Flujo de ricci

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Ecuación diferencial parcial

En los campos matemáticos de geometría diferencial y análisis geométrico, el flujo de Ricci (REE-chee, italiano: [ˈrittʃi]), a veces también denominada flujo de Ricci de Hamilton, es un cierto ecuación diferencial parcial para una métrica de Riemann. A menudo se dice que es análoga a la difusión del calor y la ecuación del calor, debido a las similitudes formales en la estructura matemática de la ecuación. Sin embargo, no es lineal y exhibe muchos fenómenos que no están presentes en el estudio de la ecuación del calor.

El flujo de Ricci, llamado así por la presencia del tensor de Ricci en su definición, fue introducido por Richard Hamilton, quien lo usó durante la década de 1980 para demostrar nuevos resultados sorprendentes en la geometría de Riemann. Extensiones posteriores de los métodos de Hamilton por varios autores dieron como resultado nuevas aplicaciones a la geometría, incluida la resolución de la conjetura de la esfera diferenciable por Simon Brendle y Richard Schoen.

Siguiendo la sugerencia de Shing-Tung Yau de que las singularidades de las soluciones del flujo de Ricci podrían identificar los datos topológicos predichos por la conjetura de geometrización de William Thurston, Hamilton produjo una serie de resultados en la década de 1990 que estaban dirigidos hacia la resolución de la conjetura. En 2002 y 2003, Grigori Perelman presentó una serie de nuevos resultados fundamentales sobre el flujo de Ricci, incluida una variante novedosa de algunos aspectos técnicos del programa de Hamilton. Los trabajos de Hamilton y Perelman ahora son ampliamente considerados como una prueba de la conjetura de Thurston, incluyendo como caso especial la conjetura de Poincaré, que había sido un problema abierto muy conocido en el campo de la topología geométrica desde 1904. Sus resultados se consideran un hito en los campos de la geometría y la topología.

Definición matemática

En una variedad suave $M$ , una métrica Riemanniana suave $g$ determina automáticamente el tensor de Ricci $Ric g$ . Para cada elemento $p$ de $M$ , por definición, $g p$ es un producto interno definido positivo en la tangente espacio $T p M$ en $p$ . Si se da una familia de un parámetro de métricas riemannianas $g t$ , uno puede entonces considerar la derivada $\partial / \partial t g t$ , que luego asigna a cada valor particular de $t$ y $p$ una forma bilineal simétrica en $T p M$ . Dado que el tensor de Ricci de una métrica de Riemann también asigna a cada $p$ una forma bilineal simétrica en $T p M$ , la siguiente definición es significativa.

Dado un suave manifold $M$ y un intervalo real abierto $() a, b)$ , a Flujo de ricci asigna, a cada uno $t$ en el intervalo $() a, b)$ , una métrica Riemanniana $g t$ on $M$ tales que $\partial / \partial t g t = 2 Ric g t$ .

El tensor de Ricci a menudo se considera como un valor promedio de las curvaturas de sección, o como una traza algebraica del tensor de curvatura de Riemann. Sin embargo, para el análisis de la existencia y unicidad de los flujos de Ricci, es extremadamente significativo que el tensor de Ricci pueda definirse, en coordenadas locales, mediante una fórmula que involucre la primera y la segunda derivada del tensor métrico. Esto hace que Ricci fluya hacia una ecuación diferencial parcial definida geométricamente. El análisis de la elipticidad de la fórmula de coordenadas locales proporciona la base para la existencia de flujos de Ricci; consulte la siguiente sección para ver el resultado correspondiente.

Sea $k$ un número distinto de cero. Dado un flujo de Ricci $g t$ en un intervalo $(a, b)$ , considere $G t = g kt$ para t entre $a / k$ y $b / k$ . Entonces $\partial / \partial t G t = -2 k Ric G t$ . Entonces, con este cambio de parámetros muy trivial, el número −2 que aparece en la definición del flujo de Ricci podría ser reemplazado por cualquier otro número distinto de cero. Por esta razón, el uso de −2 puede considerarse como una convención arbitraria, aunque sigue esencialmente todos los artículos y exposiciones sobre el flujo de Ricci. La única diferencia significativa es que si −2 fuera reemplazado por un número positivo, entonces el teorema de existencia discutido en la siguiente sección se convertiría en un teorema que produce un flujo de Ricci que se mueve hacia atrás (en lugar de hacia adelante) en los valores de los parámetros de los datos iniciales.

El parámetro $t$ suele llamarse time, aunque solo forma parte del estándar informal. terminología en el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales. No es una terminología físicamente significativa. De hecho, en la interpretación teórica estándar del campo cuántico del flujo de Ricci en términos del grupo de renormalización, el parámetro $t$ corresponde a longitud o energía, en lugar de tiempo.

