Formas diferenciales cerradas y exactas.

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Concepto de cálculo vectorial

En matemáticas, especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial, una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero (dα = 0), y una forma exacta es una forma diferencial, α, que es la derivada exterior de otra forma diferencial β. Por lo tanto, una forma exact está en la imagen de d, y una forma cerrada está en la núcleo de d.

Para una forma exacta α, α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que el de α. La forma β se llama "forma potencial" o "primitivo" para α. Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, pero puede modificarse mediante la adición de cualquier forma cerrada de grado uno menor que la de α.

Porque d² = 0, toda forma exacta es necesariamente cerrada. La cuestión de si cada forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contraíble, toda forma cerrada es exacta según el lema de Poincaré. Preguntas más generales de este tipo sobre una variedad diferenciable arbitraria son el tema de la cohomología de De Rham, que permite obtener información puramente topológica utilizando métodos diferenciales.

Ejemplos

Campo vectorial correspondiente a (la doble Hodge de) d).

Un simple ejemplo de una forma que está cerrada pero no exacta es el 1-form ${displaystyle dtheta }$ dado por el derivado del argumento en el plano puntuado ${displaystyle mathbf {R} ^{2}setminus {0}}$ . Desde $theta$ no es en realidad una función (véase el párrafo siguiente) ${displaystyle dtheta }$ no es una forma exacta. Aún así, ${displaystyle dtheta }$ ha desaparecido derivado y por lo tanto está cerrado.

Note que el argumento $theta$ sólo se define hasta un número entero de $2pi$ desde un solo punto $p$ se pueden asignar diferentes argumentos $r$ , ${displaystyle r+2pi }$ , etc. Podemos asignar argumentos de una manera localmente coherente alrededor $p$ , pero no de manera globalmente coherente. Esto es porque si rastreamos un bucle de $p$ alrededor del origen y volver a $p$ , el argumento aumenta por $2pi$ . Generalmente, el argumento $theta$ cambios

{displaystyle oint _{S^{1}}dtheta }

sobre un bucle orientado a las agujas $S^{1}$ .

Aunque el argumento $theta$ no es técnicamente una función, la local definiciones de $theta$ en un momento $p$ difieren entre sí por constantes. Desde el derivado en $p$ sólo utiliza datos locales, y puesto que las funciones que difieren de una constante tienen el mismo derivado, el argumento tiene un derivado globalmente bien definido " ${displaystyle dtheta }$ ".

La subida es que ${displaystyle dtheta }$ es una forma única ${displaystyle mathbf {R} ^{2}setminus {0}}$ que no es en realidad el derivado de ninguna función bien definida $theta$ . Decimos eso ${displaystyle dtheta }$ no exacta. Explícitamente, ${displaystyle dtheta }$ se da como:

{displaystyle dtheta ={frac {-y,dx+x,dy}{x^{2}+y^{2}}},}

que por inspección tiene derivado cero. Porque... ${displaystyle dtheta }$ ha desaparecido derivado, decimos que es cerrado.

Esta forma genera el grupo de cohomología de Rham $H^1_{dR}(mathbf{R}^2setminus{0}) cong mathbf{R},$ significa que cualquier forma cerrada $omega$ es la suma de una forma exacta $df$ y múltiples ${displaystyle dtheta }$ : ${displaystyle omega =df+k dtheta }$ , Donde ${textstyle k={frac {1}{2pi }}oint _{S^{1}}omega }$ representa un contorno no trivial integral alrededor del origen, que es la única obstrucción a una forma cerrada en el plano puntuado (localmente el derivado de una función potencial) siendo el derivado de una función definida globalmente.

Ejemplos en dimensiones bajas

Las formas diferenciales en R² y R³ eran bien conocidas en la física matemática del siglo XIX.. En el plano, las formas 0 son solo funciones y las formas 2 son funciones multiplicadas por el elemento de área básico dx ∧ dy, por lo que son las formas 1

alpha = f(x,y) , dx + g(x,y) , dy

que son de verdadero interés. La fórmula para la derivada exterior d aquí es

{displaystyle dalpha =(g_{x}-f_{y}),dxwedge dy}

donde los subscriptos denotan derivados parciales. Por lo tanto la condición para $alpha$ para ser cerrado es

{displaystyle f_{y}=g_{x}.}

En este caso, si h(x, y) es una función, entonces

{displaystyle dh=h_{x},dx+h_{y},dy.}

Did you mean:

The implication from n#39;exact' to n#39;closed' is then a consequence of the symmetry of second derivatives, with respect to x and y.

El teorema del gradiente afirma que una forma 1 es exacta si y sólo si la integral de recta de la forma depende sólo de los puntos finales de la curva, o equivalentemente, si la integral alrededor de cualquier curva cerrada suave es cero.

Analogías de campos vectoriales

En una variedad de Riemann, o más generalmente en una variedad pseudo-riemanniana, las formas k corresponden a campos vectoriales k (por dualidad a través de la métrica), por lo que no es una noción de un campo vectorial correspondiente a una forma cerrada o exacta.

En 3 dimensiones, un campo vectorial exacto (considerado como una forma 1) se llama campo vectorial conservador, lo que significa que es la derivada (gradiente) de una forma 0 (campo escalar suave), llamado campo escalar. potencial. Un campo vectorial cerrado (considerado como una forma 1) es aquel cuya derivada (curvatura) desaparece y se llama campo vectorial irrotacional.

