Fonón

En física, un fonón es una excitación colectiva en una disposición periódica y elástica de átomos o moléculas en materia condensada, específicamente en sólidos y algunos líquidos. Un tipo de cuasipartícula, un fonón es un estado excitado en la cuantización mecánica cuántica de los modos de vibración para estructuras elásticas de partículas que interactúan. Se puede pensar en los fonones como ondas de sonido cuantificadas, de forma similar a los fotones como ondas de luz cuantificadas.

El estudio de los fonones es una parte importante de la física de la materia condensada. Desempeñan un papel importante en muchas de las propiedades físicas de los sistemas de materia condensada, como la conductividad térmica y la conductividad eléctrica, así como en los modelos de dispersión de neutrones y efectos relacionados.

El concepto de fonones fue introducido en 1932 por el físico soviético Igor Tamm. El nombre phonon proviene de la palabra griega φωνή (< span title="Romanización del idioma griego antiguo (hasta 1453)">phonē), que se traduce como sonido o voz, porque los fonones de longitud de onda larga dan origen al sonido. El nombre es análogo a la palabra fotón.

Definición

Un fonón es la descripción mecánica cuántica de un movimiento vibratorio elemental en el que una red de átomos o moléculas oscila uniformemente a una sola frecuencia. En mecánica clásica esto designa un modo normal de vibración. Los modos normales son importantes porque cualquier vibración reticular arbitraria puede considerarse una superposición de estos modos de vibración elementales (cf. análisis de Fourier). Mientras que los modos normales son fenómenos ondulatorios en la mecánica clásica, los fonones también tienen propiedades similares a las partículas, de una manera relacionada con la dualidad onda-partícula de la mecánica cuántica.

Dinámica de celosía

Las ecuaciones de esta sección no utilizan axiomas de la mecánica cuántica, sino relaciones para las que existe una correspondencia directa en la mecánica clásica.

Por ejemplo: una red rígida, regular, cristalina (no amorfa) está compuesta por N partículas. Estas partículas pueden ser átomos o moléculas. N es un número grande, digamos del orden de 10²³, o del orden del número de Avogadro para una muestra típica de un sólido. Dado que la red es rígida, los átomos deben ejercer fuerzas entre sí para mantener a cada átomo cerca de su posición de equilibrio. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de Van der Waals, enlaces covalentes, atracciones electrostáticas y otras, todas las cuales se deben en última instancia a la fuerza eléctrica. Las fuerzas magnéticas y gravitatorias son generalmente despreciables. Las fuerzas entre cada par de átomos pueden caracterizarse por una función de energía potencial V que depende de la distancia de separación de los átomos. La energía potencial de toda la red es la suma de todas las energías potenciales por pares multiplicada por un factor de 1/2 para compensar la doble contabilización:

${displaystyle {frac {2}sum _{ineq j}Vleft(r_{i}-r_{j}right)}$

donde r_i es la posición del iésimo átomo, y V es la energía potencial entre dos átomos

Es difícil resolver este problema de muchos cuerpos explícitamente en la mecánica clásica o cuántica. Para simplificar la tarea, se suelen imponer dos aproximaciones importantes. Primero, la suma solo se realiza sobre átomos vecinos. Aunque las fuerzas eléctricas en los sólidos reales se extienden hasta el infinito, esta aproximación sigue siendo válida porque los campos producidos por átomos distantes se filtran de manera efectiva. En segundo lugar, los potenciales V se tratan como potenciales armónicos. Esto es permisible siempre que los átomos permanezcan cerca de sus posiciones de equilibrio. Formalmente, esto se logra cuando Taylor expande V sobre su valor de equilibrio al orden cuadrático, dando V proporcional al desplazamiento x^{2< /sup> y la fuerza elástica simplemente proporcional a x. El error al ignorar los términos de orden superior sigue siendo pequeño si x permanece cerca de la posición de equilibrio.}

La red resultante se puede visualizar como un sistema de bolas conectadas por resortes. La siguiente figura muestra una red cúbica, que es un buen modelo para muchos tipos de sólidos cristalinos. Otras redes incluyen una cadena lineal, que es una red muy simple que usaremos en breve para modelar fonones. (Para otras redes comunes, consulte estructura cristalina).

