Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

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Fórmula en la teoría de Lie

En matemáticas, la Baker-Campbell–Hausdorff fórmula es la solución $Z$ a la ecuación

{displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}

X

Y

Z

X

Y

{displaystyle Z=X+Y+{frac {1}{2}}[X,Y]+{frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+cdots ,,}

cdots

X

Y

X

Y

{mathfrak {g}}

G

g

G

{displaystyle g=e^{X}}

X

{mathfrak {g}}

cerca de la identidad

G

{displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}

Si $X$ y $Y$ son suficientemente pequeños $ntimes n$ matrices, entonces $Z$ puede ser calculado como el logaritmo de ${displaystyle e^{X}e^{Y}}$ , donde los exponenciales y el logaritmo se pueden computar como serie de energía. El punto de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff es entonces la afirmación altamente no obvia de que ${displaystyle Z:=log left(e^{X}e^{Y}right)}$ se puede expresar como una serie de repetidores $X$ y $Y$ .

Se pueden encontrar exposiciones modernas de la fórmula, entre otros lugares, en los libros de Rossmann y Hall.

Historia

La fórmula lleva el nombre de Henry Frederick Baker, John Edward Campbell y Felix Hausdorff, quienes establecieron su forma cualitativa, es decir, que solo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, ad infinitum, para expresar la solución. Friedrich Schur esbozó una declaración anterior de la forma en 1890, donde se da una serie de potencias convergentes, con términos definidos recursivamente. Esta forma cualitativa es la que se utiliza en las aplicaciones más importantes, como las demostraciones relativamente accesibles de la correspondencia de Lie y en la teoría cuántica de campos. Siguiendo a Schur, Campbell (1897) lo anotó impreso; elaborado por Henri Poincaré (1899) y Baker (1902); y sistematizado geométricamente, y vinculado a la identidad jacobi por Hausdorff (1906). La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin (1947). La historia de la fórmula se describe en detalle en el artículo de Aquiles y Bonfiglioli y en el libro de Bonfiglioli y Fulci.

Formas explícitas

Para muchos propósitos, sólo es necesario saber que una expansión para $Z$ en términos de conmutadores iterados $X$ y $Y$ existe; los coeficientes exactos son a menudo irrelevantes. (Véase, por ejemplo, la discusión de la relación entre el grupo Lie y los homomorfismos del álgebra Lie en la sección 5.2 del libro de Hall, donde los coeficientes precisos no juegan ningún papel en el argumento.) Martin Eichler dio una prueba de existencia notablemente directa, véase también la sección "Resultados de la existencia" a continuación.

En otros casos, se puede necesitar información detallada sobre $Z$ por lo tanto, es deseable calcular $Z$ lo más explícitamente posible. Existen numerosas fórmulas; describiremos dos de las principales (la fórmula de Dynkin y la fórmula integral de Poincaré) en esta sección.

Fórmula de Dynkin

Vamos G ser un grupo Lie con álgebra Lie ${mathfrak {g}}$ . Vamos

{displaystyle exp:{mathfrak {g}}to G}

0\vdots \r_{n}+s_{n}>0end{smallmatrix}}{frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{left(sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})right)cdot prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">log⁡ ⁡ ()exp⁡ ⁡ Xexp⁡ ⁡ Y)=.. n=1JUEGO JUEGO ()− − 1)n− − 1n.. r1+s1■0⋮ ⋮ rn+sn■0[Xr1Ys1Xr2Ys2⋯ ⋯ XrnYsn]().. j=1n()rj+sj))⋅ ⋅ ∏ ∏ i=1nri!si!,{displaystyle log(exp Xexp Y)=sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n-1}{n}}}sum _{1} {0\\\vdots {fn} {fn} {fn}} {fn}fn} {fn}}} {fn}fn}} {fn} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¡Sí!0\vdots \r_{n}+s_{n}>0end{smallmatrix}}{frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{left(sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})right)cdot prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e2c8530ed3c18c8921e2bd46e172ed4229d6aa" style="vertical-align: -7.838ex; width:71.446ex; height:11.843ex;"/>

s_{i}

r_{i}

{displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[underbrace {X,[X,dotsm [X} _{r_{1}},[underbrace {Y,[Y,dotsm [Y} _{s_{1}},,dotsm ,[underbrace {X,[X,dotsm [X} _{r_{n}},[underbrace {Y,[Y,dotsm Y} _{s_{n}}]]dotsm ]]}

[X # X

La serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula declarada es válida) para todo lo suficientemente pequeño $X$ y $Y$ . Desde $[A, A = 0$ , el término es cero si $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">sn■1{displaystyle s_{n}}] 1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ae6d7d5580fce711d76470a0b863a1ea8ad9d2" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.57ex; height:2.509ex;"/>$ o si $s_n = 0$ y $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">rn■1{displaystyle r_{n}}] 1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5539cf21a846819d9958eaf4c6b3f00bf3e7f187" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.528ex; height:2.509ex;"/>$ .

