Formalismo tannakiano

En matemáticas, una categoría de Tannakian es un tipo particular de categoría monoidal C, dotada de una estructura adicional relativa a un cuerpo dado K. El papel de estas categorías C es generalizar la categoría de representaciones lineales de un grupo algebraico G definido sobre K. Se han realizado varias aplicaciones importantes de la teoría, o podrían realizarse en la búsqueda de algunas de las conjeturas centrales de la geometría algebraica y la teoría de números contemporáneas.

El nombre proviene de la dualidad de Tadao Tannaka y Tannaka–Krein, una teoría sobre los grupos compactos G y su teoría de representación. La teoría fue desarrollada primero en la escuela de Alexander Grothendieck. Más tarde fue reconsiderada por Pierre Deligne y se le hicieron algunas simplificaciones. El patrón de la teoría es el de la teoría de Galois de Grothendieck, que es una teoría sobre las representaciones de permutación finita de los grupos G que son grupos profinitos.

La esencia de la teoría es que el funtor de fibra Φ de la teoría de Galois es reemplazado por un funtor tensorial exacto y fiel F desde C a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre K. El grupo de transformaciones naturales de Φ a sí mismo, que resulta ser un grupo profinito en la teoría de Galois, es reemplazado por el grupo G de transformaciones naturales de F en sí mismo, que respetan la estructura tensorial. En general, no se trata de un grupo algebraico sino de un esquema de grupo más general que es un límite inverso de grupos algebraicos (grupo proalgebraico), y entonces se descubre que C es equivalente a la categoría de representaciones lineales de dimensión finita de G.

Más generalmente, puede ser que los hongos de fibra F como arriba sólo existe a las categorías de espacios vectoriales finitos sobre campos de extensión no-trivial L/K. En tales casos el esquema de grupo G es reemplazado por un gerbe ${\displaystyle {\Mathcal {}}}$ en el sitio fpqc de Spec(K), y C es entonces equivalente a la categoría de representaciones (finito-dimensionales) de ${\displaystyle {\Mathcal {}}}$.

Vamos. K ser un campo y C a K- Tensor rígido abeliano lineal (es decir, una categoría monoidal simétrica) tal que ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbf {1})\cong K}$. Entonces... C es un Categoría Tanqueca (sobre K) si hay un campo de extensión L de K tal que exista K- functor de tensor exacto y fiel (es decir, un fuerte functor monoidal) F desde C a la categoría de espacios L-vector dimensionales finitos. A Tannakian category over K es neutral si tal fiel tensor functor F existe L=K.

La construcción tannakiana se utiliza en las relaciones entre la estructura de Hodge y la representación l-ádica. Moralmente, la filosofía de los motivos nos dice que la estructura de Hodge y la representación de Galois asociada a una variedad algebraica están relacionadas entre sí. Los grupos algebraicos estrechamente relacionados, el grupo de Mumford-Tate y el grupo de Galois motívico, surgen de categorías de estructuras de Hodge, categorías de representaciones de Galois y motivos a través de categorías tannakianas. La conjetura de Mumford-Tate propone que los grupos algebraicos que surgen de la estructura de Hodge y la representación de Galois por medio de categorías tannakianas son isomorfos entre sí hasta los componentes conexos.

Estas áreas de aplicación están estrechamente relacionadas con la teoría de los motivos. Otro lugar en el que se han utilizado las categorías de Tannaki es en relación con la conjetura de p-curvatura de Grothendieck-Katz; en otras palabras, en la delimitación de grupos monodromía.

La equivalencia geométrica de Satake establece una equivalencia entre las representaciones del grupo dual Langlands ${\displaystyle {} {}} {}displaystyle {}} {} {}}} {}}}}}} {}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}$ de un grupo reductivo G y ciertas cubetas perversas equivariantes en el afine Grassmannian asociado a G. Esta equivalencia proporciona una construcción no-combinatorial del grupo dual Langlands. Se demuestra al demostrar que la categoría mencionada de cuchillas perversas es una categoría Tannakian e identificar su grupo dual Tannaka con ${\displaystyle {} {}} {}displaystyle {}} {} {}}} {}}}}}} {}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}$.

Wedhorn (2004) ha establecido que la dualidad de Tannaka parcial da como resultado la situación en la que la categoría es R-lineal, donde R ya no es un campo (como en la dualidad clásica de Tannaka), sino ciertos anillos de valoración. Iwanari (2018) ha iniciado y desarrollado la dualidad de Tannaka en el contexto de las categorías infinitas.

• Deligne, Pierre (2007) [1990], "Catégories tannakiennes", El Grothendieck Festschrift, vol. II, Birkhauser, págs. 111 a 195, ISBN 9780817645755
• Deligne, Pierre; Milne, James (1982), "Categorías tannakianas", en Deligne, Pierre; Milne, James; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen (eds.), Ciclos de Hodge, Motivos y Variedades Shimura, Notas de conferencias en matemáticas, vol. 900, Springer, pp. 101–228, ISBN 978-3-540-38955-2

• Iwanari, Isamu (2018), "Tannaka duality and stable infinity-categories", Journal of Topology, 11 (2): 469-526, arXiv:1409.3321, doi:10.1112/topo.12057
• Saavedra Rivano, Neantro (1972), Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathematics, vol. 265, Springer, ISBN 978-3-540-37477-0, MR 0338002

• Wedhorn, Torsten (2004), "Sobre la dualidad Tannakian sobre los anillos de valoración", Journal of Algebra, 282 (2): 575-609, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.024, MR 2101076

• M. Larsen y R. Pink. Determinación de representaciones de dimensiones invariantes. Invent. math., 102:377–389, 1990.