Forma lineal

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Mapa lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares

En matemáticas, una forma lineal (también conocida como funcional lineal, una forma o covector) es un mapa lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares (a menudo, los números reales o los números complejos).

Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $k$ , el conjunto de todas las funcionalidades lineales de $V$ a $k$ es en sí mismo un espacio vectorial sobre $k$ con la multiplicación de adición y escalar definido punto a punto. Este espacio se llama el espacio dual $V$ , o a veces el espacio dual algebraico, cuando también se considera un espacio dual topológico. A menudo se denota $Hom(V, k)$ , o, cuando el campo $k$ se entiende, $V^{*}$ ; otras notaciones también se utilizan, como $V'$ , ${displaystyle V^{#}}$ o ${displaystyle V^{vee }.}$ Cuando los vectores están representados por vectores de columna (como es común cuando se fija una base), entonces las funciones lineales se representan como vectores de fila, y sus valores en vectores específicos son dados por productos de matriz (con el vector de fila a la izquierda).

Ejemplos

La función cero constante, que mapea cada vector a cero, es trivialmente una función lineal. Todos los demás funcionales lineales (como los que se muestran a continuación) son sobreyectivos (es decir, su rango es todo $k$ ).

Indización en un vector: El segundo elemento de un tres-vector es dado por la forma ${displaystyle [0,1,0].}$ Es decir, el segundo elemento ${displaystyle [x,y,z]}$ es ${displaystyle [0,1,0]cdot [x,y,z]=y.}$
Significado: El elemento medio de un $n$ - el vencedor es dado por la única forma ${displaystyle left[1/n,1/n,ldots1/nright].}$ Eso es, ${displaystyle operatorname {mean} (v)=left[1/n,1/n,ldots1/nright]cdot v.}$
Muestra: El muestreo con un núcleo se puede considerar una forma única, donde la forma única es el núcleo desplazado a la ubicación adecuada.
Valor neto presente de una corriente de efectivo neta, ${displaystyle R(t),}$ es dado por la única forma ${displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}$ Donde $i$ es la tasa de descuento. Eso es, ${displaystyle mathrm {NPV} (R(t))=langle w,Rrangle =int _{t=0}^{infty }{frac {R(t)}{(1+i)^{t}}},dt.}$

Funcionales lineales en Rn

Supongamos que los vectores en el espacio de coordenadas real $mathbb {R} ^{n}$ están representados como vectores de columna

{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1}\vdots \x_{n}end{bmatrix}}.}

Para cada vector de fila ${displaystyle mathbf {a} ={begin{bmatrix}a_{1}&cdots &a_{n}end{bmatrix}}}$ hay un funcional lineal ${displaystyle f_{mathbf {a} }}$ definidas por

{displaystyle f_{mathbf {a} }(mathbf {x})=a_{1}x_{1}+cdots +a_{n}x_{n},}

Esto se puede interpretar como el producto matriz o el producto de punto del vector de fila $mathbf {a}$ y el vector de la columna $mathbf {x}$ :

{displaystyle f_{mathbf {a} }(mathbf {x})=mathbf {a} cdot mathbf {x} ={begin{bmatrix}a_{1}&cdots &a_{n}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x_{1}\vdots \x_{n}end{bmatrix}}.}

Traza de una matriz cuadrada

El rastro ${displaystyle operatorname {tr} (A)}$ de una matriz cuadrada $A$ es la suma de todos los elementos en su diagonal principal. Las matrices pueden ser multiplicadas por los escalares y dos matrices de la misma dimensión se pueden añadir juntas; estas operaciones hacen un espacio vectorial desde el conjunto de todos $ntimes n$ matrices. El trazo es un funcional lineal en este espacio porque ${displaystyle operatorname {tr} (sA)=soperatorname {tr} (A)}$ y ${displaystyle operatorname {tr} (A+B)=operatorname {tr} (A)+operatorname {tr} (B)}$ para todos los escalares $s$ y todos $ntimes n$ matrices ${displaystyle A{text{ and }}B.}$

Integración (definitiva)

Los funcionales lineales aparecieron por primera vez en el análisis funcional, el estudio de espacios vectoriales de funciones. Un ejemplo típico de funcional lineal es la integración: la transformación lineal definida por la integral de Riemann

{displaystyle I(f)=int _{a}^{b}f(x),dx}

C[a,b]

[a,b]