Los primeros términos son bien conocidos, y todos los términos de orden superior incluyen $[X, Y]$ y anidamientos de conmutadores de los mismos (así en el álgebra de Lie):

${displaystyle {begin{aligned}Z(X,Y)&=log(exp Xexp Y)\&{}=X+Y+{frac {1}{2}}[X,Y]+{frac {1}{12}}left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]right)\&{}quad -{frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\&{}quad -{frac {1}{720}}left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]right)\&{}quad +{frac {1}{360}}left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]right)\&{}quad +{frac {1}{120}}left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]right)\&{}quad +{frac {1}{240}}left([X,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]right)\&{}quad +{frac {1}{720}}left([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]]right)\&{}quad +{frac {1}{1440}}left([X,[Y,[Y,[Y,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[X,[X,Y]]]]]right)+cdots end{aligned}}}$

Lo anterior enumera todos los sumandos de orden 6 o inferior (es decir, aquellos que contienen 6 o menos $X$ 's y $Y$ 's). La $X \leftrightarrow Y$ (anti-)/simetría en órdenes alternos de la expansión, sigue de $Z (Y, X) = - Z (- X, - Y)$ . Una prueba elemental completa de esta fórmula se puede encontrar en el artículo sobre la derivada del mapa exponencial.

Una fórmula integral

Hay muchas otras expresiones para $Z$ , muchos de los cuales se utilizan en la literatura física. Una fórmula integral popular es

{displaystyle log left(e^{X}e^{Y}right)=X+left(int _{0}^{1}psi left(e^{operatorname {ad} _{X}}~e^{toperatorname {ad} _{Y}}right)dtright)Y,}

{displaystyle psi (x)~{stackrel {text{def}}{=}}~{frac {xlog x}{x-1}}=1-sum _{n=1}^{infty }{(1-x)^{n} over n(n+1)}~,}

Ilustración del grupo Matrix Lie

Para una matriz Lie group $G sub mbox{GL}(n,mathbb{R})$ el Álgebra Lie es el espacio tangente de la identidad I, y el conmutador es simplemente $[X, Y = XY - YX$ ; el mapa exponencial es el mapa exponencial estándar de matrices,

{displaystyle exp X=e^{X}=sum _{n=0}^{infty }{frac {X^{n}}{n!}}.}

Cuando uno resuelve Z en

{displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}

exp

log

0}{frac {(-1)^{n-1}}{n}}sum _{stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1leq ileq n}}{frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!cdots r_{n}!s_{n}!}},quad |X|+|Y|<log 2,|Z|Z=.. n■0()− − 1)n− − 1n.. 1≤ ≤ i≤ ≤ nri+si■0Xr1Ys1⋯ ⋯ XrnYsnr1!s1!⋯ ⋯ rn!sn!,.. X.. +.. Y.. .log⁡ ⁡ 2,.. Z.. .log⁡ ⁡ 2.{displaystyle Z=sum _{n]0}{frac {(-1)}{n-1}{n}}sum} ¿Qué? {fnh} {fnh} {fnh}} {fnfnfnfn}} {fn}} {fnfn}}} {fnfnfnfnfn}}}}} {\fnf}}}}}}} {fnf}}}}}}}}} {p}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}} ¿Qué? {X^{1}}}Y^{s_{1}cdots ¡Sí! ¡No! "Princex sobrevivir+" sobrevivir"log 2,"SobrevivirZ,"0}{frac {(-1)^{n-1}}{n}}sum _{stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1leq ileq n}}{frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!cdots r_{n}!s_{n}!}},quad |X|+|Y|<log 2,|Z|

${displaystyle z_{1}=X+Y}$
${displaystyle z_{2}={frac {1}{2}}(XY-YX)}$
${displaystyle z_{3}={frac {1}{12}}left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXYright)}$
${displaystyle z_{4}={frac {1}{24}}left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYXright).}$

Las fórmulas para los diversos $z_{j}$ 's no la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff. Más bien, la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff es una de las diversas expresiones para $z_{j}$ 's en términos de conmutadores repetidos $X$ y $Y$ . El punto es que está lejos de ser obvio que es posible expresar cada uno $z_{j}$ en términos de conmutadores. (El lector es invitado, por ejemplo, a verificar por computación directa que $z_{3}$ es expresible como una combinación lineal de los dos conmutadores no tripartitos de tercera orden $X$ y $Y$ , a saber ${displaystyle [X,[X,Y]]}$ y ${displaystyle [Y,[X,Y]]}$ .) El resultado general de cada $z_{j}$ es expresible como una combinación de conmutadores se mostró de una manera elegante y recurrente por Eichler.

