Fórmula de Euler-Maclaurin

La fórmula a menudo se escribe con el subíndice tomando solo valores pares, ya que los números impares de Bernoulli son cero excepto B₁< /lapso>. En este caso tenemos

$${displaystyle sum _{i=m}{n}f(i)=int _{m}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)+f(m)}{2}+sum ¿Qué? {f} {f} {cH00}}}left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)right)+R_{p}$$

$${displaystyle sum _{i=m+1}{n}f(i)=int _{m}^{n}f(x),dx+{frac {f(n)-f(m)}{2}+sum ¿Qué? {f} {f} {cH00}}}left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)right)+R_{p}$$

El resto del término

El término resto surge porque la integral generalmente no es exactamente igual a la suma. La fórmula puede derivarse aplicando integración repetida por partes a intervalos sucesivos [r, r + 1] para r = m, m + 1, …, n − 1. Los términos de frontera en estas integraciones conducen a los términos principales de la fórmula, y las integrales sobrantes forman el término restante.

El término restante tiene una expresión exacta en términos de las funciones periodizadas de Bernoulli P_k(x). Los polinomios de Bernoulli pueden definirse recursivamente por B₀(x) = 1 y, para k ≥ 1,

$${displaystyle {begin{aligned}B_{k}'(x) ¿Por qué?$$

$${displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{bigl (}x-lfloor xrfloor {bigr)}}}$$

Con esta notación, el resto del término R_p es igual a

$${displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}int _{m}{n}f^{(p)}(x){frac {P_{p}(x)}},dx.}$$

Cuando k > 0, se puede demostrar que

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {2cdot k!}{(2pi)}}}zeta (k),} {fnK}}$$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {m}}int}in _{m}n}left habitf^{(p)}(x)derecha para siempre, dx.}$$

Casos de orden bajo

Los números de Bernoulli desde B₁ hasta B₇ son 1 /2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/ 42, 0. Por lo tanto, los casos de orden inferior de la fórmula de Euler-Maclaurin son:

$${displaystyle {begin{aligned}sum {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {c} {c}} {c} {c}} {c} {c} {c} {c} {c} {cc} {cc}} {cc}} {cc}}} {cc}}}} {cccc}ccccc} {c} {ccc}}}}}ccccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}cccccccccccccccccc}$$

Aplicaciones

El problema de Basilea

El problema de Basilea es determinar la suma

$${displaystyle 1+{frac {1}{4}+{frac} {1}{9}+{frac} {1}{16}+{frac} {1}{25}+cdots =sum _{n=1}{infty }{frac {1}{n^{2}}}}$$

Euler calculó esta suma hasta 20 decimales con solo algunos términos de la fórmula de Euler-Maclaurin en 1735. Esto probablemente lo convenció de que la suma es igual a π²/6, que probó en el mismo año.

Sumas que involucran un polinomio

Si f es un polinomio y p es lo suficientemente grande, entonces el resto del término desaparece. Por ejemplo, si f(x) = x³, podemos elegir p = 2 para obtener, después de la simplificación,

$${displaystyle sum _{i=0}{n}i^{3}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)}{2}}}$$

Aproximación de integrales

La fórmula proporciona un medio para aproximar una integral finita. Sea a < b sean los extremos del intervalo de integración. Corrija N, el número de puntos a usar en la aproximación, e indique el tamaño de paso correspondiente mediante h = b − a< /span>/N − 1. Establecer x_i = a + (i − 1) h, de modo que x₁ = a y x_N = b. Después:

$${fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}}}}f(x_{2})+cdots +f(x_{N-1})+{c}{2} {c}cdots +f(x_{N-1})+{frac}{2} {c} {ccc}c}c}c}c} {h^{2}{12}{bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}{bigr]}-{frac {h^{4}{720}{bigl [}f'''''(x_{1})-f''''(x_{N} {bigr]}+cdots end{aligned}}}$$

Esto puede verse como una extensión de la regla del trapezoide por la inclusión de términos de corrección. Tenga en cuenta que esta expansión asintótica generalmente no es convergente; hay alguna p, dependiendo de f y h, de modo que los términos pasado orden p aumentan rápidamente. Por lo tanto, el término restante generalmente exige mucha atención.