Flujo de Ricci normalizado

Suponga que $M$ es una variedad suave y compacta, y sea $g t$ ser un flujo de Ricci para $t$ en el intervalo $(a, b)$ . Definir $Ψ: (a, b) \to (0, \infty)$ para que cada una de las métricas riemannianas $Ψ(t) g t$ tiene el volumen 1; esto es posible ya que $M$ es compacto. (Más generalmente, sería posible si cada métrica riemanniana $g t$ tuviera un volumen finito.) Luego defina $F : (a, b) \to (0, \infty)$ para ser la antiderivada de $Ψ$ que desaparece en $a$ . Dado que $Ψ$ tiene un valor positivo, $F$ es una biyección sobre su imagen (0, S). Ahora las métricas riemannianas $G s = Ψ(F - 1 (s)) g F -1 (s)$ , definido para los parámetros $s \in (0, S)$ , satisfacer

{displaystyle {frac {partial }{partial s}}G_{s}=-2operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{frac {2}{n}}{frac {int _{M}R^{G_{s}},dmu _{G_{s}}}{int _{M}dmu _{G_{s}}}}G_{s}.}

R

normalizado Flujo de ricci

Ψ

La razón principal para considerar el flujo de Ricci normalizado es que permite una declaración conveniente de los principales teoremas de convergencia para el flujo de Ricci. Sin embargo, no es esencial hacerlo, y prácticamente para todos los propósitos es suficiente considerar el flujo de Ricci en su forma estándar. Además, el flujo de Ricci normalizado generalmente no es significativo en colectores no compactos.

Existencia y unicidad

Vamos $M$ ser un doble cerrado suave, y dejar $g_{0}$ cualquier métrica Riemanniana suave en $M$ . Utilizando el teorema de funciones implícitas Nash-Moser, Hamilton (1982) mostró el siguiente teorema de existencia:

Existe un número positivo $T$ y un flujo Ricci $g_{t}$ parametrizada por ${displaystyle tin (0,T)}$ tales que $g_{t}$ convergencias a $g_{0}$ en el $C^{infty }$ topología $t$ disminuye a 0.

Mostró el siguiente teorema de unicidad:

Si ${displaystyle {g_{t}:tin (0,T)}}$ y ${displaystyle {{widetilde {g}}_{t}:tin (0,{widetilde {T}})}}$ son dos corrientes Ricci como en el teorema de existencia anterior, entonces ${displaystyle g_{t}={widetilde {g}}_{t}}$ para todos ${displaystyle tin (0,min{T,{widetilde {T}}}).}$

El teorema de existencia proporciona una familia de un parámetro de métricas Riemannianas suaves. De hecho, cualquier familia de un solo parámetro también depende sin problemas del parámetro. Precisamente, esto dice que en relación con cualquier gráfico de coordenadas lisas $(U,phi)$ on $M$ , la función ${displaystyle g_{ij}:Utimes (0,T)to mathbb {R} }$ es suave para cualquier ${displaystyle i,j=1,dotsn}$ .

Dennis DeTurck posteriormente dio una prueba de los resultados anteriores que utiliza el teorema de la función implícita de Banach en su lugar. Su trabajo es esencialmente una versión riemanniana más simple de la conocida prueba e interpretación de Yvonne Choquet-Bruhat de la buena postura de las ecuaciones de Einstein en la geometría lorentziana.

Como consecuencia de la existencia de Hamilton y teorema de singularidad, cuando se dan los datos ${displaystyle (M,g_{0})}$ , uno puede hablar sin ambigüedad el Flujo de ricci $M$ con datos iniciales $g_{0}$ , y uno puede seleccionar $T$ to take on its maximal possible value, which could be infinite. El principio de prácticamente todas las principales aplicaciones del flujo de Ricci, en particular en la prueba de la conjetura y geometrización Poincaré, es que, como $t$ se acerca a este valor máximo, el comportamiento de las métricas $g_{t}$ puede revelar y reflejar información profunda sobre $M$ .

Teoremas de convergencia

Exposiciones completas de los siguientes teoremas de convergencia se dan en Andrews & Hopper (2011) y Brendle (2010).

Vamos $() M, g 0)$ Sé un suave andamio cerrado Riemanniano. En cualquiera de las tres condiciones siguientes:
$M$ es bidimensional
$M$ es tridimensional y $g 0$ tiene curvatura positiva Ricci
$M$ tiene dimensión superior a tres y la métrica del producto $() M, g 0) \times R$ tiene curvatura isotrópica positiva
flujo Ricci normalizado con datos iniciales $g 0$ existe para todo el tiempo positivo y converge suavemente, como $t$ va al infinito, a una métrica de curvatura constante.

