Foliación

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En matemáticas, un tipo de relación de equivalencia en un n-manifold

sección 2-dimensional de la follación Reeb

En matemáticas (geometría diferencial), una foliación es una relación de equivalencia sobre una n-variedad, siendo las clases de equivalencia conectadas, subvariedades inyectivamente inmersas, todas de la misma dimensión p, modelado sobre la descomposición del espacio real de coordenadas Rⁿ en las clases laterales x + R^p del subespacio integrado estándar R^p. Las clases de equivalencia se denominan las hojas de la foliación. Si se requiere que la variedad y/o las subvariedades tengan una estructura lineal por partes, diferenciable (de clase C^r), o analítica, entonces se define diferenciable lineal por partes, o foliaciones analíticas, respectivamente. En el caso más importante de foliación diferenciable de clase C^r se suele entender que r ≥ 1 (en caso contrario, C⁰ es una foliación topológica). El número p (la dimensión de las hojas) se llama la dimensión de la foliación y q = n − p se llama su codimensión.

En algunos artículos sobre relatividad general escritos por físicos matemáticos, el término foliación (o rebanado) se usa para describir una situación en la que la variedad de Lorentz relevante (a (p+ 1) espacio-tiempo dimensional) se ha descompuesto en hipersuperficies de dimensión p, especificadas como los conjuntos de niveles de una función suave de valor real (campo escalar) cuyo gradiente es en todas partes distinto de cero; Además, se suele suponer que esta función suave es una función de tiempo, lo que significa que su gradiente es en todas partes similar al tiempo, de modo que sus conjuntos de niveles son todos hipersuperficies similares al espacio. En deferencia a la terminología matemática estándar, estas hipersuperficies a menudo se denominan hojas (o, a veces, rebanadas) de la foliación. Tenga en cuenta que si bien esta situación constituye una foliación de codimensión-1 en el sentido matemático estándar, los ejemplos de este tipo son en realidad globalmente triviales; mientras que las hojas de una foliación (matemática) de codimensión-1 son siempre localmente los conjuntos de niveles de una función, generalmente no se pueden expresar de esta manera globalmente, ya que una hoja puede pasar infinitamente a través de un gráfico de trivialización local. muchas veces, y la holonomía alrededor de una hoja también puede obstruir la existencia de funciones definitorias globalmente consistentes para las hojas. Por ejemplo, mientras que la 3-esfera tiene una famosa foliación de codimensión 1 descubierta por Reeb, los conjuntos de nivel de una función suave no pueden dar una foliación de codimensión 1 de una variedad cerrada, ya que una función suave en una variedad cerrada necesariamente tiene puntos críticos en sus máximos y mínimos.

Cartas y atlas foliados

Para dar una definición más precisa de foliación, es necesario definir algunos elementos auxiliares.

Un vecindario rectangular en Rⁿ es un subconjunto abierto de la forma B = J₁ × ⋅⋅⋅ × J_n, donde J_i es un intervalo relativamente abierto (posiblemente ilimitado) en el iésimo eje de coordenadas. Si J₁ es de la forma (a,0], se dice que B tiene frontera

{displaystyle partial B=left{left(0,x^{2},ldotsx^{n}right)in Bright}.}

En la siguiente definición, se consideran gráficos de coordenadas que tienen valores en R^p × R^q, permitiendo la posibilidad de variedades con contorno y esquinas (convexas).

A Gráfico follado sobre n- Manifold M de la codimensión q es un par (U,φ), donde U ⊆ M está abierto ${displaystyle varphi:Uto B_{tau }times B_{pitchfork }}$ es un diffeomorfismo, ${displaystyle B_{pitchfork }}$ ser un barrio rectangular en R^q y ${displaystyle B_{tau }}$ un barrio rectangular en R^p. El set P_Sí. = φ⁻¹()B_τ ×Sí.}), donde ${displaystyle yin B_{pitchfork }}$ , se llama a placa de esta carta follada. Para cada x B_τ, el conjunto S_x = φ⁻¹({x} × ${displaystyle B_{pitchfork }}$ ) se llama un transversal de la carta follada. El set ∂_τU = φ⁻¹()B_τ ×∂ ${displaystyle B_{pitchfork }}$ ) se llama el límite tangencial de U y ${displaystyle partial _{pitchfork }U}$ = φ⁻¹()∂B_τ) × ${displaystyle B_{pitchfork }}$ ) se llama el frontera transversal de U.

El gráfico follado es el modelo básico para todas las follaciones, las placas son las hojas. La notación B_τ se lee como "B-tangencial ${displaystyle B_{pitchfork }}$ como "B- transversal". También hay varias posibilidades. Si ambos ${displaystyle B_{pitchfork }}$ y B_τ tienen límites vacíos, los modelos de gráfico follada codimension-q foliaciones de n- Manifolds sin límites. Si uno, pero no ambos de estos barrios rectangulares tiene límites, el gráfico follado modela las diversas posibilidades de follaciones de n- con bordes y sin esquinas. Específicamente, si ∂ ${displaystyle B_{pitchfork }}$ ل ∅ = ∂B_τ, entonces ∂U = ∂_τU es una unión de placas y la follación por placas es tangente al límite. Si ∂B_τ ل ∅ = ∂ ${displaystyle B_{pitchfork }}$ , entonces ∂U = ${displaystyle partial _{pitchfork }U}$ es una unión de transversales y la follación es transversal al límite. Por último, si ∂ ${displaystyle B_{pitchfork }}$ Descubrir √≥ ∂B_τ, este es un modelo de un manifold follado con un rincón que separa el límite tangencial del límite transversal.

A atlas folladas de la codimensión q y clase C^r (0 ≤ r en el n- Manifold M es un C^r-atlas ${displaystyle {mathcal {U}}={(U_{alpha },varphi _{alpha })mid alpha in A}}$ de cartas folladas de codimensión q que son coherentemente follada en el sentido de que, cuando P y Q son placas en tablas distintas de ${mathcal {U}}$ , entonces P ∩ Q está abierto ambos P y Q.

Una forma útil de reformular la noción de cartas con hojas coherentes es escribir para w ∈ U_α ∩ U_β

{displaystyle varphi _{alpha }(w)=left(x_{alpha }(w),y_{alpha }(w)right)in B_{tau }^{alpha }times B_{pitchfork }^{alpha },}

{displaystyle varphi _{beta }(w)=left(x_{beta }(w),y_{beta }(w)right)in B_{tau }^{beta }times B_{pitchfork }^{beta }.}

La notación (U_α,φ_α) a menudo se escribe (U_α,x_α,y_α), con

{displaystyle x_{alpha }=left(x_{alpha }^{1},dotsx_{alpha }^{p}right),}

{displaystyle y_{alpha }=left(y_{alpha }^{1},dotsy_{alpha }^{q}right).}

En φ_β(U_α ∩ U_β) la fórmula de coordenadas se puede cambiar como

{displaystyle g_{alpha beta }left(x_{beta },y_{beta }right)=varphi _{alpha }circ varphi _{beta }^{-1}left(x_{beta },y_{beta }right)=left(x_{alpha }left(x_{beta },y_{beta }right),y_{alpha }left(x_{beta },y_{beta }right)right).}

La condición de que (U_α,x_α, y_α) y (U_β,x_β,y_β) ser coherentemente foliada significa que, si P ⊂ U_α es una placa, los componentes conectados de P ∩ U_β se encuentran en placas (posiblemente distintas) de U_β. De manera equivalente, ya que las placas de U_α y U_β son conjuntos de niveles de las coordenadas transversales y_α y y_β, respectivamente, cada punto z ∈ U_α ∩ U_β tiene un vecindario en el que la fórmula

{displaystyle y_{alpha }=y_{alpha }(x_{beta },y_{beta })=y_{alpha }(y_{beta })}

es independiente de x_β.

