Forma bilineal

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Función bilineal de valor escalar

En matemáticas, una forma bilineal es un mapa bilineal $V \times V \to K$ en un espacio vectorial $V$ (cuyos elementos se denominan vectores) sobre un campo K (cuyos elementos se denominan escalares). En otras palabras, una forma bilineal es una función $B : V \times V \to K$ que es lineal en cada argumento por separado:

$B () u + v, w) B () u, w) + B () v, w)$ y $B () λ u, v) λB () u, v)$
$B () u, v + w) B () u, v) + B () u, w)$ y $B () u, λ v) λB () u, v)$

El producto del punto en $mathbb {R} ^{n}$ es un ejemplo de una forma bilineal.

La definición de forma bilineal se puede ampliar para incluir módulos sobre un anillo, con mapas lineales reemplazados por homomorfismos de módulo.

Cuando $K$ es el campo de números complejos $C$ , a menudo uno está más interesado en las formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales pero son lineales conjugadas en un argumento.

Representación coordinada

Sea $V$ un $n$ -espacio vectorial dimensional con base ${e 1, \dots, e n}$ .

La matriz $n \times n$ A, definida por $A ij = B (e i, e j)$ se denomina matriz de la forma bilineal sobre la base ${e 1, \dots, e n}$ .

Si la matriz $n \times 1$ $x$ representa una vector $x$ con respecto a esta base, y de manera similar, el $n \times 1$ la matriz $y$ representa otro vector $y$ , entonces:

{displaystyle B(mathbf {x}mathbf {y})=mathbf {x} ^{textsf {T}}Amathbf {y} =sum _{i,j=1}^{n}x_{i}A_{ij}y_{j}.}

Una forma bilineal tiene diferentes matrices en diferentes bases. Sin embargo, las matrices de forma bilineal sobre bases diferentes son todas congruentes. Más precisamente, si ${f 1, \dots, f n}$ es otra base de $V$ , entonces

{displaystyle mathbf {f} _{j}=sum _{i=1}^{n}S_{i,j}mathbf {e} _{i},}

S_{{i,j}}

S

S T ASÍ

Mapas al espacio dual

Cada forma bilineal $B$ en $V$ define un par de aplicaciones lineales desde $V$ hasta su espacio dual $V *$ . Defina $B 1, B 2 : V \to V *$ por

B 1 () v) w) B () v, w)

B 2 () v) w) B () w, v)

Esto a menudo se denota como

B 1 () v) B () v, \cdot)

B 2 () v) B (\cdot, v)

donde el punto (⋅) indica la ranura en la que se colocará el argumento para el funcional lineal resultante (ver Currying).

Para un espacio vectorial de dimensión finita $V$ , si cualquiera de $B 1$ o $B 2$ es un isomorfismo, entonces ambos lo son, y se dice que la forma bilineal $B$ no es degenerada. Más concretamente, para un espacio vectorial de dimensión finita, no degenerado significa que cada elemento distinto de cero se empareja de forma no trivial con algún otro elemento:

{displaystyle B(x,y)=0}

para todos

y in V

implica que

x = 0

{displaystyle B(x,y)=0}

para todos

xin V

implica que

Sí. = 0

La noción correspondiente para un módulo sobre un anillo conmutativo es que una forma bilineal es unimodular si $V \to V *$ es un isomorfismo. Dado un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo, el emparejamiento puede ser inyectivo (por lo tanto, "no degenerado" en el sentido anterior) pero no unimodular. Por ejemplo, sobre los números enteros, el par $B (x, y) = 2 xy$ no es degenerado pero no es unimodular, ya que el mapa inducido de $V = Z$ a $V * = Z$ es la multiplicación por 2.

Si $V$ es de dimensión finita, entonces se puede identificar $V$ con su doble dual $V **$ . Entonces se puede demostrar que $B 2$ es la transpuesta del mapa lineal $B 1$ (si $V$ es de dimensión infinita entonces $B 2$ es la transpuesta de $B 1$ restringido a la imagen de $V$ en $V **$ ). Dado $B$ se puede definir la transposición de $B$ es la forma bilineal dada por

^tB()v, w) B()w, v).

El radical izquierdo y el radical derecho de la forma $B$ son los núcleos de $B 1$ y $B 2$ respectivamente; son los vectores ortogonales a todo el espacio a la izquierda y a la derecha.

Si $V$ es de dimensión finita, entonces el rango de $B 1$ es igual al rango de $B 2$ . Si este número es igual a $dim(V)$ entonces $B 1$ y $B 2$ son isomorfismos lineales del estilo $V$ a $V *$ . En este caso $B$ no es degenerado. Según el teorema de rango-nulidad, esto equivale a la condición de que los radicales de izquierda y, equivalentemente, de derecha sean triviales. Para espacios de dimensión finita, esto a menudo se toma como la definición de no degeneración:

Definición: B es nondegenerar si

B () v, w) = 0

para todos w implicación

v = 0

Dado cualquier mapa lineal $A : V \to V *$ se puede obtener una forma bilineal B en V mediante

B()v, w) A()v)w).

