Forma del universo

La forma del universo, en cosmología física, es la geometría local y global del universo. Las características locales de la geometría del universo se describen principalmente por su curvatura, mientras que la topología del universo describe las propiedades globales generales de su forma como un objeto continuo. La curvatura espacial está descrita por la relatividad general, que describe cómo se curva el espacio-tiempo debido al efecto de la gravedad. La topología espacial no puede determinarse a partir de su curvatura, debido a que existen espacios localmente indistinguibles que pueden estar dotados de diferentes invariantes topológicos.

Los cosmólogos distinguen entre el universo observable y el universo entero, siendo el primero una porción en forma de bola del segundo que, en principio, puede ser accesible mediante observaciones astronómicas. Asumiendo el principio cosmológico, el universo observable es similar desde todos los puntos de vista contemporáneos, lo que permite a los cosmólogos discutir las propiedades de todo el universo con solo información del estudio de su universo observable. La discusión principal en este contexto es si el universo es finito, como el universo observable, o infinito.

Es necesario identificar varias propiedades topológicas y geométricas potenciales del universo. Su caracterización topológica sigue siendo un problema abierto. Algunas de estas propiedades son:

1. La soledad (si el universo es finito o infinito)
2. Aplanamiento (ciudad cero), hiperbólico (curvatura negativa), o esférico (cirugía positiva)
3. Conectividad: cómo se une el universo como un conjunto, es decir, un espacio simplemente conectado o un espacio conectado multiplicado.

Hay ciertas conexiones lógicas entre estas propiedades. Por ejemplo, un universo con curvatura positiva es necesariamente finito. Aunque generalmente se asume en la literatura que un universo plano o curvado negativamente es infinito, este no tiene por qué ser el caso si la topología no es trivial. Por ejemplo, un espacio conexo múltiple puede ser plano y finito, como lo ilustran los tres toros. Sin embargo, en el caso de espacios simplemente conectados, la planitud implica infinidad.

Hasta el día de hoy, la forma exacta del universo sigue siendo un tema de debate en la cosmología física. En este sentido, los datos experimentales de varias fuentes independientes (WMAP, BOOMERanG y Planck, por ejemplo) confirman que el universo es plano con solo un margen de error del 0,4%. Sin embargo, la cuestión de la conectividad simple frente a la múltiple aún no se ha decidido sobre la base de la observación astronómica. Por otro lado, cualquier curvatura distinta de cero es posible para un universo curvo lo suficientemente grande (de manera análoga a cómo una pequeña porción de una esfera puede parecer plana). Los teóricos han estado tratando de construir un modelo matemático formal de la forma del universo que relacione la conectividad, la curvatura y la delimitación. En términos formales, este es un modelo de 3 variedades correspondiente a la sección espacial (en coordenadas comomóviles) del espacio-tiempo de cuatro dimensiones del universo. El modelo que la mayoría de los teóricos utilizan actualmente es el modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Se han presentado argumentos de que los datos de observación encajan mejor con la conclusión de que la forma del universo global es infinita y plana, pero los datos también son consistentes con otras formas posibles, como el llamado espacio dodecaédrico de Poincaré, el espacio multiconexo tres toros y el espacio de Sokolov-Starobinskii (cociente del modelo del semiespacio superior del espacio hiperbólico por una red bidimensional).

La cosmología física se basa en la teoría de la relatividad general, una imagen física expresada en términos de ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, solo las propiedades geométricas locales del universo se vuelven teóricamente accesibles. Por lo tanto, las ecuaciones de campo de Einstein determinan solo la geometría local, pero no tienen nada que decir sobre la topología del universo. En la actualidad, la única posibilidad de dilucidar tales propiedades globales se basa en datos de observación, especialmente las fluctuaciones (anisotropías) del campo de gradiente de temperatura del Fondo Cósmico de Microondas (CMB).

Forma del universo observable

Como se indicó en la introducción, hay dos aspectos a considerar:

1. su local geometría, que se refiere principalmente a la curvatura del universo, en particular el universo observable, y
2. su mundial geometría, que se refiere a la topología del universo en su conjunto.

El universo observable se puede considerar como una esfera que se extiende hacia afuera desde cualquier punto de observación durante 46 500 millones de años luz, retrocediendo más en el tiempo y más desplazado hacia el rojo cuanto más lejos se mire. Idealmente, uno puede continuar mirando hacia atrás hasta el Big Bang; en la práctica, sin embargo, lo más lejano que uno puede mirar usando luz y otras radiaciones electromagnéticas es el fondo cósmico de microondas (CMB), como cualquier cosa pasada que sea opaca. Las investigaciones experimentales muestran que el universo observable es muy cercano a isótropo y homogéneo.

