Física matemática

La física matemática se refiere al desarrollo de métodos matemáticos para su aplicación a problemas de física. El Journal of Mathematical Physics define el campo como "la aplicación de las matemáticas a problemas de física y el desarrollo de métodos matemáticos adecuados para tales aplicaciones y para la formulación de teorías físicas". Una definición alternativa también incluiría aquellas matemáticas que están inspiradas en la física (también conocidas como matemáticas físicas).

Alcance

Hay varias ramas distintas de la física matemática, y estas corresponden aproximadamente a períodos históricos particulares.

Mecanica clasica

La reformulación rigurosa, abstracta y avanzada de la mecánica newtoniana adoptando la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana incluso en presencia de restricciones. Ambas formulaciones están incorporadas en la mecánica analítica y conducen a la comprensión de la profunda interacción de las nociones de simetría y cantidades conservadas durante la evolución dinámica, incorporadas en la formulación más elemental del teorema de Noether. Estos enfoques e ideas se han extendido a otras áreas de la física como la mecánica estadística, la mecánica continua, la teoría clásica de campos y la teoría cuántica de campos. Además, han proporcionado varios ejemplos e ideas en geometría diferencial (por ejemplo, varias nociones en geometría simpléctica y paquete vectorial).

Ecuaciones diferenciales parciales

Siguiendo las matemáticas: la teoría de la ecuación diferencial parcial, el cálculo variacional, el análisis de Fourier, la teoría del potencial y el análisis vectorial son quizás los más asociados con la física matemática. Estos fueron desarrollados intensamente desde la segunda mitad del siglo XVIII (por, por ejemplo, D'Alembert, Euler y Lagrange) hasta la década de 1930. Las aplicaciones físicas de estos desarrollos incluyen hidrodinámica, mecánica celeste, mecánica continua, teoría de la elasticidad, acústica, termodinámica, electricidad, magnetismo y aerodinámica.

Teoría cuántica

La teoría de los espectros atómicos (y, más tarde, la mecánica cuántica) se desarrolló casi al mismo tiempo que algunas partes de los campos matemáticos del álgebra lineal, la teoría espectral de operadores, álgebras de operadores y, más ampliamente, el análisis funcional. La mecánica cuántica no relativista incluye operadores de Schrödinger y tiene conexiones con la física atómica y molecular. La teoría de la información cuántica es otra subespecialidad.

Relatividad y teorías relativistas cuánticas

Las teorías especial y general de la relatividad requieren un tipo de matemáticas bastante diferente. Esta fue la teoría de grupos, que desempeñó un papel importante tanto en la teoría cuántica de campos como en la geometría diferencial. Sin embargo, esto se complementó gradualmente con la topología y el análisis funcional en la descripción matemática de los fenómenos cosmológicos y de la teoría cuántica de campos. En la descripción matemática de estas áreas físicas también son importantes algunos conceptos de álgebra homológica y teoría de categorías.

Mecánica estadística

La mecánica estadística forma un campo separado, que incluye la teoría de las transiciones de fase. Se basa en la mecánica hamiltoniana (o su versión cuántica) y está estrechamente relacionada con la teoría ergódica más matemática y algunas partes de la teoría de la probabilidad. Cada vez hay más interacciones entre la combinatoria y la física, en particular la física estadística.

Uso

El uso del término "física matemática" es a veces idiosincrásico. Ciertas partes de las matemáticas que inicialmente surgieron del desarrollo de la física no son, de hecho, consideradas partes de la física matemática, mientras que otros campos estrechamente relacionados sí lo son. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales ordinarias y la geometría simpléctica generalmente se consideran disciplinas puramente matemáticas, mientras que los sistemas dinámicos y la mecánica hamiltoniana pertenecen a la física matemática. John Herapath usó el término para el título de su texto de 1847 sobre "principios matemáticos de la filosofía natural"; el alcance en ese momento era "las causas del calor, la elasticidad gaseosa, la gravitación y otros grandes fenómenos de la naturaleza".

Física matemática vs. física teórica

El término "física matemática" a veces se usa para denotar investigaciones destinadas a estudiar y resolver problemas en física o experimentos mentales dentro de un marco matemáticamente riguroso. En este sentido, la física matemática cubre un ámbito académico muy amplio que se distingue únicamente por la mezcla de algún aspecto matemático y un aspecto teórico de la física. Aunque relacionada con la física teórica, la física matemática en este sentido enfatiza el rigor matemático del tipo similar que se encuentra en las matemáticas.