I

{displaystyle {begin{aligned}I(f+g)&=int _{a}^{b}[f(x)+g(x)],dx=int _{a}^{b}f(x),dx+int _{a}^{b}g(x),dx=I(f)+I(g)\I(alpha f)&=int _{a}^{b}alpha f(x),dx=alpha int _{a}^{b}f(x),dx=alpha I(f).end{aligned}}}

Evaluación

Vamos $P_{n}$ denotar el espacio vectorial de las funciones polinómicas de valor real $leq n$ definido en un intervalo $[a, b].$ Si ${displaystyle cin [a,b],}$ Entonces déjalo ${displaystyle operatorname {ev} _{c}:P_{n}to mathbb {R} }$ ser el evaluación funcional

{displaystyle operatorname {ev} _{c}f=f(c).}

{displaystyle fmapsto f(c)}

{displaystyle {begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\(alpha f)(c)&=alpha f(c).end{aligned}}}

Si $x_0, ldots, x_n$ son $n+1$ puntos distintos en $[a, b],$ entonces las funciones de evaluación ${displaystyle operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${displaystyle i=0,ldotsn}$ forma una base del doble espacio $P_{n}$ (Lax (1996) demuestra este último hecho usando la interpolación de Lagrange).

No ejemplo

Una función $f$ tener la ecuación de una línea ${displaystyle f(x)=a+rx}$ con $aneq 0$ (por ejemplo, ${displaystyle f(x)=1+2x}$ ) es no un funcional lineal en $mathbb {R}$ , ya que no es lineal. Es, sin embargo, affine-linear.

Visualización

Interpretación geométrica de una forma 1 α como una pila de hiperplanos de valor constante, cada uno correspondiente a los vectores que α mapas a un valor escalar dado mostrado junto con el "sentido" de aumento. El El avión cero es a través del origen.

En dimensiones finitas, un funcional lineal se puede visualizar en términos de sus conjuntos de niveles, los conjuntos de vectores que se asignan a un valor dado. En tres dimensiones, los conjuntos de niveles de un funcional lineal son una familia de planos paralelos entre sí; en dimensiones superiores, son hiperplanos paralelos. Este método de visualización de funcionales lineales se introduce a veces en textos de relatividad general, como Gravitation de Misner, Thorne & Rueda (1973).

Aplicaciones

Aplicación a la cuadratura

Si $x_0, ldots, x_n$ son $n+1$ puntos distintos en $[a, b]$ , entonces las funcionalidades lineales ${displaystyle operatorname {ev} _{x_{i}}:fmapsto fleft(x_{i}right)}$ definida anteriormente constituyen una base del doble espacio $P n$ , el espacio de polinomios de grado ${displaystyle leq n.}$ Función de integración $I$ es también un funcional lineal en $P n$ , y así se puede expresar como una combinación lineal de estos elementos de base. En los símbolos, hay coeficientes $a_{0},ldotsa_{n}$ para la cual

{displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+dots +a_{n}f(x_{n})}

{displaystyle fin P_{n}.}

En mecánica cuántica

Los funcionales lineales son particularmente importantes en la mecánica cuántica. Los sistemas mecánicos cuánticos están representados por espacios de Hilbert, que son antiisomorfos a sus propios espacios duales. Un estado de un sistema mecánico cuántico se puede identificar con un funcional lineal. Para obtener más información, consulte la notación bra–ket.

Distribuciones

En la teoría de funciones generalizadas, ciertos tipos de funciones generalizadas llamadas distribuciones se pueden realizar como funcionales lineales en espacios de funciones de prueba.

Vectores duales y formas bilineales

Funcionalidades lineales (1-formas) α, β y su suma σ vectores u, v, w, en 3d espacio Euclideano. El número de hiperplanos (1-forma) intersectados por un vector equivale al producto interno.

Toda forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ induce un isomorfismo $V \to V * : v \mapsto v *$ tal que

{displaystyle v^{*}(w):=langle v,wrangle quad forall win V,}

donde la forma bilineal en $V$ es denotado ${displaystyle langle ,cdot ,,,cdot ,rangle }$ (por ejemplo, en el espacio euclidiano, ${displaystyle langle v,wrangle =vcdot w}$ es el producto de punto $v$ y $w$ ).