La energía potencial de la red se puede escribir ahora como

${displaystyle sum _{{}(mathrm {nnn}{tfrac {1}{2}momega ^{2}left (R_{i}-R_{j}right)} {2}$

Aquí, ω es la frecuencia natural de los potenciales armónicos, que se suponen iguales ya que la red es regular. R_i es la coordenada de posición del átomo iésimo, que ahora medimos desde su posición de equilibrio. La suma de los vecinos más cercanos se denota (nn).

Es importante mencionar que el tratamiento matemático dado aquí está muy simplificado para que sea accesible a los no expertos. La simplificación se ha logrado haciendo dos suposiciones básicas en la expresión de la energía potencial total del cristal. Estas suposiciones son que (i) la energía potencial total se puede escribir como una suma de interacciones por pares, y (ii) cada átomo interactúa solo con sus vecinos más cercanos. Estos se utilizan con moderación en la dinámica de celosía moderna. Un enfoque más general es expresar la energía potencial en términos de constantes de fuerza. Consulte, por ejemplo, el artículo Wiki sobre las funciones multiescala de Green.

Ondas de celosía

Phononon propagando a través de una celosía cuadrada (desplazamientos de ataúd enormemente exagerados)

Debido a las conexiones entre átomos, el desplazamiento de uno o más átomos de sus posiciones de equilibrio da lugar a un conjunto de ondas de vibración que se propagan a través de la red. Una de esas ondas se muestra en la figura de la derecha. La amplitud de la onda está dada por los desplazamientos de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Se marca la longitud de onda λ.

Existe una mínima longitud de onda posible, dada por el doble de la separación de equilibrio a entre átomos. Cualquier longitud de onda más corta que esta se puede mapear en una longitud de onda más larga que 2a, debido a la periodicidad de la red. Esto se puede pensar como una consecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, los puntos de la red se ven como los 'puntos de muestreo'. de una onda continua.

No todas las vibraciones reticulares posibles tienen una longitud de onda y una frecuencia bien definidas. Sin embargo, los modos normales poseen longitudes de onda y frecuencias bien definidas.

Enrejado unidimensional

Animación mostrando 6 modos normales de una celosía unidimensional: una cadena lineal de partículas. La longitud de onda más corta está arriba, con longitudes de onda progresivamente más largas debajo. En las líneas más bajas se puede ver el movimiento de las olas a la derecha.

Para simplificar el análisis necesario para una red tridimensional de átomos, es conveniente modelar una red unidimensional o cadena lineal. Este modelo es lo suficientemente complejo como para mostrar las características más destacadas de los fonones.

Tratamiento clásico

Se supone que las fuerzas entre los átomos son lineales y del vecino más cercano, y están representadas por un resorte elástico. Se supone que cada átomo es una partícula puntual y que el núcleo y los electrones se mueven al mismo tiempo (teorema adiabático):

n − 1 n n + 1 ← a →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o+ ++++o++++++o++++++o···

→→→→→

u_{n − 1}u_nu_{n + 1}

donde n etiqueta el n ésimo átomo de un total de N, a es la distancia entre átomos cuando la cadena está en equilibrio, y u_n el desplazamiento del nésimo átomo desde su posición de equilibrio.

Si C es la constante elástica del resorte y m la masa del átomo, entonces la ecuación de movimiento del nésimo átomo es

${displaystyle -2Cu_{n}+Cleft(u_{n+1}+u_{n-1}right)=m{frac Oh, Dios mío.$

Este es un conjunto de ecuaciones acopladas.

Dado que se espera que las soluciones sean oscilatorias, se definen nuevas coordenadas mediante una transformada discreta de Fourier para desacoplarlas.

Poner

${displaystyle U_{n}=sum _{Nak/2pi ¿Qué?$

Aquí, na corresponde y se devuelve a la variable continua x de la teoría de campos escalares. Las Q_k se conocen como las coordenadas normales, modos de campo continuo φ_k.

La sustitución en la ecuación de movimiento produce las siguientes ecuaciones desacopladas (esto requiere una manipulación significativa usando las relaciones de ortonormalidad y completitud de la transformada discreta de Fourier),

${displaystyle 2C(cos) {ka-1})Q_{k}=m{frac - ¿Qué?$

Estas son las ecuaciones para osciladores armónicos desacoplados que tienen la solución

${displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{iomega - No. omega ¿Por qué?$

Cada coordenada normal Q_k representa un modo de vibración independiente de la red con número de onda k, que se conoce como modo normal.

