Fórmula cuadrática

La función cuadrática Sí. = 1/2x² − 5/2x + 2, con raíces x = 1 y x = 4.

En álgebra elemental, la fórmula cuadrática es una fórmula que proporciona la(s) solución(es) a una ecuación cuadrática. Hay otras formas de resolver una ecuación cuadrática en lugar de usar la fórmula cuadrática, como la factorización (factorización directa, agrupación, método AC), completar el cuadrado, graficar y otras.

Dada una ecuación cuadrática general de la forma

$${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$$

$${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b} {2}4ac}} {2a}}} {2a}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

donde el símbolo más-menos "±" indica que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones. Escritos por separado, se convierten en:

$${displaystyle {begin{aligned}x_{1} {-b+{sqrt {2}} {2a}}quad {text{or}x_{2} {c}={frac} {c} {c} {c}} {c}}ccc}}cc}ccc}}ccH0}cccH0}}}}}}}}ccccccccccccccccccccccc}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}ccc}ccc}ccc}c}c}cc}c}cc}c}c}c}c}c {-b-{sqrt {b} {2}}}end{aligned}}$$

Cada una de estas dos soluciones también se denomina raíz (o cero) de la ecuación cuadrática. Geométricamente, estas raíces representan los valores de x en los que cualquier parábola, dada explícitamente como y = ax² + bx + c, cruces el eje x.

Además de ser una fórmula que produce los ceros de cualquier parábola, la fórmula cuadrática también se puede usar para identificar el eje de simetría de la parábola y la cantidad de ceros reales que contiene la ecuación cuadrática.

La expresión b² − 4ac se conoce como discriminante. Si b² − 4ac ≥ 0 entonces la raíz cuadrada del discriminante es un Número Real; de lo contrario, es un número complejo. Si a, b y c son números reales y a ≠ 0 entonces

1. Si b² − 4ac ■ 0 entonces hay dos raíces o soluciones reales diferentes a la ecuación ax² + bx + c = 0.
2. Si b² − 4ac = 0 entonces hay una solución real repetida.
3. Si b² − 4ac 0 entonces hay dos soluciones complejas distintas, que son conjugadas complejas entre sí.

Formulaciones equivalentes

La fórmula cuadrática también se puede escribir como

$${displaystyle x=-{frac}{2a}pm {fnMicroc {fnK}},}}$$

$${displaystyle x=-{frac}{2a}pm {sqrt {left {fnMicroc}}right)}{2}-{frac} {c}}},}$$

Esta versión de la fórmula facilita encontrar las raíces cuando se usa una calculadora.

Cuando b es un número entero par, normalmente es más fácil usar la fórmula reducida

$${displaystyle x={frac {frac {b}{2}pm {sqrt {left} {fnK}} {fnK}}} {fnK}}}} {fn}}}}}} {fn}}} {f}}}}}}}} {fn}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}$$

En el caso de la discriminación ${displaystyle b^{2}-4ac}$ es negativo, las raíces complejas están implicadas. La fórmula cuadrática se puede escribir como:

$${displaystyle x=-{frac {b}{2a}pm i{sqrt {left durableleft({frac {b}{2a}}right)}{2}-{frac}-{frac} {c} {a} 'justo en la vida'},$$

Método de Muller

Una fórmula cuadrática menos conocida, que se usa en el método de Muller y que se puede encontrar en las fórmulas de Vieta, proporciona (suponiendo a ≠ 0, c ≠ 0) las mismas raíces a través de la ecuación:

$${displaystyle x={frac {-2c}{bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}={frac} {f}} {f}}} {f}} {f} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}f} {2c}{-bmp {sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$$

Formulaciones basadas en parametrizaciones alternativas

La parametrización estándar de la ecuación cuadrática es

$${displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$$

Algunas fuentes, particularmente las más antiguas, usan parametrizaciones alternativas de la ecuación cuadrática como

$${displaystyle ax^{2}-2b_{1}x+c=0,}$$

${displaystyle B_{1}=-b/2}$

o

$${displaystyle ax^{2}+2b_{2}x+c=0,}$$

${displaystyle B_{2}=b/2}$

Estas parametrizaciones alternativas dan como resultado formas ligeramente diferentes para la solución, pero que por lo demás son equivalentes a la parametrización estándar.