Did you mean:

This form will be non degenerate if and only if A is an isomorphism.

Si $V$ es de dimensión finita, entonces, en relación con alguna base para $V$ , una forma bilineal es degenerada si y sólo si el determinante de la matriz asociada es cero. Asimismo, una forma no degenerada es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es distinto de cero (la matriz no es singular). Estas declaraciones son independientes de la base elegida. Para un módulo sobre un anillo conmutativo, una forma unimodular es aquella para la cual el determinante de la matriz asociada es una unidad (por ejemplo 1), de ahí el término; tenga en cuenta que una forma cuyo determinante matricial sea distinto de cero pero no una unidad será no degenerada pero no unimodular, por ejemplo $B (x, y) = 2 xy$ sobre los números enteros.

Formas simétricas, sesgadas y alternas

Definimos una forma bilineal como

simétrica si $B () v, w) B () w, v)$ para todos $v$ , $w$ dentro $V$ ;
alternando si $B () v, v) = 0$ para todos $v$ dentro $V$ ;
skew-symmetric o antisimétrico si $B () v, w) = - B () w, v)$ para todos $v$ , $w$ dentro $V$ ;
Proposición
Cada forma alterna es simétrica.
Prueba
Esto se puede ver expandiendo $B () v + w, v + w)$ .

Si la característica de $K$ no es 2, entonces lo contrario también es cierto: cada forma simétrica sesgada es alterna. Sin embargo, si $char(K) = 2$ entonces una forma simétrica sesgada es lo mismo que una forma simétrica y existen formas simétricas/simétricas sesgadas que no son alternantes.

Una forma bilineal es simétrica (respectivamente sesgada-simétrica) si y sólo si su matriz de coordenadas (en relación con cualquier base) es simétrica (respectivamente sesgada-simétrica). Una forma bilineal es alterna si y sólo si su matriz de coordenadas es simétrica sesgada y las entradas diagonales son todas cero (lo que se sigue de simetría sesgada cuando $char(K) \neq 2$ ).

Una forma bilineal es simétrica si y sólo si los mapas $B 1, B 2 : V \to V *$ son iguales y asimétricos si y solo si son negativos de unos y otros. Si $char(K) \neq 2$ entonces se puede descomponer una forma bilineal en una parte simétrica y una parte simétrica sesgada de la siguiente manera

{displaystyle B^{+}={tfrac {1}{2}}(B+{}^{text{t}}B)qquad B^{-}={tfrac {1}{2}}(B-{}^{text{t}}B),}

t B

B

Forma cuadrática derivada

Para cualquier forma bilineal $B : V \times V \to K$ , existe una forma cuadrática asociada $Q : V \to K$ definida por $Q : V \to K : v \mapsto B (v, v)$ .

Cuando $char(K) \neq 2$ , la forma cuadrática Q está determinada por la parte simétrica del bilineal forma B y es independiente de la parte antisimétrica. En este caso existe una correspondencia uno a uno entre la parte simétrica de la forma bilineal y la forma cuadrática, y tiene sentido hablar de la forma bilineal simétrica asociada con una forma cuadrática.

Did you mean:

When char(K) = 2 and dom V > 1, this correspondence between quadratic forms and symmetric bilinear forms breaks down.

Reflexividad y ortogonalidad

Definición: Una forma bilineal

B : V \times V \to K

se llama reflexivo si

B () v, w) = 0

implicación

B () w, v) = 0

para todos v, w dentro V.

Definición: Vamos

B : V \times V \to K

ser una forma bilineal reflexiva. v, w dentro V son ortogonal con respecto a B si

B () v, w) = 0

Una forma bilineal $B$ es reflexiva si y sólo si es simétrica o alterna. En ausencia de reflexividad tenemos que distinguir la ortogonalidad izquierda y derecha. En un espacio reflexivo, los radicales izquierdo y derecho concuerdan y se denominan núcleo o radical de la forma bilineal: el subespacio de todos los vectores ortogonales con cualquier otro vector. Un vector $v$ , con representación matricial $x$ , está en el radical de forma bilineal con representación matricial $A$ , si y sólo si $Ax = 0 \Leftrightarrow x T A = 0$ . El radical es siempre un subespacio de $V$ . Es trivial si y sólo si la matriz $A$ es no singular y, por tanto, si y sólo si la forma bilineal no es degenerada.

Supongamos que $W$ es un subespacio. Definir el complemento ortogonal

{displaystyle W^{perp }=left{mathbf {v} mid B(mathbf {v}mathbf {w})=0{text{ for all }}mathbf {w} in Wright}.}

Para una forma no degenerada en un espacio de dimensión finita, el mapa $V/W \to W ⊥$ es biyectivo y la dimensión de $W ⊥$ es $tenue(V) - tenue(W)$ .

Diferentes espacios

Gran parte de la teoría está disponible para un mapeo bilineal de dos espacios vectoriales sobre el mismo campo base a ese campo.

