Forma diferencial

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Expresión que puede aparecer después de un signo integral

En matemáticas, las formas diferenciales brindan un enfoque unificado para definir integrandos sobre curvas, superficies, sólidos y variedades de dimensiones superiores. La noción moderna de formas diferenciales fue iniciada por Élie Cartan. Tiene muchas aplicaciones, especialmente en geometría, topología y física.

Por ejemplo, la expresión $f (x) dx$ es un ejemplo de una forma 1, y se puede integrar en un intervalo $[a, b]$ contenido en el dominio de f:

int _{a}^{b}f(x),dx.

Del mismo modo, la expresión $f (x, y, z) dx \land dy + g (x, y, z) dz \land dx + h (x, y, z) dy \land dz$ es una forma $2$ que se pueden integrar sobre una superficie $S$ :

{displaystyle int _{S}(f(x,y,z),dxwedge dy+g(x,y,z),dzwedge dx+h(x,y,z),dywedge dz).}

El símbolo $\land$ denota el producto exterior, a veces llamado el producto de cuña, de dos formas diferenciales. Del mismo modo, un $3$ -forme $f () x, Sí., z) dx \land dy \land dz$ representa un elemento de volumen que puede integrarse en una región del espacio. En general, a $k$ -form es un objeto que puede ser integrado sobre un $k$ - cubo dimensional, y es homogéneo de grado $k$ en los diferenciales de coordenadas ${displaystyle dx,dy,ldots.}$ En una $n$ - manifold dimensional, la forma topdimensional ( $n$ -form) se llama a formulario de volumen.

Las formas diferenciales forman un álgebra alternante. Esto implica que ${displaystyle dywedge dx=-dxwedge dy}$ y ${displaystyle dxwedge dx=0.}$ Esta propiedad alterna refleja la orientación del dominio de la integración.

El derivado exterior es una operación sobre formas diferenciales que, dada una $k$ -forme $varphi$ , produce un $() k +1)$ -forme ${displaystyle dvarphi.}$ Esta operación extiende la diferenciación de una función (una función puede considerarse como una $0$ -forme, y su diferencia es ${displaystyle df(x)=f'(x)dx.}$ ) Esto permite expresar el teorema fundamental del cálculo, el teorema de divergencia, el teorema de Green y el teorema de Stokes como casos especiales de un solo resultado general, el teorema de Stokes generalizado.

Las formas $1$ diferenciales son naturalmente duales a los campos vectoriales en una variedad diferenciable, y el emparejamiento entre campos vectoriales y $1$ -las formas se extienden a formas diferenciales arbitrarias por el producto interior. El álgebra de formas diferenciales junto con la derivada exterior definida en ella se conserva mediante el retroceso bajo funciones suaves entre dos variedades. Esta característica permite que la información geométricamente invariable se mueva de un espacio a otro a través del retroceso, siempre que la información se exprese en términos de formas diferenciales. Como ejemplo, la fórmula de cambio de variables para la integración se convierte en una declaración simple de que una integral se conserva bajo retroceso.

Historia

Las formas diferenciales son parte del campo de la geometría diferencial, influenciadas por el álgebra lineal. Aunque la noción de un diferencial es bastante antigua, el intento inicial de una organización algebraica de formas diferenciales generalmente se atribuye a Élie Cartan con referencia a su artículo de 1899. Algunos aspectos del álgebra exterior de formas diferenciales aparecen en la obra de 1844 de Hermann Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (La teoría de la extensión lineal, una nueva rama de las matemáticas).

Concepto

Las formas diferenciales brindan un enfoque para el cálculo multivariable que es independiente de las coordenadas.

Integración y orientación

Se puede integrar una forma diferencial $k$ sobre una variedad orientada de dimensión $k$ . Se puede considerar que una forma $1$ diferencial mide una longitud orientada infinitesimal o una densidad orientada unidimensional. Se puede considerar que una forma $2$ diferencial mide un área orientada infinitesimal o una densidad orientada bidimensional. Etcétera.

La integración de formas diferenciales está bien definida solo en variedades orientadas. Un ejemplo de una variedad unidimensional es un intervalo $[a, b]$ , y a los intervalos se les puede dar una orientación: están orientados positivamente si $a < b$ , y negativamente orientado en caso contrario. Si $a < b$ entonces la integral del diferencial $1$ -forma $f (x) dx$ en el intervalo $[a, b]$ (con su orientación positiva natural) es

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx}

que es el negativo de la integral de la misma forma diferencial sobre el mismo intervalo, cuando está equipado con la orientación opuesta. Eso es:

{displaystyle int _{b}^{a}f(x),dx=-int _{a}^{b}f(x),dx.}

Esto da un contexto geométrico a las convenciones para integrales unidimensionales, que el signo cambia cuando se invierte la orientación del intervalo. Una explicación estándar de esto en la teoría de integración de una variable es que, cuando los límites de integración están en el orden opuesto ( $b < a$ ), el incremento $dx$ es negativo en la dirección de integración.

Más generalmente, una forma $m$ es una densidad orientada que se puede integrar sobre una $m$ variedad orientada dimensional. (Por ejemplo, una forma $1$ se puede integrar sobre una curva orientada, una forma $2$ se puede integrar sobre una curva orientada superficie, etc.) Si $M$ es una $m$ -dimensional, y $M'$ es la misma variedad con orientación opuesta y $ω$ es un $m$ -form, entonces uno tiene:

int _{M}omega =-int _{M'}omega ,.

Estas convenciones corresponden a interpretar al integrado como una forma diferencial, integrada sobre una cadena. En teoría de medida, por contraste, se interpreta al integrado como una función $f$ con respecto a una medida $μ$ e integra sobre un subconjunto $A$ , sin ninguna noción de orientación; uno escribe ${textstyle int _{A}f,dmu =int _{[a,b]}f,dmu }$ para indicar la integración en un subconjunto $A$ . Esta es una distinción menor en una dimensión, pero se vuelve más sutil en los múltiples dimensiones superiores; vea a continuación para obtener detalles.

Hacer precisa la noción de una densidad orientada, y por lo tanto de una forma diferencial, implica el álgebra exterior. Las diferenciales de un conjunto de coordenadas, $dx 1$ ,..., $dx n$ se puede utilizar como base para todos los formularios $1$ . Cada uno de estos representa un covector en cada punto de la variedad que puede considerarse como una medida de un pequeño desplazamiento en la dirección de coordenadas correspondiente. Una forma general de $1$ es una combinación lineal de estos diferenciales en cada punto de la variedad:

{displaystyle f_{1},dx^{1}+cdots +f_{n},dx^{n},}

donde $f k = f k (x 1,... x n)$ son funciones de todas las coordenadas. Una forma diferencial $1$ se integra a lo largo de una curva orientada como una integral de línea.

Las expresiones $dx i \land dx j$ , donde $i . j$ se puede utilizar como base en cada punto en el múltiple para todos $2$ -formas. Esto puede ser pensado como una plaza infinita orientada paralela al $x i$ – $x j$ - Avión. Un general $2$ -form es una combinación lineal de estos en cada punto en el múltiple: $<math alttext="{textstyle sum _{1leq i.. 1≤ ≤ i.j≤ ≤ nfi,jdxi∧ ∧ dxj{textstyle sum _{1leq i donejleq n}f_{i,j},dx^{i}wedge dx^{j}<img alt="{textstyle sum _{1leq i$ , y está integrado como una superficie integral.