La fórmula de Euler-Maclaurin también se utiliza para el análisis detallado de errores en cuadratura numérica. Explica el desempeño superior de la regla trapezoidal en funciones periódicas uniformes y se usa en ciertos métodos de extrapolación. La cuadratura de Clenshaw-Curtis es esencialmente un cambio de variables para emitir una integral arbitraria en términos de integrales de funciones periódicas donde el enfoque de Euler-Maclaurin es muy preciso (en ese caso particular, la fórmula de Euler-Maclaurin toma la forma de una transformada de coseno discreta). Esta técnica se conoce como transformación de periodización.

Expansión asintótica de sumas

En el contexto de calcular expansiones asintóticas de sumas y series, por lo general, la forma más útil de la fórmula de Euler-Maclaurin es

$${f} {f}f}f}f}f}f}}f}f} {f} {f} {f} {f}}}f}}}f}}f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

donde a y b< /span> son números enteros. A menudo, la expansión sigue siendo válida incluso después de tomar los límites a → −∞ o b → +∞ o ambos. En muchos casos, la integral del lado derecho se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales, aunque la suma del lado izquierdo no. Entonces todos los términos de la serie asintótica se pueden expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo,

$${displaystyle sum _{k=0} {infty }{frac {1}{(z+k)}}}sim underbrace {int _{0}{infty }{frac {1}{(z+k)}{2}}}}}}},dk}}}} { _{={dfrac {1}{z}}+{frac} {1}{2z^{2}}+sum _{t=1}{infty {B_{2t}{z^{2t+1}}}$$

Aquí el lado izquierdo es igual a ψ⁽¹⁾(z), es decir, la función poligamma de primer orden definida por

${displaystyle psi ^{(1)}(z)={frac {} {fn} {fnK}} {fnK}}} {fn}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}} {g}}}}}}}}}}}}}}}} {g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Gamma (z);}$

la función gamma Γ(z) es igual a (z − 1)! cuando z es un número entero positivo. Esto da como resultado una expansión asintótica para ψ⁽¹⁾(z). Esa expansión, a su vez, sirve como punto de partida para una de las derivaciones de estimaciones de error precisas para la aproximación de Stirling de la función factorial.

Ejemplos

Si s es un número entero mayor que 1 tenemos:

$${displaystyle sum _{k=1}{n}{n}{frac {1}{k^{s}}approx {fnMicroc {1} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnh} {fnh}}}}\fn}}\fnMicroc {fnMicroc {fn}}} {\fnMicroc {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\fnMicrocfn}}}}}}}\\\fnMicroc\\\fnMicrocfn}}}}}}}}}}}}}}\\\\\fn\\fnMicrocfnMicrocfnMicroc\fn\\\fnMicrocfn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1}{2}-{frac {1}{(s-1)n^{s... ♪♪♪ {1}{2n^{s}}}+sum [{i=1}{frac {B_{2i}{(2i)}}}left[{frac {(s+2i-2)}{(s-1)}}}-{frac {(s+2i-2)}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}right].}$$

Recolectando las constantes en un valor de la función zeta de Riemann, podemos escribir una expansión asintótica:

$${displaystyle sum _{k=1}{n}{n}{frac {1}{k^{s}}sim zeta (s)-{frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}}+{frac {1}{2n^{s}}-sum {fnMicroc {B_{2i}}}{frac {(s+2i-2)}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}}$$

Para s igual a 2, esto se simplifica a

$${displaystyle sum _{k=1}{n}{frac {1}{2}}sim zeta (2)-{frac {1}{n}+{frac} {1}{2n^{2}} - ¿Qué? {B_{2i}{n^{2i+1}}}} {B_{2i}}} {c}} {c}}} {ccH00}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}} {cc}}}}}}}}}} {cccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle sum _{k=1}{n}{n}{frac {1}{2}sim} {fnMicroc} ¿Qué? {1}{n}+{frac} {1}{2n^{2}}-{frac {1}{6n^{3}}+{frac} {1}{30n^{5}}-{frac} {1}{42n^{7}}+cdots.}$$

Cuando s = 1, la técnica correspondiente proporciona una expansión asintótica para los números armónicos:

$${displaystyle sum _{k=1}{n}{frac {1}{k}sim gamma +log n+{frac {1}{2n}-sum _{k=1}{infty }{frac {B_{2k} {2kn^{2k}}}}$$

γ Entendido 0,572...