Por otro lado, la física teórica enfatiza los vínculos con las observaciones y la física experimental, que a menudo requiere que los físicos teóricos (y los físicos matemáticos en el sentido más general) usen argumentos heurísticos, intuitivos y aproximados. Tales argumentos no son considerados rigurosos por los matemáticos.

Dichos físicos matemáticos principalmente expanden y elucidan teorías físicas. Debido al nivel requerido de rigor matemático, estos investigadores a menudo se enfrentan a cuestiones que los físicos teóricos han considerado ya resueltas. Sin embargo, a veces pueden mostrar que la solución anterior era incompleta, incorrecta o simplemente demasiado ingenua. Los problemas sobre los intentos de inferir la segunda ley de la termodinámica a partir de la mecánica estadística son ejemplos. Otros ejemplos se refieren a las sutilezas involucradas con los procedimientos de sincronización en relatividad especial y general (efecto Sagnac y sincronización de Einstein).

El esfuerzo por poner las teorías físicas sobre una base matemáticamente rigurosa no solo desarrolló la física sino que también influyó en el desarrollo de algunas áreas matemáticas. Por ejemplo, el desarrollo de la mecánica cuántica y algunos aspectos del análisis funcional son paralelos en muchos aspectos. El estudio matemático de la mecánica cuántica, la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística cuántica ha motivado resultados en álgebras de operadores. El intento de construir una formulación matemática rigurosa de la teoría cuántica de campos también ha provocado algunos avances en campos como la teoría de la representación.

Destacados físicos matemáticos

Antes de newton

Existe una tradición de análisis matemático de la naturaleza que se remonta a los antiguos griegos; los ejemplos incluyen a Euclides (Óptica), Arquímedes (Sobre el equilibrio de los planos, Sobre los cuerpos flotantes) y Ptolomeo (Óptica, Armónicos). Más tarde, los eruditos islámicos y bizantinos se basaron en estas obras y finalmente se reintrodujeron o estuvieron disponibles para Occidente en el siglo XII y durante el Renacimiento.

En la primera década del siglo XVI, el astrónomo aficionado Nicolaus Copernicus propuso el heliocentrismo y publicó un tratado sobre él en 1543. Retuvo la idea ptolemaica de los epiciclos y simplemente buscó simplificar la astronomía mediante la construcción de conjuntos más simples de órbitas epicíclicas. Los epiciclos consisten en círculos sobre círculos. De acuerdo con la física aristotélica, el círculo era la forma perfecta de movimiento y era el movimiento intrínseco del quinto elemento de Aristóteles, la quintaesencia o esencia universal conocida en griego como éter para el aire puro inglés, que era la sustancia pura más allá de la esfera sublunar, y así era la composición pura de las entidades celestiales. El alemán Johannes Kepler [1571-1630], asistente de Tycho Brahe, modificó las órbitas copernicanas a elipses, formalizado en las ecuaciones de las leyes del movimiento planetario de Kepler.

Un atomista entusiasta, Galileo Galilei en su libro de 1623 The Assayer afirmó que "el libro de la naturaleza está escrito en matemáticas". Su libro de 1632, sobre sus observaciones telescópicas, apoyó el heliocentrismo. Habiendo introducido la experimentación, Galileo luego refutó la cosmología geocéntrica al refutar la propia física aristotélica. El libro de Galileo de 1638 Discurso sobre dos nuevas ciencias estableció la ley de la caída libre igual, así como los principios del movimiento inercial, fundando los conceptos centrales de lo que se convertiría en la mecánica clásica actual. Por la ley de inercia de Galileo, así como por el principio de invariancia de Galileo, también llamado relatividad de Galileo, para cualquier objeto que experimente inercia, existe una justificación empírica para saber solo que está enreposo relativo o movimiento relativo —reposo o movimiento con respecto a otro objeto.

René Descartes desarrolló un sistema completo de cosmología heliocéntrica anclado en el principio del movimiento de vórtice, la física cartesiana, cuya amplia aceptación provocó la desaparición de la física aristotélica. Descartes buscó formalizar el razonamiento matemático en la ciencia y desarrolló coordenadas cartesianas para ubicar geométricamente ubicaciones en el espacio 3D y marcar sus progresiones a lo largo del flujo del tiempo.