B : V \times W \to K

Aquí todavía tenemos asignaciones lineales inducidas de $V$ a $W *$ , y de $W$ a $V *$ . Puede suceder que estas asignaciones sean isomorfismos; Suponiendo dimensiones finitas, si uno es un isomorfismo, el otro debe serlo. Cuando esto ocurre, se dice que B es una pareja perfecta.

En dimensiones finitas, esto equivale a que el emparejamiento no sea degenerado (los espacios necesariamente tienen las mismas dimensiones). Para los módulos (en lugar de espacios vectoriales), así como una forma no degenerada es más débil que una forma unimodular, un emparejamiento no degenerado es una noción más débil que un emparejamiento perfecto. Un emparejamiento puede ser no degenerado sin ser un emparejamiento perfecto, por ejemplo $Z \times Z \to Z$ vía $(x, y) \mapsto 2 xy$ no es degenerado, pero induce la multiplicación por 2 en el mapa $Z \to Z *$ .

La terminología varía en la cobertura de formas bilineales. Por ejemplo, F. Reese Harvey analiza "ocho tipos de producto interno". Para definirlos utiliza matrices diagonales A_ij que tienen solo +1 o −1 para elementos distintos de cero. Algunos de los "productos internos" son formas simplécticas y algunas son formas sesquilineales o formas hermitianas. En lugar de un campo general $K$ , las instancias con números reales $R$ , números complejos $C$ y cuaterniones $H$ están escritos. La forma bilineal

{displaystyle sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}

caso simétrico real

R () p, q)

p + q = n

Algunos de los casos simétricos reales son muy importantes. El caso definitivo positivo R()n, 0) se llama Espacio euclidiano, mientras el caso de un solo menos, R()n−1, 1) se llama Espacio lorentziano. Si n = 4, entonces el espacio Lorentziano también se llama Espacio de Minkowski o Hora espacial de Minkowski. El caso especial R()p, p) se denominará el maleta dividida.

Relación con los productos tensoriales

Por la propiedad universal del producto tensorial, existe una correspondencia canónica entre formas bilineales en $V$ y aplicaciones lineales $V \otimes V \to K$ . Si $B$ es una forma bilineal en $V$ el mapa lineal correspondiente está dado por

v \otimes w \mapsto B () v, w)

En la otra dirección, si $F : V \otimes V \to K$ es un mapa lineal, la forma bilineal correspondiente se obtiene componiendo F con el mapa bilineal $V \times V \to V \otimes V$ que envía $(v, w)$ a $v \otimes w$ .

El conjunto de todos los mapas lineales $V \otimes V \to K$ es el dual espacio de $V \otimes V$ , por lo que las formas bilineales pueden considerarse como elementos de $(V \otimes V) *$ que (cuando $V$ es de dimensión finita) es canónicamente isomorfo a $V * \otimes V *$ .

Del mismo modo, las formas bilineales simétricas pueden considerarse elementos de $(Sym 2 V) *$ (dual de la segunda potencia simétrica de $V$ ) y formas bilineales alternas como elementos de $(Λ 2 V) * ≃ Λ 2 V *$ (la segunda potencia exterior de $V *$ ). Si $char K \neq 2$ , $(Sym 2 V) * ≃ Sim 2 (V *)$ .

En espacios vectoriales normados

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado $(V, ‖\cdot‖)$ es acotado, si existe una constante $C$ tal que para todo $u, v \in V$ ,

{displaystyle B(mathbf {u}mathbf {v})leq Cleft|mathbf {u} right|left|mathbf {v} right|.}

Definición: Una forma bilineal en un espacio vectorial normado $(V, ‖\cdot‖)$ es elíptica, o coercitiva, si hay una constante $c > 0$ tal que para todos $u \in V$ ,

{displaystyle B(mathbf {u}mathbf {u})geq cleft|mathbf {u} right|^{2}.}

Generalización a módulos

Dado un anillo $R$ y un módulo R derecho $M$ y su módulo dual $M *$ , un mapeo $B : M * \times M \to R$ se llama forma bilineal si

B () u + v, x) B () u, x) + B () v, x)

B () u, x + Sí.) B () u, x) + B () u, Sí.)

B () αu, xβ) αB () u, x) β

para todos los $u, v \in M *$ , todos $x, y \in M$ y todos $α, β \in R$ .

El mapeo $⟨\cdot,\cdot⟩: M * \times M \to R : (u, x) \mapsto u (x)$ se conoce como el emparejamiento natural, también llamado forma bilineal canónica en $M * \times M$ .

Un mapa lineal $S : M * \to M * : u \mapsto S (u)$ induce la forma bilineal $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ S (u), x ⟩$ , y a mapa lineal $T : M \to M : x \mapsto T (x)$ induce la forma bilineal $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ u, T (x)⟩$ .

Por el contrario, una forma bilineal $B : M * \times M \to R$ induce los mapas lineales R $S : M * \to M * : u \mapsto (x \mapsto B (u, x))$ y $T': M \to M ** : x \mapsto (u \mapsto B (u, x))$ . Aquí, $M **$ denota el doble dual de $M$ .

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