La segunda ecuación, para ω_k, se conoce como la relación de dispersión entre la frecuencia angular y el número de onda.

En el límite continuo, a→0, N→ Vivir, con Na fijo, u_n → φ()x), un campo de escalar, y ${displaystyle omega (k)propto ka}$. Esto equivale a la teoría clásica del campo de escalar libre, una asamblea de osciladores independientes.

Tratamiento cuántico

Una cadena armónica mecánica cuántica unidimensional consta de N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red que permite que surjan fonones de ella. El formalismo de este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones.

En cierto contraste con la sección anterior, las posiciones de las masas no se denotan por u_i, sino por x ₁, x₂…, medidos desde sus posiciones de equilibrio (es decir, x_i = 0 si la partícula i está en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, las x_i son cantidades vectoriales. El hamiltoniano para este sistema es

${displaystyle {fnMithcal}=beh} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}}=be} ¿Por qué? {fn}momega ^{2}sum _{{} {fnn}}left(x_{i}-x_{j}}} {fnnn}}}}}left(x_{i}-x_{j}derecha)}{2}}}}}}}}}}} {m} {p_}}}}}}}}}}} {mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm}}}}}}}}}}}}} {mmmmmmmm}}}}}}}}}$

donde m es la masa de cada átomo (asumiendo que es igual para todos), y x_i y p< sub>i son los operadores de posición y momento, respectivamente, para el átomo iésimo y la suma se realiza sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, uno espera que en una red también puedan aparecer ondas que se comporten como partículas. Es habitual tratar con ondas en el espacio de Fourier, que utiliza modos normales del vector de onda como variables en lugar de coordenadas de partículas. El número de modos normales es el mismo que el número de partículas. Sin embargo, el espacio de Fourier es muy útil dada la periodicidad del sistema.

Un conjunto de N "coordenadas normales" Se puede introducir Q_k, definida como las transformadas discretas de Fourier de x_k y N< /i> "momentos conjugados" Π_k definido como las transformadas de Fourier de p_k:

${displaystyle {begin{aligned}Q_{k} {1}{sqrt {N}}sum} ¿Por qué? Pi ¿Por qué?$

La cantidad k_n resulta ser el número de onda del fonón, es decir, 2π dividido por la longitud de onda.

Esta opción conserva las relaciones de conmutación deseadas en el espacio real o en el espacio de vectores de onda

${displaystyle {begin{aligned}left[x_{l}p_{m}right] delta _{l,m}\left [Q_{k],Pi _{k'}right] {1}}sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}left[x_{l},p_{m}right] {i}hbar } {N}sum _{ialleft(k-k'right)}=ihbar delta ¿Por qué? Pi ¿Qué?$

Del resultado general

${displaystyle {begin{aligned}sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{N}sum} ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? Pi...$

El término de energía potencial es

${displaystyle {tfrac {1}{2}momega ^{2}sum _{j}left(x_{j}-x_{j+1}right)}{2}={tfrac {1}{2}momega ^{2}sum _{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={tfrac {1}{2}sum ¿Qué? ¿Qué?$

dónde

${displaystyle omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ {ka}{2}justo en la vida$

El hamiltoniano se puede escribir en el espacio de vectores de onda como

${fnMicroc}= {fnMicroc} {1}{2m}sum _{k}left Pi... Pi ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

Los acoplamientos entre las variables de posición se han transformado; si Q y Π fueran hermitianos (que no lo son), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados.

La forma de la cuantificación depende de la elección de las condiciones de contorno; por simplicidad, se imponen condiciones de frontera periódicas, definiendo el (N + 1) átomo como equivalente al primer átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantización resultante es

${displaystyle k=k_{n}={frac {2pi n}quad {mbox{for }n=0,pm 1,pm 2,ldots pm {frac {N}{2}}$

El límite superior de n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado de red a, como se mencionó anteriormente.

Los valores propios o niveles de energía del oscilador armónico para el modo ω_k son:

${displaystyle E_{n}=left({tfrac {1}{2}+nright)hbar omega ¿Qué?$

Los niveles están espaciados uniformemente en:

${displaystyle {tfrac {1}{2}hbar omega {tfrac {3}{2}hbar omega {5}{2}hbar omegacdots }$

donde 1/2ħω es la energía de punto cero de un oscilador armónico cuántico.