El resultado tridimensional se debe a Hamilton (1982). La prueba de Hamilton, inspirada y modelada libremente en el artículo de época de 1964 de James Eells y Joseph Sampson sobre la convergencia del flujo de calor del mapa armónico, incluía muchas características novedosas, como una extensión del principio máximo al entorno. de 2-tensores simétricos. Su artículo (junto con el de Eells-Sampson) se encuentra entre los más citados en el campo de la geometría diferencial. Hay una exposición de su resultado en Chow, Lu & Ni (2006, Capítulo 3).

En términos de la demostración, el caso bidimensional se ve correctamente como una colección de tres resultados diferentes, uno para cada uno de los casos en los que la característica de Euler de $M$ es positivo, cero o negativo. Como lo demuestra Hamilton (1988), el caso negativo se maneja con el principio del máximo, mientras que el caso cero se maneja con estimaciones integrales; el caso positivo es más sutil, y Hamilton se ocupó del subcaso en el que $g 0$ tiene una curvatura positiva combinando un sencillo Adaptación de la estimación de gradiente de Peter Li y Shing-Tung Yau al flujo de Ricci junto con una innovadora "estimación de entropía". El caso positivo completo fue demostrado por Bennett Chow (1991), en una extensión de las técnicas de Hamilton. Dado que cualquier flujo de Ricci en una variedad bidimensional está confinado a una sola clase conforme, se puede reformular como una ecuación diferencial parcial para una función escalar en la variedad fija de Riemann $(M, g 0)$ . Como tal, el flujo de Ricci en este entorno también puede estudiarse mediante métodos puramente analíticos; en consecuencia, existen pruebas no geométricas alternativas del teorema de convergencia bidimensional.

El caso de dimensiones superiores tiene una historia más larga. Poco después del gran resultado de Hamilton, Gerhard Huisken amplió sus métodos a dimensiones superiores, demostrando que si $g 0$ casi tiene una curvatura positiva constante (en el sentido de la pequeñez de ciertos componentes de la descomposición de Ricci), entonces el flujo de Ricci normalizado converge suavemente a una curvatura constante. Hamilton (1986) encontró una formulación novedosa del principio máximo en términos de atrapamiento por conjuntos convexos, lo que condujo a un criterio general que relaciona la convergencia del flujo de Ricci de métricas curvas positivas con la existencia de 'conjuntos de pinzamiento'. para una determinada ecuación diferencial ordinaria multidimensional. Como consecuencia, pudo resolver el caso en el que $M$ es tetradimensional y $g 0$ tiene un operador de curvatura positivo. Veinte años más tarde, Christoph Böhm y Burkhard Wilking encontraron un nuevo método algebraico para construir 'conjuntos de pellizco', eliminando así la suposición de cuatridimensionalidad del resultado de Hamilton (Böhm & Wilking 2008). Simon Brendle y Richard Schoen demostraron que el flujo de Ricci en una variedad cerrada conserva la positividad de la curvatura isotrópica; al aplicar el método de Böhm y Wilking, pudieron derivar un nuevo teorema de convergencia de flujo de Ricci (Brendle & Schoen 2009). Su teorema de convergencia incluía como caso especial la resolución del teorema de la esfera diferenciable, que en ese momento había sido una conjetura de larga data. El teorema de convergencia dado anteriormente se debe a Brendle (2008), que subsume los resultados anteriores de convergencia de dimensiones superiores de Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking y Brendle & Schoen.

Corolarios

Los resultados en las dimensiones tres y superiores muestran que cualquier variedad cerrada suave $M$ que admite una métrica $g 0$ del tipo dado debe ser una forma espacial de curvatura positiva. Dado que estas formas espaciales se entienden en gran medida por el trabajo de Élie Cartan y otros, se pueden extraer corolarios como

Supongamos que $M$ es un manifold 3-dimensional cerrado suave que admite una métrica Riemanniana suave de curvatura Ricci positiva. Si $M$ es simplemente conectado, entonces debe ser diffeomorfo a la 3-sfera.

Entonces, si se pudiera demostrar directamente que cualquier variedad tridimensional lisa, cerrada y simplemente conectada admite una métrica riemanniana suave de curvatura de Ricci positiva, entonces la conjetura de Poincaré seguiría inmediatamente. Sin embargo, tal como se entienden las cosas en la actualidad, este resultado solo se conoce como un corolario (trivial) de la conjetura de Poincaré, y no al revés.

Posibles extensiones

Dado cualquier $n$ mayor que dos, existen muchos $n$ variedades suaves de dimensión que no tienen ninguna métrica riemanniana suave de curvatura constante. Por lo tanto, uno no puede esperar poder simplemente descartar las condiciones de curvatura de los teoremas de convergencia anteriores. Podría ser posible reemplazar las condiciones de curvatura por algunas alternativas, pero la existencia de variedades compactas como el espacio proyectivo complejo, que tiene una métrica de operador de curvatura no negativa (la métrica de Fubini-Study) pero no una métrica de curvatura constante, hace que no quede claro. cuánto se podrían empujar estas condiciones. Asimismo, la posibilidad de formular resultados de convergencia análogos para métricas riemannianas de curvatura negativa se complica por la existencia de variedades riemannianas cerradas cuya curvatura es arbitrariamente cercana a la constante y, sin embargo, no admiten métricas de curvatura constante.