Una consecuencia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza:

{displaystyle operatorname {tr} log left(e^{X}e^{Y}right)=operatorname {tr} X+operatorname {tr} Y.}

z_{j}

{displaystyle jgeq 2}

Cuestiones de convergencia

Suppose $X$ y $Y$ son las siguientes matrices en el álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2;mathbb {C})}$ (el espacio de $2times 2$ matrices con traza cero):

{displaystyle X={begin{pmatrix}0&ipi \ipi &0end{pmatrix}};quad Y={begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}}.}

{displaystyle e^{X}e^{Y}={begin{pmatrix}-1&0\0&-1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&-1\0&-1end{pmatrix}}.}

Z

{displaystyle operatorname {sl} (2;mathbb {C})}

{displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}

Este sencillo ejemplo ilustra que las diversas versiones de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff, que dan expresiones para $Z$ en términos de Lie- corchetes de $X$ y $Y$ , describen formal serie de potencias cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si uno quiere que $Z$ sea un elemento real del álgebra de Lie que contenga $X$ y $Y$ (a diferencia de una serie de potencias formal), se debe suponer que $X$ y $Y$ son pequeños. Por lo tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es solo una declaración local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente uno puede tener grupos de Lie no isomorfos con álgebras de Lie isomorfas.

Concretamente, si trabajar con una matriz Lie álgebra y $|cdot |$ es una norma de matriz submultiplicativa dada, la convergencia está garantizada si

<math alttext="{displaystyle |X|+|Y|.. X.. +.. Y.. .In 22.{displaystyle "Principio" 2}{2}.} <img alt="{displaystyle |X|+|Y|

Casos especiales

Si $X$ y $Y$ Comute, eso es ${displaystyle [X,Y]=0}$ , la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff reduce a ${displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$ .

Otro caso supone que $[X,Y]$ comunicaciones con ambos $X$ y $Y$ En cuanto al grupo nilpotent Heisenberg. Entonces la fórmula se reduce a su primero tres términos.

TheoremSi $X$ y $Y$ con su conmutador, ${displaystyle [X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0}$ , entonces ${displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{frac {1}{2}}[X,Y]}}$ .

Este es el caso degenerado utilizado rutinariamente en la mecánica cuántica, como se ilustra a continuación. En este caso, no existen restricciones de pequeñez $X$ y $Y$ . Este resultado está detrás de las "relaciones de conmutación exploradas" que entran en el teorema Stone-von Neumann. A continuación se presenta una simple prueba de esta identidad.

Otra forma útil de la fórmula general enfatiza la expansión en términos de Y y utiliza la notación de cartografía adjunta ${displaystyle operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}$ :

{displaystyle log(exp Xexp Y)=X+{frac {operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-operatorname {ad} _{X}}}}~Y+Oleft(Y^{2}right)=X+operatorname {ad} _{X/2}(1+coth operatorname {ad} _{X/2})~Y+Oleft(Y^{2}right),}

Y

Ahora asuma que el conmutador es un múltiple de $Y$ Así que ${displaystyle [X,Y]=sY}$ . Entonces todos los conmutadores iterados serán múltiples $Y$ , y no términos cuadráticos o superiores en $Y$ Aparece. Así, el ${displaystyle Oleft(Y^{2}right)}$ término arriba desaparece y obtenemos:

TheoremSi ${displaystyle [X,Y]=sY}$ , donde $s$ es un número complejo con ${displaystyle sneq 2pi in}$ para todos los enteros $n$ , entonces tenemos

{displaystyle e^{X}e^{Y}=exp left(X+{frac {s}{1-e^{-s}}}Yright).}

De nuevo, en este caso no hay restricción de la pequeñez $X$ y $Y$ . La restricción $s$ garantiza que la expresión del lado derecho tenga sentido. (Cuando $s=0$ podemos interpretar ${textstyle lim _{sto 0}s/(1-e^{-s})=1}$ .) También obtenemos una simple "identidad quebra":

{displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{exp(s)Y}e^{X},}

{displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{exp(s),Y}.}

Resultados de existencia

Si $X$ y $Y$ son matrices, uno puede calcular ${displaystyle Z:=log left(e^{X}e^{Y}right)}$ usando la serie de potencia para el exponencial y logaritmo, con convergencia de la serie si $X$ y $Y$ son suficientemente pequeños. Es natural reunir todos los términos donde el grado total en $X$ y $Y$ equivale a un número fijo $k$ , dando una expresión $z_{k}$ . (Vea la sección "Matrix Lieja ilustración grupo" arriba para las fórmulas para los primeros varios $z_{k}$ s.) Una prueba notablemente directa y concisa, recursiva que cada uno $z_{k}$ es expresible en términos de repetidos comunicadores $X$ y $Y$ fue dado por Martin Eichler.

Alternativamente, podemos dar un argumento de existencia como sigue. La fórmula Baker-Campbell-Hausdorff implica que si $X$ y $Y$ están en algunos Lie algebra $mathfrak g,$ definido sobre cualquier campo de característica 0 como $mathbb{R}$ o $mathbb{C}$ , entonces

{displaystyle Z=log(exp(X)exp(Y)),}

{mathfrak {g}}

Z

{mathfrak {g}}

Consideramos el anillo ${displaystyle S=mathbb {R} [[X,Y]]}$ de todas las series de potencia formales no transmutadoras con coeficientes reales en las variables no conmutativas $X$ y $Y$ . Hay un homomorfismo del anillo $S$ al producto del tensor $S$ con $S$ sobre $R$ ,

{displaystyle Delta colon Sto Sotimes S,}

{displaystyle Delta (X)=Xotimes 1+1otimes X}

{displaystyle Delta (Y)=Yotimes 1+1otimes Y.}

Entonces se pueden verificar las siguientes propiedades:

El mapa $exp$ , definido por su serie Taylor estándar, es una bijeción entre el conjunto de elementos de $S$ con el término constante 0 y el conjunto de elementos $S$ con el término constante 1; el inverso de la exp es tronco
${displaystyle r=exp(s)}$ es grupo (Esto significa ${displaystyle Delta (r)=rotimes r}$ Si y sólo si s es primitivo (Esto significa ${displaystyle Delta (s)=sotimes 1+1otimes s}$ ).
Los elementos grupales forman un grupo bajo la multiplicación.
Los elementos primitivos son exactamente las sumas infinitas formales de elementos del álgebra de Lie generados por X y Y, donde el soporte de Lie es dado por el conmutador ${displaystyle [U,V]=UV-VU}$ . (Teorema de Friedrichs)

La existencia de la fórmula Campbell-Baker-Hausdorff ahora se puede ver como sigue: Los elementos X y Y son primitivos, así que ${displaystyle exp(X)}$ y ${displaystyle exp(Y)}$ son de grupo; por lo que su producto ${displaystyle exp(X)exp(Y)}$ es también grupal; por lo tanto su logaritmo ${displaystyle log(exp(X)exp(Y))}$ es primitivo; y por lo tanto puede ser escrito como una suma infinita de elementos del álgebra de Lie generado por $X$ y $Y$ .

El álgebra envolvente universal del álgebra de mentira libre generada por $X$ y $Y$ es isomorfo al álgebra de todos los polinomios que no conmutan en $X$ y $Y$ . Al igual que todas las álgebras envolventes universales, tiene una estructura natural de álgebra de Hopf, con un coproducto $Δ$ . El anillo $S$ usado anteriormente es solo una finalización de este álgebra de Hopf.

Fórmula de Zassenhaus

Una expansión combinatoria relacionada que es útil en aplicaciones duales es

{displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{frac {t^{2}}{2}}[X,Y]}~e^{{frac {t^{3}}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{frac {-t^{4}}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}cdots }

t

C n

exp(tX) exp(t () X+Y) = n exp(t n C n)

Como corolario de esto, sigue la descomposición de Suzuki-Trotter.

Un lema importante y su aplicación a un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

La identidad (Campbell 1897)

Sea $G$ un grupo de Lie matriz y $g$ su álgebra de Lie correspondiente. Sea $ad X$ el operador lineal en $g$ definido por $ad X Y = [X, Y] = XY - YX$ para algunos $X \in fijos g$ . (El endomorfismo adjunto encontrado arriba). Denotar con $Ad A$ para $A \in G$ la transformación lineal de $g$ dada por $Anuncio A Y = AYA -1$ .