El isomorfismo inverso es V^∗ → V: v^∗ ↦ v, donde $v$ es el elemento único de $V$ tal que

{displaystyle langle v,wrangle =v^{*}(w)}

{displaystyle win V.}

El vector definido anteriormente v^Alternativa ▪ V^Alternativa se dice que es el vector dual de ${displaystyle vin V.}$

En un espacio de Hilbert de dimensión infinita, el teorema de representación de Riesz da resultados análogos. Hay un mapeo V ↦ V^∗ de $V$ a su espacio dual continuo V ^∗.

Relación con las bases

Base del espacio dual

Dejar el espacio vectorial $V$ tener una base ${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},dotsmathbf {e} _{n}}$ No necesariamente ortogonal. Entonces el espacio dual $V^{*}$ tiene una base $tilde{omega}^1,tilde{omega}^2,dots,tilde{omega}^n$ llamada base dual definida por la propiedad especial

{displaystyle {tilde {omega }}^{i}(mathbf {e} _{j})={begin{cases}1&{text{if}} i=j\0&{text{if}} ineq j.end{cases}}}

O, más sucintamente,

{displaystyle {tilde {omega }}^{i}(mathbf {e} _{j})=delta _{ij}}

donde δ es el delta de Kronecker. Aquí los superíndices de los funcionales básicos no son exponentes, sino índices contravariantes.

Un funcional lineal ${tilde {u}}$ pertenecientes al espacio dual $tilde{V}$ se puede expresar como una combinación lineal de funcionalidades de base, con coeficientes ("componentes") $u i$ ,

{displaystyle {tilde {u}}=sum _{i=1}^{n}u_{i},{tilde {omega }}^{i}.}

Luego, aplicando el funcional ${tilde {u}}$ a un vector de base ${displaystyle mathbf {e} _{j}}$ rendimientos

{displaystyle {tilde {u}}(mathbf {e} _{j})=sum _{i=1}^{n}left(u_{i},{tilde {omega }}^{i}right)mathbf {e} _{j}=sum _{i}u_{i}left[{tilde {omega }}^{i}left(mathbf {e} _{j}right)right]}

debido a la linealidad de los múltiplos escalares de funcionales y la linealidad puntual de las sumas de funcionales. Entonces

{displaystyle {begin{aligned}{tilde {u}}({mathbf {e} }_{j})&=sum _{i}u_{i}left[{tilde {omega }}^{i}left({mathbf {e} }_{j}right)right]\&=sum _{i}u_{i}{delta }_{ij}\&=u_{j}.end{aligned}}}

Entonces, cada componente de un funcional lineal se puede extraer aplicando el funcional al vector base correspondiente.

La base dual y el producto interior

Cuando el espacio $V$ Lleva un producto interno, entonces es posible escribir explícitamente una fórmula para la base dual de una base dada. Vamos $V$ tienen (no necesariamente ortogonal) base ${displaystyle mathbf {e} _{1},dotsmathbf {e} _{n}.}$ En tres dimensiones (en tres dimensiones) $n = 3$ ), la base dual puede ser escrita explícitamente

{displaystyle {tilde {omega }}^{i}(mathbf {v})={frac {1}{2}}leftlangle {frac {sum _{j=1}^{3}sum _{k=1}^{3}varepsilon ^{ijk},(mathbf {e} _{j}times mathbf {e} _{k})}{mathbf {e} _{1}cdot mathbf {e} _{2}times mathbf {e} _{3}}},mathbf {v} rightrangle}

{displaystyle i=1,2,3,}

langle cdotcdot rangle

V

En dimensiones superiores, esto se generaliza de la siguiente manera

<math alttext="{displaystyle {tilde {omega }}^{i}(mathbf {v})=leftlangle {frac {sum _{1leq i_{2}<i_{3}<dots ⋅ ⋅ ~ ~ i()v)=... 1≤ ≤ i2.i3.⋯ ⋯ .in≤ ≤ nε ε ii2...... in()⋆ ⋆ ei2∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ ein)⋆ ⋆ ()e1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ en),v.,{displaystyle {fnMiega} }{i}(mathbf {v})=leftlangle {frac {sum _{1leq i_{2} detecti_{3} 0dots ^{ii_{2}dots i_{n}(star mathbf {e} ##{i_{2}wedge cdots wedge mathbf {e} {fn} {fn} {fn} {\fn}hn}hn}hn}nhn}nhbf {h}n}nnh}mnhbf {v} rightrangle}<img alt="{displaystyle {tilde {omega }}^{i}(mathbf {v})=leftlangle {frac {sum _{1leq i_{2}<i_{3}<dots