Li–Yau inequalities

Al utilizar una técnica iniciada por Peter Li y Shing-Tung Yau para ecuaciones diferenciales parabólicas en variedades de Riemann, Hamilton (1993a) demostró la siguiente 'desigualdad de Li-Yau'.

Vamos $M$ ser un manifold suave, y dejar $g_{t}$ ser una solución del flujo Ricci con ${displaystyle tin (0,T)}$ tal que cada uno $g_{t}$ está completo con curvatura atada. Además, supongamos que cada uno $g_{t}$ tiene operador de curvatura no negativo. Entonces, para cualquier curva ${displaystyle gamma:[t_{1},t_{2}]to M}$ con ${displaystyle [t_{1},t_{2}]subset (0,T)}$ , uno tiene ${displaystyle {frac {d}{dt}}{big (}R^{g(t)}(gamma (t)){big)}+{frac {R^{g(t)}(gamma (t))}{t}}+{frac {1}{2}}operatorname {Ric} ^{g(t)}(gamma '(t),gamma '(t))geq 0.}$

Perelman (2002) mostró la siguiente desigualdad alternativa de Li-Yau.

Vamos $M$ ser un cerrado suave $n$ - Manifold, y dejar $g_{t}$ ser una solución del flujo Ricci. Considere la ecuación de calor al revés $n$ -formas, es decir. ${displaystyle {tfrac {partial }{partial t}}omega +Delta ^{g(t)}omega =0}$ ; dado $pin M$ y ${displaystyle t_{0}in (0,T)}$ , considerar la solución particular que, sobre la integración, converge débilmente a la medida Dirac delta como $t$ aumentos $t_{0}$ . Entonces, para cualquier curva ${displaystyle gamma:[t_{1},t_{2}]to M}$ con ${displaystyle [t_{1},t_{2}]subset (0,T)}$ , uno tiene ${displaystyle {frac {d}{dt}}{big (}f(gamma (t),t){big)}+{frac {f{big (}gamma (t),t{big)}}{2(t_{0}-t)}}leq {frac {R^{g(t)}(gamma (t))+|gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$ Donde ${displaystyle omega =(4pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{text{d}}mu _{g(t)}}$ .

Estas dos notables desigualdades son de profunda importancia para la prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización. Los términos del lado derecho de la desigualdad de Li-Yau de Perelman motivan la definición de su "longitud reducida" funcional, cuyo análisis conduce a su "teorema del no colapso". El teorema de no colapsar permite la aplicación del teorema de compacidad de Hamilton (Hamilton 1995) para construir 'modelos de singularidad', que son flujos de Ricci en nuevas variedades tridimensionales. Debido a la estimación de Hamilton-Ivey, estos nuevos flujos de Ricci tienen una curvatura no negativa. La desigualdad de Li-Yau de Hamilton se puede aplicar para ver que la curvatura escalar es, en cada punto, una función no decreciente (no negativa) del tiempo. Este es un resultado poderoso que permite que pasen muchos más argumentos. Al final, Perelman muestra que cualquiera de sus modelos de singularidad es asintóticamente como un solitón de Ricci de reducción de gradiente completo, que están completamente clasificados; ver la sección anterior.

Ver Chow, Lu & Ni (2006, capítulos 10 y 11) para obtener detalles sobre la desigualdad de Li-Yau de Hamilton; los libros Chow et al. (2008) y Müller (2006) contienen exposiciones de las dos desigualdades anteriores.

Ejemplos

Métricas de curvatura constante y de Einstein

Vamos $(M,g)$ ser un grupo Riemanniano que es Einstein, lo que significa que hay un número $lambda$ tales que ${displaystyle {text{Ric}}^{g}=lambda g}$ . Entonces... ${displaystyle g_{t}=(1-2lambda t)g}$ es un flujo Ricci con ${displaystyle g_{0}=g}$ , desde entonces

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}g_{t}=-2lambda g=-2operatorname {Ric} ^{g}=-2operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}

Si $M$ está cerrado, entonces según el teorema de singularidad de Hamilton arriba, este es el único flujo Ricci con datos iniciales $g$ . Uno ve, en particular, que:

si $lambda$ es positivo, entonces el flujo Ricci "contratos" $g$ desde el factor de escala ${displaystyle 1-2lambda t}$ es menos de 1 para positivo $t$ ; además, se ve que $t$ puede ser menos que ${displaystyle 1/2lambda }$ , para que $g_{t}$ es una métrica Riemanniana. Estos son los ejemplos más simples de una " singularidad de tiempo completo".
si $lambda$ es cero, que es sinónimo de $g$ ser Ricci-flat, entonces $g_{t}$ es independiente del tiempo, y por lo tanto el intervalo máximo de existencia es toda la línea real.
si $lambda$ es negativo, entonces el flujo Ricci "expands" $g$ desde el factor de escala ${displaystyle 1-2lambda t}$ es mayor que 1 para todos los positivos $t$ ; además uno ve que $t$ se puede tomar arbitrariamente grande. Uno dice que el flujo Ricci, para esta métrica inicial, es "inmortal".