Un lema combinatorio estándar que se utiliza para producir las expansiones explícitas anteriores está dado por

{displaystyle operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{operatorname {ad} _{X}},}

{displaystyle operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{operatorname {ad} _{X}}Y=Y+left[X,Yright]+{frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+cdots.}

{displaystyle [(X)^{n},Y]equiv underbrace {[X,dotsb [X,[X} _{n{text{ times }}},Y]]dotsb ],quad [(X)^{0},Y]equiv Y,}

{displaystyle e^{X}Ye^{-X}=sum _{n=0}^{infty }{frac {[(X)^{n},Y]}{n!}}.}

Esta fórmula se puede probar evaluando la derivada con respecto a $s$ de $f (s) Y \equiv e sX Y e - sX$ , solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en $s = 1$ ,

{displaystyle {frac {d}{ds}}f(s)Y={frac {d}{ds}}left(e^{sX}Ye^{-sX}right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}

{displaystyle f'(s)=operatorname {ad} _{X}f(s),qquad f(0)=1qquad Longrightarrow qquad f(s)=e^{soperatorname {ad} _{X}}.}

Una aplicación de la identidad

Para $[X, Y]$ central, es decir, viajar con ambos $X$ y $Y$ ,

{displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.}

g () s) e s X e s Y

{displaystyle {frac {dg}{ds}}={Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{Bigr)}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,}

{displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.}

s=1

{displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{frac {1}{2}}[X,Y]}~.}

De manera más general, para $[X, Y]$ no central, la siguiente identidad de trenzado sigue fácilmente,

{displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+left[X,Yright]+{frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+cdots)}~e^{X}.}

Caso infinitesimal

Una variante particularmente útil de lo anterior es la forma infinitesimal. Esto se escribe comúnmente como

{displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{frac {1}{2!}}left[X,dXright]+{frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+cdots }

Por ejemplo, escribir ${displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ para algunas funciones $X^i$ y una base $e_{i}$ para el álgebra de Lie, uno compute fácilmente que

{displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-cdots}

{displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}

La serie se puede escribir de forma más compacta (cf. artículo principal) como

{displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}

{displaystyle W=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}

M

{displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}

La utilidad de esta expresión proviene del hecho de que la matriz $M$ es un vielbein. Así, dado un mapa ${displaystyle Nto G}$ de un manifold $N$ a algunos manifold $G$ , el tensor métrico en el manifold $N$ puede ser escrito como el retroceso del tensor métrico $B_{{mn}}$ en el grupo Lie $G$ ,

{displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}

B_{{mn}}

N

Aplicación en mecánica cuántica

Un caso especial de la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff es útil en mecánica cuántica y especialmente óptica cuántica, donde $X$ y $Y$ son los operadores del espacio Hilbert, generando el álgebra Heisenberg Lie. Específicamente, los operadores de posición e impulso en la mecánica cuántica, generalmente denotados $X$ y $P$ , satisfacer la relación de conmutación canónica:

{displaystyle [X,P]=ihbar I}

I

X

P

formales

X

P

{displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{ileft(aX+bP-{frac {abhbar }{2}}right)}.}

Una aplicación relacionada son los operadores de aniquilación y creación, $â$ y $â †$ . Su conmutador $[â †, â] = - I$ es central, es decir, conmuta tanto con $â$ como con $â †$ . Como se indicó anteriormente, la expansión luego colapsa a la forma degenerada semi-trivial:

{displaystyle e^{v{hat {a}}^{dagger }-v^{*}{hat {a}}}=e^{v{hat {a}}^{dagger }}e^{-v^{*}{hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}

v

Este ejemplo ilustra la resolución del operador de desplazamiento, $exp(vâ † - v * â)$ , en exponenciales de operadores y escalares de aniquilación y creación.

Esta fórmula degenerada de Baker-Campbell-Hausdorff luego muestra el producto de dos operadores de desplazamiento como otro operador de desplazamiento (hasta un factor de fase), con el desplazamiento resultante igual a la suma de los dos desplazamientos,

{displaystyle e^{v{hat {a}}^{dagger }-v^{*}{hat {a}}}e^{u{hat {a}}^{dagger }-u^{*}{hat {a}}}=e^{(v+u){hat {a}}^{dagger }-(v^{*}+u^{*}){hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},}

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