$star$
Sobre un anillo
Los módulos sobre un anillo son generalizaciones de espacios vectoriales, lo que elimina la restricción de que los coeficientes pertenecen a un campo. Dado un módulo $M$ sobre un anillo $R$ , una forma lineal en $M$ es un mapa lineal de $M$ a $R$ , donde este último se considera como un módulo sobre sí mismo. El espacio de formas lineales siempre se denota $Hom k (V, k)$ , si $k$ es un campo o no. Es un módulo derecho, si $V$ es un módulo izquierdo.
La existencia de "suficiente" formas lineales en un módulo es equivalente a la proyectividad.
Dual Basis Lemma—An $R$ - Mobiliario $M$ es proyector si existe un subconjunto ${displaystyle Asubset M}$ y formas lineales ${displaystyle {f_{a}mid ain A}}$ así, por cada ${displaystyle xin M,}$ sólo finitamente muchos $f_{a}(x)$ son no cero, y
${displaystyle x=sum _{ain A}{f_{a}(x)a}}$
Cambio de campo

Supongamos que $X$ es un espacio vectorial sobre ${displaystyle mathbb {C}.}$ Restricting scalar multiplication to $mathbb {R}$ da lugar a un espacio vectorial real ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ llamado realificación de $X.$ Cualquier espacio vectorial $X$ sobre $mathbb{C}$ es también un espacio vectorial sobre ${displaystyle mathbb {R}}$ dotado de una estructura compleja; es decir, existe un subespacial vectorial real ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ tal que podemos (formalmente) escribir ${displaystyle X=X_{mathbb {R} }oplus X_{mathbb {R} }i}$ como $mathbb {R}$ - Espacios vencedores.
Funcionales lineales reales versus complejos
Cada funcional lineal en $X$ es complejo-valorado mientras cada funcional lineal en ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ es de valor real. Si ${displaystyle dim Xneq 0}$ entonces un funcional lineal en cualquiera de $X$ o ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ es no-trivial (que significa no idéntico ${displaystyle 0}$ ) si y sólo si es subjetivo (porque si ${displaystyle varphi (x)neq 0}$ entonces para cualquier escalar $s,$ ${displaystyle varphi left((s/varphi (x))xright)=s}$ ), donde la imagen de un funcional lineal en $X$ es $mathbb {C}$ mientras la imagen de un funcional lineal en ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ es ${displaystyle mathbb {R}.}$ En consecuencia, la única función en $X$ que es un funcional lineal en $X$ y una función lineal en ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ es el trivial funcional; en otras palabras, ${displaystyle X^{#}cap X_{mathbb {R} }^{#}={0},}$ Donde ${displaystyle ,{cdot }^{#}}$ denota el espacio algebraico doble espacio. Sin embargo, todos $mathbb{C}$ - funcional lineal en $X$ es un $mathbb {R}$ -linear operador (que significa que es aditivo y homogénea sobre $mathbb {R}$ ), pero a menos que sea idéntico ${displaystyle 0,}$ no es un $mathbb {R}$ -linear funcional on $X$ porque su alcance (que es $mathbb{C}$ ) es 2-dimensional sobre ${displaystyle mathbb {R}.}$ Por el contrario, un no cero $mathbb {R}$ - funcional lineal tiene rango demasiado pequeño para ser un $mathbb{C}$ - funcional lineal también.
Partes reales e imaginarias
Si ${displaystyle varphi in X^{#}}$ entonces denota su parte real por ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }:=operatorname {Re} varphi }$ y su parte imaginaria por ${displaystyle varphi _{i}:=operatorname {Im} varphi.}$ Entonces... ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }:Xto mathbb {R} }$ y ${displaystyle varphi _{i}:Xto mathbb {R} }$ son funcionales lineales en ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ y ${displaystyle varphi =varphi _{mathbb {R} }+ivarphi _{i}.}$ El hecho de que ${displaystyle z=operatorname {Re} z-ioperatorname {Re} (iz)=operatorname {Im} (iz)+ioperatorname {Im} z}$ para todos ${displaystyle zin mathbb {C} }$ implica que para todos ${displaystyle xin X,}$