El uso principal de los atlas foliados es unir sus placas superpuestas para formar las hojas de una foliación. Para este y otros propósitos, la definición general de atlas foliado anterior es un poco torpe. Un problema es que una placa de (U_α,φ_α) puede encontrarse con varias placas de (U_β,φ_β). Incluso puede ocurrir que una placa de una carta se encuentre con infinitas placas de otra carta. Sin embargo, no se pierde generalidad al suponer que la situación es mucho más regular, como se muestra a continuación.

Dos atlas folladas ${mathcal {U}}$ y ${mathcal {V}}$ on M de la misma clase de codimensión y suavidad C^r son coherente ${displaystyle left({mathcal {U}}thickapprox {mathcal {V}}right)}$ si ${displaystyle {mathcal {U}}cup {mathcal {V}}}$ es una follada C^r- Ay. La coherencia de las atlas folladas es una relación de equivalencia.

Prueba

La reflexividad y la simetría son inmediatas. Para probar la transitividad ${displaystyle {mathcal {U}}thickapprox {mathcal {V}}}$ y ${displaystyle {mathcal {V}}thickapprox {mathcal {W}}}$ . Vamos.U_α,x_α,Sí._α) ${mathcal {U}}$ yW_λ,x_λ,Sí._λ) ${mathcal {W}}$ y suponer que hay un punto w ▪ U_α ∩ W_λ. Elija (V_δ,x_δ,Sí._δ) ${mathcal {V}}$ tales que w ▪ V_δ. Por los comentarios anteriores, hay un vecindario N de w dentro U_α ∩ V_δ ∩ W_λ tales que

{displaystyle y_{delta }=y_{delta }(y_{lambda })quad {text{on}}quad varphi _{lambda }(N),}

{displaystyle y_{alpha }=y_{alpha }(y_{delta })quad {text{on}}quad varphi _{delta }(N),}

y por consiguiente

{displaystyle y_{alpha }=y_{alpha }left(y_{delta }(y_{lambda })right)quad {text{on}}quad varphi _{delta }(N).}

Desde w ▪ U_α ∩ W_λ es arbitrario, se puede concluir que Sí._α()x_λ,Sí._λ) es localmente independiente de x_λ. Por lo tanto, se prueba que ${displaystyle {mathcal {U}}thickapprox {mathcal {W}}}$ , por lo tanto, esa coherencia es transitiva.

También se abren las placas y las transversales definidas arriba en conjuntos abiertos. Pero se puede hablar también de placas cerradas y transversales. Es decir, si (U,φ) y (W,↑) son cartas folladas tal que ${overline {U}}$ (el cierre de U) es un subconjunto de W y φ = ↑SilencioU entonces, si ${displaystyle varphi (U)=B_{tau }times B_{pitchfork },}$ se puede ver que ${displaystyle psi |{overline {U}}}$ , escrito ${displaystyle {overline {varphi }}}$ , lleva ${overline {U}}$ diffeomorfo en ${displaystyle {overline {B}}_{tau }times {overline {B}}_{pitchfork }.}$

Did you mean:

A foliated atlas is said to be regular if

para cada α A, ${displaystyle {overline {U}}_{alpha }}$ es un subconjunto compacto de un gráfico follado (W_α,↑_α) y φ_α = ↑_αSilencioU_α;
la cubierta {U_α Silencio α α A} es localmente finito;
siU_α,φ_α) y (U_β,φ_β) son elementos del atlas follado, luego el interior de cada placa cerrada P ⊂ ${displaystyle {overline {U}}_{alpha }}$ se encuentra en la mayoría de una placa en ${displaystyle {overline {U}}_{beta }.}$

Por propiedad (1), las coordenadas x_α y Sí._α extenderse a las coordenadas ${displaystyle {overline {x}}_{alpha }}$ y ${displaystyle {overline {y}}_{alpha }}$ on ${displaystyle {overline {U}}_{alpha }}$ y uno escribe ${displaystyle {overline {varphi }}_{alpha }=left({overline {x}}_{alpha },{overline {y}}_{alpha }right).}$ La propiedad (3) equivale a exigirla, si U_α ∩ U_β ل ∅, la coordinación transversal cambia ${displaystyle {overline {y}}_{alpha }={overline {y}}_{alpha }left({overline {x}}_{beta },{overline {y}}_{beta }right)}$ ser independiente de ${displaystyle {overline {x}}_{beta }.}$ Eso es

{displaystyle {overline {g}}_{alpha beta }={overline {varphi }}_{alpha }circ {overline {varphi }}_{beta }^{-1}:{overline {varphi }}_{beta }left({overline {U}}_{alpha }cap {overline {U}}_{beta }right)rightarrow {overline {varphi }}_{alpha }left({overline {U}}_{alpha }cap {overline {U}}_{beta }right)}

tiene la fórmula

{displaystyle {overline {g}}_{alpha beta }left({overline {x}}_{beta },{overline {y}}_{beta }right)=left({overline {x}}_{alpha }left({overline {x}}_{beta },{overline {y}}_{beta }right),{overline {y}}_{alpha }left({overline {y}}_{beta }right)right).}

Afirmaciones similares son válidas también para gráficos abiertos (sin las líneas superpuestas). El mapa de coordenadas transversales y_α se puede ver como una inmersión

{displaystyle y_{alpha }:U_{alpha }rightarrow mathbb {R} ^{q}}

y las fórmulas y_α = y_α(y_β) pueden verse como difeomorfismos

{displaystyle gamma _{alpha beta }:y_{beta }left(U_{alpha }cap U_{beta }right)rightarrow y_{alpha }left(U_{alpha }cap U_{beta }right).}

Estos cumplen las condiciones del cociclo. Es decir, en y_δ(U_α ∩ U_β ∩ U_δ),

{displaystyle gamma _{alpha delta }=gamma _{alpha beta }circ gamma _{beta delta }}

y, en particular,

{displaystyle gamma _{alpha alpha }equiv y_{alpha }left(U_{alpha }right),}

{displaystyle gamma _{alpha beta }=gamma _{beta alpha }^{-1}.}

Usando las definiciones anteriores de coherencia y regularidad, se puede demostrar que cada atlas foliado tiene un refinamiento coherente que es regular.

Prueba

Arregla una métrica M y un atlas folladas ${displaystyle {mathcal {W}}.}$ Pasando a un subcover, si es necesario, se puede suponer que ${displaystyle {mathcal {W}}=left{W_{j},psi _{j}right}_{j=1}^{l}}$ es finito. Let ε 0 ser un número de Lebesgue para ${displaystyle {mathcal {W}}.}$ Es decir, cualquier subconjunto X ⊆ M de diámetro W_j. Para cada uno x ▪ M, elegir j tales que x ▪ W_j y elegir un gráfico follado (U_x, φ_x.

x ▪ U_x ⊆

{displaystyle {overline {U}}_{x}}

⊂ W_j,

φ_x = ↑_jSilencioU_x,

diam(U_x) ε/2.

Supongamos que U_x ⊂ W_k, k ل j, y escribir ↑_k =x_k,Sí._kComo siempre, donde Sí._k: W_k → R^q es el mapa de coordenadas transversal. Esta es una sumersión que tiene las placas en W_k como conjunto de nivel. Así, Sí._k restringe a una sumersión Sí._k: U_x → R^q.