Se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para impulsarla al siguiente nivel de energía. En comparación con el caso del fotón cuando el campo electromagnético está cuantificado, el cuanto de energía vibratoria se llama fonón.

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades ondulatorias y corpusculares simultáneamente. Las propiedades de tipo partícula del fonón se entienden mejor utilizando los métodos de segunda cuantización y técnicas de operador que se describen más adelante.

Enrejado tridimensional

Esto se puede generalizar a una red tridimensional. El número de onda k se reemplaza por un vector de onda tridimensional k. Además, cada k ahora está asociado con tres coordenadas normales.

Los nuevos índices s = 1, 2, 3 etiquetan la polarización de los fonones. En el modelo unidimensional, los átomos estaban restringidos a moverse a lo largo de la línea, por lo que los fonones correspondían a ondas longitudinales. En tres dimensiones, la vibración no está restringida a la dirección de propagación y también puede ocurrir en los planos perpendiculares, como ondas transversales. Esto da lugar a las coordenadas normales adicionales que, como indica la forma del hamiltoniano, podemos verlas como especies independientes de fonones.

Relación de dispersión

Curvas de dispersión en cadena diatómica lineal

Vibraciones ópticas y acústicas en una cadena diatómica lineal.

Relación de dispersión ⋅=⋅()k) para algunas olas correspondientes a las vibraciones de celo en GaAs.

Para una matriz alterna unidimensional de dos tipos de iones o átomos de masa m₁, m_{2 repetido periódicamente a una distancia a, conectado por resortes de constante de resorte K, resultan dos modos de vibración:}

${displaystyle omega _{pm }{2}=Kleft({frac {1}{m_{1}}+{frac} {1}{m_{2}}right)pm K{sqrt {left({frac {1}{m_{1}}+{frac} {1} {m_{2}}}right)}{2}-{frac {4sin ^{2}{frac} {ka}{2}} {m_{2}}}}} {}} {}}} {}} {c}} {c}}} {c}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}} {}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}} {c}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Donde k es la onda de la vibración relacionada con su longitud de onda por ${displaystyle k={tfrac {2pi}{lambda }$.

La conexión entre la frecuencia y el vector de onda, ω = ω(k), se conoce como relación de dispersión. El signo más da como resultado el llamado modo óptico y el signo menos el modo acústico. En el modo óptico, dos átomos diferentes adyacentes se mueven uno contra el otro, mientras que en el modo acústico se mueven juntos.

La velocidad de propagación de un fonón acústico, que también es la velocidad del sonido en la red, viene dada por la pendiente de la relación de dispersión acústica, ∂ω_k/ ∂k (ver velocidad de grupo). A valores bajos de k (es decir, longitudes de onda largas), la relación de dispersión es casi lineal y la la velocidad del sonido es aproximadamente ωa, independiente de la frecuencia del fonón. Como resultado, los paquetes de fonones con longitudes de onda diferentes (pero largas) pueden propagarse a grandes distancias a través de la red sin romperse. Esta es la razón por la que el sonido se propaga a través de los sólidos sin distorsión significativa. Este comportamiento falla con valores grandes de k, es decir, longitudes de onda cortas, debido a los detalles microscópicos de la red.

Para un cristal que tiene al menos dos átomos en su celda primitiva, las relaciones de dispersión exhiben dos tipos de fonones, a saber, modos óptico y acústico correspondientes a la curva azul superior y roja inferior en el diagrama, respectivamente. El eje vertical es la energía o frecuencia del fonón, mientras que el eje horizontal es el vector de onda. Los límites en −π /a y π/a son los de la primera zona de Brillouin. Un cristal con N ≥ 2 átomos diferentes en la celda primitiva exhibe tres modos acústicos: un modo acústico longitudinal y dos modos acústicos transversales. El número de modos ópticos es 3N – 3. La figura inferior muestra las relaciones de dispersión para varios modos de fonones en GaAs en función del vector de onda k en las direcciones principales de su zona de Brillouin.

Los modos también se conocen como las ramas de la dispersión de fonones. En general, si hay p átomos (denotados anteriormente por N) en la celda unitaria primitiva, habrá 3p ramas de dispersión de fonones en un cristal tridimensional. De estas, 3 ramas corresponden a modos acústicos y las restantes 3p-3 ramas corresponderán a modos ópticos. En algunas direcciones especiales, algunas ramas coinciden debido a la simetría. Estas ramas se llaman degeneradas. En modos acústicos, todos los átomos p vibran en fase. Entonces no hay cambio en los desplazamientos relativos de estos átomos durante la propagación de la onda.