Derivaciones de la fórmula

Muchos métodos diferentes para derivar la fórmula cuadrática están disponibles en la literatura. El estándar es una aplicación simple de la técnica de completar el cuadrado. Los métodos alternativos a veces son más simples que completar el cuadrado y pueden ofrecer una visión interesante de otras áreas de las matemáticas.

Al completar el cuadrado

Divide la ecuación cuadrática por ${displaystyle a}$, que se permite porque ${displaystyle a}$ no es cero:

$${displaystyle x^{2}+{frac [b] {a}x+{frac] {c}=0,}$$

Reste c/a de ambos lados de la ecuación, dando como resultado:

$${displaystyle x^{2}+{frac {b}{a}x=-{frac} {c} {a},}$$

La ecuación cuadrática ahora está en una forma a la que se aplica el método de completar el cuadrado. De hecho, al agregar una constante a ambos lados de la ecuación de manera que el lado izquierdo se convierta en un cuadrado completo, la ecuación cuadrática se convierte en:

$${displaystyle x^{2}+{frac}x+left {b}{2a}right)}{2}=-{frac {C}}+left({frac} {b}{2a}right)},}$$

$${displaystyle left(x+{frac {b}{2a}right)}{2}=-{frac {c}{a}+{frac} {b^{2}{4a^{2}},}$$

En consecuencia, después de reorganizar los términos del lado derecho para que tengan un denominador común, obtenemos:

$${displaystyle left(x+{frac {b}{2a}}}},}$$

La plaza ha sido así completada. Podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados, dando la siguiente ecuación:

$${displaystyle x+{frac}=pm {sqrt {b^{2}-4ac} {2a},}$$

En ese caso, aislar el ${displaystyle x}$ daría la fórmula cuadrática:

$${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}} {2a},}$$

Hay muchas alternativas de esta derivación con diferencias menores, principalmente relativas a la manipulación de ${displaystyle a}$.

Método más corto

Completar el cuadrado también se puede lograr mediante una secuencia a veces más corta y simple:

1. Multiplique cada lado ${displaystyle 4a}$,
2. Rearrange.
3. Añadir ${displaystyle b^{2}$ a ambos lados para completar la plaza.
4. El lado izquierdo es el resultado del polinomio ${displaystyle (2ax+b)} {2}$.
5. Tome la raíz cuadrada de ambos lados.
6. Isolado ${displaystyle x}$.

En cuyo caso, la fórmula cuadrática también se puede derivar de la siguiente manera:

$${4ccH00} {ccH00} {ccH00}ccH00} {ccH00}ccH00} {cccH00}cccH00}cccccH00}$$

Esta derivación de la fórmula cuadrática es antigua y se conocía en India al menos desde 1025. En comparación con la derivación en el uso estándar, esta derivación alternativa evita las fracciones y las fracciones al cuadrado hasta el último paso y, por lo tanto, no requiere una reordenamiento después del paso 3 para obtener un denominador común en el lado derecho.

Por sustitución

Otra técnica es la solución por sustitución. En esta técnica sustituimos ${displaystyle x=y+m}$ en el cuadrático para conseguir:

$${displaystyle a(y+m)^{2}+b(y+m)+c=0,}$$

Ampliar el resultado y luego recoger los poderes de ${displaystyle y}$ produce:

$${displaystyle ay^{2}+y(2am+b)+left(am^{2}+bm+cright)=0,}$$

Aún no hemos impuesto una segunda condición ${displaystyle y}$ y ${displaystyle m}$, así que ahora elegimos ${displaystyle m}$ Así que el término medio desaparece. Eso es, ${displaystyle 2am+b=0}$ o ${displaystyle textstyle m={frac {-b}{2a}}$.