Una operación fundamental definida sobre formas diferenciales es el producto exterior (el símbolo es la cuña $\land$ ). Esto es similar al producto cruz del cálculo vectorial, ya que es un producto alterno. Por ejemplo,

dx^{1}wedge dx^{2}=-dx^{2}wedge dx^{1}

porque el cuadrado cuyo primer lado es $dx 1$ y el segundo lado es $Se debe considerar que dx 2$ tiene la orientación opuesta al cuadrado cuyo primer lado es $dx 2$ y cuyo segundo lado es $dx 1$ . Es por eso que solo necesitamos sumar sobre expresiones $dx i \land dx j$ , con $i < j$ ; por ejemplo: $a (dx i \land dx j) + b (dx j \land dx i) = (a - b) dx i \land dx j . El producto exterior permite construir formas diferenciales de mayor grado a partir de las de menor grado, de la misma manera que el producto vectorial en cálculo vectorial permite calcular el vector de área de un paralelogramo a partir de vectores que apuntan hacia los dos lados. Alternar también implica que dx i \land dx i = 0, del mismo modo que el producto vectorial de vectores paralelos, cuya magnitud es el área del paralelogramo atravesada por esos vectores, es cero. En dimensiones superiores, dx i 1 \land \cdot\cdot\cdot \land dx i m = 0 si cualquiera de los dos índices i 1,..., i m son iguales, del mismo modo que el "volumen" encerrado por un paralelotopo cuyos vectores de borde son linealmente dependientes es cero.$

Notación multiíndice

Una notación común para el producto de cuñada de primaria $k$ -formas se llama notación multi-índice: en $n$ - contextual dimensional, para $<math alttext="{displaystyle I=(i_{1},i_{2},ldotsi_{k}),1leq i_{1}<i_{2}<cdots I=()i1,i2,...... ,ik),1≤ ≤ i1.i2.⋯ ⋯ .ik≤ ≤ n{displaystyle I=(i_{1},i_{2},ldotsi_{k}),1leq i_{1} {2} 0cdots<img alt="{displaystyle I=(i_{1},i_{2},ldotsi_{k}),1leq i_{1}<i_{2}<cdots$ , definimos ${textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}wedge cdots wedge dx^{i_{k}}=bigwedge _{iin I}dx^{i}}$ . Otra notación útil se obtiene definiendo el conjunto de todos los índices de longitud estrictamente crecientes $k$ , en un espacio de dimensión $n$ , denotado $<math alttext="{displaystyle {mathcal {J}}_{k,n}:={I=(i_{1},ldotsi_{k}):1leq i_{1}<i_{2}<cdots Jk,n:={}I=()i1,...... ,ik):1≤ ≤ i1.i2.⋯ ⋯ .ik≤ ≤ n}{displaystyle {mathcal {}_{k,n}:={I=(i_{1},ldotsi_{k}):1leq i_{1} {2} {cdots}<img alt="{displaystyle {mathcal {J}}_{k,n}:={I=(i_{1},ldotsi_{k}):1leq i_{1}<i_{2}<cdots$ . Luego localmente (donde se aplican las coordenadas), ${displaystyle {dx^{I}}_{Iin {mathcal {J}}_{k,n}}}$ abarca el espacio de diferencial $k$ -formas en un manifold $M$ de la dimensión $n$ , cuando se ve como un módulo sobre el anillo $C JUEGO () M)$ of smooth functions on $M$ . Calculando el tamaño de ${displaystyle {mathcal {J}}_{k,n}}$ combinatoriamente, el módulo de $k$ -formas en un $n$ - dimensional, y en el espacio general $k$ -covectores en un $n$ -dimensional espacio vectorial, es $n$ elegir $k$ : ${textstyle |{mathcal {J}}_{k,n}|={binom {n}{k}}}$ . Esto también demuestra que no hay formas diferenciales no cero mayores que la dimensión del múltiple subyacente.

La derivada exterior

Además del producto exterior, también existe el operador derivado exterior $d$ . La derivada exterior de una forma diferencial es una generalización de la diferencial de una función, en el sentido de que la derivada exterior de $f \in C \infty (M) = Ω 0 (M)$ es exactamente el diferencial de f. Cuando se generaliza a formas superiores, si $ω = f dx I$ es una simple $k$ -forma, entonces su derivado exterior $dω$ es un $(k + 1)$ -forma definida tomando el diferencial de las funciones de coeficiente:

${displaystyle domega =sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{i}}},dx^{i}wedge dx^{I}.}$

con extensión a general $k$ -forma a través de la linealidad: si ${displaystyle tau =sum _{Iin {mathcal {J}}_{k,n}}a_{I},dx^{I}in Omega ^{k}(M)}$ , entonces su derivado exterior es

${displaystyle dtau =sum _{Iin {mathcal {J}}_{k,n}}left(sum _{j=1}^{n}{frac {partial a_{I}}{partial x^{j}}},dx^{j}right)wedge dx^{I}in Omega ^{k+1}(M)}$

En $R 3$ , con el operador estrella de Hodge, la derivada exterior corresponde a gradiente, rotacional y divergencia, aunque esta correspondencia, como el producto vectorial, no se generaliza a dimensiones superiores y debe tratarse con cierta cautela.

La propia derivada exterior se aplica en un número finito arbitrario de dimensiones y es una herramienta flexible y poderosa con una amplia aplicación en geometría diferencial, topología diferencial y muchas áreas de la física. Es de destacar que, aunque la definición anterior de la derivada exterior se definió con respecto a las coordenadas locales, se puede definir de una manera completamente libre de coordenadas, como una antiderivación de grado 1 en el álgebra exterior de formas diferenciales. El beneficio de este enfoque más general es que permite un enfoque natural libre de coordenadas para integrar en variedades. También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, llamado el (generalizado) Stokes' teorema, que es un resultado central en la teoría de la integración en variedades.

Cálculo diferencial

Sea $U$ un conjunto abierto en $R n$ . Una forma diferencial $0$ ("forma cero") se define como una función suave $f$ en $U$ – cuyo conjunto se denota $C \infty (U)$ . Si $v$ es cualquier vector en $R n$ , entonces $f$ tiene una derivada direccional $\partial v f$ , que es otra función en $U$ cuyo valor en un punto $p \in U$ es la tasa de cambio (en $p$ ) de $f$ en la $v$ dirección:

${displaystyle (partial _{mathbf {v} }f)(p)=left.{frac {d}{dt}}f(p+tmathbf {v})right|_{t=0}.}$

(Esta noción se puede extender puntualmente al caso de que $v$ sea un campo vectorial en $U$ evaluando $v$ en el punto $p$ en la definición).

En particular, si $v = e j$ es el $j$ th vector de coordenadas entonces $\partial v f$ es la derivada parcial de $f$ con respecto a la $j$ ésimo vector de coordenadas, es decir, $\partial f / \partial x j$ , donde $x 1$ , <span class="texhtml" x²,..., $x n$ son las coordenadas vectores en $U$ . Por su propia definición, las derivadas parciales dependen de la elección de las coordenadas: si las nuevas coordenadas $y 1$ , $y 2$ ,..., $y n$ se introducen, luego

${displaystyle {frac {partial f}{partial x^{j}}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial y^{i}}{partial x^{j}}}{frac {partial f}{partial y^{i}}}.}$

La primera idea que lleva a las formas diferenciales es la observación de que $\partial v f (p)$ es una función lineal de $v$ :

${displaystyle {begin{aligned}(partial _{mathbf {v} +mathbf {w} }f)(p)&=(partial _{mathbf {v} }f)(p)+(partial _{mathbf {w} }f)(p)\(partial _{cmathbf {v} }f)(p)&=c(partial _{mathbf {v} }f)(p)end{aligned}}}$

para cualquier vector $v$ , $w$ y cualquier número $c$ . En cada punto p, este mapa lineal de $R n$ a $R$ se denota $df p$ y llamó a la derivada o diferencial de $f$ en $p$ . Así $df p (v) = \partial v f (p)$ . Extendido sobre todo el conjunto, el objeto $df$ puede verse como una función que toma un campo vectorial en $U$ , y devuelve una función de valor real cuyo valor en cada punto es la derivada a lo largo del campo vectorial de la función $f$ . Tenga en cuenta que en cada $p$ , el diferencial $df p$ no es un número real, sino un funcional lineal en vectores tangentes y un ejemplo prototípico de una forma 1 diferencial.