Esto es localmente constante en x_j; así elegir U_x más pequeño, si es necesario, uno puede asumir que Sí._kSilencio ${displaystyle {overline {U}}_{x}}$ tiene las placas de ${displaystyle {overline {U}}_{x}}$ como su nivel establece. Es decir, cada placa de W_k reuniones (de ahí) en la mayoría de una placa (compacta) ${displaystyle {overline {U}}_{x}}$ . Desde 1 k. l # Se puede elegir # U_x así, cuando sea U_x ⊂ W_k, placas distintas ${displaystyle {overline {U}}_{x}}$ miente en placas distintas W_k. Pasar a un subatlas finito ${displaystyle {mathcal {U}}=left{U_{i},varphi _{i}right}_{i=1}^{N}}$ de {U_x,φ_xSilencio x ▪ M}. Si U_i ∩ U_j ل 0, then diam(U_i ∪ U_j) ε, y por lo tanto hay un índice k tales que ${displaystyle {overline {U}}_{i}cup {overline {U}}_{j}subseteq W_{k}.}$ Placas distintas ${displaystyle {overline {U}}_{i}}$ (respectivamente, de ${displaystyle {overline {U}}_{j}}$ ) mentira en placas distintas W_k. De ahí cada placa ${displaystyle {overline {U}}_{i}}$ tiene reunión interior en la mayoría de una placa ${displaystyle {overline {U}}_{j}}$ y viceversa. Por construcción, ${mathcal {U}}$ es un refinamiento coherente ${mathcal {W}}$ y es un atlas follado regular.

Si M no es compacto, la compactidad local y la segunda contable permite elegir una secuencia ${displaystyle left{K_{i}right}_{i=0}^{infty }}$ de subconjuntos compactos tales K_i ⊂ int K_{i+ 1} para cada uno i ≥ 0 y ${displaystyle M=bigcup _{i=1}^{infty }K_{i}.}$ Pasando a un subatlas, se supone que ${displaystyle {mathcal {W}}=left{W_{j},psi _{j}right}_{j=0}^{infty }}$ es contable y una secuencia estrictamente creciente ${displaystyle left{n_{l}right}_{l=0}^{infty }}$ de enteros positivos se puede encontrar tal que ${displaystyle {mathcal {W}}_{l}=left{W_{j},psi _{j}right}_{j=0}^{n_{l}}}$ cubiertas K_l. Let δ_l denota la distancia K_l aK_{l+ 1} y elegir ε_l ■ 0 tan pequeño que ε_l ▪ min{δ_l/2,ε_l-1Para l ≥ 1, ε₀ δ₀/2, y ε_l es un número de Lebesgue para ${displaystyle {mathcal {W}}_{l}}$ (como cubierta abierta) K_l) y para ${displaystyle {mathcal {W}}_{l+1}}$ (como cubierta abierta) K_{l+ 1}). Más precisamente, si X ⊂ M reuniones K_l (respectivamente, K_{l+ 1}) y diam X ε_l, entonces X mentiras en algún elemento ${displaystyle {mathcal {W}}_{l}}$ (respectivamente, ${displaystyle {mathcal {W}}_{l+1}}$ ). Para cada uno x ▪ K_l ${displaystyle diagdown }$ int K_l-1, construir (U_x,φ_x) en el caso compacto, que requiere que ${displaystyle {overline {U}}_{x}}$ ser un subconjunto compacto W_j y eso φ_x = ↑_jSilencioU_x, algunos j ≤ n_l. Además, requiere ese diam ${displaystyle {overline {U}}_{x}}$ ε_l/2. Como antes, pasar a un subcover finito ${displaystyle left{U_{i},varphi _{i}right}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}}$ de K_l ${displaystyle diagdown }$ int K_l-1. (Aquí, se toma n₋₁ = 0.) Esto crea un atlas foliado regular ${displaystyle {mathcal {U}}=left{U_{i},varphi _{i}right}_{i=1}^{infty }}$ que refina ${mathcal {W}}$ y es coherente con ${displaystyle {mathcal {W}}.}$ .

Definiciones de foliación

Existen varias definiciones alternativas de foliación según la forma en que se logra la foliación. La forma más común de lograr una foliación es a través de la descomposición llegando a las siguientes

Definición. A p-dimensional, clase C^r follación de un n- manifold dimensional M es una descomposición de M en un sindicato de submanipadores conectados descomunados {L_α}_αA, llamado el hojas de la follación, con la siguiente propiedad: Cada punto en M tiene un vecindario U y un sistema de clase local C^r coordenadas x=x¹, ⋅⋅⋅, xⁿ) U→Rⁿ tal que para cada hoja L_α, los componentes de U ∩ L_α se describen por las ecuaciones x^{p+ 1}=constant, ⋅⋅⋅⋅, xⁿ=contante. Una follación es denotada por ${mathcal {F}}$ =L_α}_αA.

La noción de hojas permite una forma intuitiva de pensar en una follación. Para una definición ligeramente más geométrica, $p$ -foliación dimensional ${mathcal {F}}$ of an $n$ - Manifold $M$ puede ser pensado como simplemente una colección ${} M a}$ de pareja-disjoint, conectado, inmerso $p$ - submanifolds dimensionales (las hojas de la follación) de $M$ , tal que por cada punto $x$ dentro $M$ , hay un gráfico ${displaystyle (U,varphi)}$ con $U$ homeomorfo a $R n$ que contiene $x$ tal que cada hoja, $M a$ , encuentros $U$ en el conjunto vacío o una colección contable de subespacios cuyas imágenes bajo $varphi$ dentro ${displaystyle varphi (M_{a}cap U)}$ son $p$ - subespacios de afina dimensionales cuyos primeros $n - p$ las coordenadas son constantes.

Localmente, cada foliación es una inmersión que permite lo siguiente

Definición. Sean M y Q variedades de dimensión n y q≤n respectivamente, y sea f: M→Q una inmersión, es decir, supongamos que el el rango de la función diferencial (el jacobiano) es q. Del teorema de la función implícita se deduce que ƒ induce una foliación de codimensión-q en M donde las hojas se definen como los componentes de f⁻¹(x) para x ∈ Q.

Esta definición describe una dimensión- $p$ foliación ${mathcal {F}}$ of an $n$ - manifold dimensional $M$ que es una cubierta por gráficos $U i$ junto con mapas

{displaystyle varphi _{i}:U_{i}to mathbb {R} ^{n}}

tal que para pares superpuestos $U i, U j$ las funciones de transición $φ ij : R n \to R n$ definido por

{displaystyle varphi _{ij}=varphi _{j}varphi _{i}^{-1}}

toma el formulario

varphi_{ij}(x,y) = (varphi_{ij}^1(x),varphi_{ij}^2(x,y))

donde $x$ denota el primer $q$ = $n - coordenadas p$ y $y$ denota las últimas $p$ coordenadas. Eso es,

{displaystyle {begin{aligned}varphi _{ij}^{1}:{}&mathbb {R} ^{q}to mathbb {R} ^{q}\varphi _{ij}^{2}:{}&mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{p}end{aligned}}}

La división de las funciones de transición φ_ij en ${displaystyle varphi _{ij}^{1}(x)}$ y ${displaystyle varphi _{ij}^{2}(x,y)}$ como parte de la sumersión es completamente análoga a la división de ${displaystyle {overline {g}}_{alpha beta }}$ en ${displaystyle {overline {y}}_{alpha }left({overline {y}}_{beta }right)}$ y ${displaystyle {overline {x}}_{alpha }left({overline {x}}_{beta },{overline {y}}_{beta }right)}$ como parte de la definición de un atlas foliado regular. Esto hace posible otra definición de follaciones en términos de atlas folladas regulares. Para ello, hay que demostrar primero que cada atlas folladas regulares de codimensión q se asocia a una follación única ${mathcal {F}}$ de la codimensión q.