$${displaystyle ay^{2}+y(\\\\\\)+left(am^{2}+bm+cright)=0,}$$

$${displaystyle ay^{2}+ left(am^{2}+bm+cright)=0,}$$

Retraer el término constante de ambos lados de la ecuación (para moverlo al lado derecho) y luego dividir por ${displaystyle a}$ da:

$${displaystyle ¿Qué?$$

Sustitución ${displaystyle m}$ da:

$${displaystyle Y^{2}={frac {left({frac {fnMicroc} {fnK}} {fnMicroc}}} {fnK}}} {f}} {f}} {fn}}} {f}}}}} {fnf}}}}}} {fnfnf}}}}} {fnMicroc} {-b^{2}{2a}}+cright)}{a}={frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}},}$$

Por lo tanto,

$${displaystyle y=pm {fnMicroc {sqrt {B^{2}-4ac} {2a}}} {2a}}} {cH}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Reexpresando ${displaystyle y}$ en términos de ${displaystyle x}$ usando la fórmula ${textstyle x=y+m=y-{frac {b}{2a}}$ la fórmula cuadrática habitual se puede obtener:

$${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}} {2a},}$$

Usando identidades algebraicas

Muchos matemáticos históricos utilizaron el siguiente método:

Sean las raíces de la ecuación cuadrática estándar r₁ y < i>r₂. La derivación comienza recordando la identidad:

$${displaystyle (r_{1}-r_{2} {2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2},}$$

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos:

$${displaystyle r_{1}-r_{2}=pm {sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}},}$$

Dado que el coeficiente a ≠ 0, podemos dividir la ecuación estándar entre a para obtener un polinomio cuadrático con las mismas raíces. A saber,

$${displaystyle x^{2}+{frac [b] {a}x+{frac] {c}{a}=(x-r_{1})(x-r_{2}=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2},}$$

De esto podemos ver que la suma de las raíces de la ecuación cuadrática estándar está dada por −b/a , y el producto de esas raíces está dado por c/a< /lapso>. Por lo tanto, la identidad se puede reescribir como:

$${displaystyle r_{1}-r_{2}=pm {sqrt {left {fnMicroc}}right)}{2}-4{frac} {c}}=pm {fnMicroc} {B^{2}{a^{2}} {frac} {4ac}{a^{2}}=pm {fnMicroc} {b^{2}-4ac} {a}},}$$

Ahora,

$${displaystyle r_{1}={2}{2}={2}={2} {fnMicroc {b}}pm {fnMicroc} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}} {f}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f} {f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}}f}f}f}f}f} {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}} {2a},}$$

Puesto que r₂ = −r₁ − b/a, si tomamos

$${displaystyle ¿Qué? {-b+{sqrt {b} {2}4ac}} {2a}}} {2a}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle r_{2}={frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}} {2a},}$$

$${displaystyle ¿Qué? {-b-{sqrt {b}{2}} {2a}}} {cH00}} {cH00}}$$

$${displaystyle r_{2}={frac {-b+{sqrt {b} {2a}},}$$

Combinando estos resultados usando la abreviatura estándar ±, tenemos que las soluciones de la ecuación cuadrática están dadas por:

$${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}} {2a},}$$

Por disolventes de Lagrange

Una forma alternativa de derivar la fórmula cuadrática es a través del método de los resolventes de Lagrange, que es una parte temprana de la teoría de Galois. Este método se puede generalizar para obtener las raíces de polinomios cúbicos y polinomios cuárticos, y conduce a la teoría de Galois, que permite comprender la solución de ecuaciones algebraicas de cualquier grado en términos del grupo de simetría de sus raíces, el grupo de Galois.