Dado que cualquier vector $v$ es una combinación lineal $Σ v j e j$ de sus componentes, $df$ está determinado únicamente por $df p (e j)$ para cada j y cada $p \in U$ , que son solo las derivadas parciales de $f$ en $U$ . Por lo tanto, $df$ proporciona una forma de codificar las derivadas parciales de $f$ . Se puede decodificar al notar que las coordenadas $x 1$ , $x 2$ ,..., $x n$ son funciones en sí mismas en $U$ , y así definir $1$ -formas diferenciales $dx 1$ , $dx 2$ ,..., $dx n$ . Sea $f = x i$ . Desde $\partial x i / \partial x j = δ ij$ , la función delta de Kronecker, se sigue que

{displaystyle df=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{i}}},dx^{i}.}

()*)

El significado de esta expresión se obtiene evaluando ambos lados en un punto arbitrario $p$ : en el lado derecho, el sum se define "puntualmente", de modo que

${displaystyle df_{p}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$

Aplicando ambos lados a $e j$ , el resultado en cada lado es el $j$ ésima derivada parcial de $f$ en $p$ . Desde $p$ y $j$ fueran arbitrarias, esto demuestra la fórmula (*).

Más generalmente, para cualquier función suave $g i$ y $h i$ en $U$ , definimos el diferencial $1$ -forma $α = Σ i g i dh i$ puntualmente por

${displaystyle alpha _{p}=sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$

para cada $p \in U$ . Cualquier forma diferencial $1$ surge de esta manera, y al usar (*) se deduce que cualquier diferencial $1$ -forma $α$ en $U$ puede expresarse en coordenadas como

$alpha =sum _{i=1}^{n}f_{i},dx^{i}$

para algunas funciones fluidas $f i$ en $U$ .

La segunda idea que lleva a las formas diferenciales surge de la siguiente pregunta: dada una forma $1$ diferencial $α$ en $U$ , ¿cuándo existe una función $f$ en $U$ tal que $α = df$ ? La expansión anterior reduce esta pregunta a la búsqueda de una función $f$ cuyas derivadas parciales $\partial f / \partial x i$ son iguales a $n$ funciones dadas $f i$ . Para $n > 1$ , dicha función no siempre existe: cualquier función fluida $f$ satisface

${frac {partial ^{2}f}{partial x^{i},partial x^{j}}}={frac {partial ^{2}f}{partial x^{j},partial x^{i}}},$

por lo que será imposible encontrar tal $f$ a menos que

${displaystyle {frac {partial f_{j}}{partial x^{i}}}-{frac {partial f_{i}}{partial x^{j}}}=0}$

para todos los $i$ y $j$ .

La simetría oblicua del lado izquierdo en $i$ y $j$ sugiere introducir un producto antisimétrico $\land$ en formas diferenciales $1$ , el exterior producto, de modo que estas ecuaciones se pueden combinar en una sola condición

${displaystyle sum _{i,j=1}^{n}{frac {partial f_{j}}{partial x^{i}}},dx^{i}wedge dx^{j}=0,}$

donde $\land$ se define de modo que:

${displaystyle dx^{i}wedge dx^{j}=-dx^{j}wedge dx^{i}.}$

Este es un ejemplo de una forma $2$ diferencial. Esta forma $2$ se llama la derivada exterior $dα$ de $α = Σ n j =1 f <sub j dx j$ . esta dado por

${displaystyle dalpha =sum _{j=1}^{n}df_{j}wedge dx^{j}=sum _{i,j=1}^{n}{frac {partial f_{j}}{partial x^{i}}},dx^{i}wedge dx^{j}.}$

Para resumir: $dα = 0$ es una condición necesaria para la existencia de una función $f$ con $α = df$ .

Formas diferenciales $0$ , formas $1$ y $2$ -las formas son casos especiales de formas diferenciales. Para cada $k$ , hay un espacio de diferencial $k$ -formas, que se pueden expresar en términos de las coordenadas como

${displaystyle sum _{i_{1},i_{2}ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}ldots i_{k}},dx^{i_{1}}wedge dx^{i_{2}}wedge cdots wedge dx^{i_{k}}}$

para una colección de funciones $f i 1 i 2 \cdot\cdot\cdot i k$ . La antisimetría, que ya estaba presente para las formas $2$ , permite restringir la suma a aquellos conjuntos de índices para los que $i 1 < i 2 <... < i k -1 < i k$ .

Las formas diferenciales se pueden multiplicar usando el producto exterior, y para cualquier forma diferencial $k$ -form $α$ , hay una forma $(k + 1)$ diferencial $dα$ llamado el derivado exterior de $α$ .

Las formas diferenciales, el producto exterior y la derivada exterior son independientes de una elección de coordenadas. En consecuencia, pueden definirse en cualquier variedad uniforme $M$ . Una forma de hacer esto es cubrir $M$ con gráficos de coordenadas y definir un diferencial $k$ -forma en $M$ para ser una familia de diferencial $k$ -formularios en cada gráfico que coinciden en las superposiciones. Sin embargo, existen definiciones más intrínsecas que manifiestan la independencia de las coordenadas.

Definiciones intrínsecas

Sea $M$ una variedad suave. Una forma diferencial suave de grado $k$ es una sección suave de $k$ ésima potencia exterior del haz cotangente de $M$ . El conjunto de todas las formas $k$ diferenciales en una variedad $M$ es un espacio vectorial, a menudo denominado $Ω k (M)$ .

La definición de una forma diferencial se puede reformular de la siguiente manera. En cualquier punto $p \in M$ , un $k$ -form $β$ define un elemento

${displaystyle beta _{p}in {textstyle bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$

Donde $T p M$ es el espacio tangente $M$ a $p$ y $T p * M$ es su espacio dual. Este espacio es naturalmente isomorfo a la fibra en $p$ del doble paquete del $k$ potencia exterior del grupo tangente $M$ . Eso es, $β$ es también un funcional lineal ${textstyle beta _{p}colon {textstyle bigwedge }^{k}T_{p}Mto mathbf {R} }$ , es decir, el doble del $k$ la potencia exterior es isomorfa a la $k$ a potencia exterior del dual:

${displaystyle {textstyle bigwedge }^{k}T_{p}^{*}Mcong {Big (}{textstyle bigwedge }^{k}T_{p}M{Big)}^{*}}$

Por la propiedad universal de las potencias exteriores, esto es equivalente a un mapa multilineal alterno:

${displaystyle beta _{p}colon bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}Mto mathbf {R}.}$

En consecuencia, una forma $k$ diferencial puede evaluarse frente a cualquier $k$ -tupla de vectores tangentes al mismo punto $p$ de $M$ . Por ejemplo, un diferencial $1$ -forma $α$ asigna a cada punto $p \in M$ un funcional lineal $α p$ en $T p M . En presencia de un producto interno en T p M (inducido por una métrica de Riemann sobre M), α p puede representarse como el producto interno con un vector tangente X p . Las formas 1 diferenciales a veces se denominan campos vectoriales covariantes, campos covectoriales o "campos vectoriales duales", particularmente dentro de la física.$