Prueba

Vamos ${displaystyle {mathcal {U}}=left{U_{a},varphi _{alpha }right}_{alpha in A}}$ ser un atlas foliado regular de la codimensión q. Definir una relación de equivalencia M por configuración x ~ Sí. si y sólo si hay ${mathcal {U}}$ -plaque P₀ tales que x,Sí. ▪ P₀ o hay una secuencia L =P₀,P₁,⋅⋅,P_p} de ${mathcal {U}}$ -plaques tales que x ▪ P₀, y, P_p, y P_i ∩ P_i-1 ل ∅ con 1 ≤ i ≤ p. La secuencia L será llamado cadena de placa de longitud p conexión x y Sí.. En caso de que x,Sí. ▪ P₀, se dice queP₀} es una cadena de placa de longitud 0 conexión x y Sí.. El hecho de que ~ es una relación de equivalencia es claro. También está claro que cada clase de equivalencia L es una unión de placas. Desde ${mathcal {U}}$ - Las placas sólo pueden superponerse en los subconjuntos abiertos del otro, L es localmente un submanifold topológicamente inmerso en dimensión n − q. Los subconjuntos abiertos de las placas P ⊂ L forma la base de una topología euclidiana local en L de la dimensión n − q y L está claramente conectado en esta topología. También es trivial comprobar que L Es Hausdorff. El problema principal es demostrar que L es segundo contable. Puesto que cada placa es 2a contable, lo mismo se mantendrá L si se muestra que el conjunto de ${mathcal {U}}$ -plaques en L es muy infinita. Arregla una placa de este tipo P₀. Por la definición de un atlas regular y follada, P₀ sólo encuentra muchas otras placas. Es decir, sólo hay finitamente muchas cadenas de placa {P₀,P_i} de longitud 1. Por inducción en la longitud p de cadenas de placa que comienzan P₀, es igualmente demostrado que sólo hay finitamente muchos de longitud ≤ p. Desde todos ${mathcal {U}}$ -placa en L es, por la definición de ~, alcanzado por una cadena de placa finita que comienza en P₀, la afirmación sigue.

Como se muestra en la prueba, las hojas de la follación son clases de equivalencia de cadenas de placa de longitud ≤ p que también están inmersos topológicamente Hausdorff $p$ - Submanifolds dimensionales. A continuación, se muestra que la relación de equivalencia de placas en una hoja se expresa en equivalencia de atlas folladas coherentes respecto a su asociación con una follación. Más específicamente, si ${mathcal {U}}$ y ${mathcal {V}}$ son atlas folladas en M y si ${mathcal {U}}$ se asocia a una follación ${mathcal {F}}$ entonces ${mathcal {U}}$ y ${mathcal {V}}$ son coherentes si ${mathcal {V}}$ también está asociado a ${mathcal {F}}$ .

Prueba

Si ${mathcal {V}}$ también está asociado a ${mathcal {F}}$ , cada hoja L es una unión de ${mathcal {V}}$ -plaques y de ${mathcal {U}}$ -plaques. Estas placas son subconjuntos abiertos en la topología múltiple de L, por lo tanto se intersectan en los subconjuntos abiertos uno del otro. Puesto que las placas están conectadas, a ${mathcal {U}}$ - La placa no puede interseccionar ${mathcal {V}}$ -placa a menos que se encuentran en una hoja común; por lo que las atlas folladas son coherentes. Por el contrario, si sólo lo sabemos ${mathcal {U}}$ se asocia a ${mathcal {F}}$ y eso ${displaystyle {mathcal {V}}approx {mathcal {U}}}$ , vamos Q ser un ${mathcal {V}}$ -placa. Si L es una hoja de ${mathcal {F}}$ y w ▪ L ∩ Q, vamos P ▪ L ser un ${mathcal {U}}$ -plaque con w ▪ P. Entonces... P ∩ Q es un barrio abierto w dentro Q y P ∩ Q ⊂ L ∩ Q. Desde w ▪ L ∩ Q es arbitrario, se deduce que L ∩ Q está abierto Q. Desde L es una hoja arbitraria, de ahí que Q se descompone en subconjuntos abiertos disjoint, cada uno de los cuales es la intersección de Q con una hoja de ${mathcal {F}}$ . Desde Q está conectado, L ∩ Q = Q. Finalmente, Q es un arbitrario ${mathcal {V}}$ -plaque, y así ${mathcal {V}}$ se asocia a ${mathcal {F}}$ .

Ahora es obvio que la correspondencia entre las follaciones M y sus atlas folladas asociadas inducen una correspondencia entre el conjunto de follaciones en M y el conjunto de clases de coherencia de atlas folladas o, en otras palabras, una follación ${mathcal {F}}$ de la codimensión q y clase C^r on M es una clase de coherencia de atlas folladas de codimensión q y clase C^r on M. Por la lema de Zorn, es obvio que cada clase de coherencia de atlas folladas contiene un atlas exquisito. Así,

Definición. Una foliación de codimensión q y clase C^r sobre M es un atlas C^r foliado máximo de codimensión q en M.

En la práctica, generalmente se usa un atlas foliado relativamente pequeño para representar una foliación. Por lo general, también se requiere que este atlas sea regular.

En el gráfico $U i$ , las franjas $x = constante$ coincide con las franjas de otros gráficos $U j$ . Estas subvariedades se unen de un gráfico a otro para formar subvariedades inmersas inyectivamente conectadas al máximo llamadas las hojas de la foliación.

Si uno reduce el gráfico $U i$ se puede escribir como $U ix \times U iy$ , donde $U ix \subset R n - p, U iy \subset R p$ , $U iy$ es homeomorfo a las placas, y los puntos de $U ix$ parametrizan las placas en $U i$ . Si uno elige $y 0$ en $U iy$ , luego $U ix \times {y 0}$ es una subvariedad de $U i$ que corta cada placa exactamente una vez. Esto se denomina sección transversal local de la foliación. Tenga en cuenta que, debido a la monodromía, es posible que no existan secciones transversales globales de la foliación.

El caso r = 0 es bastante especial. Las foliaciones C⁰ que surgen en la práctica suelen ser de "hojas lisas". Más precisamente, son de clase C^r,0, en el siguiente sentido.

Definición. Una follación ${mathcal {F}}$ es de clase C^r,k, r ■ k ≥ 0, si la clase correspondiente de coherencia de atlas folladas contiene un atlas follada regular {U_α,x_α,Sí._α}_αA tal que el cambio de fórmula de coordinación

{displaystyle g_{alpha beta }(x_{beta },y_{beta })=(x_{alpha }(x_{beta },y_{beta }),y_{alpha }(y_{beta })).}

es de clase C^k, pero x_α es de clase C^r en las coordenadas x_β y sus parciales mixtos x_β de órdenes ≤ r son C^k en las coordenadas (x_β, y_β).

La definición anterior sugiere el concepto más general de espacio foliado o laminación abstracta. Se relaja la condición de que las transversales sean subconjuntos abiertos, relativamente compactos de R^q, permitiendo que las coordenadas transversales y _α para tomar sus valores en algún espacio topológico más general Z. Las placas aún están abiertas, subconjuntos relativamente compactos de R^p, el cambio de fórmula de coordenadas transversales y_α(y_β) es continua y x_α (x_β,y_β) es de clase C^r en las coordenadas x_β y su mezcla x_β parciales de orden ≤ r son continuos en las coordenadas (x_β,y_β). Por lo general, se requiere que M y Z sean localmente compactos, segundo contables y metrizables. Esto puede parecer una generalización bastante salvaje, pero hay contextos en los que es útil.