${displaystyle {begin{alignedat}{4}varphi (x)&=varphi _{mathbb {R} }(x)-ivarphi _{mathbb {R} }(ix)\&=varphi _{i}(ix)+ivarphi _{i}(x)\end{alignedat}}}$ ${displaystyle varphi _{i}(x)=-varphi _{mathbb {R} }(ix)}$ ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }(x)=varphi _{i}(ix).}$
La asignación ${displaystyle varphi mapsto varphi _{mathbb {R} }}$ define un bijeti $mathbb {R}$ - Operador lineal ${displaystyle X^{#}to X_{mathbb {R} }^{#}}$ cuyo inverso es el mapa ${displaystyle L_{bullet }:X_{mathbb {R} }^{#}to X^{#}}$ definida por la asignación ${displaystyle gmapsto L_{g}}$ que envía ${displaystyle g:X_{mathbb {R} }to mathbb {R} }$ al funcional lineal ${displaystyle L_{g}:Xto mathbb {C} }$ definidas por
${displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)quad {text{ for all }}xin X.}$ $L_{g}$ $g$ ${displaystyle L_{bullet }:X_{mathbb {R} }^{#}to X^{#}}$ $mathbb {R}$ ${displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$ ${displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$ ${displaystyle rin mathbb {R} }$ ${displaystyle g,hin X_{mathbb {R} }^{#}.}$ ${displaystyle varphi mapsto varphi _{i}}$ $mathbb {R}$ ${displaystyle X^{#}to X_{mathbb {R} }^{#}}$ ${displaystyle X_{mathbb {R} }^{#}to X^{#}}$ ${displaystyle Iin X_{mathbb {R} }^{#}}$ $X$ ${displaystyle xmapsto I(ix)+iI(x).}$
Esta relación fue descubierta por Henry Löwig en 1934 (aunque generalmente se atribuye a F. Murray), y puede generalizarse a extensiones finitas arbitrarias de un campo de forma natural. Tiene muchas consecuencias importantes, algunas de las cuales se describirán ahora.
Propiedades y relaciones
Suppose ${displaystyle varphi:Xto mathbb {C} }$ es un funcional lineal en $X$ con parte real ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }:=operatorname {Re} varphi }$ y parte imaginaria ${displaystyle varphi _{i}:=operatorname {Im} varphi.}$
Entonces... $varphi = 0$ si ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }=0}$ si ${displaystyle varphi _{i}=0.}$
Supongamos que $X$ es un espacio vectorial topológico. Entonces... $varphi$ es continuo si y sólo si su parte real ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }}$ es continuo, si y sólo si $varphi$ Es parte imaginaria $varphi _{i}$ es continuo. Es decir, o los tres de ${displaystyle varphivarphi _{mathbb {R} },}$ y $varphi _{i}$ son continuos o no son continuos. Esto sigue siendo cierto si la palabra "continua" es reemplazada por la palabra "abundada". En particular, ${displaystyle varphi in X^{prime }}$ si ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }in X_{mathbb {R} }^{prime }}$ donde la primera denota el espacio dual continuo del espacio.
Vamos ${displaystyle Bsubseteq X.}$ Si ${displaystyle uBsubseteq B}$ para todos los escalares ${displaystyle uin mathbb {C} }$ longitud de la unidad (mediación ${displaystyle |u|=1}$ entonces
${displaystyle sup _{bin B}|varphi (b)|=sup _{bin B}left|varphi _{mathbb {R} }(b)right|.}$ ${displaystyle varphi _{i}:=operatorname {Im} varphi:Xto mathbb {R} }$ $varphi$ ${displaystyle iBsubseteq B}$ ${displaystyle sup _{bin B}left|varphi _{mathbb {R} }(b)right|=sup _{bin B}left|varphi _{i}(b)right|.}$ $X$ $|cdot |$ ${displaystyle B={xin X:|x|leq 1}}$ ${displaystyle varphivarphi _{mathbb {R} },}$ $varphi _{i}$ ${displaystyle |varphi |=left|varphi _{mathbb {R} }right|=left|varphi _{i}right|.}$