El álgebra exterior puede integrarse en el álgebra tensorial por medio del mapa de alternancia. El mapa de alternancia se define como un mapeo

${displaystyle operatorname {Alt} colon {bigotimes }^{k}T^{*}Mto {bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Para un tensor $tau$ en un momento $p$ ,

${displaystyle operatorname {Alt} (tau _{p})(x_{1},dotsx_{k})={frac {1}{k!}}sum _{sigma in S_{k}}operatorname {sgn}(sigma)tau _{p}(x_{sigma (1)},dotsx_{sigma (k)}),}$

donde $S k$ es el grupo simétrico en $k$ elementos. El mapa de alternancia es constante en las clases laterales del ideal en el álgebra tensorial generada por las 2 formas simétricas y, por lo tanto, desciende a una incrustación

${displaystyle operatorname {Alt} colon {textstyle bigwedge }^{k}T^{*}Mto {bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Este mapa muestra $β$ como un campo de tensor covariante totalmente antisimétrico de rango $k . Las formas diferenciales en M están en correspondencia uno a uno con tales campos tensoriales.$

Operaciones

Además de las operaciones de suma y multiplicación por escalares que surgen de la estructura del espacio vectorial, hay varias otras operaciones estándar definidas en formas diferenciales. Las operaciones más importantes son el producto exterior de dos formas diferenciales, la derivada exterior de una única forma diferencial, el producto interior de una forma diferencial y un campo vectorial, la derivada de Lie de una forma diferencial con respecto a un campo vectorial y la covariante derivada de una forma diferencial con respecto a un campo vectorial en una variedad con una conexión definida.

Producto exterior

El producto exterior de una forma $k$ $α$ y una forma $ℓ$ $β$ , denominada $α \land β$ , es un ( $k + ℓ$ )-formulario. En cada punto $p$ de la variedad $M$ , las formas $α$ y $β$ son elementos de una potencia exterior del espacio cotangente en $p$ . Cuando el álgebra exterior se ve como un cociente del álgebra tensorial, el producto exterior corresponde al producto tensorial (módulo la relación de equivalencia que define el álgebra exterior).

La antisimetría inherente en el álgebra exterior significa que cuando $α \land β$ se ve como un funcional multilineal, está alternando. Sin embargo, cuando el álgebra exterior se incrusta como un subespacio del álgebra tensorial por medio del mapa de alternancia, el producto tensorial $α \otimes β$ no está alternando. Hay una fórmula explícita que describe el producto exterior en esta situación. El producto exterior es

${displaystyle alpha wedge beta =operatorname {Alt} (alpha otimes beta).}$

Si la incrustación ${displaystyle {textstyle bigwedge }^{n}T^{*}M}$ en ${displaystyle {bigotimes }^{n}T^{*}M}$ se hace a través del mapa ${displaystyle n!operatorname {Alt} }$ en lugar de ${displaystyle operatorname {Alt} }$ , el producto exterior es

${displaystyle alpha wedge beta ={frac {(k+ell)!}{k!ell !}}operatorname {Alt} (alpha otimes beta).}$

Esta descripción es útil para cálculos explícitos. Por ejemplo, si $k = ℓ = 1$ , entonces $α \land β$ es la forma $2$ cuyo valor en un punto $p$ es la forma bilineal alterna definida por

$(alpha wedge beta)_{p}(v,w)=alpha _{p}(v)beta _{p}(w)-alpha _{p}(w)beta _{p}(v)$

para $v, w \in T p M$ .

El producto exterior es bilineal: Si $α$ , $β$ y $γ$ son formas diferenciales, y si $f$ es cualquier función suave, entonces

${displaystyle alpha wedge (beta +gamma)=alpha wedge beta +alpha wedge gamma}$

${displaystyle alpha wedge (fcdot beta)=fcdot (alpha wedge beta).}$

Es sesgo conmutativo (también conocido como graduado conmutativo), lo que significa que satisface una variante de anticonmutatividad que depende de los grados de las formas: si $α$ es una forma $k$ y $β$ es una forma $ℓ$ , entonces

${displaystyle alpha wedge beta =(-1)^{kell }beta wedge alpha.}$

Uno también tiene la regla graduada de Leibniz:

${displaystyle d(alpha wedge beta)=dalpha wedge beta +(-1)^{k}alpha wedge dbeta.}$

Variedad de Riemann

En un manifold Riemanniano, o más generalmente un manifold pseudo-Riemanniano, la métrica define un isomorfismo de fibra de los paquetes tangente y cotangente. Esto hace posible convertir campos vectoriales a campos covector y viceversa. También permite la definición de operaciones adicionales como el operador estrella Hodge ${displaystyle star colon Omega ^{k}(M) {stackrel {sim }{to }} Omega ^{n-k}(M)}$ y la codiferencia ${displaystyle delta colon Omega ^{k}(M)rightarrow Omega ^{k-1}(M)}$ , que tiene grado $-1$ y está unido al diferencial exterior $d$ .

Estructuras de campos vectoriales

En una variedad pseudo-riemanniana, las formas $1$ se pueden identificar con campos vectoriales; Los campos vectoriales tienen estructuras algebraicas distintas adicionales, que se enumeran aquí por contexto y para evitar confusiones.

En primer lugar, cada espacio (co)tangente genera un álgebra de Clifford, donde el producto de un (co)vector consigo mismo viene dado por el valor de una forma cuadrática, en este caso, la natural inducida por la métrica. Esta álgebra es distinta del álgebra exterior de formas diferenciales, que puede verse como un álgebra de Clifford donde la forma cuadrática desaparece (dado que el producto exterior de cualquier vector consigo mismo es cero). Las álgebras de Clifford son, por lo tanto, deformaciones no anticonmutativas ("cuánticas") del álgebra exterior. Se estudian en álgebra geométrica.

Otra alternativa es considerar los campos vectoriales como derivaciones. El álgebra (no conmutativa) de los operadores diferenciales que generan es el álgebra de Weyl y es una deformación no conmutativa ("cuántica") del álgebra simétrica en los campos vectoriales.

Complejo diferencial exterior

Una propiedad importante de la derivada exterior es que $d 2 = 0$ . Esto significa que la derivada exterior define un complejo cocadena:

${displaystyle 0 to Omega ^{0}(M) {stackrel {d}{to }} Omega ^{1}(M) {stackrel {d}{to }} Omega ^{2}(M) {stackrel {d}{to }} Omega ^{3}(M) to cdots to Omega ^{n}(M) to 0.}$

Este complejo se denomina complejo de Rham y su cohomología es, por definición, la cohomología de De Rham de $M$ . Por el lema de Poincaré, el complejo de Rham es localmente exacto excepto en $Ω 0 (M)$ . El kernel en $Ω 0 (M)$ es el espacio de funciones constantes locales en $M$ . Por lo tanto, el complejo es una resolución de la gavilla constante $R$ , que a su vez implica una forma del teorema de de Rham: la cohomología de de Rham calcula la cohomología de la gavilla de $R$ .