El estudio de la dispersión de fonones es útil para modelar la propagación de ondas de sonido en sólidos, que se caracteriza por fonones. La energía de cada fonón, como se indicó anteriormente, es ħω. La velocidad de la onda también se expresa en términos de ω y k . La la dirección del vector de onda es la dirección de propagación de la onda y el vector de polarización del fonón da la dirección en la que vibran los átomos. En realidad, en general, la velocidad de onda en un cristal es diferente para diferentes direcciones de k. En otras palabras, la mayoría de los cristales son anisotrópicos para la propagación de fonones.

Una onda es longitudinal si los átomos vibran en la misma dirección que la propagación de la onda. En una onda transversal, los átomos vibran perpendicularmente a la propagación de la onda. Sin embargo, a excepción de los cristales isotrópicos, las ondas en un cristal no son exactamente longitudinales o transversales. Para cristales anisotrópicos generales, las ondas de fonones son longitudinales o transversales solo en ciertas direcciones de simetría especiales. En otras direcciones, pueden ser casi longitudinales o casi transversales. Es solo por conveniencia de etiquetado, que a menudo se les llama longitudinales o transversales, pero en realidad son cuasi-longitudinales o cuasi-transversales. Tenga en cuenta que en el caso tridimensional, hay dos direcciones perpendiculares a una línea recta en cada punto de la línea. Por lo tanto, siempre hay dos ondas (cuasi) transversales por cada onda (cuasi) longitudinal.

Muchas curvas de dispersión de fonones se han medido mediante dispersión inelástica de neutrones.

La física del sonido en los fluidos difiere de la física del sonido en los sólidos, aunque ambas son ondas de densidad: las ondas sonoras en los fluidos solo tienen componentes longitudinales, mientras que las ondas sonoras en los sólidos tienen componentes longitudinales y transversales. Esto se debe a que los fluidos no pueden soportar esfuerzos cortantes (pero vea fluidos viscoelásticos, que solo se aplican a altas frecuencias).

Interpretación de fonones mediante técnicas de segunda cuantización

El Hamiltonian anterior puede parecer una función clásica Hamiltonian, pero si se interpreta como un operador, entonces describe una teoría de campo cuántica de los bosones no interactantes. La segunda técnica de cuantificación, similar al método de operador de escaleras utilizado para osciladores armónicos cuánticos, es un medio de extraer eigenvalues de energía sin resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Dado el Hamiltonian, ${displaystyle {fnMithcal}}$, así como la posición conyugal, ${displaystyle Q_{k}$, y el impulso conjugado ${displaystyle Pi _{k}$ definidos en la sección de tratamiento cuántico arriba, podemos definir operadores de creación y aniquilación:

${displaystyle B_{k}={sqrt {frac {momega ¿Qué? }left(Q_{k}+{frac} {}{momega ¿Qué? Pi...$ y ${displaystyle {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} }={sqrt {frac {momega ¿Qué? }left(Q_{-k}-{frac {}{momega ¿Qué? Pi...$

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo en la relación de conmutación canónica:

${displaystyle left[b_{k],{b_{k'}{dagger }right]=delta ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} Grande.,{b_{k'} {dgger }right]=0}$

Usando esto, los operadores b_k^† y b_k pueden invertirse para redefinir la posición conjugada y el momento como:

${displaystyle ¿Qué? - Sí.$ y ${displaystyle Pi _{k}=i{sqrt {frac {hbar momega ¿Qué? - Sí.$

Sustituir directamente estas definiciones para ${displaystyle Q_{k}$ y ${displaystyle Pi _{k}$ en el espacio de wavevector Hamiltonian, como se define anteriormente, y simplificando luego resultados en el Hamiltonian tomando el formulario:

${displaystyle {Mathcal {H}=sum _{k}hbar omega _{k}left ({b_{k} {dgger} ¿Qué?$

Esto se conoce como la segunda técnica de cuantificación, también conocida como la formulación del número de ocupación, donde n_k = b_k ^†b_k es el número de ocupación. Esto puede verse como una suma de N osciladores hamiltonianos independientes, cada uno con un vector de onda único, y compatible con los métodos utilizados para el oscilador armónico cuántico (tenga en cuenta que n_k es hermitiano). Cuando un hamiltoniano se puede escribir como una suma de sub-hamiltonianos conmutantes, los estados propios de energía estarán dados por los productos de los estados propios de cada uno de los sub-hamiltonianos por separado. El espectro de energía correspondiente viene dado por la suma de los valores propios individuales de los sub-Hamiltonianos.