Si $X$ es un espacio complejo Hilbert con un producto interior (complejo) ${displaystyle langle ,cdot ,|,cdot ,rangle }$ que es antilinear en su primera coordinación (y lineal en el segundo) entonces ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ se convierte en un espacio verdadero Hilbert cuando dotado con la parte real de ${displaystyle langle ,cdot ,|,cdot ,rangle.}$ Explícitamente, este producto interno real en ${displaystyle X_{mathbb {R} }}$ se define por ${displaystyle langle x|yrangle _{mathbb {R} }:=operatorname {Re} langle x|yrangle }$ para todos $x, y in X$ e induce la misma norma $X$ como ${displaystyle langle ,cdot ,|,cdot ,rangle }$ porque ${displaystyle {sqrt {langle x|xrangle _{mathbb {R} }}}={sqrt {langle x|xrangle }}}$ para todos los vectores $x.$ Aplicar el teorema de representación de Riesz ${displaystyle varphi in X^{prime }}$ (Resp. to ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }in X_{mathbb {R} }^{prime }}$ ) garantiza la existencia de un vector único ${displaystyle f_{varphi }in X}$ (Resp. ${displaystyle f_{varphi _{mathbb {R} }}in X_{mathbb {R} }}$ . ${displaystyle varphi (x)=leftlangle f_{varphi }|,xrightrangle }$ (Resp. ${displaystyle varphi _{mathbb {R} }(x)=leftlangle f_{varphi _{mathbb {R} }}|,xrightrangle _{mathbb {R} }}$ ) para todos los vectores $x.$ El teorema también garantiza que ${displaystyle left|f_{varphi }right|=|varphi |_{X^{prime }}}$ y ${displaystyle left|f_{varphi _{mathbb {R} }}right|=left|varphi _{mathbb {R} }right|_{X_{mathbb {R} }^{prime }}.}$ Se verifica fácilmente que ${displaystyle f_{varphi }=f_{varphi _{mathbb {R} }}.}$ Ahora ${displaystyle left|f_{varphi }right|=left|f_{varphi _{mathbb {R} }}right|}$ y las equivalencias anteriores implican que ${displaystyle |varphi |_{X^{prime }}=left|varphi _{mathbb {R} }right|_{X_{mathbb {R} }^{prime }},}$ que es la misma conclusión que se llegó arriba.
En infinitas dimensiones
A continuación, todos los espacios vectoriales están sobre los números reales $mathbb {R}$ o los números complejos ${displaystyle mathbb {C}.}$
Si $V$ es un espacio vectorial topológico, el espacio de funciones lineales continuas — el dual continuo — a menudo se llama simplemente el espacio dual. Si $V$ es un espacio de Banach, entonces también es su (continua) dual. Para distinguir el espacio dual ordinario del espacio dual continuo, el primero se llama a veces el espacio dual algebraico. En dimensiones finitas, cada funcional lineal es continuo, por lo que el dual continuo es el mismo que el dual algebraico, pero en dimensiones infinitas el dual continuo es un subespacio adecuado del dual algebraico.
Un funcional lineal $f$ en un (no necesariamente localmente convex) espacio vectorial topológico $X$ es continuo si y sólo si existe un seminorm continuo $p$ on $X$ tales que ${displaystyle |f|leq p.}$
Caracterización de subespacios cerrados
Los funcionales lineales continuos tienen buenas propiedades para el análisis: un funcional lineal es continuo si y solo si su kernel está cerrado, y un funcional lineal continuo no trivial es un mapa abierto, incluso si el espacio vectorial (topológico) no está completo.
Hiperplanos y subespacios máximos
Un subespacio vectorial $M$ de $X$ se llama maximal si ${displaystyle Msubsetneq X}$ (que significa) $Msubseteq X$ y ${displaystyle Mneq X}$ ) y no existe un subespacial vectorial $N$ de $X$ tales que ${displaystyle Msubsetneq Nsubsetneq X.}$ Un subespacio vectorial $M$ de $X$ es maximal si y sólo si es el núcleo de algún funcional lineal no-trivial en $X$ (es decir, ${displaystyle M=ker f}$ para algunos funcional lineal $f$ on $X$ que no es idéntica $0$ ). An affine hyperplane dentro $X$ es un traducir de un subespacio vectorial maximal. Por linearidad, un subconjunto $H$ de $X$ es un hiperplano afine si y sólo si existe algún funcional lineal no-trivial $f$ on $X$ tales que ${displaystyle H=f^{-1}(1)={xin X:f(x)=1}.}$ Si $f$ es un funcional lineal y $sneq 0$ es un cuero cabelludo entonces ${displaystyle f^{-1}(s)=sleft(f^{-1}(1)right)=left({frac {1}{s}}fright)^{-1}(1).}$ Esta igualdad se puede utilizar para relacionar diferentes niveles $f.$ Además, si ${displaystyle fneq 0}$ entonces el núcleo de $f$ puede ser reconstruido desde el hiperplano affine ${displaystyle H:=f^{-1}(1)}$ por ${displaystyle ker f=H-H.}$