Retroceso

Supongamos que $f : M \to N$ es suave. El diferencial de $f$ es un mapa suave $df : TM \to TN$ entre los paquetes tangentes de $M$ y $N$ . Este mapa también se denota $f *$ y se llama pushforward. Para cualquier punto $p \in M$ y cualquier vector tangente $v \in T p M$ , hay un vector pushforward bien definido $f * (v)$ en $T f (p) N$ . Sin embargo, no ocurre lo mismo con un campo vectorial. Si $f$ no es inyectiva, decir porque $q \in N$ tiene dos o más preimágenes, entonces el campo vectorial puede determinar dos o más vectores distintos en $T q N$ . Si $f$ no es sobreyectiva, entonces habrá un punto $q \in N$ en el que $f *$ no determina ningún vector tangente. Dado que un campo vectorial en $N$ determina, por definición, un vector tangente único en cada punto de $N$ , el avance de un campo vectorial no siempre existe.

Por el contrario, siempre es posible retirar una forma diferencial. Una forma diferencial en $N$ puede verse como un funcional lineal en cada espacio tangente. Precomponiendo este funcional con el diferencial $df : TM \to TN$ define un funcional lineal en cada espacio tangente de $M$ y por lo tanto una forma diferencial en $M$ . La existencia de retrocesos es una de las características clave de la teoría de formas diferenciales. Conduce a la existencia de mapas pullback en otras situaciones, como los homomorfismos pullback en la cohomología de De Rham.

Formalmente, deja que $f : M \to N$ sea suave y deja que $ω$ ser una $k$ -forma suave en $N$ . Entonces hay una forma diferencial $f * ω$ en $M$ , llamado pullback de $ω$ , que captura el comportamiento de $ω$ como se ve en relación con <span class="texhtml" f. Para definir el retroceso, fije un punto $p$ de $M$ y vectores tangentes $v 1$ ,..., $v k$ a $M$ en $p$ . El retroceso de $ω$ está definido por la fórmula

$(f^{*}omega)_{p}(v_{1},ldotsv_{k})=omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},ldotsf_{*}v_{k}).$

Hay varias formas más abstractas de ver esta definición. Si $ω$ es una forma $1$ en $N$ , entonces puede verse como una sección del paquete cotangente $T * N$ de $N$ . Usando ^∗ para denotar un mapa dual, el dual al diferencial de $f$ es $(df) * : T * N \to T * M$ . El retroceso de $ω$ puede definirse como el compuesto

${displaystyle M {stackrel {f}{to }} N {stackrel {omega }{to }} T^{*}N {stackrel {(df)^{*}}{longrightarrow }} T^{*}M.}$

Esta es una sección del paquete cotangente $M$ y por lo tanto un diferencial $1$ -forme sobre $M$ . En plena generalidad, déjese ${textstyle bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ denota el $k$ a potencia exterior del mapa dual al diferencial. Entonces la retirada de un $k$ -forme $\cdot$ es el compuesto

${displaystyle M {stackrel {f}{to }} N {stackrel {omega }{to }} {textstyle bigwedge }^{k}T^{*}N {stackrel {{bigwedge }^{k}(df)^{*}}{longrightarrow }} {textstyle bigwedge }^{k}T^{*}M.}$

Otra forma abstracta de ver el pullback proviene de ver una forma $k$ $ω$ como funcional lineal en espacios tangentes. Desde este punto de vista, $ω$ es un morfismo de fibrados vectoriales

${displaystyle {textstyle bigwedge }^{k}TN {stackrel {omega }{to }} Ntimes mathbf {R}}$

donde $N \times R$ es el paquete trivial de rango uno en $N$ . El mapa compuesto

${displaystyle {textstyle bigwedge }^{k}TM {stackrel {{bigwedge }^{k}df}{longrightarrow }} {textstyle bigwedge }^{k}TN {stackrel {omega }{to }} Ntimes mathbf {R} }$

define un funcional lineal en cada espacio tangente $M$ , y por lo tanto factores a través del paquete trivial $M \times R$ . El morfismo del paquete vector ${textstyle {textstyle bigwedge }^{k}TMto Mtimes mathbf {R} }$ definido de esta manera $f Alternativa \cdot$ .

Pullback respeta todas las operaciones básicas en los formularios. Si $ω$ y $η$ son formularios y $c$ es un número real, entonces

${displaystyle {begin{aligned}f^{*}(comega)&=c(f^{*}omega),\f^{*}(omega +eta)&=f^{*}omega +f^{*}eta\f^{*}(omega wedge eta)&=f^{*}omega wedge f^{*}eta\f^{*}(domega)&=d(f^{*}omega).end{aligned}}}$

El retroceso de un formulario también se puede escribir en coordenadas. Supongamos que $x 1$ ,..., $x m$ son coordenadas en $M$ , que $y 1$ ,..., $y n$ son coordenadas en $N$ , y que estos sistemas de coordenadas están relacionados por las fórmulas $y i = f i (x 1,..., x m)$ para todos los $i$ . Localmente en $N$ , $ω$ se puede escribir como

$<math alttext="{displaystyle omega =sum _{i_{1}<cdots ⋅ ⋅ =.. i1.⋯ ⋯ .ik⋅ ⋅ i1⋯ ⋯ ikdSí.i1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dSí.ik,{displaystyle omega =sum - ¿Qué? ##{i_{1}cdots {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle omega =sum _{i_{1}<cdots$

donde, para cada elección de $i 1$ ,..., $i k$ , $ω i 1 \cdot\cdot\cdot i k$ es un verdadero -función valorada de $y 1$ ,..., $y n$ . Utilizando la linealidad de pullback y su compatibilidad con el producto exterior, el pullback de $ω$ tiene la fórmula

$<math alttext="{displaystyle f^{*}omega =sum _{i_{1}<cdots fAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ =.. i1.⋯ ⋯ .ik()⋅ ⋅ i1⋯ ⋯ ik∘ ∘ f)dfi1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dfik.{displaystyle f^{*}omega = - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ##{i_{1}cdots i_{k}circ f),df_{i_{1}wedge cdots wedge df_{i_{k}}<img alt="{displaystyle f^{*}omega =sum _{i_{1}<cdots$

Cada derivada exterior $df i$ se puede expandir en términos de $dx 1$ ,..., $dx m$ . La forma $k$ resultante se puede escribir usando matrices jacobianas:

$<math alttext="{displaystyle f^{*}omega =sum _{i_{1}<cdots <i_{k}}sum _{j_{1}<cdots fAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ =.. i1.⋯ ⋯ .ik.. j1.⋯ ⋯ .jk()⋅ ⋅ i1⋯ ⋯ ik∘ ∘ f)∂ ∂ ()fi1,...... ,fik)∂ ∂ ()xj1,...... ,xjk)dxj1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dxjk.{displaystyle f^{*}omega = ¿Por qué? ##{i_{1}cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f_{i_{1},ldotsf_{i_{k}}}}{partial (x^{j_{1}},ldotsx^{j_{k}}}}}}}}dx^{j_{1}}}dgecdotswed<img alt="{displaystyle f^{*}omega =sum _{i_{1}<cdots <i_{k}}sum _{j_{1}<cdots$

Aquí, ${displaystyle {frac {partial (f_{i_{1}},ldotsf_{i_{k}})}{partial (x^{j_{1}},ldotsx^{j_{k}})}}}$ denota el determinante de la matriz cuyas entradas son ${displaystyle {frac {partial f_{i_{m}}}{partial x^{j_{n}}}}}$ , $1leq m,nleq k$ .