Al igual que con el oscilador armónico cuántico, se puede demostrar que b_k^† y b_k respectivamente crean y destruyen una sola excitación de campo, un fonón, con una energía de ħω_k.

De esta técnica se pueden deducir tres propiedades importantes de los fonones. Primero, los fonones son bosones, ya que se puede crear cualquier cantidad de excitaciones idénticas mediante la aplicación repetida del operador de creación b_k^†. En segundo lugar, cada fonón es un "modo colectivo" causado por el movimiento de cada átomo en la red. Esto se puede ver por el hecho de que los operadores de creación y aniquilación, definidos aquí en el espacio de momento, contienen sumas sobre los operadores de posición y momento de cada átomo cuando se escriben en el espacio de posición (Ver espacio de posición y momento). Finalmente, utilizando la función de correlación posición-posición, se puede demostrar que los fonones actúan como ondas de desplazamiento reticular.

Esta técnica se generaliza fácilmente a tres dimensiones, donde el hamiltoniano toma la forma:

${displaystyle {Mathcal {H}=sum _{k}sum ¿Por qué? ({b_{k,s} }b_{k,s}+{tfrac {1}{2}derecha).}$

Lo que se puede interpretar como la suma de 3N osciladores hamiltonianos independientes, uno para cada vector de onda y polarización.

Fonones acústicos y ópticos

Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña exhiben dos tipos de fonones: fonones acústicos y fonones ópticos.

Los fonones acústicos son movimientos coherentes de los átomos de la red fuera de sus posiciones de equilibrio. Si el desplazamiento es en la dirección de propagación, entonces en algunas áreas los átomos estarán más cerca, en otras más separados, como en una onda de sonido en el aire (de ahí el nombre acústico). El desplazamiento perpendicular a la dirección de propagación es comparable a las ondas en una cuerda. Si la longitud de onda de los fonones acústicos llega al infinito, esto corresponde a un simple desplazamiento de todo el cristal, y esto cuesta cero energía de deformación. Los fonones acústicos exhiben una relación lineal entre la frecuencia y el vector de onda del fonón para longitudes de onda largas. Las frecuencias de los fonones acústicos tienden a cero con longitudes de onda más largas. Los fonones acústicos longitudinales y transversales a menudo se abrevian como fonones LA y TA, respectivamente.

Los fonones ópticos son movimientos fuera de fase de los átomos en la red, un átomo moviéndose hacia la izquierda y su vecino hacia la derecha. Esto ocurre si la base de la red consta de dos o más átomos. Se llaman ópticos porque en los cristales iónicos, como el cloruro de sodio, las fluctuaciones en el desplazamiento crean una polarización eléctrica que se acopla al campo electromagnético. Por lo tanto, pueden ser excitados por la radiación infrarroja, el campo eléctrico de la luz moverá cada ion de sodio positivo en la dirección del campo y cada ion de cloruro negativo en la otra dirección, haciendo que el cristal vibre.

Los fonones ópticos tienen una frecuencia distinta de cero en el centro de la zona de Brillouin y no muestran dispersión cerca de ese límite de longitud de onda larga. Esto se debe a que corresponden a un modo de vibración en el que los iones positivos y negativos en sitios reticulares adyacentes se balancean entre sí, creando un momento dipolar eléctrico variable en el tiempo. Los fonones ópticos que interactúan de esta manera con la luz se denominan infrarrojos activos. Los fonones ópticos que son Raman activos también pueden interactuar indirectamente con la luz, a través de la dispersión Raman. Los fonones ópticos a menudo se abrevian como fonones LO y TO, para los modos longitudinal y transversal respectivamente; la división entre las frecuencias LO y TO a menudo se describe con precisión mediante la relación Lyddane-Sachs-Teller.