En cada caso, desde las métricas Riemannianas asignadas a diferentes valores $t$ difiere sólo por un factor de escala constante, se puede ver que el flujo Ricci normalizado ${displaystyle G_{s}}$ existe para todo el tiempo y es constante en $s$ ; en particular, converge suavemente (a su valor constante) como ${displaystyle sto infty }$ .

La condición de Einstein tiene como caso especial el de curvatura constante; de ahí que los ejemplos particulares de la esfera (con su métrica estándar) y el espacio hiperbólico aparezcan como casos especiales de los anteriores.

Solitones de Ricci

Did you mean:

Ricci solitons are Ricci flows that may change their size but not their shape up to diffeomorphisms.

Cilindros S^k × R^l (por k ≥ 2) encogerse a sí mismo bajo el flujo Ricci hasta diffeomorfismos
Un ejemplo significativo en 2 dimensiones es el cigarro solitón, que es dado por la métrica (dx²+dy²)/(e^4t+x²+Sí.²En el avión Euclidean. Aunque esta métrica se encoge bajo el flujo Ricci, su geometría sigue siendo la misma. Tales soluciones se llaman solitones Ricci estables.
Un ejemplo de un solitón Ricci estable tridimensional es el Bryant soliton, que es rotativamente simétrico, tiene curvatura positiva, y se obtiene mediante la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una construcción similar funciona en dimensión arbitraria.
Existen numerosas familias de manifolds Kähler, invariantes bajo U()n) acción y biracional a Cⁿ, que son solitones Ricci. Estos ejemplos fueron construidos por Cao y Feldman-Ilmanen-Knopf. (Chow-Knopf 2004)
Recientemente Bamler-Cifarelli-Conlon-Deruelle descubrió un ejemplo de 4 dimensiones que mostraba simetría torusa.

Un solitón de Ricci con reducción de gradiente consta de una variedad riemanniana uniforme (M,g) y f ∈ C^∞(M) tal que

{displaystyle operatorname {Ric} ^{g}+operatorname {Hess} ^{g}f={frac {1}{2}}g.}

Uno de los principales logros de Perelman (2002) fue mostrar que, si M es una variedad suave tridimensional cerrada, entonces las singularidades de tiempo finito del flujo de Ricci en M están modelados en solitones de Ricci con reducción de gradiente completo (posiblemente en variedades subyacentes distintas de M). En 2008, Huai-Dong Cao, Bing-Long Chen y Xi-Ping Zhu completaron la clasificación de estos solitones, mostrando:

Supongamos queM,g,f) es un gradiente completo que reduce el solitón Ricci con dim(M) = 3. Si M es simplemente conectado entonces el manifold Riemanniano (M,g) es isométrico a $mathbb {R} ^{3}$ , $S^{3}$ , o $S^{2}times {mathbb {R}}$ , cada uno con su métrica Riemanniana estándar. Esto fue demostrado originalmente por Perelman (2003a) con algunas suposiciones condicionales adicionales. Note que si M no está simplemente conectado, entonces uno puede considerar la cubierta universal ${displaystyle pi:M'to M,}$ y entonces el teorema anterior se aplica a ${displaystyle (M',pi ^{ast }g,fcirc pi).}$

Todavía no hay una buena comprensión de los solitones de Ricci que se encogen por gradientes en dimensiones superiores.

Relación con uniformización y geometrización

El primer trabajo de Hamilton sobre el flujo de Ricci se publicó al mismo tiempo que la conjetura de geometrización de William Thurston, que se refiere a la clasificación topológica de variedades uniformes tridimensionales. La idea de Hamilton era definir una especie de ecuación de difusión no lineal que tendería a suavizar las irregularidades en la métrica. Thurston ya había identificado formas canónicas adecuadas; las posibilidades, denominadas geometrías del modelo de Thurston, incluyen las tres esferas S³, el espacio euclidiano tridimensional E ³, espacio hiperbólico tridimensional H³, que son homogéneos e isotrópicos, y cinco variedades de Riemann un poco más exóticas, que son homogéneas pero no isotrópico (Esta lista está estrechamente relacionada, pero no es idéntica, a la clasificación de Bianchi de las álgebras de Lie reales tridimensionales en nueve clases).