Holonomía

Vamos.M, ${mathcal {F}}$ Sé un manifold follado. Si L es una hoja de ${mathcal {F}}$ y s es un camino L, uno está interesado en el comportamiento de la follación en un barrio de s dentro M. Intuitivamente, un habitante de la hoja camina por el camino s, vigilando todas las hojas cercanas. As they (hereafter denoted by s()t)) Proceder, algunas de estas hojas pueden "salir", salir del rango visual, otras pueden de repente entrar en rango y enfoque L asintotically, others may follow along in a more or less parallel fashion or wind around L lateralmente, etc.. Si s es un bucle, entonces s()t) repetidamente regresa al mismo punto s()t₀como t va a la infinidad y cada vez más hojas pueden haber espiralado en la vista o fuera de la vista, etc.. Este comportamiento, cuando se formaliza adecuadamente, se llama el Holonomy de la follación.

La holonomía se implementa en variedades foliadas de varias formas específicas: el grupo de holonomía total de paquetes foliados, el pseudogrupo de holonomía de variedades foliadas generales, el grupoide de holonomía germinal de variedades foliadas generales, el grupo de holonomía germinal de una hoja y el infinitesimal grupo de holonomía de una hoja.

Paquetes foliados

El caso de holonomía más fácil de entender es la holonomía total de un haz foliado. Esta es una generalización de la noción de un mapa de Poincaré.

Una sección transversal N y el primer mapa de retorno f Donde M = S¹ × D² y N = D².

El término "primer mapa de retorno (recurrencia)" proviene de la teoría de sistemas dinámicos. Let ⋅_t ser un no C^r flujor≥ 1) en el compacto n- Manifold M. En aplicaciones, se puede imaginar que M es un ciclotrón o algún bucle cerrado con flujo de fluidos. Si M tiene un límite, se supone que el flujo es tangente al límite. El flujo genera una follación 1-dimensional ${mathcal {F}}$ . Si uno recuerda la dirección positiva del flujo, pero de otra manera olvida la parametrización (forma de trayectoria, velocidad, etc..), la follación subyacente ${mathcal {F}}$ se dice que está orientado. Supongamos que el flujo admite una sección transversal global N. Eso es, N es un compacto, adecuadamente incrustado, C^r submanifold of M de la dimensión n– 1, la follación ${mathcal {F}}$ es transversal N, y cada línea de flujo se reúne N. Porque las dimensiones N y de las hojas son complementarias, la condición transversal es que

{displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({mathcal {F}})oplus T_{y}(N){text{ for each }}yin N.}

Vamos Sí. ▪ N y considerar el ⋅-limit set ωSí.) de todos los puntos de acumulación en M de todas las secuencias ${displaystyle left{Phi _{t_{k}}(y)right}_{k=1}^{infty }}$ , donde t_k va al infinito. Se puede demostrar que ω(y) es compacto, no vacío y una unión de líneas de flujo. Si ${displaystyle z=lim _{krightarrow infty }Phi _{t_{k}}in omega (y),}$ hay un valor t* R tales que CCPR_t*()z) N y sigue que

{displaystyle lim _{kto infty }Phi _{t_{k}+t^{ast }}(y)=Phi _{t^{ast }}(z)in N.}

Desde N es compacto y ${mathcal {F}}$ es transversal N, sigue que el conjunto {t ENTRE FORMACIÓN ENTRE ANTERIOR_t()Sí.) ANTE N} es una secuencia monotonicamente creciente ${displaystyle {tau _{k}(y)}_{k=1}^{infty }}$ que se sumerge al infinito.

Como y ∈ N varía, sea τ(y) = τ₁(y), definiendo así una función positiva τ ∈ C^r(N) (el primer tiempo de retorno) tal que, para y ∈ N arbitrarios, Φ_t(y) ∉ N, 0 < t < τ(y), y Φ_τ(y)( y) ∈ N.

Define f: N → N por la fórmula f()Sí.) = Ё_τ()Sí.)()Sí.). Esto es un C^r mapa. Si el flujo es revertido, exactamente la misma construcción proporciona el inverso f⁻¹; así f Diff^r()N). Este diffeomorfismo es el primer mapa de retorno y τ se llama el primera vez. Aunque el primer tiempo de retorno depende de la parametrización del flujo, debe ser evidente que f depende sólo de la follación orientada ${mathcal {F}}$ . Es posible reparametrizar el flujo ⋅_t, mantenerlo no fijo, de clase C^r, y no revertir su dirección, para queτ↑ 1.

La suposición de que existe una sección transversal N para el flujo es muy restrictiva, lo que implica que M es el espacio total de un haz de fibras sobre S¹. De hecho, en R × N, define ~_f como la relación de equivalencia generada por

{displaystyle (t,y)sim _{f}(t-1,f(y)).}

Equivalentemente, esta es la equivalencia de órbita para la acción del grupo aditivo Z en R × N definido por

{displaystyle kcdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}

para cada k ∈ Z y para cada (t,y) ∈ R × N. El cilindro de mapeo de f se define como la variedad C^r

{displaystyle M_{f}=(mathbb {R} times N)/{sim _{f}}.}

Por la definición del primer mapa de retorno f y la suposición de que el primer tiempo de retorno es τ ≡ 1, es inmediato que el mapa

{displaystyle Phi:mathbb {R} times Nrightarrow M.}

definido por el flujo, induce un difeomorfismo canónico C^r

{displaystyle varphi:M_{f}rightarrow M.}

Si hacemos la identificación M_f = M, entonces la proyección de R × N sobre R induce un mapa C^r

{displaystyle pi:Mrightarrow mathbb {R} /mathbb {Z} =S^{1}}

Eso hace M en el espacio total de un paquete de fibra sobre el círculo. Esto es sólo la proyección de S¹ × D² sobre S¹. La follación ${mathcal {F}}$ es transversal a las fibras de este paquete y la proyección del paquete $π$ , restringido a cada hoja L, es un mapa de cobertura $π$ : L → S¹. Esto se llama bulto follado.

Tomar como punto base x₀ ∈ S¹ la clase de equivalencia 0 + Z; entonces π⁻¹(x₀) es la sección transversal original N. Para cada ciclo s en S¹, basado en x₀, la homotopía clase [s] ∈ π₁(S¹,x₀) se caracteriza únicamente por grados s ∈ Z. El bucle s se eleva a un camino en cada línea de flujo y debe quedar claro que el ascensor s_y que comienza en y ∈ N termina en f^k(y) ∈ N, donde k = grados s. El difeomorfismo f^k ∈ Diff^r(N) también se denota por h_s y se llama la holonomía total del bucle s. Dado que esto depende solo de [s], esta es una definición de un homomorfismo

{displaystyle h:pi _{1}(S^{1},x_{0})rightarrow operatorname {Diff} ^{,r}(N),}

llamado el homomorfismo de holonomía total para el paquete foliado.

Usando paquetes de fibra de una manera más directa, dejar (M, ${mathcal {F}}$ ) ser una follada n- múltiples de codimensión q. Vamos $π$ : M → B ser un paquete de fibra con q- Fibra dimensionada F y espacio base conectado B. Supongamos que todas estas estructuras son de clase C^r, 0 ≤ r con la condición de que, si r = 0, B soportes C¹ estructura. Desde cada maximal C¹ atlas on B contiene a C^JUEGO subatlas, ninguna generalidad se pierde al asumir que B es tan suave como se desee. Finalmente, para cada x ▪ B, asumir que hay un vecindario conectado y abierto U ⊆ B de x y una trivialización local

{displaystyle {begin{matrix}pi ^{-1}(U)&{xrightarrow {varphi }}&Utimes {F}\scriptstyle {pi }{Bigg downarrow }&{qquad }&{Bigg downarrow }{scriptstyle {p}}\U&{xrightarrow {text{id}}}&Uend{matrix}}}

Donde φ es un C^r diffeomorfismo (una homeomorfismo, si r = 0) que lleva ${textstyle {mathcal {F}}mid pi ^{-1}(U)}$ a la follación del producto {U ×Sí.}_Sí.▪F. Aquí, ${textstyle {mathcal {F}}mid pi ^{-1}(U)}$ es la follación con hojas los componentes conectados de L π π⁻¹()U), donde L rangos sobre las hojas de ${mathcal {F}}$ . Esta es la definición general del término "paquete follado"M, ${mathcal {F}}$ ,π) de clase C^r.

