Fórmula Barcan

En la lógica modal cuantificada, la fórmula de Barcan y la fórmula de Barcan inversa (más precisamente, esquemas en lugar de fórmulas) (i) establecen sintácticamente principios de intercambio entre cuantificadores y modalidades; (ii) establecer semánticamente una relación entre dominios de mundos posibles. Las fórmulas fueron introducidas como axiomas por Ruth Barcan Marcus, en las primeras extensiones de la lógica proposicional modal para incluir la cuantificación.

Las fórmulas relacionadas incluyen la fórmula de Buridan.

La fórmula Barcan

La fórmula de Barcan es:

О О x▪ ▪ Fx→ → ▪ ▪ О О xFx{displaystyle forall xBox Fxrightarrow Box forall xFx}.

En inglés, el esquema dice: Si todo x es necesariamente F, entonces es necesario que todo x sea F. Es equivalente a

Cause Cause ∃ ∃ xFx→ → ∃ ∃ xCause Cause Fx{displaystyle Diamond exists xFxto exists xDiamond Fx}.

La fórmula de Barcan ha generado cierta controversia porque, en términos de semántica del mundo posible, implica que todos los objetos que existen en cualquier mundo posible (accesible al mundo real) existen en el mundo real, es decir, que los dominios no pueden crecer cuando uno se traslada a mundos accesibles. Esta tesis a veces se conoce como actualismo, es decir, que no hay simplemente individuos posibles. Existe cierto debate sobre la interpretación informal de la fórmula de Barcan y su inversa.

Un argumento informal contra la plausibilidad de la fórmula Barcana sería la interpretación del predicado Fx como "x es una máquina que puede aprovechar toda la energía bloqueada en las olas del Océano Atlántico de una manera práctica y eficiente". En su forma equivalente arriba, el antecedente Cause Cause ∃ ∃ xFx{displaystyle Diamond exists xFx} parece plausible ya que es al menos teóricamente posible que tal máquina pudiera existir. Sin embargo, no es obvio que esto implica que existe una máquina que podría aprovechar la energía del Atlántico.

Fórmula de Converse Barcan

La fórmula inversa de Barcan es:

▪ ▪ О О xFx→ → О О x▪ ▪ Fx{displaystyle Box forall xFxrightarrow forall xBox Fx}.

Es equivalente a

∃ ∃ xCause Cause Fx→ → Cause Cause ∃ ∃ xFx{displaystyle exists xDiamond Fxto Diamond exists xFx}.

Si un marco se basa en una relación de accesibilidad simétrica, entonces la fórmula de Barcan será válida en el marco si, y solo si, la fórmula inversa de Barcan es válida en el marco. Establece que los dominios no pueden reducirse a medida que uno avanza hacia mundos accesibles, es decir, que los individuos no pueden dejar de existir. La fórmula inversa de Barcan se considera más plausible que la fórmula de Barcan.