfrac {beta }{2}}+{tfrac {gamma }{2}}={tfrac {pi }{2}}.}$

Combinando los dos, obtenemos

{displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),}

de donde se sigue el resultado.

Estabilidad numérica

La fórmula de Heron, como se indicó anteriormente, es numéricamente inestable para triángulos con un ángulo muy pequeño cuando se utiliza la aritmética de coma flotante. Una alternativa estable consiste en disponer las longitudes de los lados de modo que $a \geq b \geq c$ y computación

{displaystyle A={frac {1}{4}}{sqrt {{big (}a+(b+c){big)}{big (}c-(a-b){big)}{big (}c+(a-b){big)}{big (}a+(b-c){big)}}}.}

Los corchetes en la fórmula anterior son necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Fórmulas similares del área del triángulo

Otras tres fórmulas para el área de un triángulo general tienen una estructura similar a la fórmula de Heron, expresada en términos de diferentes variables.

Primero, si $m a$ , $m b$ , y $m c$ son las medianas de los lados $a$ , $b$ , y $c$ respectivamente, y su semi-sum es ${displaystyle sigma ={tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$ entonces

A = frac{4}{3} sqrt{sigma (sigma - m_a)(sigma - m_b)(sigma - m_c)}.

Siguiente, si $h a$ , $h b$ , y $h c$ son las alturas de los lados $a$ , $b$ , y $c$ respectivamente, y semi-sum de sus recíprocos es ${displaystyle H={tfrac {1}{2}}{bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{bigr)},}$ entonces

{displaystyle A^{-1}=4{sqrt {H{bigl (}H-h_{a}^{-1}{bigr)}{bigl (}H-h_{b}^{-1}{bigr)}{bigl (}H-h_{c}^{-1}{bigr)}}}.}

Por último, si $α$ , $β$ , y $γ$ son las tres medidas de ángulo del triángulo, y la semi-sum de sus pecados es ${displaystyle S={tfrac {1}{2}}(sin alpha +sin beta +sin gamma),}$ entonces

{displaystyle {begin{aligned}A&=D^{2}{sqrt {S(S-sin alpha)(S-sin beta)(S-sin gamma)}}\[5mu]&={tfrac {1}{2}}D^{2}sin alpha ,sin beta ,sin gammaend{aligned}}}

Donde $D$ es el diámetro del círculo, ${textstyle D={frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}.}$ Esta última fórmula coincide con la fórmula Heron estándar cuando el círculo tiene diámetro de unidad.

Generalizaciones

Cuadrilátero cíclico

La fórmula de Heron es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico. La fórmula de Heron y la fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero. La fórmula de Heron se puede obtener a partir de la fórmula de Brahmagupta o de la fórmula de Bretschneider poniendo a cero uno de los lados del cuadrilátero.

La fórmula de Brahmagupta da el área $K$ de un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes $a$ , $b$ , $c$ , $d$ como

K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

donde $s$ , el semiperímetro, se define como

s={frac {a+b+c+d}{2}}.

La fórmula de Heron también es un caso especial de la fórmula para el área de un trapezoide o trapecio basada solo en sus lados. La fórmula de Heron se obtiene poniendo a cero el lado paralelo más pequeño.

Expresando la fórmula de Heron con un determinante de Cayley-Menger en términos de los cuadrados de las distancias entre los tres vértices dados,

{displaystyle A={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}}}}

ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un tres simplex.

David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Heron para pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo.

Fórmula tipo Heron para el volumen de un tetraedro

Si $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ son las longitudes de las aristas del tetraedro (las tres primeras forman un triángulo; $u$ opuesto a $U$ y así sucesivamente), luego

{text{volume}}={frac {sqrt {,(-a+b+c+d),(a-b+c+d),(a+b-c+d),(a+b+c-d)}}{192,u,v,w}}

dónde

{displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W).end{aligned}}}

Fórmulas de Heron en geometrías no euclidianas

También hay fórmulas para el área de un triángulo en términos de sus longitudes laterales para triángulos en la esfera o el plano hiperbólico. Para un triángulo en la esfera con longitudes laterales $a,b,c$ , medio perímetro ${displaystyle s=(a+b+c)/2}$ y zona $S$ tal fórmula es

{displaystyle tan ^{2}{frac {S}{4}}=tan {frac {s}{2}}tan {frac {s-a}{2}}tan {frac {s-b}{2}}tan {frac {s-c}{2}}}

{displaystyle tan ^{2}{frac {S}{4}}=tanh {frac {s}{2}}tanh {frac {s-a}{2}}tanh {frac {s-b}{2}}tanh {frac {s-c}{2}}.}

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