Flujo incompresible

En mecánica de fluidos o, más generalmente, en mecánica continua, flujo incompresible (flujo isocórico) se refiere a un flujo en el que la densidad del material es constante dentro de una porción de fluido: un volumen infinitesimal que se mueve con la velocidad del flujo.. Una afirmación equivalente que implica incompresibilidad es que la divergencia de la velocidad del flujo es cero (consulte la derivación a continuación, que ilustra por qué estas condiciones son equivalentes).

El flujo incompresible no implica que el fluido en sí sea incompresible. En la derivación siguiente se muestra que (bajo las condiciones adecuadas) incluso los fluidos compresibles pueden, en una buena aproximación, modelarse como un flujo incompresible.

Derivación

El requisito fundamental para el flujo incompresible es que la densidad, *** *** {displaystyle rho }, es constante dentro de un pequeño volumen de elementos, dV, que se mueve a la velocidad de flujo u. Matemáticamente, esta limitación implica que el derivado material (discutido abajo) de la densidad debe desaparecer para asegurar el flujo incompresible. Antes de introducir esta limitación, debemos aplicar la conservación de la masa para generar las relaciones necesarias. La masa se calcula por un volumen integral de la densidad, *** *** {displaystyle rho }:

m=∫ ∫ V*** *** dV.{displaystyle {m}={iiint limits _{V}!rho ,mathrm {d} V}

La conservación de la masa requiere que la derivada temporal de la masa dentro de un volumen de control sea igual al flujo de masa, J, a través de sus límites. Matemáticamente, podemos representar esta restricción en términos de una integral de superficie:

∂ ∂ m∂ ∂ t=− − {displaystyle {partial m over partial t}=- S{displaystyle S. J⋅ ⋅ dS{displaystyle mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S}

El signo negativo en la expresión anterior asegura que el flujo hacia afuera da como resultado una disminución en la masa con respecto al tiempo, usando la convención de que el vector de área de superficie apunta hacia afuera. Ahora, usando el teorema de la divergencia podemos derivar la relación entre el flujo y la derivada temporal parcial de la densidad:

∫ ∫ V∂ ∂ *** *** ∂ ∂ tdV=− − ∫ ∫ V()Silencio Silencio ⋅ ⋅ J)dV,{displaystyle {iiint limits ##{V}{partial rho over partial t},mathrm {d} V}={-iiint limits _{V}left(nabla cdot mathbf {J} right),mathrm {d} V}}

por lo tanto:

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t=− − Silencio Silencio ⋅ ⋅ J.{displaystyle {partial rho over partial t}=-nabla cdot mathbf {J}

No es necesario que la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo desaparezca para garantizar un flujo incompresible. Cuando hablamos de la derivada parcial de la densidad con respecto al tiempo, nos referimos a esta tasa de cambio dentro de un volumen de control de posición fija. Al permitir que la derivada temporal parcial de la densidad sea distinta de cero, no nos limitamos a fluidos incompresibles, porque la densidad puede cambiar cuando se observa desde una posición fija a medida que el fluido fluye a través del volumen de control. Este enfoque mantiene la generalidad y no requiere que la derivada temporal parcial de la densidad desaparezca, lo que ilustra que los fluidos compresibles aún pueden experimentar un flujo incompresible. Lo que nos interesa es el cambio de densidad de un volumen de control que se mueve junto con la velocidad del flujo, u. El flujo está relacionado con la velocidad del flujo mediante la siguiente función:

J=*** *** u.{displaystyle {mathbf {}={rho mathbf {u}}

De modo que la conservación de la masa implica que:

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** u)=∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+Silencio Silencio *** *** ⋅ ⋅ u+*** *** ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ u)=0.{displaystyle {partial rho over partial t}+{nabla cdot left(rho mathbf {u} right)}={partial rho over partial t}+{nabla rho cdot {u} }+{rho left(bblat=

La relación anterior (donde hemos utilizado la regla del producto apropiada) se conoce como ecuación de continuidad. Ahora, necesitamos la siguiente relación sobre la derivada total de la densidad (donde aplicamos la regla de la cadena):

d*** *** dt=∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+∂ ∂ *** *** ∂ ∂ xdxdt+∂ ∂ *** *** ∂ ∂ Sí.dSí.dt+∂ ∂ *** *** ∂ ∂ zdzdt.{displaystyle {mathrm {d} rho over mathrm {d} t}={partial rho over partial t}+{partial rho over partial x}{mathrm {d} x over mathrm {d} t}+{partial rho over partial y}{mathrm {d} y over mathrm {d} t}+{partial rho over partial z}{mathrm {d} z over mathrm {d} t}

Entonces, si elegimos un volumen de control que se mueve al mismo ritmo que el fluido (es decir, (dx/dt, dy/ dt, dz/dt) = u), entonces esta expresión se simplifica a la derivada material:

D*** *** Dt=∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+Silencio Silencio *** *** ⋅ ⋅ u.{displaystyle {Drho over Dt}={partial rho over partial t}+{nabla rho cdot mathbf {u} }

Y así, usando la ecuación de continuidad derivada anteriormente, vemos que:

D*** *** Dt=− − *** *** ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ u).{displaystyle {Drho over Dt}={-rho left(nabla cdot mathbf {u} right)}.}

Un cambio en la densidad a lo largo del tiempo implicaría que el fluido se había comprimido o expandido (o que la masa contenida en nuestro volumen constante, dV, había cambiado), lo cual hemos prohibido. Entonces debemos exigir que la derivada material de la densidad desaparezca y, de manera equivalente (para densidad distinta de cero), también debe hacerlo la divergencia de la velocidad del flujo:

Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0.{displaystyle {nabla cdot mathbf {u} }=0.}

Y así, comenzando con la conservación de la masa y la restricción de que la densidad dentro de un volumen de fluido en movimiento permanezca constante, se ha demostrado que una condición equivalente requerida para un flujo incompresible es que la divergencia de la velocidad del flujo desaparezca.