Integración

Se puede integrar una forma $k$ diferencial sobre una $k -variedad dimensional. Cuando la forma k se define en una dimensión n múltiple con n > k, entonces el formulario k se puede integrar sobre orientado Subvariedades k -dimensionales. Si k = 0, la integración sobre subvariedades orientadas de dimensión 0 es solo la suma del integrando evaluado en los puntos, de acuerdo con la orientación de esos puntos. Otros valores de k = 1, 2, 3,... corresponden a integrales de línea, integrales de superficie, integrales de volumen, etc. Hay varias formas equivalentes de definir formalmente la integral de una forma diferencial, todas las cuales dependen de la reducción al caso del espacio euclidiano.$

Integración en el espacio euclidiano

Sea $U$ un subconjunto abierto de $R n$ . Dé a $R n$ su orientación estándar y $U$ la restricción de esa orientación. Cada forma suave de $n$ $ω$ en $U$ tiene la forma

${displaystyle omega =f(x),dx^{1}wedge cdots wedge dx^{n}}$

para una función fluida $f : R n \to R$ . Tal función tiene una integral en el sentido habitual de Riemann o Lebesgue. Esto nos permite definir la integral de $ω$ como la integral de $f :$

${displaystyle int _{U}omega {stackrel {text{def}}{=}}int _{U}f(x),dx^{1}cdots dx^{n}.}$

Es necesario fijar una orientación para que ésta quede bien definida. La simetría sesgada de las formas diferenciales significa que la integral de, por ejemplo, $dx 1 \land dx 2$ debe ser el negativo de la integral de $dx 2 \land dx 1$ . Las integrales de Riemann y Lebesgue no pueden ver esta dependencia en el orden de las coordenadas, por lo que dejan indeterminado el signo de la integral. La orientación resuelve esta ambigüedad.

Integración sobre cadenas

Sea $M$ una variedad $n$ y $ω$ un formulario $n$ en <span class="texhtml" M. Primero, suponga que hay una parametrización de $M$ por un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Es decir, supongamos que existe un difeomorfismo

${displaystyle varphi colon Dto M}$

donde $D \subseteq R n$ . Dé a $M$ la orientación inducida por $φ$ . Luego (Rudin 1976) define la integral de $ω$ sobre $M$ ser la integral de $φ * ω$ sobre $D$ . En coordenadas, esto tiene la siguiente expresión. Corrige una incrustación de $M$ en $R I$ con coordenadas $x 1,..., x Yo$ . Entonces

$<math alttext="{displaystyle omega =sum _{i_{1}<cdots ⋅ ⋅ =.. i1.⋯ ⋯ .inai1,...... ,in()x)dxi1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dxin.{displaystyle omega =sum ¿Por qué?<img alt="{displaystyle omega =sum _{i_{1}<cdots$

Supongamos que $φ$ está definido por

${displaystyle varphi ({mathbf {u} })=(x^{1}({mathbf {u} }),ldotsx^{I}({mathbf {u} })).}$

Entonces la integral se puede escribir en coordenadas como

$<math alttext="{displaystyle int _{M}omega =int _{D}sum _{i_{1}<cdots ∫ ∫ M⋅ ⋅ =∫ ∫ D.. i1.⋯ ⋯ .inai1,...... ,in()φ φ ()u))∂ ∂ ()xi1,...... ,xin)∂ ∂ ()u1,...... ,un)du1⋯ ⋯ dun,{displaystyle int _{M}omega =int {fn} {fn} {fnfn}fn}fnfn} {fn} {fn} {fn} {fn}fn}}} {fnfnfn}fn} {fn}fn}fnfnKfnK}}fn}fn}fnfn}fn}fn}fn}ccfnccccccccH00cccccH00}ccH00ccH00cccccccccH0}cccccH00}ccH00ccH00}cH0}ccH00}ccH00}ccH0}ccH00}c}cc<img alt="{displaystyle int _{M}omega =int _{D}sum _{i_{1}<cdots$

dónde

${displaystyle {frac {partial (x^{i_{1}},ldotsx^{i_{n}})}{partial (u^{1},ldotsu^{n})}}}$

es el determinante del jacobiano. El jacobiano existe porque $φ$ es diferenciable.

En general, una variedad $n$ no se puede parametrizar mediante un subconjunto abierto de $R n$ . Pero tal parametrización siempre es posible localmente, por lo que es posible definir integrales sobre variedades arbitrarias definiéndolas como sumas de integrales sobre colecciones de parametrizaciones locales. Además, también es posible definir parametrizaciones de subconjuntos $k$ -dimensionales para $k < n$ , y esto hace posible definir integrales de formas $k$ . Para hacer esto preciso, es conveniente fijar un dominio estándar $D$ en $R k$ , generalmente un cubo o un símplex. Una $k$ -cadena es una suma formal de incrustaciones suaves $D \to M$ . Es decir, es una colección de incrustaciones suaves, a cada una de las cuales se le asigna una multiplicidad entera. Cada incrustación suave determina una subvariedad $k$ -dimensional de $M$ . Si la cadena es

${displaystyle c=sum _{i=1}^{r}m_{i}varphi _{i},}$

entonces la integral de una forma $k$ $ω$ sobre $c$ se define como la suma de las integrales sobre los términos de $c$ :

${displaystyle int _{c}omega =sum _{i=1}^{r}m_{i}int _{D}varphi _{i}^{*}omega.}$

Este enfoque para definir la integración no asigna un significado directo a la integración en toda la variedad $M$ . Sin embargo, aún es posible asignar tal significado indirectamente porque cada variedad suave puede triangularse suavemente de una manera esencialmente única, y la integral sobre $M$ puede definirse como la integral sobre la cadena determinada por una triangulación.

Integración usando particiones de unidad

Hay otro enfoque, expuesto en (Dieudonné 1972), que asigna directamente un significado a la integración sobre $M$ , pero este enfoque requiere corregir una orientación de $M$ . La integral de una forma $n$ $ω$ en una $n$ -dimensional se define trabajando en gráficos. Suponga primero que $ω$ se admite en un solo gráfico orientado positivamente. En este gráfico, puede retroceder a una forma $n$ en un subconjunto abierto de $R n$ . Aquí, la forma tiene una integral de Riemann o Lebesgue bien definida como antes. La fórmula de cambio de variables y la suposición de que el gráfico está orientado positivamente juntos aseguran que la integral de $ω$ sea independiente del gráfico elegido. En el caso general, use una partición de unidad para escribir $ω$ como una suma de $n$ -forms, cada uno de los cuales se admite en un único gráfico orientado positivamente, y define la integral de $ω$ como la suma de las integrales de cada término en la partición de la unidad.

También es posible integrar formularios $k$ en $k -dimensionales utilizando este enfoque más intrínseco. La forma se devuelve a la subvariedad, donde la integral se define utilizando gráficos como antes. Por ejemplo, dada una ruta γ (t): [0, 1] \to R 2, integrar un formulario 1 en la ruta es simplemente retirar el formulario a un formulario f (t) dt en [0, 1], y esta integral es la integral de la función f (t) en el intervalo.$

Integración a lo largo de las fibras

El teorema de Fubini establece que la integral sobre un conjunto que es un producto se puede calcular como una integral iterada sobre los dos factores del producto. Esto sugiere que la integral de una forma diferencial sobre un producto también debería ser computable como una integral iterada. La flexibilidad geométrica de las formas diferenciales asegura que esto sea posible no solo para productos, sino también en situaciones más generales. Bajo algunas hipótesis, es posible integrar a lo largo de las fibras de un mapa suave, y el análogo del teorema de Fubini es el caso donde este mapa es la proyección de un producto a uno de sus factores.

