Fluido newtoniano

Un fluido newtoniano es un fluido en el que las tensiones viscosas que surgen de su flujo están correlacionadas linealmente en cada punto con la tasa de deformación local: la tasa de cambio de su deformación a lo largo del tiempo. Las tensiones son proporcionales a la tasa de cambio del vector de velocidad del fluido.

Un fluido es newtoniano sólo si los tensores que describen la tensión viscosa y la velocidad de deformación están relacionados por un tensor de viscosidad constante que no depende del estado de tensión y la velocidad del flujo. Si el fluido también es isotrópico (las propiedades mecánicas son las mismas en cualquier dirección), el tensor de viscosidad se reduce a dos coeficientes reales, que describen la resistencia del fluido a la deformación por corte continua y a la compresión o expansión continua, respectivamente.

Los fluidos newtonianos son los modelos matemáticos más simples de fluidos que tienen en cuenta la viscosidad. Si bien ningún fluido real se ajusta perfectamente a la definición, se puede suponer que muchos líquidos y gases comunes, como el agua y el aire, son newtonianos para cálculos prácticos en condiciones ordinarias. Sin embargo, los fluidos no newtonianos son relativamente comunes e incluyen oobleck (que se vuelve más rígido cuando se corta vigorosamente) y pintura que no gotea (que se vuelve más delgada cuando se corta). Otros ejemplos incluyen muchas soluciones de polímeros (que exhiben el efecto Weissenberg), polímeros fundidos, muchas suspensiones sólidas, sangre y la mayoría de los fluidos muy viscosos.

Los fluidos newtonianos llevan el nombre de Isaac Newton, quien utilizó por primera vez la ecuación diferencial para postular la relación entre la tasa de deformación cortante y el esfuerzo cortante para dichos fluidos.

Definición

Un elemento de un líquido o gas fluído soportará fuerzas del líquido circundante, incluyendo fuerzas de estrés viscosas que hacen que se deforme gradualmente con el tiempo. Estas fuerzas pueden ser matemáticamente primer orden aproximado por un tensor de estrés viscoso, generalmente denotado por τ τ {displaystyle tau }.

La deformación de un elemento fluido, relativo a algún estado anterior, puede ser primera orden aproximada por un tensor de tensión que cambia con el tiempo. El tiempo derivado de ese tensor es el tensor de tasa de tensión, que expresa cómo la deformación del elemento está cambiando con el tiempo; y es también el gradiente del campo vectorial de velocidad v{displaystyle v} en ese momento, a menudo denotado Silencio Silencio v{displaystyle nabla v}.

Los tensores τ τ {displaystyle tau } y Silencio Silencio v{displaystyle nabla v} puede ser expresado por matrices 3×3, en relación con cualquier sistema de coordenadas elegido. Se dice que el fluido es Newtoniano si estas matrices están relacionadas por la ecuación τ τ =μ μ ()Silencio Silencio v){displaystyle {boldsymbol {tau} }={boldsymbol {mu} {nabla v)}Donde μ μ {displaystyle mu } es un tensor fijo 3×3×3×3 cuarto pedido que no depende de la velocidad o estado de estrés del fluido.

Caso isotrópico incompresible

Para un fluido newtoniano incompresible e isotrópico, la tensión viscosa está relacionada con la tasa de deformación mediante la ecuación simple

τ τ =μ μ dudSí.{displaystyle tau =muc {} {}}}

• τ τ {displaystyle tau } es el estrés del tinte ("drag") en el fluido,
• μ μ {displaystyle mu } es una constante escalar de proporcionalidad, la viscosidad del fluido
• dudSí.{displaystyle {frac {}{y}} es el derivado del componente de velocidad que es paralelo a la dirección del tinte, relativo al desplazamiento en la dirección perpendicular.

Si el fluido es incompresible y la viscosidad es constante en todo el fluido, esta ecuación se puede escribir en términos de un sistema de coordenadas arbitrario como

τ τ ij=μ μ ()∂ ∂ vi∂ ∂ xj+∂ ∂ vj∂ ∂ xi){displaystyle tau _{ij}=muleft({frac {partial {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}} {f}}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {b}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}} {b}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b}}}}}}}}}}}}} {pb}}}}}bb}}bb}}}}b}}} {fnK} {fnMicroc {cHFF} {f}}{f}} {f}} {\fn}} {fnMicroc {fnMicrosoft {fn}}} {\fn}}}}}}}}}\\fnMicroc {\\fnMicroc}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fnMicroc\\\\\\\fn\\\fn}\\\fn}\\\\\\\\\\\fn ¿Qué?