Relación con la compresibilidad

En algunos campos, una medida de la incompresibilidad de un flujo es el cambio de densidad como resultado de las variaciones de presión. Esto se expresa mejor en términos de compresibilidad.

β β =1*** *** d*** *** dp.{displaystyle beta ={frac}{rho }{frac {mathrm {d}{mathrm {d} {}{m} {} {}}} {m}} {m}} {f}}}} {m} {}}}}}}} {m}}}} {m}}}}} { }

Si la compresibilidad es aceptablemente pequeña, el flujo se considera incompresible.

Relación con el campo solenoidal

Un flujo incompresible se describe mediante un campo de velocidad de flujo solenoidal. Pero un campo solenoidal, además de tener una divergencia cero, también tiene la connotación adicional de tener una curvatura distinta de cero (es decir, un componente rotacional).

De lo contrario, si un flujo incompresible también tiene una curvatura de cero, de modo que también es irrotacional, entonces el campo de velocidad del flujo es en realidad laplaciano.

Diferencia con el material

Como se definió anteriormente, un flujo incompresible (isocórico) es aquel en el que

Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0.{displaystyle nabla cdot mathbf {u} =0.,}

Esto equivale a decir que

D*** *** Dt=∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** =0{displaystyle {fnMicroc {fnMicroc} }{Dt}={frac {partial rho }{partial t}+mathbf {u} cdot nabla rho =0}

es decir, el derivado material de la densidad es cero. Así, si uno sigue un elemento material, su densidad de masa permanece constante. Tenga en cuenta que el derivado material consta de dos términos. El primer mandato ∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t{displaystyle {tfrac {partial rho }{partial } describe cómo la densidad del elemento material cambia con el tiempo. Este término también se conoce como término inestable. El segundo mandato, u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** {displaystyle mathbf {u} cdot nabla rho } describe los cambios en la densidad a medida que el elemento material se mueve de un punto a otro. Este es el término de adhesión (termino de convección para el campo de escalar). Para que un flujo sea considerado como incompresibilidad, la suma de acreción de estos términos debe desaparecer.

Por otro lado, un material homogéneo, incompresible es uno que tiene densidad constante en todo. Para tal material, *** *** =constante{displaystyle rho = {text{constant}}. Esto implica que,

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t=0{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}=0} y

Silencio Silencio *** *** =0{displaystyle nabla rho =0} independientemente independiente.

De la ecuación de continuidad se deduce que

D*** *** Dt=∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** =0⇒ ⇒ Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0{displaystyle {fnMicroc {fnMicroc} }{Dt}={frac {partial rho }{partial t}+mathbf {u} cdot nabla rho =0 Rightarrow nabla cdot mathbf {u} =0}

Así, los materiales homogéneos siempre experimentan un flujo que es incompresible, pero lo contrario no es cierto. Es decir, es posible que los materiales compresibles no experimenten compresión en el flujo.

Restricciones de flujo relacionadas

En dinámica de fluidos, un flujo se considera incompresible si la divergencia de la velocidad del flujo es cero. Sin embargo, a veces se pueden utilizar formulaciones relacionadas, dependiendo del sistema de flujo que se esté modelando. Algunas versiones se describen a continuación:

1. Flujo incompresible: Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0{displaystyle {nabla cdot mathbf {u} =0}. Esto puede asumir una densidad constante (incompresible de restricción) o un flujo de densidad variable. El conjunto de densidad variable acepta soluciones que implican pequeñas perturbaciones en campos de densidad, presión y/o temperatura, y puede permitir la estratificación de presión en el dominio.
2. Flujo anelástico: Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** ou)=0{displaystyle {nabla cdot left(rho _{o}mathbf {u}right)=0}. Principalmente utilizado en el campo de las ciencias atmosféricas, la restricción anelástica extiende la validez de flujo incompresible a la densidad y/o temperatura estratificada, así como la presión. Esto permite que las variables termodinámicas se relajen a un estado base "atmosférico" visto en la atmósfera inferior cuando se utiliza en el campo de la meteorología, por ejemplo. Esta condición también se puede utilizar para varios sistemas astrofísicos.
3. Flujo bajo número de máquina, o pseudo-incompresibilidad: Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()α α u)=β β {displaystyle nabla cdot left(alpha mathbf {u} right)=beta }. La limitación de Maquillaje-número bajo puede derivarse de las ecuaciones Euler compresibles utilizando el análisis de escala de cantidades no dimensionales. La restricción, como la anterior en esta sección, permite la eliminación de ondas acústicas, pero también permite la grande perturbaciones en densidad y/o temperatura. La suposición es que el flujo permanece dentro de un límite de número Mach (normalmente inferior a 0,3) para cualquier solución utilizando tal limitación para ser válida. De nuevo, de acuerdo con todos los flujos incompresibles la desviación de presión debe ser pequeña en comparación con el estado base de presión.

Estos métodos hacen hipótesis diferentes sobre el flujo, pero todos tienen en cuenta la forma general de la limitación Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()α α u)=β β {displaystyle nabla cdot left(alpha mathbf {u} right)=beta } para las funciones que dependen de la corriente general α α {displaystyle alpha } y β β {displaystyle beta }.

Aproximaciones numéricas

La naturaleza estricta de las ecuaciones de flujo incompresibles significa que se han ideado técnicas matemáticas específicas para resolverlas. Algunos de estos métodos incluyen:

1. El método de proyección (tanto aproximado como exacto)
2. Técnica de compresión artificial (aproximada)
3. Preacondicionamiento de compresión