Pruebas

Derivación por inducción matemática

Esbozamos el argumento dado en Apostol.

Los polinomios de Bernoulli B_n(x) y las funciones periódicas de Bernoulli < abarcan clase="texhtml">P_n(x) para n = 0, 1, 2,... se introdujeron anteriormente.

Los primeros polinomios de Bernoulli son

$${displaystyle {begin{aligned}B_{0}(x) sentimiento=1,B_{1}(x) {1}{2}},B_{2}(x) {1}{6},B_{3}(x) {3}{2}x^{2}+{3}{2}x,B_{4}(x) limitada=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{tfrac {1}{30},\\cc,\,,,,,,,,cH00}}}$$

Los valores B_n(1) son los números de Bernoulli B_n. Observe que para n ≠ 1 tenemos

$${displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$

n = 1

$${displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0). }$$

Las funciones P_n concuerdan con los polinomios de Bernoulli en el intervalo [0, 1] y son periódicas con período 1. Además, excepto cuando n = 1, también son continuos. Por lo tanto,

$${displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}quad {text{for{for}# }nneq 1.$$

Sea k un entero y considere la integral

$${displaystyle int _{k}{k+1}f(x),dx=int ¿Qué?$$

$${displaystyle {begin{aligned}u ventaja=f(x),\du cosecha=f'(x),dx,\dv limit=P_{0}(x),dx {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}$$

Integrando por partes, obtenemos

$${displaystyle {begin{aligned}int _{k}{k+1}f(x),dx limit={bigl [}uv{bigr] ##### {k} {k+1}-int ¿Por qué? ##### {k} {k+1}-int ###{k}{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx\=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx.end{aligned}}}}}}}}$$

Usando B₁(0) = −1/2, B₁(1) = 1/2, y sumando lo anterior de k = 0 a k = n − 1, conseguir

$${displaystyle {begin{aligned}int _{0}{n}f(x),dx limit=int {0}{1}f(x),dx+cdots +int _{n-1}^{n}f(x),dx\\={frac {f(0)}{2}+f(1)+dotsb +f(n-1)+{2} {2}{0} {0}{0}{0} {0}{0}{0} {0}{0}}}}{0}{0}{0}}{0}{0}{0}}} {0}}}}}}}}}}}{0}}}{0}}}}}}}{1}}}}}}}} {f}} {f}}} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}} {f}}}}}}}}} {f}} {f} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}$$

Sumar f(n) − f(0)/2 a ambos lados y reorganizando, tenemos

$${displaystyle sum _{k=1}{n}f(k)=int _{0}{n}f(x),dx+{frac {f(n)-f(0)}{2}+int _{0}{n}f'(x)P_{1}(x),dx.}$$

Este es el caso p = 1 de la fórmula de suma. Para continuar con la inducción, aplicamos integración por partes al término de error:

$${displaystyle int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x),dx=int ¿Qué?$$

$${displaystyle {begin{aligned}u ventaja=f'(x),\du reducida=f''(x),dx,dv limit=P_{1}(x),dx,v limit={tfrac {1}{2}P_{2}(x)end{aligned}}$$

El resultado de integrar por partes es

$${displaystyle {begin{aligned}{bigl []uv{bigr] ##### {k} {k+1}-int ¿Por qué? {1}{2}}int _{k}{k+1}f''(x)P_{2}(x),dx\\={frac {B_{2} {2} {2}(f'(k+1)-f'(k))-{2} {2}}{k}{k}{k+1}f'd2}$$

Sumar de k = 0 a k = n< /i> − 1 y sustituir esto por el término de error de orden inferior da como resultado el caso p = 2 de la fórmula,

$${displaystyle sum _{k=1}{n}f(k)=int _{0}{n}f(x),dx+{frac {f(n)+f(0)}{2}}+{frac {B_{2}{2} {bigl (}f'(n)-f'(0){bigr)}-{frac {1}{2}}int _{0}{n}f''(x)P_{2}(x),dx.}$$

Este proceso se puede repetir. De esta forma obtenemos una prueba de la fórmula de suma de Euler-Maclaurin que puede formalizarse por inducción matemática, en la que el paso de inducción se basa en la integración por partes y en las identidades de las funciones periódicas de Bernoulli.