Hamilton logró demostrar que cualquier triple variedad suave y cerrada que admita una métrica de curvatura de Ricci positiva también admite una geometría de Thurston única, es decir, una métrica esférica, que de hecho actúa como un punto fijo de atracción. bajo el flujo de Ricci, renormalizado para preservar el volumen. (Bajo el flujo de Ricci no normalizado, la variedad colapsa hasta un punto en un tiempo finito). Sin embargo, esto no prueba la conjetura de geometrización completa, debido a la suposición restrictiva de la curvatura.

De hecho, un triunfo de la geometría del siglo XIX fue la prueba del teorema de uniformización, la clasificación topológica análoga de dos variedades suaves, donde Hamilton demostró que el flujo de Ricci sí evoluciona una doble variedad curvada negativamente en una doble variedad. toro dimensional de múltiples orificios que es localmente isométrico al plano hiperbólico. Este tema está estrechamente relacionado con temas importantes en análisis, teoría de números, sistemas dinámicos, física matemática e incluso cosmología.

Tenga en cuenta que el término "uniformización" sugiere una especie de suavizado de las irregularidades en la geometría, mientras que el término "geometrización" sugiere colocar una geometría en una variedad uniforme. Geometría se utiliza aquí de una manera precisa similar a la noción de geometría de Klein (consulte Conjetura de geometrización para obtener más detalles). En particular, el resultado de la geometrización puede ser una geometría que no sea isotrópica. En la mayoría de los casos, incluidos los casos de curvatura constante, la geometría es única. Un tema importante en esta área es la interacción entre formulaciones reales y complejas. En particular, muchas discusiones sobre uniformización hablan de curvas complejas en lugar de dos variedades reales.

Singularidades

Hamilton mostró que un manifold Riemanniano compacto siempre admite una solución de flujo Ricci a corto plazo. Más tarde Shi generalizó el resultado de la existencia a corto plazo para completar los múltiples de curvatura atada. En general, sin embargo, debido a la naturaleza altamente no lineal de la ecuación de flujo Ricci, las singularidades forman en tiempo finito. Estas singularidades son singularidades de curvatura, lo que significa que a medida que se aproxima el tiempo singular la norma del tensor de curvatura ${displaystyle |operatorname {Rm} |}$ sopla hasta el infinito en la región de la singularidad. Un problema fundamental en el flujo Ricci es comprender todas las posibles geometrías de singularidades. Cuando es exitoso, esto puede llevar a la comprensión de la topología de los múltiples. Por ejemplo, analizar la geometría de regiones singulares que pueden desarrollarse en el flujo 3d Ricci, es el ingrediente crucial en la prueba de Perelman de las Conjeturas Poincare y Geometrization.

Explosión de límites de singularidades

Para estudiar la formación de singularidades es útil, como en el estudio de otras ecuaciones diferenciales no lineales, considerar límites de soplado. Hablando intuitivamente, uno se acerca a la singular región del flujo Ricci al cambiar el tiempo y el espacio. Bajo ciertas suposiciones, el flujo ampliado tiende a limitar el flujo de Ricci ${displaystyle (M_{infty },g_{infty }(t)),tin (-infty0]}$ , llamado a Modelo de singularidad. Los modelos de Singularidad son flujos antiguos de Ricci, es decir, pueden extenderse infinitamente en el pasado. Comprender los posibles modelos de singularidad en el flujo Ricci es un esfuerzo de investigación activo.

A continuación, bosquejamos el procedimiento de soplado en más detalle: Vamos ${displaystyle (M,g_{t}),,tin [0,T),}$ ser un flujo Ricci que desarrolla una singularidad como ${displaystyle trightarrow T}$ . Vamos ${displaystyle (p_{i},t_{i})in Mtimes [0,T)}$ ser una secuencia de puntos en el espacio tiempo tal que

{displaystyle K_{i}:=left|operatorname {Rm} (g_{t_{i}})right|(p_{i})rightarrow infty }

como ${displaystyle irightarrow infty }$ . Entonces uno considera las métricas reescalonadas parabólicamente

{displaystyle g_{i}(t)=K_{i}gleft(t_{i}+{frac {t}{K_{i}}}right),quad tin [-K_{i}t_{i},0]}

Debido a la simetría de la ecuación de flujo Ricci bajo dilaciones parabólicas, la métrica $g_i(t)$ son también soluciones a la ecuación de flujo Ricci. En caso de que

{displaystyle |Rm|leq K_{i}{text{ on }}Mtimes [0,t_{i}],}

i.e. hasta el momento $t_{i}$ el máximo de la curvatura se alcanza a $p_{i}$ , entonces la secuencia apuntada de los flujos de Ricci ${displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ subsiguientemente converge suavemente a un flujo de Ricci antiguo limitante ${displaystyle (M_{infty },g_{infty }(t),p_{infty })}$ . Note que en general ${displaystyle M_{infty }}$ no es diffeomorfo $M$ .