Si el universo observable abarca todo el universo, es posible determinar la estructura de todo el universo mediante la observación. Sin embargo, si el universo observable es más pequeño que el universo entero, nuestras observaciones se limitarán a solo una parte del todo, y es posible que no podamos determinar su geometría global a través de la medición. A partir de experimentos, es posible construir diferentes modelos matemáticos de la geometría global de todo el universo, todos los cuales son consistentes con los datos de observación actuales; por lo tanto, actualmente se desconoce si el universo observable es idéntico al universo global o, en cambio, es muchos órdenes de magnitud más pequeño. El universo puede ser pequeño en algunas dimensiones y no en otras (análogo a la forma en que un paralelepípedo es más largo en la dimensión de longitud que en las dimensiones de anchura y profundidad). Para probar si un modelo matemático determinado describe el universo con precisión, los científicos buscan las implicaciones novedosas del modelo (fenómenos en el universo que aún no se han observado, pero que deben existir si el modelo es correcto) y diseñan experimentos para probar si esos fenómenos ocurren o no. Por ejemplo, si el universo es un circuito cerrado pequeño, uno esperaría ver múltiples imágenes de un objeto en el cielo, aunque no necesariamente imágenes de la misma edad.

Los cosmólogos normalmente trabajan con una porción de espacio-tiempo dada, similar a un espacio, llamada coordenadas comóviles, cuya existencia de un conjunto preferido es posible y ampliamente aceptado en la cosmología física actual. La sección del espacio-tiempo que se puede observar es el cono de luz hacia atrás (todos los puntos dentro del horizonte de luz cósmica, dado el tiempo para llegar a un observador dado), mientras que el término relacionado, volumen de Hubble, se puede usar para describir el cono de luz pasado o el espacio comóvil. hasta la superficie de la última dispersión. Para hablar de "la forma del universo (en un punto en el tiempo)" es ontológicamente ingenuo desde el punto de vista de la relatividad especial únicamente: debido a la relatividad de la simultaneidad, no se puede decir que diferentes puntos en el espacio existan "en el mismo punto en el tiempo" ni, por tanto, de "la forma del universo en un punto en el tiempo". Sin embargo, las coordenadas comóviles (si están bien definidas) brindan un sentido estricto a aquellas utilizando el tiempo desde el Big Bang (medido en la referencia de CMB) como un tiempo universal distinguido.

Curvatura del universo

La curvatura es una cantidad que describe cómo la geometría de un espacio difiere localmente de la del espacio plano. La curvatura de cualquier espacio localmente isotrópico (y por lo tanto de un universo localmente isotrópico) cae en uno de los tres casos siguientes:

1. curvatura cero (flat); los ángulos de un triángulo dibujado agregan hasta 180° y el teorema pitagórico sostiene; este espacio tridimensional es modelado localmente por el espacio euclidiano E³.
2. curvatura positiva; los ángulos de un triángulo dibujado suman más de 180°; tal espacio tridimensional es modelado localmente por una región de una esfera de 3 grados S³.
3. curvatura negativa; los ángulos de un triángulo dibujado suman menos de 180°; tal espacio tridimensional es modelado localmente por una región de un espacio hiperbólico H³.

Las geometrías curvas pertenecen al dominio de la geometría no euclidiana. Un ejemplo de un espacio curvado positivamente sería la superficie de una esfera como la Tierra. Un triángulo trazado desde el ecuador hasta un polo tendrá al menos dos ángulos iguales a 90°, lo que hace que la suma de los 3 ángulos sea mayor a 180°. Un ejemplo de una superficie curvada negativamente sería la forma de una silla de montar o un paso de montaña. Un triángulo dibujado en la superficie de una silla de montar tendrá la suma de los ángulos sumando menos de 180°.

La geometría local del universo se determina por si el parámetro de densidad Ω es mayor que, menos o igual a 1.
De arriba a abajo: un universo esférico con Ω 1, un universo hiperbólico con Ω, y un universo plano con Ω = 1. Estas representaciones de superficies bidimensionales son simplemente análogos fácilmente visualizables a la estructura tridimensional del espacio (local).