Relaciones entre múltiples funcionales lineales
Dos funcionales lineales cualesquiera con el mismo núcleo son proporcionales (es decir, múltiplos escalares entre sí). Este hecho se puede generalizar al siguiente teorema.
Theorem—Si ${displaystyle f,g_{1},ldotsg_{n}}$ son funcionales lineales en $X$ , entonces los siguientes son equivalentes:
$f$ se puede escribir como una combinación lineal de ${displaystyle g_{1},ldotsg_{n}}$ ; es decir, existen escalares ${displaystyle s_{1},ldotss_{n}}$ tales que ${displaystyle sf=s_{1}g_{1}+cdots +s_{n}g_{n}}$ ;
${displaystyle bigcap _{i=1}^{n}ker g_{i}subseteq ker f}$ ;
existe un número real $r$ tales que ${displaystyle |f(x)|leq rg_{i}(x)}$ para todos $xin X$ y todos ${displaystyle i=1,ldotsn.}$
Si $f$ es un funcional lineal no-trivial en $X$ con kernel $N$ , $xin X$ satisfizo ${displaystyle f(x)=1,}$ y $U$ es un subconjunto equilibrado $X$ , entonces ${displaystyle Ncap (x+U)=varnothing }$ si $<math alttext="{displaystyle |f(u)|Silenciof()u)Silencio.1{displaystyle Silenciof(u) invisible1} <img alt="{displaystyle |f(u)|$ para todos ${displaystyle uin U.}$
Teorema de Hahn-Banach
Cualquier (algebraica) funcional lineal en un subespacio vectorial se puede ampliar a todo el espacio; por ejemplo, las funcionalidades de evaluación descritas anteriormente se pueden ampliar al espacio vectorial de polinomios en todos los ${displaystyle mathbb {R}.}$ Sin embargo, esta extensión no siempre se puede hacer mientras mantiene el funcionamiento lineal continuo. La familia Hahn-Banach de teoremas da condiciones bajo las cuales se puede hacer esta extensión. Por ejemplo,
Hahn-Banach domina el teorema de extensión (Rudin 1991, Th. 3.2)—Si ${displaystyle p:Xto mathbb {R} }$ es una función sublinear, y ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ es un funcional lineal en un subespacio lineal $Msubseteq X$ que está dominada $p$ on $M$ , entonces existe una extensión lineal ${displaystyle F:Xto mathbb {R} }$ de $f$ a todo el espacio $X$ que está dominado $p$ , es decir, existe un funcional lineal $F$ tales que
${displaystyle F(m)=f(m)}$ para todos ${displaystyle min M,}$ y ${displaystyle |F(x)|leq p(x)}$ para todos ${displaystyle xin X.}$
Equicontinuidad de familias de funcionales lineales
Vamos $X$ ser un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo ${displaystyle X'.}$
Para cualquier subconjunto $H$ de ${displaystyle X',}$ los siguientes son equivalentes:
$H$ es equicontínua;
$H$ está contenida en el polar de algún barrio ${displaystyle 0}$ dentro $X$ ;
la (pre)polar of $H$ es un barrio ${displaystyle 0}$ dentro $X$ ;
Si $H$ es un subcontinua subconjunto $X'$ entonces los siguientes conjuntos son también equicontinuous: el cierre débil, el casco equilibrado, el casco convexo, y el casco equilibrado convexo. Además, el teorema de Alaoglu implica que el cierre débil-* de un subconjunto equicontinua de $X'$ es débil-* compacto (y por lo tanto cada subcontinua subconjunto débil-* relativamente compacto).

Contenido relacionado

Multiplicador fiscal
En economía, el multiplicador fiscal es la proporción de cambio en el ingreso nacional que surge de un cambio en el gasto público. En términos más...
N3
N3 puede referirse...
Mejor primera búsqueda
Mejor primera búsqueda es una clase de algoritmos de búsqueda que explora un gráfico expandiendo el nodo más prometedor elegido de acuerdo con una regla...
Más resultados...
Te puede interesar