${mathcal {F}}$ es transversal a las fibras de π (se dice que ${mathcal {F}}$ es transversal a la fibración) y que la restricción de π a cada hoja L de ${mathcal {F}}$ es un mapa de cobertura π: L → B. En particular, cada fibra F_x = $π$ ⁻¹()x) conoce cada hoja de ${mathcal {F}}$ . La fibra es una sección transversal de ${mathcal {F}}$ en analogía completa con la noción de una sección transversal de un flujo.

La follación ${mathcal {F}}$ ser transversal a las fibras no garantiza, por sí mismo, que las hojas estén cubriendo espacios de B. Una versión simple del problema es una follación de R², transversal a la fibra

{displaystyle pi:mathbb {R} ^{2}rightarrow mathbb {R}}

{displaystyle pi (x,y)=x,}

pero con infinitamente muchas hojas faltan Sí.-Eje. En la figura respectiva, se pretende que las hojas "cerradas", y todas sobre ellas, sean asintoticas al eje x = 0. Se llama tal follación incompleta en relación con la fibra, lo que significa que algunas de las hojas "corrieron al infinito" como parámetro x ▪ B acerca de algunos x₀ ▪ B. Más precisamente, puede haber una hoja L y un camino continuo s[0,a) → L tal que lim_t→a−π(s()t) = x₀ ▪ B, pero lim_t→a−s()t) no existe en la topología múltiple de L. Esto es análogo al caso de flujos incompletos, donde algunas líneas de flujo "ir a la infinidad" en tiempo finito. Aunque tal hoja L puede encontrarse en otro lugar π⁻¹()x₀), no puede cubrir uniformemente un barrio de x₀, por lo tanto no puede ser un espacio de cobertura B menores $π$ . Cuando F es compacto, sin embargo, es cierto que la transversalidad ${mathcal {F}}$ a la fibración garantiza la integridad, de ahí que ${textstyle (M,{mathcal {F}},pi)}$ es un paquete follado.

Hay un atlas ${mathcal {U}}$ =U_α,x_α}_α on B, que consiste en tablas de coordenadas abiertas y conectadas, junto con trivializaciones φ_α: π⁻¹()U_α) → U_α × F que llevan ${mathcal {F}}$ π⁻¹()U_α) a la follación del producto. Set W_α = π⁻¹()U_α) y escribir φ_α =x_α,Sí._α) donde (por abuso de notación) x_α representaciones x_α ∘ π y Sí._α: π⁻¹()U_α) → F es la sumersión obtenida por compostaje φ_α con la proyección canónica U_α × F → F.

El atlas ${mathcal {W}}$ =W_α,x_α,Sí._α}_α▪A juega un papel análogo al de un atlas follado. Las placas de W_α son los conjuntos de nivel Sí._α y esta familia de placas es idéntica a F via Sí._α. Desde B se supone que apoya un C^JUEGO estructura, según el teorema de Whitehead uno puede fijar una métrica Riemanniana en B y elegir el atlas ${mathcal {U}}$ para ser geodésicamente convexo. Así, U_α ∩ U_β siempre está conectado. Si esta intersección no es vacía, cada placa de W_α conoce exactamente una placa de W_β. Entonces definir un Holonomy cocycle ${displaystyle gamma =left{gamma _{alpha beta }right}_{alphabeta in A}}$ por configuración

{displaystyle gamma _{alpha beta }=y_{alpha }circ y_{beta }^{-1}:Frightarrow F.}

Ejemplos

Espacio plano

Considere un espacio $n$ -dimensional, foliado como un producto por subespacios que consisten en puntos cuyo primer $n - p$ las coordenadas son constantes. Esto se puede cubrir con un solo gráfico. La declaración es esencialmente que $R n = R n - p \times R p$ con las hojas o placas $R p$ enumeradas por $R n - p$ . La analogía se ve directamente en tres dimensiones, tomando $n = 3$ y $p = 2$ : las hojas bidimensionales de un libro se enumeran mediante un número de página (unidimensional).

Paquetes

Un ejemplo bastante trivial de foliaciones son los productos $M = B \times F$ , foliada por las hojas $F b = {b} \times F, b \in B$ . (Otra foliación de $M$ viene dada por $B f = B \times {f} f \in F$ .)

Una clase más general es plana $G$ - abundantes $G Homeo F)$ para un manifold $F$ . Dada la representación $*** : π 1 () B) \to Homeo F)$ , el piso $Homeo(F)$ - abundante con monodromía $***$ es dado por $M=left(widetilde{B}times Fright)/pi_1B$ , donde $π 1 () B)$ actos sobre la cubierta universal ${widetilde {B}}$ por transformaciones de cubierta y en $F$ por medio de la representación $***$ .

Los paquetes planos encajan en el marco de los paquetes de fibra. A map $π : M \to B$ entre los manifolds es un paquete de fibra si hay un manifold F tal que cada $b ▪ B$ tiene un barrio abierto $U$ tal que hay un homeomorfismo ${displaystyle varphi:pi ^{-1}(U)to Utimes F}$ con ${displaystyle pi =p_{1}varphi }$ , con $p 1 : U \times F \to U$ proyección al primer factor. El paquete de fibra produce una follación por fibras $F_b:=pi^{-1}({b}), bin B$ . Su espacio de hojas L es homeomorfo a $B$ , en particular L es un manifold Hausdorff.

Revestimientos

Si $M \to N$ es un mapa de cobertura entre variedades y el estilo $F$ es una foliación en $N$ , luego retrocede a un foliación en $M$ . Más generalmente, si el mapa es simplemente una cubierta ramificada, donde el lugar geométrico de la rama es transversal a la foliación, entonces la foliación se puede retirar.

Sumersiones

Si $M n \to N q, (q \leq n)$ es una inmersión de variedades, del teorema de la función inversa se sigue que las componentes conectadas de las fibras de la inmersión definen una codimensión $q$ foliación de $M$ . Los haces de fibra son un ejemplo de este tipo.

Un ejemplo de inmersión, que no es un haz de fibras, lo da

{displaystyle {begin{cases}f:[-1,1]times mathbb {R} to mathbb {R} \f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}end{cases}}}

Esta inmersión produce una foliación de $[-1, 1] \times R$ que es invariable bajo $Z$ -acciones dadas por

{displaystyle z(x,y)=(x,y+n),quad {text{or}}quad z(x,y)=left((-1)^{n}x,yright)}

para $(x, y) \in [-1, 1] \times R$ y $n \in Z$ . Las foliaciones inducidas de $Z ([-1, 1] \times R)$ se denominan foliación Reeb bidimensional (del anillo) resp. la foliación Reeb bidimensional no orientable (de la banda de Möbius). Sus espacios foliares no son Hausdorff.