Este enfoque se centra en las raíces más que en reorganizar la ecuación original. Dado un polinomio cuadrático mónico

$${displaystyle x^{2}+px+q,}$$

$${displaystyle x^{2}+px+q=(x-alpha)(x-beta),}$$

Rendimientos en expansión

$${displaystyle x^{2}+px+q=x^{2}-(alpha +beta)x+alpha beta ,}$$

Dado que el orden de multiplicación no importa, uno puede cambiar α y β y los valores de p y q no cambiará: se puede decir que p y q son polinomios simétricos en α y β. De hecho, son los polinomios simétricos elementales: cualquier polinomio simétrico en α y β se puede expresar en términos de α + β y < i>αβ. El enfoque de la teoría de Galois para analizar y resolver polinomios es: dados los coeficientes de un polinomio, que son funciones simétricas en las raíces, ¿se puede "romper la simetría" y recuperar las raíces? Por lo tanto, resolver un polinomio de grado n está relacionado con las formas de reordenar ("permutar") n términos, que se denomina grupo simétrico en n letras, y se denota S_n. Para el polinomio cuadrático, las únicas formas de reorganizar dos términos es dejarlos como están o intercambiarlos ("transponer"), y por lo tanto resolver un polinomio cuadrático es simple.

Para encontrar las raíces α y β, considere su suma y diferencia:

$${displaystyle {begin{aligned}r_{1} limit=alpha +beta \r_{2} limit=alpha -beta ,end{aligned}}}$$

Estos se llaman los resolventes de Lagrange del polinomio; observe que uno de estos depende del orden de las raíces, que es el punto clave. Se pueden recuperar las raíces de los resolventes invirtiendo las ecuaciones anteriores:

$${displaystyle {begin{aligned}alpha &=textstyle {frac {1}{2}left(r_{1}+r_{2}right)beta <textstyle {frac {1}{2}left(r_{1}-r_{2}right)end{aligned} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}$$

Por lo tanto, al resolver los resolventes se obtienen las raíces originales.

Ahora r₁ = α + β es una función simétrica en α y β, por lo que puede expresarse en términos de p y q, y de hecho r₁ = −p como se indicó anteriormente. Pero r₂ = α − β no es simétrico, ya que cambiar α y β produce −r₂ = β − α (formalmente, esto se denomina grupo acción del grupo simétrico de las raíces). Dado que r₂ no es simétrico, no se puede expresar en términos de los coeficientes p y q, ya que estos son simétricos en las raíces y, por lo tanto, también lo es cualquier expresión polinomial que los involucre.. Cambiar el orden de las raíces solo cambia r₂ por un factor de −1, y por lo tanto el cuadrado r₂² = (α − β)< sup>2 es simétrico en las raíces y, por lo tanto, se puede expresar en términos de p y q. Usando la ecuación

$${displaystyle (alpha -beta)}{2}=(alpha +beta)^{2}-4alpha beta }$$

$${displaystyle ¿Qué?$$

$${displaystyle ¿Qué?$$

Si se saca la raíz positiva, rompiendo la simetría, se obtiene:

$${\fnK} {fnK} {cH00}} {cH00}} {cH0} {cH00}} {cH00}}pendiente {cH00}}$$

$${displaystyle {begin{aligned}alpha={tfrac {1}{2}left(-p+{sqrt {fnMicroc}left(-p-{sqrt) {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${displaystyle {tfrac {1}{2}left(-ppm {sqrt {p^{2}-4q}}right)}$$

Un método similar pero más complicado funciona para ecuaciones cúbicas, donde uno tiene tres resolventes y una ecuación cuadrática (el "polinomio de resolución") que relacionan r₂ y r₃, que uno puede resolver por el ecuación cuadrática, y de manera similar para una ecuación cuártica (grado 4), cuyo polinomio de resolución es un cúbico, que a su vez puede resolverse. El mismo método para una ecuación quíntica produce un polinomio de grado 24, lo que no simplifica el problema y, de hecho, las soluciones a las ecuaciones quínticas en general no se pueden expresar usando solo raíces.

Desarrollo histórico

Los primeros métodos para resolver ecuaciones cuadráticas eran geométricos. Las tablillas cuneiformes babilónicas contienen problemas reducibles a la resolución de ecuaciones cuadráticas. El papiro egipcio de Berlín, que data del Reino Medio (2050 a. C. a 1650 a. C.), contiene la solución a una ecuación cuadrática de dos términos.