• xj{displaystyle x_{j} es j{displaystyle j}coordinación espacial
• vi{displaystyle V_{i} es la velocidad del fluido en la dirección del eje i{displaystyle i}
• τ τ ij{displaystyle tau _{ij} es j{displaystyle j}-el componente del estrés que actúa sobre las caras del elemento fluido perpendicular al eje i{displaystyle i}.

Uno también define un tensor total de estrés σ σ {displaystyle {boldsymbol {sigma }, que combina el estrés del tirón con presión convencional (termodinámica) p{displaystyle p}. La ecuación de la hoja de estrés se convierte en

σ σ ij=− − pδ δ ij+μ μ ()∂ ∂ vi∂ ∂ xj+∂ ∂ vj∂ ∂ xi){displaystyle {boldsymbol {sigma }_{ij}=-pdelta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}} {f}}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {b}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}} {b}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b}}}}}}}}}}}}} {pb}}}}}bb}}bb}}}}b}}} {fnK} {fnMicroc {cHFF} {f}} {fnMicroc}} {f}} {\fnMicroc {\fn}} {\fn}}}}} {f}}}} {\fnMicroc {\\fnMicroc}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\fnMicroc\\\\\\\\fn\\fn}\\\fn}\\\\\\\\\\\\fn ¿Qué?

σ σ =− − pI+μ μ ()Silencio Silencio v+Silencio Silencio vT){displaystyle {boldsymbol {sigma }=-pmathbf {I} +mu left(nabla mathbf {v} +nabla mathbf {v} ^{T}right)}

I{displaystyle mathbf {I}

Para fluidos anisotrópicos

Más generalmente, en un líquido no isótrópico Newtoniano, el coeficiente μ μ {displaystyle mu } que relaciona las tensiones de fricción interna con los derivados espaciales del campo de velocidad es reemplazado por un tensor de tensión viscoso de nueve elementos μ μ ij{displaystyle mu _{ij}}.

Existe una fórmula general para la fuerza de fricción en un líquido: El vector diferencial de la fuerza de fricción es igual al tensor de viscosidad aumentado en el producto vectorial diferencial del vector de área de las capas contiguas de un líquido y el rotor de velocidad:

dF=μ μ ijdS× × rotu{displaystyle dmathbf {F} =mu _{ij},dmathbf {S} times mathrm {rot} ,mathbf {u}

μ μ ij{displaystyle mu _{ij}}

Ley newtoniana de la viscosidad

La siguiente ecuación ilustra la relación entre la velocidad de corte y el esfuerzo cortante:

τ τ =μ μ dudSí.,{displaystyle tau =mucH00} - ¿Qué?

• τ τ {displaystyle tau } es el estrés de las lágrimas,
• μ μ {displaystyle mu } es la viscosidad, y
• dudSí.{textstyle {frac {mathrm}. es la tasa de cobertura.

Si la viscosidad es constante, el fluido es newtoniano.

Modelo de ley de potencia

El modelo de ley de potencia se utiliza para mostrar el comportamiento de fluidos newtonianos y no newtonianos y mide la tensión cortante en función de la tasa de deformación.

La relación entre el esfuerzo cortante, la tasa de deformación y el gradiente de velocidad para el modelo de ley potencial es:

τ τ =− − mSilencioγ γ Í Í Silencion− − 1dvxdSí.,{displaystyle tau =-mlefttención{dot {gamma}justo a la vida {n-1}{frac {dv_{x} {y}}}

• Silencioγ γ Í Í Silencion− − 1{displaystyle lefttención{dot {gamma } 'justo de la vida {n-1} es el valor absoluto de la tasa de tensión a la (n1) poder;
• dvxdSí.{textstyle {frac {dv_{x} {y}}} {dv_{x}} {y}}}} {y}}}} {}}}} {y}}}}} {}}} {}}} {}}} {}}}}} {}} {}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}} {} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}}}} {} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} es el gradiente de velocidad;
• n es el índice de la ley de poder.

Si

• n 1 entonces el fluido es un pseudoplásico.
• n = 1 entonces el líquido es un líquido Newtoniano.
• n 1 entonces el fluido es un dilatante.

Modelo fluido

La relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte en un modelo de fluido Casson se define de la siguiente manera:

τ τ =τ τ 0+SdVdSí.{displaystyle {sqrt {fnh00}tau }={sqrt {tau - Sí.

S=μ μ ()1− − H)α α ,{displaystyle S={sqrt {frac {mu}{(1-H)}{alpha ♪♪

Ejemplos

El agua, el aire, el alcohol, el glicerol y el aceite de motor diluido son ejemplos de fluidos newtonianos en el rango de tensiones y velocidades de corte que se encuentran en la vida cotidiana. Los fluidos monofásicos formados por moléculas pequeñas son generalmente (aunque no exclusivamente) newtonianos.