La relatividad general explica que la masa y la energía doblan la curvatura del espacio-tiempo y se usa para determinar qué curvatura tiene el universo usando un valor llamado parámetro de densidad, representado con Omega (Ω). El parámetro de densidad es la densidad promedio del universo dividida por la densidad de energía crítica, es decir, la energía de masa necesaria para que un universo sea plano. Dicho de otra manera,

• Si Ω = 1El universo es plano.
• Si Ω 1Hay curvatura positiva.
• Si Ω hay curvatura negativa.

Uno puede calcular experimentalmente este Ω para determinar la curvatura de dos formas. Una es contar toda la masa-energía del universo y tomar su densidad promedio y luego dividir ese promedio por la densidad de energía crítica. Los datos de la sonda de anisotropía de microondas de Wilkinson (WMAP), así como de la nave espacial Planck, dan valores para los tres constituyentes de toda la masa-energía del universo: masa normal (materia bariónica y materia oscura), partículas relativistas (fotones y neutrinos) y energía oscura o la constante cosmológica:

Ω_masa ≈ 0,315±0,018

Ω_relativista ≈ 9,24×10⁻⁵

Ω_Λ ≈ 0,6817±0,0018

Ω_total = Ω_masa + Ω_relativista + Ω_Λ = 1,00±0,02

El valor real del valor de densidad crítica se mide como ρ_crítico = 9,47×10⁻²⁷ kg m⁻³. A partir de estos valores, dentro del error experimental, el universo parece ser plano.

Otra forma de medir Ω es hacerlo geométricamente midiendo un ángulo a través del universo observable. Podemos hacer esto usando el CMB y midiendo el espectro de potencia y la anisotropía de temperatura. Por ejemplo, uno puede imaginarse encontrar una nube de gas que no está en equilibrio térmico debido a que es tan grande que la velocidad de la luz no puede propagar la información térmica. Conociendo esta velocidad de propagación, conocemos el tamaño de la nube de gas y la distancia a la nube de gas, tenemos dos lados de un triángulo y podemos determinar los ángulos. Usando un método similar a este, el experimento BOOMERanG ha determinado que la suma de los ángulos a 180° dentro del error experimental, corresponde a un Ω_total ≈ 1.00±0.12.

Estas y otras mediciones astronómicas restringen la curvatura espacial para que sea muy cercana a cero, aunque no restringen su signo. Esto significa que aunque las geometrías locales del espacio-tiempo son generadas por la teoría de la relatividad basada en intervalos de espacio-tiempo, podemos aproximarnos al 3-espacio mediante la familiar geometría euclidiana.

El modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) que usa las ecuaciones de Friedmann se usa comúnmente para modelar el universo. El modelo FLRW proporciona una curvatura del universo basada en las matemáticas de la dinámica de fluidos, es decir, modelando la materia dentro del universo como un fluido perfecto. Aunque las estrellas y las estructuras de masa se pueden introducir en un "casi FLRW" modelo, se utiliza un modelo estrictamente FLRW para aproximar la geometría local del universo observable. Otra forma de decir esto es que si se ignoran todas las formas de energía oscura, entonces la curvatura del universo se puede determinar midiendo la densidad promedio de la materia dentro de él, asumiendo que toda la materia está distribuida uniformemente (en lugar de las distorsiones causadas por & #39;objetos densos' como galaxias). Esta suposición se justifica por las observaciones de que, si bien el universo es "débil" no homogéneo y anisotrópico (ver la estructura a gran escala del cosmos), es en promedio homogéneo e isotrópico.

Estructura del universo global

La estructura global cubre la geometría y la topología de todo el universo, tanto del universo observable como más allá. Si bien la geometría local no determina completamente la geometría global, sí limita las posibilidades, particularmente una geometría de curvatura constante. A menudo se considera que el universo es una variedad geodésica, libre de defectos topológicos; relajar cualquiera de estos complica considerablemente el análisis. Una geometría global es una geometría local más una topología. De ello se deduce que una topología por sí sola no da una geometría global: por ejemplo, el 3-espacio euclidiano y el 3-espacio hiperbólico tienen la misma topología pero diferentes geometrías globales.

Como se indicó en la introducción, las investigaciones dentro del estudio de la estructura global del universo incluyen:

• si el universo es infinito o finito en extensión,
• si la geometría del universo global es plana, positivamente curvada o curvada negativamente, y,
• si la topología está simplemente conectada como una esfera o multiplicada conectada, como un toro.