En cambio, pensando en un campo vectorial como una forma bidimensional, un campo vectorial cerrado es aquel cuya derivada (divergencia) desaparece y se denomina flujo incompresible (a veces campo vectorial solenoidal). El término incompresible se utiliza porque una divergencia distinta de cero corresponde a la presencia de fuentes y sumideros en analogía con un fluido.

Los conceptos de campos vectoriales conservadores e incompresibles se generalizan a n dimensiones, porque el gradiente y la divergencia se generalizan a n dimensiones; curl se define sólo en tres dimensiones, por lo que el concepto de campo vectorial irrotacional no se generaliza de esta manera.

Lema de Poincaré

El lema de Poincaré establece que si B es una bola abierta en Rⁿ, cualquier forma p cerrada ω definida en B es exacta, para cualquier entero p con 1 ≤ p ≤ n.

En términos más generales, la lema afirma que en un subconjunto abierto contractual de un múltiple (por ejemplo, $mathbb {R} ^{n}$ ), un cerrado p-forme, p Es exacto.

Formulación como cohomología

Cuando la diferencia de dos formas cerradas es una forma exacta, se dice que son cohomólogas entre sí. Es decir, si ζ y η son formas cerradas, y se puede encontrar algún β tal que

{displaystyle zeta -eta =dbeta }

entonces se dice que ζ y η son cohomólogos entre sí. A veces se dice que las formas exactas son cohomólogas de cero. El conjunto de todas las formas cohomólogas de una forma dada (y, por tanto, entre sí) se denomina clase de cohomología de De Rham; el estudio general de tales clases se conoce como cohomología. No tiene mucho sentido preguntar si una forma 0 (función suave) es exacta, ya que d aumenta el grado en 1; pero las pistas de la topología sugieren que sólo la función cero debería llamarse "exacta". Las clases de cohomología se identifican con funciones localmente constantes.

Utilizando homotopías de contracción similares a la utilizada en la prueba del lema de Poincaré, se puede demostrar que la cohomología de De Rham es invariante en homotopía.

Aplicación en electrodinámica

En electrodinámica, el caso del campo magnético $vec B(mathbf r)$ producido por una corriente eléctrica estacionaria es importante. Ahí se trata del potencial vectorial $vec A(mathbf r)$ de este campo. Este caso corresponde a k = 2, y la región que define es la totalidad $mathbb{R} ^{3}$ . El vector de densidad actual es ${vec {j}}$ . Corresponde a la actual dos formas

{displaystyle mathbf {I}:=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),{rm {d}}x_{2}wedge {rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),{rm {d}}x_{3}wedge {rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}),{rm {d}}x_{1}wedge {rm {d}}x_{2}.}

Para el campo magnético ${vec {B}}$ uno tiene resultados análogos: corresponde a la inducción de dos formas ${displaystyle Phi _{B}:=B_{1}{rm {d}}x_{2}wedge {rm {d}}x_{3}+cdots }$ , y puede derivarse del potencial vectorial ${vec {A}}$ , o el formulario correspondiente $mathbf {A}$ ,

{displaystyle {vec {B}}=operatorname {curl} {vec {A}}=left{{frac {partial A_{3}}{partial x_{2}}}-{frac {partial A_{2}}{partial x_{3}}},{frac {partial A_{1}}{partial x_{3}}}-{frac {partial A_{3}}{partial x_{1}}},{frac {partial A_{2}}{partial x_{1}}}-{frac {partial A_{1}}{partial x_{2}}}right},{text{ or }}Phi _{B}={rm {d}}mathbf {A}.}

De ahí el potencial vectorial ${vec {A}}$ corresponde al potencial de una forma

mathbf A:=A_1 , {rm d}x_1+A_2 , {rm d}x_2+A_3 , {rm d}x_3.

La cerradura de las dos formas de inducción magnética corresponde a la propiedad del campo magnético que es libre de fuentes: ${displaystyle operatorname {div} {vec {B}}equiv 0}$ , Es decir, que no hay monopolios magnéticos.

En un calibre especial, ${displaystyle operatorname {div} {vec {A}}{~{stackrel {!}{=}}~}0}$ , esto implica para i = 1, 2, 3

{displaystyle A_{i}({vec {r}})=int {frac {mu _{0}j_{i}left({vec {r}}^{,'}right),,dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'}{4pi |{vec {r}}-{vec {r}}^{,'}|}},.}

(Aquí) $mu _{0}$ es la constante magnética.)

Esta ecuación es notable, porque corresponde completamente a una fórmula conocida para la eléctrico sobre el terreno ${vec {E}}$ , a saber, para electrostática Potencial de la bomba ${displaystyle phi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ of a densidad de carga $rho (x_1,x_2,x_3)$ . En este lugar uno ya puede adivinar que

${vec {E}}$ y $vec B$
$rho$ y $vec j$
$phi$ y ${vec {A}}$

se puede unificar a cantidades de seis rsp. cuatro componentes no triviales, que es la base de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell.

Si la condición de la estacionaridad queda, en el lado izquierdo de la ecuación antes mencionada hay que añadir, en las ecuaciones para $A_{i}$ , a las tres coordenadas espaciales, como cuarta variable también el tiempo t, mientras que en el lado derecho, en ${displaystyle j_{i}'}$ , el llamado "tiempo retrasado", ${displaystyle t':=t-{frac {|{vec {r}}-{vec {r}}^{,'}|}{c}}}$ , debe ser utilizado, es decir, se añade al argumento de la densidad actual. Finalmente, como antes, uno se integra en las tres coordenadas de espacio primo. (Como siempre) c es la velocidad de vacío de la luz.)

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