Debido a que la integración de una forma diferencial sobre una subvariedad requiere fijar una orientación, un requisito previo para la integración a lo largo de las fibras es la existencia de una orientación bien definida en esas fibras. Sean $M$ y $N$ dos variedades orientables de dimensiones puras m y $n$ , respectivamente. Supongamos que $f : M \to N$ es una inmersión sobreyectiva. Esto implica que cada fibra $f -1 (y)$ es $(m - n)$ -dimensional y eso, alrededor cada punto de $M$ , hay un gráfico en el que $f$ parece la proyección de un producto sobre uno de sus factores. Repare $x \in M$ y establezca $y = f (x)$ . Suponer que

${displaystyle {begin{aligned}omega _{x}&in {textstyle bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\eta _{y}&in {textstyle bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,end{aligned}}}$

y que $η y$ no desaparece. Siguiendo (Dieudonné 1972), hay una única

${displaystyle sigma _{x}in {textstyle bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$

que puede considerarse como la parte fibral de $ω x$ con respecto a $η y$ . Más precisamente, defina $j : f -1 (y) \to M$ para ser la inclusión. Entonces $σ x$ está definido por la propiedad que

${displaystyle omega _{x}=(f^{*}eta _{y})_{x}wedge sigma '_{x}in {textstyle bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$

dónde

${displaystyle sigma '_{x}in {textstyle bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$

es cualquier $(m - n)$ -covector para el cual

${displaystyle sigma _{x}=j^{*}sigma '_{x}.}$

La forma $σ x$ también se puede notar $ω x / η y .$

Además, para $y$ fijos, $σ x$ varía suavemente con respecto a $x$ . Es decir, supongamos que

${displaystyle omega colon f^{-1}(y)to T^{*}M}$

es una sección suave del mapa de proyección; decimos que $ω$ es una forma $m$ diferencial suave en $M$ a lo largo de $f -1 (y)$ . Entonces hay un diferencial suave $(m - n)$ -forma $σ$ en $f -1 (y)$ tal que, en cada estilo $x \in f -1 (y)$ ,

${displaystyle sigma _{x}=omega _{x}/eta _{y}.}$

Este formulario se denota $ω / η y$ . La misma construcción funciona si $ω$ es una forma $m$ en una vecindad de la fibra, y se usa la misma notación. Una consecuencia es que cada fibra $f -1 (y)$ es orientable. En particular, una selección de formas de orientación en $M$ y $N$ define una orientación de cada fibra de $f$ .

El análogo del teorema de Fubini es el siguiente. Como antes, $M$ y $N$ son dos variedades orientables de puro dimensiones $m$ y $n$ , y $f : M \to N$ es una inmersión sobreyectiva. Fije las orientaciones de $M$ y $N$ , y dé a cada fibra de $f$ la orientación inducida. Sea $ω$ una forma $m$ en $M$ , y sea $η$ un $n$ en $N$ que es casi en todas partes positiva con respecto a la orientación de $N$ . Entonces, para casi cada $y \in N$ , la forma $ω / η y$ es un integrable bien definido $m - formulario n$ en $f -1 (y)$ . Además, hay un formulario $n$ integrable en $N$ definido por

${displaystyle ymapsto {bigg (}int _{f^{-1}(y)}omega /eta _{y}{bigg)},eta _{y}.}$

Denote este formulario con

${displaystyle {bigg (}int _{f^{-1}(y)}omega /eta {bigg)},eta.}$

Entonces (Dieudonné 1972) prueba la fórmula de Fubini generalizada

${displaystyle int _{M}omega =int _{N}{bigg (}int _{f^{-1}(y)}omega /eta {bigg)},eta.}$

También es posible integrar formas de otros grados a lo largo de las fibras de una inmersión. Suponga las mismas hipótesis que antes, y deje que $α$ sea un $(m) compatible de forma compacta - Forma n + k)$ en $M$ . Luego hay una forma $k$ $γ$ en $N$ que es el resultado de integrar $α$ a lo largo de las fibras de $f$ . La forma $α$ se define especificando, en cada $y \in N$ , cómo $γ$ se empareja con cada $k$ -vector $v$ en $y$ , y el valor de ese emparejamiento es una integral sobre $f -1 (y)$ que depende solo de $α$ , $v$ , y las orientaciones de $M$ y $N . Más precisamente, en cada y \in N, hay un isomorfismo$

${displaystyle {textstyle bigwedge }^{k}T_{y}Nto {textstyle bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$

definido por el producto interior

${displaystyle mathbf {v} mapsto mathbf {v} ,lrcorner ,zeta _{y},}$

para cualquier opción de forma de volumen $ζ$ en la orientación de $N . Si x \in f -1 (y), luego un k -vector v en y determina un (n - k) -covector en x por retroceso:$

${displaystyle f^{*}(mathbf {v} ,lrcorner ,zeta _{y})in {textstyle bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$

Cada uno de estos covectores tiene un producto exterior contra $α$ , por lo que hay un $(m - n)$ -forma $β v$ en $M$ a lo largo de $f -1 (y)$ definido por

${displaystyle (beta _{mathbf {v} })_{x}=left(alpha _{x}wedge f^{*}(mathbf {v} ,lrcorner ,zeta _{y})right){big /}zeta _{y}in {textstyle bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$

Esta forma depende de la orientación de $N$ pero no de la elección de $ζ . Entonces la forma k γ está definida de forma única por la propiedad$

${displaystyle langle gamma _{y},mathbf {v} rangle =int _{f^{-1}(y)}beta _{mathbf {v} },}$

y $γ$ es suave (Dieudonné 1972). Esta forma también denota $α ♭$ y se llama la integral de $α$ a lo largo de las fibras de $f$ . La integración a lo largo de las fibras es importante para la construcción de mapas de Gysin en cohomología de Rham.

La integración a lo largo de las fibras satisface la fórmula de proyección (Dieudonné 1972). Si $λ$ es cualquier forma $ℓ$ en $N$ , luego

${displaystyle alpha ^{flat }wedge lambda =(alpha wedge f^{*}lambda)^{flat }.}$

Teorema de Stokes

La relación fundamental entre la derivada exterior y la integración viene dada por la teoría de Stokes' teorema: Si $ω$ es un ( $n - 1$ )- formulario con soporte compacto en $M$ y $\partialM$ denota el límite de $M$ con su orientación inducida, entonces

${displaystyle int _{M}domega =int _{partial M}omega.}$

Una consecuencia clave de esto es que "la parte integral de una forma cerrada sobre cadenas homologosas es igual": Si $\cdot$ es un cerrado $k$ -forme y $M$ y $N$ son $k$ - las cadenas que son homologosas (como $M - N$ es el límite de un $() k + 1)$ - Chain $W$ ), entonces ${displaystyle textstyle {int _{M}omega =int _{N}omega }}$ , ya que la diferencia es el integral ${displaystyle textstyle int _{W}domega =int _{W}0=0}$ .

Por ejemplo, si $ω = df$ es la derivada de una función potencial en el plano o $R n$ , entonces la integral de $ω$ sobre una ruta de $a$ a $b$ no depende de la elección de la ruta (la integral es $f (b) - f (a)$ ), ya que los diferentes caminos con puntos finales dados son homotópicos, por lo tanto, homólogos (una condición más débil). Este caso se llama el teorema del gradiente y generaliza el teorema fundamental del cálculo. Esta independencia de trayectoria es muy útil en la integración de contornos.

Este teorema también subyace en la dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas.