Infinita o finita

Una de las preguntas actualmente sin respuesta sobre el universo es si es infinito o finito en extensión. Por intuición, se puede entender que un universo finito tiene un volumen finito que, por ejemplo, en teoría podría llenarse con una cantidad finita de material, mientras que un universo infinito es ilimitado y ningún volumen numérico podría llenarlo. Matemáticamente, la cuestión de si el universo es infinito o finito se conoce como acotación. Un universo infinito (espacio métrico ilimitado) significa que hay puntos arbitrariamente separados: para cualquier distancia d, hay puntos que son de una distancia de al menos d aparte. Un universo finito es un espacio métrico acotado, donde hay cierta distancia d tal que todos los puntos están dentro de la distancia d entre sí. La d más pequeña se denomina diámetro del universo, en cuyo caso el universo tiene un "volumen& bien definido. #34; o "escala".

Con o sin límite

Asumiendo un universo finito, el universo puede tener un borde o no tener borde. Muchos espacios matemáticos finitos, por ejemplo, un disco, tienen un borde o un límite. Los espacios que tienen un borde son difíciles de tratar, tanto conceptual como matemáticamente. Es decir, es muy difícil afirmar lo que sucedería en el borde de tal universo. Por esta razón, los espacios que tienen un borde normalmente se excluyen de la consideración.

Sin embargo, existen muchos espacios finitos, como 3 esferas y 3 toros, que no tienen bordes. Matemáticamente, estos espacios se denominan compactos sin límite. El término compacto significa que es finito en extensión ('limitado') y completo. El término "sin límite" significa que el espacio no tiene bordes. Además, para que se pueda aplicar el cálculo, normalmente se supone que el universo es una variedad diferenciable. Un objeto matemático que posee todas estas propiedades, compacto sin límite y diferenciable, se denomina variedad cerrada. Las 3 esferas y los 3 toros son variedades cerradas.

Si el espacio fuera infinito (plano, simplemente conectado), existirían perturbaciones en la temperatura de la radiación CMB en todas las escalas. Sin embargo, si el espacio es finito, entonces faltan aquellas longitudes de onda que son más grandes que el tamaño del espacio. Los mapas del espectro de perturbaciones del CMB realizados con satélites como el WMAP de la NASA y el Planck de la ESA han mostrado una sorprendente cantidad de perturbaciones faltantes a gran escala. Las propiedades de las fluctuaciones observadas del CMB muestran un 'poder faltante' en escalas más allá del tamaño del universo. Eso implicaría que nuestro universo es multiconexo y finito. El espectro del CMB encaja mucho mejor con el universo como un gigantesco toroide de tres, un cosmos conectado consigo mismo en las tres dimensiones.

Curvatura

La curvatura del universo impone restricciones a la topología. Si la geometría espacial es esférica, es decir, posee curvatura positiva, la topología es compacta. Para una geometría espacial plana (curvatura cero) o hiperbólica (curvatura negativa), la topología puede ser compacta o infinita. Muchos libros de texto afirman erróneamente que un universo plano implica un universo infinito; sin embargo, la afirmación correcta es que un universo plano que también está simplemente conectado implica un universo infinito. Por ejemplo, el espacio euclidiano es plano, simplemente conexo e infinito, pero hay toros que son planos, multiconexos, finitos y compactos (ver toro plano).

En general, los teoremas locales a globales en la geometría de Riemann relacionan la geometría local con la geometría global. Si la geometría local tiene una curvatura constante, la geometría global está muy restringida, como se describe en las geometrías de Thurston.

La investigación más reciente muestra que incluso los experimentos futuros más poderosos (como el SKA) no podrán distinguir entre un universo plano, abierto y cerrado si el valor real del parámetro de curvatura cosmológica es menor que 10⁻⁴. Si el valor real del parámetro de curvatura cosmológica es mayor que 10⁻³, podremos distinguir entre estos tres modelos incluso ahora.

Los resultados finales de la misión Planck, publicados en 2018, muestran el parámetro de curvatura cosmológica, 1 − Ω = Ω_K = −Kc²/a²H ², para ser 0.0007±0.0019, consistente con un universo plano. (es decir, curvatura positiva: K = +1, Ω_K < 0, Ω > 1, curvatura negativa: K = −1 , Ω_K > 0, Ω < 1, curvatura cero: K = 0, Ω_K = 0, Ω = 1).

Universo con curvatura cero

En un universo con curvatura cero, la geometría local es plana. La estructura global más obvia es la del espacio euclidiano, que tiene una extensión infinita. Los universos planos que tienen una extensión finita incluyen el toro y la botella de Klein. Además, en tres dimensiones, hay 10 3-variedades planas cerradas finitas, de las cuales 6 son orientables y 4 no orientables. Estas son las variedades de Bieberbach. El más familiar es el mencionado universo de 3 toros.

