Fórmula de Brahmagupta

En geometría euclidiana, la fórmula de Brahmagupta, llamada así por el matemático indio del siglo VII, se usa para encontrar el área de cualquier cuadrilátero cíclico (uno que se puede inscribir en un círculo) dada las longitudes de los lados. Su versión generalizada, fórmula de Bretschneider, se puede utilizar con cuadrilátero no cíclico. La fórmula de Heron se puede pensar como un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para triángulos.

Formulación

La fórmula de Brahmagupta da el área K de un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes a, b, c, d como

K=()s− − a)()s− − b)()s− − c)()s− − d){displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)}}}

donde s, el semiperímetro, se define como

s=a+b+c+d2.{displaystyle s={frac {a+b+d}{2}}

Esta fórmula generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo. Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, cuando d tiende a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos) y la fórmula de Brahmagupta se simplifica a la fórmula de Heron.

Si no se usa el semiperímetro, la fórmula de Brahmagupta es

K=14()− − a+b+c+d)()a− − b+c+d)()a+b− − c+d)()a+b+c− − d).{displaystyle K={frac {1}{4}{sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}}

Otra versión equivalente es

K=()a2+b2+c2+d2)2+8abcd− − 2()a4+b4+c4+d4)4⋅ ⋅ {displaystyle K={2}+d^{2})}{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+d^{4}}}}}}} {4}}cdot }

Prueba

Diagrama de referencia

Prueba trigonométrica

Aquí se utilizan las notaciones de la figura de la derecha. El área K del cuadrilátero cíclico es igual a la suma de las áreas de △ADB y △BDC:

K=12pqpecado⁡ ⁡ A+12rspecado⁡ ⁡ C.{displaystyle K={2}pqsin A+{1} {2}rssin} C.}

Pero dado que □ABCD es un cuadrilátero cíclico, ∠DAB = 180 ° − ∠DCB. Por lo tanto sin A = sin C. Por lo tanto,

K=12pqpecado⁡ ⁡ A+12rspecado⁡ ⁡ A{displaystyle K={2}pqsin A+{1} {2}rssin} A}

K2=14()pq+rs)2pecado2⁡ ⁡ A{displaystyle K^{2}={4}(pq+rs)}sin ^{2}A}

4K2=()pq+rs)2()1− − #2⁡ ⁡ A)=()pq+rs)2− − ()()pq+rs)#⁡ ⁡ A)2{displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)cos A)^{2}

(utilizando la identidad trigonométrica).

Resolviendo para el lado común DB, en △ADB y △BDC, la ley de los cosenos da

p2+q2− − 2pq#⁡ ⁡ A=r2+s2− − 2rs#⁡ ⁡ C.{displaystyle p^{2}+q^{2}-2pqcos A=r^{2}+s^{2}-2rscos C.}

Sustituyendo cos C = −cos A (ya que los ángulos A y C son complementarios) y reorganizando, tenemos

()pq+rs)#⁡ ⁡ A=12()p2+q2− − r2− − s2).{displaystyle (pq+rs)cos A={frac {1}{2}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}). }

Sustituyendo esto en la ecuación por el área,

4K2=()pq+rs)2− − 14()p2+q2− − r2− − s2)2{displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{2} {4}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}}}

16K2=4()pq+rs)2− − ()p2+q2− − r2− − s2)2.{displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.}

El lado derecho tiene la forma a² − b² = (a − b)(a + b) y por lo tanto puede ser Escrito como

[2()pq+rs))− − p2− − q2+r2+s2][2()pq+rs)+p2+q2− − r2− − s2]{displaystyle [2(pq+rs))-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}}}

que, al reorganizar los términos entre corchetes, da como resultado

16K2=[()r+s)2− − ()p− − q)2][()p+q)2− − ()r− − s)2]{displaystyle 16K^{2}=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}] [(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]

que se puede tener en cuenta de nuevo en

16K2=()q+r+s− − p)()p+r+s− − q)()p+q+s− − r)()p+q+r− − s).{displaystyle 16K^{2}=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).}

Presentamos el semiperímetro S = p + q + r + s/2 rendimientos

16K2=16()S− − p)()S− − q)()S− − r)()S− − s).{displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s). }

Tomando la raíz cuadrada, obtenemos

K=()S− − p)()S− − q)()S− − r)()S− − s).{displaystyle K={sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)}}}

Prueba no trigonométrica

Una prueba alternativa, no trigonométrica, utiliza dos aplicaciones de la fórmula del área del triángulo de Heron en triángulos semejantes.

Extensión a cuadriláteros no cíclicos

En el caso de cuadriláteros no cíclicos, la fórmula de Brahmagupta se puede extender considerando las medidas de dos ángulos opuestos del cuadrilátero:

K=()s− − a)()s− − b)()s− − c)()s− − d)− − abcd#2⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos ^{2}theta }

donde θ es la mitad de la suma de dos ángulos opuestos cualesquiera. (La elección de qué par de ángulos opuestos es irrelevante: si se toman los otros dos ángulos, la mitad de su suma es 180° − θ. Dado que cos(180° − θ) = −cos θ, tenemos cos²(180° − θ) = cos² θ.) Esta fórmula más general se conoce como Fórmula de Bretschneider.

Es una propiedad de los cuadriláteros cíclicos (y en última instancia de los ángulos inscritos) que los ángulos opuestos de un cuadrilátero suman 180°. En consecuencia, en el caso de un cuadrilátero inscrito, θ es 90°, de donde el término

abcd#2⁡ ⁡ Silencio Silencio =abcd#2⁡ ⁡ ()90∘ ∘ )=abcd⋅ ⋅ 0=0,{displaystyle abcdcos ^{2}theta =abcdcos ^{2}left(90^{circ }right)=abcdcdot 0=0,}

dando la forma básica de la fórmula de Brahmagupta. De la última ecuación se deduce que el área de un cuadrilátero cíclico es el área máxima posible para cualquier cuadrilátero con las longitudes de lado dadas.

Una fórmula relacionada, que fue probada por Coolidge, también da el área de un cuadrilátero convexo general. Es

K=()s− − a)()s− − b)()s− − c)()s− − d)− − 14()ac+bd+pq)()ac+bd− − pq){displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-textstyle {1 over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}}

donde p y q son las longitudes de diagonales del cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico, pq = ac + bd según Ptolomeo teorema, y la fórmula de Coolidge se reduce a la fórmula de Brahmagupta.

Teoremas relacionados

• La fórmula de Heron para el área de un triángulo es el caso especial obtenido al tomar d = 0.
• La relación entre la forma general y extendida de la fórmula de Brahmagupta es similar a cómo la ley de cosines extiende el teorema pitagórico.
• Existen fórmulas de forma cerrada cada vez más complicadas para el área de polígonos generales en círculos, como se describe en Maley et al.