Relación con medidas

En una general manifold (sin estructura adicional), formas diferenciales no ser integrado sobre subconjuntos del múltiple; esta distinción es clave para la distinción entre formas diferenciales, que se integran sobre cadenas o submanifolds orientados, y medidas, que se integran sobre subconjuntos. El ejemplo más simple está tratando de integrar el $1$ -forme $dx$ sobre el intervalo $[0, 1]$ . Asumiendo la distancia habitual (y así medir) en la línea real, esta integral es $1$ o $-1$ , dependiendo de orientación: ${displaystyle textstyle {int _{0}^{1}dx=1}}$ , mientras ${displaystyle textstyle {int _{1}^{0}dx=-int _{0}^{1}dx=-1}}$ . Por el contrario, la integral de la Medida $Silencio dx Silencio$ en el intervalo es inequívoco $1$ (es decir, la parte integral de la función constante $1$ con respecto a esta medida $1$ ). Del mismo modo, bajo un cambio de coordenadas un diferencial $n$ - cambios de forma por el determinante jacobino $J$ , mientras que una medida cambia por valor absoluto del determinante Jacobiano, $Silencio J Silencio$ , que refleja además la cuestión de la orientación. Por ejemplo, en el mapa $x \mapsto - x$ en la línea, la forma diferencial $dx$ Tiras de nuevo a $- dx$ ; la orientación ha revertido; mientras que la medida Lebesgue, que aquí denotamos $Silencio dx Silencio$ , tira de nuevo a $Silencio dx Silencio$ ; no cambia.

En presencia de los datos adicionales de una orientación, es posible integrar $n$ -formas (arriba -formas dimensionales) sobre toda la variedad o sobre subconjuntos compactos; la integración sobre toda la variedad corresponde a la integración de la forma sobre la clase fundamental de la variedad, $[M]$ . Formalmente, en presencia de una orientación, uno puede identificar $n$ -formas con densidades en una variedad; las densidades, a su vez, definen una medida y, por lo tanto, pueden integrarse (Folland 1999, Sección 11.4, pp. 361–362).

En una variedad orientable pero no orientada, hay dos opciones de orientación; cualquiera de las dos opciones permite integrar $n$ -formas sobre subconjuntos compactos, con las dos opciones que difieren por un signo. En una variedad no orientable, las formas $n$ y las densidades no se pueden identificar; en particular, cualquier forma de dimensión superior debe desaparecer en algún lugar (no hay formas de volumen en variedades no orientables), pero no hay densidades que desaparezcan en ninguna parte; por lo tanto, si bien se pueden integrar densidades en subconjuntos compactos, no se pueden integrar $n$ -formas. En cambio, se pueden identificar densidades con pseudoformas de dimensiones superiores.

Incluso en presencia de una orientación, en general no existe una forma significativa de integrar formularios $k$ sobre subconjuntos para k < n porque no hay una forma consistente de usar la orientación ambiental para orientar subconjuntos $k$ -dimensionales. Geométricamente, un subconjunto $k$ -dimensional se puede girar en su lugar, produciendo el mismo subconjunto con la orientación opuesta; por ejemplo, el eje horizontal en un plano se puede girar 180 grados. Compara el determinante de Gram de un conjunto de vectores $k$ en un $n$ -espacio dimensional, que, a diferencia del determinante de $n$ vectores, es siempre positivo, correspondiendo a un número al cuadrado. Una orientación de una subvariedad $k$ es, por lo tanto, datos adicionales que no se pueden derivar de la variedad ambiental.

En una variedad de Riemann, se puede definir una medida de Hausdorff $k$ -dimensional para cualquier $k$ (entero o real), que pueden integrarse sobre subconjuntos $k$ -dimensionales de la variedad. Una función multiplicada por esta medida de Hausdorff se puede integrar en subconjuntos de $k$ -dimensionales, proporcionando una medida teórica análoga a la integración de $k$ -formularios. La medida de Hausdorff $n$ -dimensional produce una densidad, como la anterior.

Corrientes

La forma diferencial análoga de una distribución o función generalizada se llama corriente. El espacio de $k$ -corrientes en $M$ es el espacio dual a un espacio apropiado de formas $k$ diferenciales. Las corrientes juegan el papel de dominios generalizados de integración, similares pero aún más flexibles que las cadenas.

Aplicaciones en física

Las formas diferenciales surgen en algunos contextos físicos importantes. Por ejemplo, en la teoría del electromagnetismo de Maxwell, la forma 2 de Faraday, o intensidad del campo electromagnético, es

${displaystyle {textbf {F}}={frac {1}{2}}f_{ab},dx^{a}wedge dx^{b},,}$

Donde $f ab$ se forman de los campos electromagnéticos ${vec {E}}$ y ${vec {B}}$ ; por ejemplo, $f 12 = E z / c$ , $f 23 = B z$ , o definiciones equivalentes.

Esta forma es un caso especial de la forma de curvatura en el paquete principal $U(1)$ en el que se pueden describir tanto el electromagnetismo como las teorías de norma general. La forma de conexión para el paquete principal es el vector potencial, típicamente denotado por $A$ , cuando se representa en algún calibre. Uno entonces tiene

${textbf {F}}=d{textbf {A}}.$

El actual $3$ -formulario es

${displaystyle {textbf {J}}={frac {1}{6}}j^{a},varepsilon _{abcd},dx^{b}wedge dx^{c}wedge dx^{d},,}$

Donde $j a$ son los cuatro componentes de la densidad actual. (Aquí es una cuestión de convención para escribir $F ab$ en lugar de $f ab$ , es decir, usar letras mayúsculas, y escribir $J a$ en lugar de $j a$ . Sin embargo, los componentes vectores rsp. tensor y las formas antes mencionadas tienen diferentes dimensiones físicas. Además, por decisión de una comisión internacional de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada, se ha llamado el vector de polarización magnética ${vec {J}}$ por varias décadas, y por algunos editores $J$ ; es decir, el mismo nombre se utiliza para diferentes cantidades.)

Usando las definiciones mencionadas anteriormente, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de manera muy compacta en unidades geometrizadas como

${displaystyle {begin{aligned}d{textbf {F}}&={textbf {0}}\d{star {textbf {F}}}&={textbf {J}},end{aligned}}}$

Donde $star$ denota el operador estrella Hodge. Consideraciones similares describen la geometría de las teorías del calibre en general.

El $2$ -forme ${displaystyle {star }mathbf {F} }$ , que es dual a la forma Faraday, también se llama Maxwell 2-form.

El electromagnetismo es un ejemplo de una teoría de calibre $U(1)$ . Aquí el grupo de Lie es $U(1)$ , el grupo unitario unidimensional, que es en particular abeliano. Hay teorías de calibre, como la teoría de Yang-Mills, en las que el grupo de Lie no es abeliano. En ese caso, se obtienen relaciones similares a las descritas aquí. El análogo del campo $F$ en tales teorías es la forma de curvatura de la conexión, que se representa en un indicador por un álgebra de Lie valorado en uno. forma $A$ . El campo Yang–Mills $F$ se define entonces por

$mathbf {F} =dmathbf {A} +mathbf {A} wedge mathbf {A}.$

En el caso abeliano, como el electromagnetismo, $A \land A = 0$ , pero esto no se cumple general. Asimismo, las ecuaciones de campo se modifican con términos adicionales que implican productos exteriores de $A$ y $F$ , debido a las ecuaciones de estructura del grupo de calibre.

Aplicaciones en la teoría de la medida geométrica

Numerosos resultados de minimalidad para variedades analíticas complejas se basan en la desigualdad de Wirtinger para 2 formas. Se puede encontrar una prueba sucinta en el texto clásico de Herbert Federer Teoría de la medida geométrica. La desigualdad de Wirtinger también es un ingrediente clave en la desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo en geometría sistólica.

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