Forma de Chern-Simons
En matemáticas, las formas de Chern-Simons son ciertas clases características secundarias. La teoría lleva el nombre de Shiing-Shen Chern y James Harris Simons, coautores de un artículo de 1974 titulado "Formas características e invariantes geométricas" de donde surgió la teoría.
Definición
Dado un manifold y un álgebra Lie valorado 1-form A{displaystyle mathbf {A} sobre ella, podemos definir una familia de formas p:
En una dimensión, la forma 1 de Chern–Simons viene dada por
- Tr [A].{displaystyle operatorname [Mathbf {A}]
![{displaystyle operatorname {Tr} [mathbf {A} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092c8e445b62d5b43e5f856352a1b4d4d00d6550)
En tres dimensiones, la forma tridimensional de Chern–Simons viene dada por
- Tr [F∧ ∧ A− − 13A∧ ∧ A∧ ∧ A]=Tr [dA∧ ∧ A+23A∧ ∧ A∧ ∧ A].{displaystyle operatorname {Tr} left[mathbf {F} wedge mathbf {A} -{frac {1}{3}mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right=operatorname {Tr} left[dmathbf {A} wedge mathbf {A} +{frac {2}{3}mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right]. }
![{displaystyle operatorname {Tr} left[mathbf {F} wedge mathbf {A} -{frac {1}{3}}mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right]=operatorname {Tr} left[dmathbf {A} wedge mathbf {A} +{frac {2}{3}}mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea87fcbf697dafba00a19e0d9eeddbc49940cf)
En cinco dimensiones, la forma de 5 de Chern–Simons viene dada por
- Tr [F∧ ∧ F∧ ∧ A− − 12F∧ ∧ A∧ ∧ A∧ ∧ A+110A∧ ∧ A∧ ∧ A∧ ∧ A∧ ∧ A]=Tr [dA∧ ∧ dA∧ ∧ A+32dA∧ ∧ A∧ ∧ A∧ ∧ A+35A∧ ∧ A∧ ∧ A∧ ∧ A∧ ∧ A]{displaystyle {begin{aligned} {Tr} left[mathbf {F} wedge mathbf {F} wedge mathbf {} {f} {f} {f} {f}} {f}f} {f} {f} {f}} {f}} {f}f}f} {f} {f}f} {f}} {f}f}f}f} {f} {f}f}}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}}f}f}f}f}}f}f} {Tr} left[dmathbf {A} wedge dmathbf {A} wedge mathbf {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {}} {} {} {} {} {} {} {} {} {}} {} {}} {} {} {}} {} {}} {}}} {}}}}} {} {} {}}}} {} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}} {}} {} {}}} {}}}}}} {}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}} {} {} {} {}}}}} {}} {}}}}} {}}}} {} {}}}}} {}}}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}
![{displaystyle {begin{aligned}&operatorname {Tr} left[mathbf {F} wedge mathbf {F} wedge mathbf {A} -{frac {1}{2}}mathbf {F} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} +{frac {1}{10}}mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right]\[6pt]={}&operatorname {Tr} left[dmathbf {A} wedge dmathbf {A} wedge mathbf {A} +{frac {3}{2}}dmathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} +{frac {3}{5}}mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} wedge mathbf {A} right]end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8710899b798ec98637895e5c5a11df81674e471)
donde la curvatura F se define como
- F=dA+A∧ ∧ A.{displaystyle mathbf {F} =dmathbf {A} +mathbf {A} wedge mathbf {A}.}
La forma general Chern-Simons ⋅ ⋅ 2k− − 1{displaystyle omega ¿Qué? se define de tal manera que
- d⋅ ⋅ 2k− − 1=Tr ()Fk),{displaystyle domega ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Tr} (F^{k}),}
donde el producto de cuña se utiliza para definir Fk. El lado derecho de esta ecuación es proporcional a la k- Carácter de la conexión A{displaystyle mathbf {A}.
En general, la forma p de Chern-Simons se define para cualquier p impar.
Aplicación a la física
En 1978, Albert Schwarz formuló la teoría de Chern-Simons, la primera teoría topológica cuántica de campos, utilizando la forma de Chern-Simons.
En la teoría de calibre, la integral de la forma de Chern-Simons es una invariante geométrica global y, por lo general, es una invariante de calibre suma módulo de un número entero.
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