El matemático griego Euclides (circa 300 a. C.) usó métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas en el Libro 2 de sus Elementos, un influyente tratado matemático. Las reglas para las ecuaciones cuadráticas aparecen en los Los nueve capítulos sobre el arte matemático chino alrededor del año 200 a. En su obra Arithmetica, el matemático griego Diofanto (circa 250 dC) resolvió ecuaciones cuadráticas con un método más reconociblemente algebraico que el álgebra geométrica de Euclides. Su solución da solo una raíz, incluso cuando ambas raíces son positivas.

El matemático indio Brahmagupta (597–668 d. C.) describió explícitamente la fórmula cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta publicado en 628 d. C., pero escrito con palabras en lugar de símbolos. Su solución de la ecuación cuadrática ax² + bx = c fue el siguiente: "Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, agregue el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada de la misma, menos el [coeficiente del] término medio, siendo dividido por el doble del [coeficiente del] cuadrado es el valor." Esto es equivalente a:

$${displaystyle x={frac {sqrt {4ac+b^{2}-b} {2a},}$$

Śrīdharācāryya (870–930 d. C.), un matemático indio, también ideó un algoritmo similar para resolver ecuaciones cuadráticas, aunque no hay indicios de que considerara ambas raíces. El matemático persa del siglo IX Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī resolvió ecuaciones cuadráticas algebraicamente. La fórmula cuadrática que cubre todos los casos fue obtenida por primera vez por Simon Stevin en 1594. En 1637, René Descartes publicó La Géométrie que contenía casos especiales de la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy.

Usos significativos

Importancia geométrica

Gráfico de Sí. = ax² + bx + c, donde a y la discriminación b² − 4ac son positivos, con

• Roots and Sí.-intercepto rojo
• Vertex y eje de simetría en azul
• Focus and directrix in rosa

En términos de geometría de coordenadas, una parábola es una curva cuyas coordenadas (x, y) se describen por un polinomio de segundo grado, es decir, cualquier ecuación de la forma:

$${displaystyle y=p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}$$

donde p representa el polinomio de grado 2 y a ₀, a₁, y a_{2 ≠ 0} son coeficientes constantes cuyos subíndices corresponden al grado de su respectivo término. La interpretación geométrica de la fórmula cuadrática es que define los puntos en el eje x donde la parábola cruzará el eje. Además, si la fórmula cuadrática se considerara como dos términos,

$${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {fnMicroc} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}}} {f}}}} {f}} {fnMicroc}}}}} {fn}}} {f}}} {f} {fnMicroc} {b}{2a}pm {fnMicroc} {B^{2}-4ac} {2a}}} {2a}}} {cH}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Si este término de distancia se redujera a cero, el valor del eje de simetría sería el valor x del único cero, que Es decir, solo hay una solución posible para la ecuación cuadrática. Algebraicamente, esto significa que √b ² − 4ac = 0, o simplemente b² − 4ac = 0 (donde el lado izquierdo se denomina discriminante). Este es uno de los tres casos, donde el discriminante indica cuántos ceros tendrá la parábola. Si el discriminante es positivo, la distancia sería distinta de cero y habrá dos soluciones. Sin embargo, también existe el caso en el que el discriminante es menor que cero, y esto indica que la distancia será imaginaria o algún múltiplo de la unidad compleja i , donde i = √−1 – y los ceros de la parábola serán números complejos. Las raíces complejas serán conjugadas complejas, donde la parte real de las raíces complejas será el valor del eje de simetría. No habrá valores reales de x donde la parábola se cruza con x-eje.

Análisis dimensional

Si las constantes a, b y/ o c no tienen unidades, entonces las unidades de x deben ser igual a las unidades de b/a, debido al requisito de que ax² y bx acuerdan sus unidades. Además, por la misma lógica, las unidades de c deben ser iguales a las unidades de b²/a, que se puede verificar sin resolver para x . Esta puede ser una herramienta poderosa para verificar que una expresión cuadrática de cantidades físicas se haya configurado correctamente, antes de resolver esto.