Cuando se mide experimentalmente la energía de los fonones ópticos, las frecuencias de los fonones ópticos a veces se dan en notación de número de onda espectroscópica, donde el símbolo ω representa la frecuencia ordinaria (no la frecuencia angular) y se expresa en unidades de cm⁻¹. El valor se obtiene dividiendo la frecuencia por la velocidad de la luz en el vacío. En otras palabras, el número de onda en unidades cm⁻¹ corresponde a la inversa de la longitud de onda de un fotón en el vacío que tiene la misma frecuencia que el fonón medido.

Momento cristalino

k-vectores que superan la primera zona de Brillouin (rojo) no llevan más información que sus contrapartes (negro) en la primera zona de Brillouin.

Por analogía con los fotones y las ondas de materia, los fonones han sido tratados con el vector de onda k como si tuviera un impulso ħk; sin embargo, esto no es estrictamente correcto, porque ħk no es en realidad un impulso físico; se llama momento cristalino o pseudomomento. Esto se debe a que k solo se determina hasta la suma de vectores constantes (los vectores reticulares recíprocos y sus múltiplos enteros). Por ejemplo, en el modelo unidimensional, las coordenadas normales Q y Π se definen de modo que

${displaystyle ¿Qué? {mathrm {def} - ¿Qué? Pi _{k}{stackrel {mathrm {def} } {=} Pi...$

dónde

${displaystyle K={frac {2npi}{a}} {f}}}$

para cualquier entero n. Un fonón con número de onda k es equivalente a una familia infinita de fonones con números de onda k ± 2π/a, k ± 4π/a, y así sucesivamente. Físicamente, los vectores de red recíprocos actúan como fragmentos adicionales de momento que la red puede impartir al fonón. Los electrones de Bloch obedecen a un conjunto similar de restricciones.

Zonas de Brillouin, (a) en una celosía cuadrada, y (b) en una celosía hexagonal

Por lo general, es conveniente considerar vectores de onda de fonones k que tienen la magnitud más pequeña |k| en su "familia". El conjunto de todos estos vectores de onda define la primera zona de Brillouin. Las zonas de Brillouin adicionales pueden definirse como copias de la primera zona, desplazadas por algún vector de red recíproco.

Termodinámica

Las propiedades termodinámicas de un sólido están directamente relacionadas con su estructura de fonones. El conjunto completo de todos los fonones posibles descritos por las relaciones de dispersión de fonones se combinan en lo que se conoce como densidad de estados de fonones que determina la capacidad calorífica de un cristal. Por la naturaleza de esta distribución, la capacidad calorífica está dominada por la parte de alta frecuencia de la distribución, mientras que la conductividad térmica es principalmente el resultado de la región de baja frecuencia.

A la temperatura del cero absoluto, una red cristalina se encuentra en su estado fundamental y no contiene fonones. Una red a una temperatura distinta de cero tiene una energía que no es constante, sino que fluctúa aleatoriamente alrededor de algún valor medio. Estas fluctuaciones de energía son causadas por vibraciones reticulares aleatorias, que pueden verse como un gas de fonones. Debido a que estos fonones son generados por la temperatura de la red, a veces se denominan fonones térmicos.

Los fonones térmicos pueden crearse y destruirse mediante fluctuaciones aleatorias de energía. En el lenguaje de la mecánica estadística, esto significa que el potencial químico para agregar un fonón es cero. Este comportamiento es una extensión del potencial armónico al régimen anarmónico. El comportamiento de los fonones térmicos es similar al gas fotónico producido por una cavidad electromagnética, donde los fotones pueden ser emitidos o absorbidos por las paredes de la cavidad. Esta similitud no es casual, pues resulta que el campo electromagnético se comporta como un conjunto de osciladores armónicos, dando lugar a la radiación de cuerpo negro. Ambos gases obedecen a la estadística de Bose-Einstein: en equilibrio térmico y dentro del régimen armónico, la probabilidad de encontrar fonones o fotones en un estado dado con una frecuencia angular dada es:

${displaystyle nleft(omega _{k,s}right)={frac {1}{exp left({dfrac {hbar omega) ¿Qué? {B}T}right)}}$

donde ω_k,s es la frecuencia de los fonones (o fotones) en el estado, k_B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura.