Foliaciones de arrecifes

Definir una inmersión

{displaystyle {begin{cases}f:D^{n}times mathbb {R} to mathbb {R} \f(r,thetat):=(r^{2}-1)e^{t}end{cases}}}

donde $(r, θ) \in [0, 1] \times S n -1$ son coordenadas cilíndricas en el disco $n$ -dimensional Dⁿ. Esta inmersión produce una foliación de $D n \times R$ que es invariable bajo el $Z$ -acciones dadas por

z(x,y)=(x,y+z)

para $(x, y) \in D n \times R, z \in Z$ . La foliación inducida de $Z (D n \times R)$ se denomina foliación Reeb $n$ -dimensional. Su espacio foliar no es Hausdorff.

Para $n = 2$ , esto da una foliación del toroide sólido que se puede usar para definir la foliación Reeb de las 3 esferas por pegando dos toros sólidos a lo largo de su límite. Las foliaciones de esferas de dimensiones impares $S 2 n +1$ también se conocen explícitamente.

Grupos de mentiras

Si $G$ es un grupo de Lie, y $H$ es un subgrupo de Lie, entonces $G$ está foliado por clases laterales de $H$ . Cuando $H$ se cierra en $G$ , el espacio cociente $G$ / $H$ es una variedad suave (Hausdorff) que convierte a $G$ en un haz de fibras con fibra $H$ y base $G$ / $H$ . Este paquete de fibra es en realidad principal, con el grupo de estructura $H$ .

Acciones grupales de mentiras

Sea $G$ un grupo de mentiras que actúa suavemente en una variedad $M$ . Si la acción es una acción localmente libre o una acción libre, entonces las órbitas de $G$ definen una foliación de $M$ .

Foliaciones lineales y Kronecker

Si ${tilde {X}}$ es un no fijo (i.e., en ninguna parte cero) campo vectorial, luego el flujo local definido por ${tilde {X}}$ parches juntos para definir una follación de dimensión 1. En efecto, dado un punto arbitrario x ▪ M, el hecho de que ${tilde {X}}$ es no lineal permite encontrar un barrio de coordenadas (U,x¹,...xⁿsobre x tales que

<math alttext="{displaystyle -varepsilon <x^{i}− − ε ε .xi.ε ε ,1≤ ≤ i≤ ≤ n,{displaystyle -varepsilon יx^{i}traducidovarepsilonquad 1leq ileq n,}<img alt="{displaystyle -varepsilon <x^{i}

{displaystyle {frac {partial }{partial x^{1}}}={tilde {X}}mid U.}

Geométricamente, las líneas de flujo de ${displaystyle {tilde {X}}mid U}$ son sólo los juegos de nivel

{displaystyle x^{i}=c^{i},quad 2leq ileq n,}

donde todo $<math alttext="{displaystyle |c^{i}|SilenciociSilencio.ε ε .{displaystyle Silencioc^{i} invisiblevarepsilon.}<img alt="{displaystyle |c^{i}|$ Puesto que por medio de la convención son segundas anomalías contables, hojas como la "línea larga" están excluidas por la segunda contable de M en sí mismo. La dificultad puede ser avalada al requerir que ${tilde {X}}$ ser un campo completo (Por ejemplo., eso M ser compacto), de ahí que cada hoja sea una línea de flujo.

Una clase importante de foliaciones unidimensionales en el toroide T² se derivan de la proyección de campos vectoriales constantes en T². Un campo vectorial constante

{displaystyle {tilde {X}}equiv {begin{bmatrix}a\bend{bmatrix}}}

on R² es invariante por todas las traducciones en R², por lo tanto pasa a un campo vectorial bien definido X cuando se proyecta en el torus $T 2 = R 2 / Z 2$ . Se supone que a ل 0. La follación ${displaystyle {mathcal {tilde {F}}}}$ on R² producidas por ${tilde {X}}$ tiene como hojas las líneas rectas paralelas de la pendiente θ = b/a. Esta follación también es invariable bajo traducciones y pasa a la follación ${mathcal {F}}$ on T² producidas por X.

Cada hoja de ${displaystyle {mathcal {tilde {F}}}}$ es de la forma

{displaystyle {tilde {L}}={(x_{0}+ta,y_{0}+tb)}_{tin mathbb {R} }.}

Si la pendiente es racional entonces todas las hojas son curvas cerradas homeomorfa al círculo. En este caso, uno puede tomar a,b ▪ Z. Para fijar t ▪ R, los puntos de ${tilde {L}}$ correspondiente a valores t ▪ t₀ + Z todo proyecto hasta el mismo punto T²; por lo tanto la hoja correspondiente L de ${mathcal {F}}$ es un círculo incrustado T². Desde L es arbitrario, ${mathcal {F}}$ es una follación de T² por círculos. Se sigue bastante fácilmente que esta follación es en realidad un paquete de fibra π: T² → S¹. Esto es conocido como foliación lineal.

Cuando la pendiente θ = b/a es irracional, las hojas son no compactas, homeomorfas a la línea real no compactada y densas en el toro (cf Irracional rotación). La trayectoria de cada punto (x₀,y₀) nunca vuelve al mismo punto, sino que genera un "en todas partes denso" enrollándose alrededor del toro, es decir, se acerca arbitrariamente a cualquier punto dado. Así, el cierre de la trayectoria es todo el toro bidimensional. Este caso se llama foliación de Kronecker, en honor a Leopold Kronecker y su

Teorema de la densidad de Kronecker. Si el número real θ es distinto de cada múltiplo racional de π, entonces el conjunto {e^inθ | n ∈ Z} es denso en el círculo unitario.

Prueba

Para ver esto, nota primero que, si una hoja ${tilde {L}}$ de ${displaystyle {mathcal {tilde {F}}}}$ no proyecta uno a uno en T², debe haber un número real t ل 0 tal que ta y tb ambos son enteros. Pero esto implicaría que b/a ▪ Q. Para mostrar que cada hoja L de ${mathcal {F}}$ es denso en T²Es suficiente para mostrar eso, para cada v ▪ R², cada hoja ${tilde {L}}$ de ${displaystyle {mathcal {tilde {F}}}}$ alcanza distancias arbitrariamente pequeñas positivas desde puntos adecuados del conjunto v + Z². Una traducción adecuada en R² permite que uno asuma que v = 0; por lo que la tarea se reduce a demostrar que ${tilde {L}}$ pasa arbitrariamente cerca de puntos adecuados (n,m) Z². La línea ${tilde {L}}$ tiene la ecuación de inclinación

{displaystyle y=theta x+c.}

Así que será suficiente encontrar, para arbitrarios pira 0, números enteros n y m tales que

<math alttext="{displaystyle |theta n+c-m|SilencioSilencio Silencio n+c- - mSilencio... .{displaystyle Silenciotheta n+c-m intimidadoeta.} <img alt="{displaystyle |theta n+c-m|

Equivalentemente, c ▪ R ser arbitrario, se reduce a demostrar que el conjunto {θn − m}_m,n▪Z es denso en R. Este es esencialmente el criterio de Eudoxus que θ y 1 ser incommensurable (i.e., que θ sea irracional).

Una construcción similar usando una foliación de $R n$ por líneas paralelas produce un Foliación unidimensional del $n$ -torus $R n / Z n$ asociado con el flujo lineal en el toro.

Foliaciones en suspensión

Un haz plano tiene no sólo su foliación por fibras sino también una foliación transversal a las fibras, cuyas hojas son

L_f:= left{pleft(tilde{b},fright): tilde{b}inwidetilde{B}right}, quad mbox{ for }fin F,

Donde $p:widetilde{B}times Fto M$ es la proyección canónica. Esta follación se llama la suspensión de la representación $*** : π 1 () B) \to Homeo F)$ .