Singularidades Tipo I y Tipo II

Hamilton distingue entre Tipo I y singularidades Tipo II en el flujo Ricci. En particular, se dice un flujo Ricci ${displaystyle (M,g_{t}),,tin [0,T)}$ , encontrar una singularidad un tiempo $T$ es de tipo I si

<math alttext="{displaystyle sup _{t<T}(T-t)|Rm|Supt.T()T− − t)SilencioRmSilencio.JUEGO JUEGO {displaystyle sup _{t won}(T-t)<img alt="{displaystyle sup _{t<T}(T-t)|Rm|

De lo contrario, la singularidad es de Tipo II. Se sabe que los límites de expansión de las singularidades de Tipo I son solitones de Ricci que se contraen en gradiente. En el caso del Tipo II, es una pregunta abierta si el modelo de singularidad debe ser un solitón de Ricci estacionario; hasta ahora, todos los ejemplos conocidos lo son.

Singularidades en 3d Ricci flow

En 3D, los posibles límites de expansión de las singularidades del flujo de Ricci se entienden bien. Por Hamilton, Perelman y un trabajo reciente de Brendle, la explosión en puntos de máxima curvatura conduce a uno de los siguientes tres modelos de singularidad:

La forma de espacio esférico redondo en disminución ${displaystyle S^{3}/Gamma }$
El cilindro redondo en disminución ${displaystyle S^{2}times mathbb {R} }$
El solitón Bryant

Los dos primeros modelos de singularidad surgen de singularidades de Tipo I, mientras que el último surge de una singularidad de Tipo II.

Singularidades en 4d Ricci flow

En cuatro dimensiones se sabe muy poco sobre las posibles singularidades, aparte de que las posibilidades son mucho más numerosas que en tres dimensiones. Hasta la fecha se conocen los siguientes modelos de singularidad

${displaystyle S^{3}times mathbb {R} }$
${displaystyle S^{2}times mathbb {R} ^{2}}$
El solitón 4d Bryant
Compacto Einstein manifold de curvatura de escalar positiva
gradiente compacto Kahler-Ricci encogiendo solitón
El psiquiatra FIK
El psiquiatra de la BCCD

Did you mean:

Note that the first three examples are generalizations of 3d singularity models. The FILE shrinker models the collapse of an embedded sphere with self-intersection number −1.

Relación con la difusión

Para ver por qué la ecuación de evolución que define el flujo de Ricci es de hecho una especie de ecuación de difusión no lineal, podemos considerar el caso especial de dos variedades (reales) con más detalle. Cualquier tensor métrico en una variedad doble se puede escribir con respecto a un gráfico de coordenadas isotérmicas exponenciales en la forma

ds^{2}=exp(2,p(x,y)),left(dx^{2}+dy^{2}right).

(Estas coordenadas proporcionan un ejemplo de un gráfico de coordenadas conforme, porque los ángulos, pero no las distancias, se representan correctamente).

La forma más sencilla de calcular el tensor de Ricci y el operador de Laplace-Beltrami para nuestra doble variedad de Riemann es utilizar el método de formas diferenciales de Élie Cartan. Toma el campo coframe

sigma ^{1}=exp(p),dx,;;sigma ^{2}=exp(p),dy

para que el tensor métrico se convierta en

sigma ^{1}otimes sigma ^{1}+sigma ^{2}otimes sigma ^{2}=exp(2p),left(dxotimes dx+dyotimes dyright).

Siguiente, dada una función lisa arbitraria $h(x,y)$ , computar el derivado exterior

dh=h_{x}dx+h_{y}dy=exp(-p)h_{x},sigma ^{1}+exp(-p)h_{y},sigma ^{2}.

Toma el doble de Hodge

star dh=-exp(-p)h_{y},sigma ^{1}+exp(-p)h_{x},sigma ^{2}=-h_{y},dx+h_{x},dy.

Tome otra derivada exterior

dstar dh=-h_{{yy}},dywedge dx+h_{{xx}},dxwedge dy=left(h_{{xx}}+h_{{yy}}right),dxwedge dy

(donde usamos la propiedad anti-conmutativa del producto exterior). Eso es,

dstar dh=exp(-2p),left(h_{{xx}}+h_{{yy}}right),sigma ^{1}wedge sigma ^{2}.

Tomar otro doble de Hodge da

Delta h=star dstar dh=exp(-2p),left(h_{{xx}}+h_{{yy}}right)

que da la expresión deseada para el operador de Laplace/Beltrami

Delta =exp(-2,p(x,y))left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}right).