Tunelización de fonones

Se ha demostrado que los fonones exhiben un comportamiento de tunelización cuántica (o tunelización de fonones) donde, a través de espacios de hasta un nanómetro de ancho, el calor puede fluir a través de fonones que "túnel" entre dos materiales. Este tipo de transferencia de calor funciona entre distancias demasiado grandes para que ocurra la conducción pero demasiado pequeñas para que ocurra la radiación y, por lo tanto, no puede explicarse mediante los modelos clásicos de transferencia de calor.

Formalismo del operador

El hamiltoniano de fonones está dado por

${fnMicroc}= {fnMicroc} {1}{2}sum _{alpha ##left(p_{alpha }{2}+omega _{alpha. }{2}-hbar omega _{alpha }right)}$

En términos de los operadores de creación y aniquilación, estos están dados por

${displaystyle {Mathcal {H}=sum _{alpha }hbar omega _{alpha }{a_{alpha Oh, Dios mío. }$

Aquí, al expresar el hamiltoniano en formalismo de operadores, no hemos tenido en cuenta la clase 1/2ħω_q término como, dado un continuo o celosía infinita, el 1/2ħω_q términos se sumarán dando como resultado un término infinito. Por lo tanto, se "renormaliza" estableciendo el factor de 1/2ħω_q a 0, argumentando que la diferencia de energía es lo que medimos y no su valor absoluto. Por lo tanto, 1/2ħω_q está ausente en la expresión formalizada por el operador para el hamiltoniano.

El estado fundamental, también llamado "estado de vacío", es el estado compuesto sin fonones. Por lo tanto, la energía del estado fundamental es 0. Cuando un sistema está en el estado |n₁n₂n₃…⟩, decimos que hay n_α fonones de tipo α, donde n_α es el número de ocupación de los fonones. La energía de un solo fonón de tipo α está dada por ħω_q y la energía total de un sistema general de fonones está dada por n₁ħω₁ + n₂ħω ₂ +…. Como no hay términos cruzados (por ejemplo, n₁ħω₂), se dice que los fonones no son interactuando La acción de los operadores de creación y aniquilación viene dada por:

${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}. ################################################################################################################################################################################################################################################################ -1}n_{alpha }n_{alpha +1}ldots {Big rangle }={sqrt {n_{alpha }+1}{Big ⋅}n_{1}ldotsn_{alpha -1},(n_{alpha }+1),n_{alpha +1}ldots {Big rangle }$

y,

${displaystyle a_{alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ -1}n_{alpha }n_{alpha +1}ldots {Big rangle }={sqrt {cHFF} {cH00FF} {fnK}} {fn}ldotsn_{alpha -1},(n_{alpha }-1),n_{alpha +1},ldots {Big rangle }$

El operador de creación, a_α^† crea un fonón de tipo α mientras que a< sub>α aniquila a uno. Por lo tanto, son respectivamente los operadores de creación y aniquilación de fonones. De manera análoga al caso del oscilador armónico cuántico, podemos definir el operador de número de partículas como

${displaystyle N=sum _{alpha }{a_{alpha Oh, Dios mío. }$

El operador numérico conmuta con una cadena de productos de los operadores de creación y aniquilación si y solo si el número de operadores de creación es igual al número de operadores de aniquilación.

Se puede demostrar que los fonones son simétricos en el intercambio (es decir, |α,β⟩ = |β,α⟩), por lo que se consideran bosones.

No linealidad

Al igual que los fotones, los fonones pueden interactuar a través de conversión descendente paramétrica y formar estados coherentes comprimidos.

Propiedades previstas

Investigaciones recientes han demostrado que los fonones y los rotones pueden tener una masa no despreciable y verse afectados por la gravedad al igual que las partículas estándar. En particular, se prevé que los fonones tengan una especie de masa y gravedad negativas. Esto puede explicarse por cómo se sabe que los fonones viajan más rápido en materiales más densos. Debido a que la parte de un material que apunta hacia una fuente gravitatoria está más cerca del objeto, se vuelve más densa en ese extremo. A partir de esto, se predice que los fonones se desviarán cuando detecte la diferencia de densidades, exhibiendo las cualidades de un campo gravitacional negativo. Aunque el efecto sería demasiado pequeño para medirlo, es posible que los equipos futuros puedan conducir a resultados exitosos.

También se ha predicho que los fonones desempeñarán un papel clave en la superconductividad de los materiales y en la predicción de compuestos superconductores.

En 2019, los investigadores pudieron aislar fonones individuales sin destruirlos por primera vez.