En ausencia de energía oscura, un universo plano se expande para siempre, pero a un ritmo que se desacelera continuamente, con una expansión que se acerca asintóticamente a cero. Con la energía oscura, la tasa de expansión del universo inicialmente se ralentiza debido al efecto de la gravedad, pero finalmente aumenta. El destino final del universo es el mismo que el de un universo abierto.

Un universo plano puede tener cero energía total.

Universo con curvatura positiva

Un universo curvado positivamente se describe mediante geometría elíptica y se puede considerar como una hiperesfera tridimensional, o alguna otra variedad esférica de 3 (como el espacio dodecaédrico de Poincaré), todos los cuales son cocientes de los 3- esfera.

El espacio dodecaédrico de Poincaré es un espacio curvado positivamente, coloquialmente descrito como "en forma de pelota de fútbol", ya que es el cociente de las 3 esferas por el grupo icosaédrico binario, que está muy cerca de la simetría icosaédrica, la simetría de un balón de fútbol. Esto fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y sus colegas en 2003 y en 2008 se estimó una orientación óptima en el cielo para el modelo.

Universo con curvatura negativa

Un universo hiperbólico, uno de curvatura espacial negativa, se describe mediante geometría hiperbólica y puede considerarse localmente como un análogo tridimensional de una forma de silla de montar infinitamente extendida. Hay una gran variedad de 3-variedades hiperbólicas, y su clasificación no se entiende completamente. Los de volumen finito se pueden entender a través del teorema de rigidez de Mostow. Para la geometría local hiperbólica, muchos de los posibles espacios tridimensionales se denominan informalmente "topologías de cuerno", así llamadas por la forma de la pseudoesfera, un modelo canónico de geometría hiperbólica. Un ejemplo es el cuerno de Picard, un espacio curvado negativamente, coloquialmente descrito como "en forma de embudo".

Curvatura: abierta o cerrada

Cuando los cosmólogos hablan del universo como "abierto" o "cerrado", generalmente se refieren a si la curvatura es negativa o positiva, respectivamente. Estos significados de abierto y cerrado son diferentes del significado matemático de abierto y cerrado utilizado para conjuntos en espacios topológicos y del significado matemático de variedades abiertas y cerradas, lo que da lugar a ambigüedad y confusión. En matemáticas, existen definiciones para una variedad cerrada (es decir, compacta sin límite) y variedad abierta (es decir, una que no es compacta y sin límite). Un "universo cerrado" es necesariamente una variedad cerrada. Un "universo abierto" puede ser una variedad cerrada o abierta. Por ejemplo, en el modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) se considera que el universo no tiene fronteras, en cuyo caso "universo compacto" podría describir un universo que es una variedad cerrada.

Modelo de Milne (expansión hiperbólica)

Si se aplica la relatividad especial basada en el espacio de Minkowski a la expansión del universo, sin recurrir al concepto de un espacio-tiempo curvo, entonces se obtiene el modelo de Milne. Cualquier sección espacial del universo de edad constante (el tiempo propio transcurrido desde el Big Bang) tendrá una curvatura negativa; esto es simplemente un hecho geométrico pseudo-euclidiano análogo al de que las esferas concéntricas en el espacio euclidiano plano son sin embargo curvas. La geometría espacial de este modelo es un espacio hiperbólico ilimitado. Todo el universo en este modelo se puede modelar incrustándolo en el espacio-tiempo de Minkowski, en cuyo caso el universo se incluye dentro de un futuro cono de luz de un espacio-tiempo de Minkowski. El modelo de Milne en este caso es el futuro interior del cono de luz y el cono de luz en sí es el Big Bang.

Para cualquier momento t > 0 de coordenadas de tiempo dentro del modelo de Milne (asumiendo que el Big Bang tiene t = 0), cualquier sección transversal del universo en constante t' en el espacio-tiempo de Minkowski está delimitado por una esfera de radio ct = ct'. La aparente paradoja de un universo infinito "contenido" dentro de una esfera es un efecto del desajuste entre los sistemas de coordenadas del modelo de Milne y el espacio-tiempo de Minkowski en el que está incrustado.

Este modelo es esencialmente un FLRW degenerado para Ω = 0. Es incompatible con las observaciones que descartan definitivamente una curvatura espacial negativa tan grande. Sin embargo, como fondo en el que pueden operar campos gravitatorios (o gravitones), debido a la invariancia del difeomorfismo, el espacio en la escala macroscópica, es equivalente a cualquier otra solución (abierta) de las ecuaciones de campo de Einstein.