Para calcular el tensor de curvatura, tomamos la derivada exterior de los campos covectoriales que forman nuestro comarco:

dsigma ^{1}=p_{y}exp(p)dywedge dx=-left(p_{y}dxright)wedge sigma ^{2}=-{omega ^{1}}_{2}wedge sigma ^{2}

dsigma ^{2}=p_{x}exp(p)dxwedge dy=-left(p_{x}dyright)wedge sigma ^{1}=-{omega ^{2}}_{1}wedge sigma ^{1}.

De estas expresiones, podemos leer la única conexión de espín de una sola forma independiente

{displaystyle {omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}

donde hemos aprovechado la propiedad anti-simétrica de la conexión ( ${displaystyle {omega ^{2}}_{1}=-{omega ^{1}}_{2}}$ ). Tomar otro derivado exterior

d{omega ^{1}}_{2}=p_{{yy}}dywedge dx-p_{{xx}}dxwedge dy=-left(p_{{xx}}+p_{{yy}}right),dxwedge dy.

Esto le da a la curvatura dos formas

{Omega ^{1}}_{2}=-exp(-2p)left(p_{{xx}}+p_{{yy}}right),sigma ^{1}wedge sigma ^{2}=-Delta p,sigma ^{1}wedge sigma ^{2}

de donde podemos leer el único componente linealmente independiente del tensor de Riemann usando

{Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{{212}},sigma ^{1}wedge sigma ^{2}.

A saber

{R^{1}}_{{212}}=-Delta p

de donde los únicos componentes distintos de cero del tensor de Ricci son

R_{{22}}=R_{{11}}=-Delta p.

A partir de esto, encontramos componentes con respecto a la cobase coordenada, a saber

R_{{xx}}=R_{{yy}}=-left(p_{{xx}}+p_{{yy}}right).

Pero el tensor métrico también es diagonal, con

g_{{xx}}=g_{{yy}}=exp(2p)

y después de una manipulación elemental, obtenemos una expresión elegante para el flujo de Ricci:

{frac {partial p}{partial t}}=Delta p.

Esto es manifiestamente análogo a la mejor conocida de todas las ecuaciones de difusión, la ecuación del calor.

{frac {partial u}{partial t}}=Delta u

donde ahora $Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}$ es el Laplaciano habitual en el plano Euclideano. El lector puede objetar que la ecuación de calor es por supuesto una ecuación diferencial parcial lineal—donde está la promesa no linearidad en la p.d.e. definiendo el flujo Ricci?

La respuesta es que la no linearidad entra porque el operador Laplace-Beltrami depende de la misma p de función que usamos para definir la métrica. Pero note que el plano euclidiano es dado por tomar $p(x,y)=0$ . Así que si $p$ es pequeño en magnitud, podemos considerarlo para definir pequeñas desviaciones de la geometría de un plano plano plano, y si retenemos sólo los términos de primer orden en la computación del exponencial, el flujo Ricci en nuestro manifold riemanniano casi plano bidimensional se convierte en la ecuación de calor bidimensional habitual. Este cálculo sugiere que, al igual que (según la ecuación de calor) una distribución irregular de temperatura en una placa caliente tiende a ser más homogénea con el tiempo, por lo que (según el flujo Ricci) un manifold Riemanniano casi plano tendra a aplanarse de la misma manera que el calor se puede llevar "a la infinidad" en una placa plana infinita. Pero si nuestro plato caliente es finito en tamaño, y no tiene límite donde el calor se puede llevar, podemos esperar que homogeneizar la temperatura, pero claramente no podemos esperar reducirla a cero. Del mismo modo, esperamos que el flujo Ricci, aplicado a una esfera redonda distorsionada, tendra a redondear la geometría con el tiempo, pero no convertirla en una geometría euclidiana plana.

Acontecimientos recientes

El flujo Ricci ha sido estudiado intensamente desde 1981. Algunos trabajos recientes se han centrado en la cuestión de cómo evolucionan los múltiples riemannianos de mayor dimensión bajo el flujo de Ricci, y en particular, qué tipos de singularidades paramétricas pueden formar. Por ejemplo, una cierta clase de soluciones al flujo Ricci demuestra que singularidades se formará en una evolución $n$ - métrica dimensional Manifold ríemanniano que tiene una determinada propiedad topológica (positiva característica de Euler), ya que el flujo se acerca algún tiempo característico $t_{{0}}$ . En ciertos casos, tales pinzones producirán manifolds llamados solitones Ricci.

Para una variedad tridimensional, Perelman mostró cómo continuar más allá de las singularidades usando cirugía en la variedad.

Las métricas de Kähler siguen siendo Kähler bajo el flujo de Ricci, por lo que el flujo de Ricci también se ha estudiado en este entorno, donde se denomina flujo de Kähler-Ricci.

Libros de texto

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