En particular, si $B = S 1$ y ${displaystyle varphi:Fto F}$ es un homeomorfismo $F$ , entonces la follación de suspensión $varphi$ se define como la follación de suspensión de la representación $*** : Z \to Homeo F)$ dado por $*** () z) = Ё z$ . Su espacio de hojas es ${mathcal {F}}$ , donde $x ~ Sí.$ siempre $Sí. CCPR n () x)$ para algunos $n ▪ Z$ .

El ejemplo más simple de foliación por suspensión es una variedad X de dimensión q. Sea f: X → X una biyección. Se define la suspensión M = S¹ ×_f X como el cociente de [0,1] × X por la relación de equivalencia (1,x) ~ (0,f(x)).

M = S¹ ×_f X [0,1] × X

Entonces automáticamente M lleva dos follaciones: ${mathcal {F}}$ ₂ consistente en conjuntos de la forma F_2,t *t,x)_~: x ▪ X} y ${mathcal {F}}$ ₁ consistente en conjuntos de la forma F_2,x₀ *t,x) t [0,1]x O_x₀}, donde la órbita O_x₀ se define como

O_x₀ = {... f⁻²()x₀), f⁻¹()x₀), x₀, f()x₀), f²()x₀),...

donde el exponente se refiere al número de veces de la función f está compuesto por sí mismo. Note que O_x₀ O_f()x₀) O_{f⁻²()x₀)}, etc., así que lo mismo es cierto F_1,x₀. Comprender la follación ${mathcal {F}}$ ₁ es equivalente a entender la dinámica del mapa f. Si el manifold X ya está follada, se puede utilizar la construcción para aumentar la codimensión de la follación, siempre y cuando f mapas hojas a hojas.

Las foliaciones de Kronecker del 2-torus son las foliaciones de suspensión de las rotaciones $R α : S 1 \to S 1$ por ángulo $α \in [ 0, 2 π).$

Más específicamente, si la₂ es el toro de dos hidratos con C¹,C² Los dos círculos incrustados permiten ${mathcal {F}}$ ser la follación del producto del 3-manifold M. S¹ con las hojasSí.} Sí. ▪ S¹. Note que N_i = C_i × S¹ es un toro incrustado y eso ${mathcal {F}}$ es transversal N_i, i = 1,2.₊()S¹) denota el grupo de diffeomorfismos orientadores S¹ y elegir f₁,f₂ Diff₊()S¹). Corte M aparte N₁ y N₂, dejar ${displaystyle N_{i}^{+}}$ y ${displaystyle N_{i}^{-}}$ denota las copias resultantes N_i, i = 1,2. En este punto uno tiene un múltiple M '. S₁ con cuatro componentes de límites ${displaystyle left{N_{i}^{pm }right}_{i=1,2}.}$ La follación ${mathcal {F}}$ ha pasado a una follación ${displaystyle {mathcal {F^{prime }}}}$ transversal a la fronteraM ' , cada hoja de la cual es de la forma eva' × {Sí.} Sí. ▪ S¹.

Esta hoja se encuentra ∂M ' en cuatro círculos ${displaystyle C_{i}^{pm }times {y}subset N_{i}^{pm }.}$ Si z ▪ C_i, los puntos correspondientes en ${displaystyle C_{i}^{pm }}$ son denotados por z^± y ${displaystyle N_{i}^{-}}$ es "reglutido" a ${displaystyle N_{i}^{+}}$ por identificación

{displaystyle (z^{-},y)equiv (z^{+},f_{i}(y)),quad i=1,2.}

Desde f₁ y f₂ son diffeomorfismos orientadores S¹, son isotópicos a la identidad y el múltiple obtenido por esta operación de cola es homeomorfo a M. Las hojas de ${displaystyle {mathcal {F^{prime }}}}$ , sin embargo, volver a montar para producir una nueva follación ${mathcal {F}}$ ()f₁,f₂) de M. Si una hoja L de ${mathcal {F}}$ ()f₁,f₂) contiene una pieza de la Asamblea × {Sí.₀Entonces

{displaystyle L=bigcup _{gin G}Sigma ^{prime }times {g(y_{0})},}

donde G ⊂ Diff₊(S¹) es el subgrupo generado por {f ₁,f₂}. Estas copias de Σ' están unidos entre sí por identificaciones

()z⁻,g()Sí.₀)z⁺,f₁()g()Sí.₀)) para cada uno z ▪ C₁,

()z⁻,g()Sí.₀)z⁺,f₂()g()Sí.₀)) para cada uno z ▪ C₂,

Donde g rangos sobre G. La hoja está completamente determinada por la G-orbito Sí.₀ ▪ S¹ y puede él simple o inmensamente complicado. Por ejemplo, una hoja será compacta precisamente si la correspondiente G- Orbit es finito. Como ejemplo extremo, si G es trivial (f₁ = f₂ = id_S¹), entonces ${mathcal {F}}$ ()f₁,f₂) ${mathcal {F}}$ . Si una órbita es densa S¹, la hoja correspondiente es densa en M. Como ejemplo, si f₁ y f₂ son rotaciones a través de múltiples racionalmente independientes de 2π, cada hoja será densa. En otros ejemplos, algunas hojas L cierre $bar{L}$ que cumple cada factor {w} × S¹ en un set de Cantor. Construcciones similares se pueden hacer en la I, donde I es un intervalo compacto y nodegenerado. Aquí uno toma f₁,f₂ Diff₊()I) y, desdeI se fija en sentido de punto por todos los diffeomorfismos que preserven la orientación, se obtiene una follación que tiene los dos componentes deM como hojas. Cuando uno forma M ' en este caso, uno tiene un manifold follado con esquinas. En cualquier caso, esta construcción se llama suspensión de un par de diffeomorfismos y es una fuente fértil de ejemplos interesantes de codimensión-uno follaciones.

Foliaciones e integrabilidad

Existe una estrecha relación, asumiendo que todo es fluido, con campos vectoriales: dado un campo vectorial $X$ en $M$ que nunca es cero, sus curvas integrales darán una foliación unidimensional. (es decir, una codimensión $n - 1$ foliación).

Esta observación se generaliza al teorema de Frobenius, diciendo que las condiciones necesarias y suficientes para una distribución (es decir, un $n - p$ subhaz dimensional del haz tangente de una variedad) para ser tangente a las hojas de una foliación, es que el conjunto de campos vectoriales tangentes a la distribución se cierran bajo el corchete de Lie. También se puede expresar esto de manera diferente, como una cuestión de reducción del grupo de estructura del paquete tangente de $GL(n)$ a un subgrupo reducible.

Las condiciones del teorema de Frobenius aparecen como condiciones de integrabilidad; y la afirmación es que si se cumplen, la reducción puede tener lugar porque existen funciones de transición locales con la estructura de bloque requerida. Por ejemplo, en el caso de la codimensión 1, podemos definir el paquete tangente de la foliación como $ker(α)$ , para algunos (no canónico) $α \in Ω 1$ (es decir, un campo covectorial distinto de cero). Un $α$ es integrable iff $α \land dα = 0$ en todas partes.

Existe una teoría de foliación global, porque existen restricciones topológicas. Por ejemplo, en el caso de la superficie, un campo vectorial distinto de cero en todas partes puede existir en una superficie compacta orientable solo para el toro. Esto es una consecuencia del teorema del índice de Poincaré-Hopf, que muestra que la característica de Euler tendrá que ser 0. Hay muchas conexiones profundas con la topología de contacto, que es lo 'opuesto'; concepto, que requiere que la condición de integrabilidad nunca se cumpla.

Existencia de foliaciones

Haefliger (1970) dio una condición necesaria y suficiente para que una distribución en una variedad no compacta conectada sea homotópica a una distribución integrable. Thurston (1974, 1976) demostró que cualquier variedad compacta con una distribución tiene una foliación de la misma dimensión.

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