Un contemporáneo mayor de Newton, Christiaan Huygens, fue el primero en idealizar un problema físico mediante un conjunto de parámetros y el primero en matematizar por completo una explicación mecanicista de los fenómenos físicos no observables, y por estas razones Huygens es considerado el primer físico teórico y uno de los los fundadores de la física matemática moderna.

Newtoniano y post newtoniano

En esta era, conceptos importantes en cálculo como el teorema fundamental del cálculo (probado en 1668 por el matemático escocés James Gregory) y encontrar extremos y mínimos de funciones a través de la diferenciación usando el teorema de Fermat (por el matemático francés Pierre de Fermat) ya eran conocidos antes de Leibniz. y Newton. Isaac Newton (1642-1727) desarrolló algunos conceptos de cálculo (aunque Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolló conceptos similares fuera del contexto de la física) y el método de Newton para resolver problemas de física. Tuvo un gran éxito en su aplicación del cálculo a la teoría del movimiento. La teoría del movimiento de Newton, mostrada en sus Principios matemáticos de la filosofía natural, publicado en 1687,modeló tres leyes de movimiento de Galileo junto con la ley de gravitación universal de Newton en un marco de espacio absoluto, hipotetizado por Newton como una entidad físicamente real de la estructura geométrica euclidiana que se extiende infinitamente en todas las direcciones, mientras presumía el tiempo absoluto, supuestamente justificando el conocimiento del movimiento absoluto, el movimiento del objeto con respecto al espacio absoluto. El principio de la invariancia/relatividad de Galileo estaba meramente implícito en la teoría del movimiento de Newton. Habiendo reducido ostensiblemente las leyes de movimiento celestiales de Kepler, así como las leyes de movimiento terrestres de Galileo, a una fuerza unificadora, Newton logró un gran rigor matemático, pero con laxitud teórica.

En el siglo XVIII, el suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) hizo contribuciones a la dinámica de fluidos y cuerdas vibrantes. El suizo Leonhard Euler (1707–1783) realizó un trabajo especial en cálculo variacional, dinámica, dinámica de fluidos y otras áreas. También fue notable el francés nacido en Italia, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) por su trabajo en mecánica analítica: formuló la mecánica lagrangiana) y métodos variacionales. El físico, astrónomo y matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) también hizo una contribución importante a la formulación de la dinámica analítica, llamada dinámica hamiltoniana. La dinámica hamiltoniana había desempeñado un papel importante en la formulación de las teorías modernas de la física, incluidas la teoría de campos y la mecánica cuántica.

A principios del siglo XIX, los siguientes matemáticos de Francia, Alemania e Inglaterra contribuyeron a la física matemática. El francés Pierre-Simon Laplace (1749–1827) hizo importantes contribuciones a la astronomía matemática y la teoría del potencial. Siméon Denis Poisson (1781–1840) trabajó en mecánica analítica y teoría del potencial. En Alemania, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) hizo contribuciones clave a los fundamentos teóricos de la electricidad, el magnetismo, la mecánica y la dinámica de fluidos. En Inglaterra, George Green (1793-1841) publicó An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism en 1828, que además de sus significativas contribuciones a las matemáticas hizo un progreso inicial hacia el establecimiento de los fundamentos matemáticos de la electricidad y el magnetismo. magnetismo.

Un par de décadas antes de la publicación de Newton de una teoría de partículas de la luz, el holandés Christiaan Huygens (1629-1695) desarrolló la teoría ondulatoria de la luz, publicada en 1690. En 1804, el experimento de doble rendija de Thomas Young reveló un patrón de interferencia, como aunque la luz era una onda, por lo que se aceptó la teoría ondulatoria de la luz de Huygens, así como la inferencia de Huygens de que las ondas de luz eran vibraciones del éter luminífero. Jean-Augustin Fresnel modeló el comportamiento hipotético del éter. El físico inglés Michael Faraday introdujo el concepto teórico de campo, no de acción a distancia. A mediados del siglo XIX, el escocés James Clerk Maxwell (1831–1879) redujo la electricidad y el magnetismo a la teoría del campo electromagnético de Maxwell, reducida por otros a las cuatro ecuaciones de Maxwell. Inicialmente,campo de Maxwell. Más tarde, la radiación y el espectro electromagnético conocido hoy en día también se encontraron como consecuencia de este campo electromagnético.

El físico inglés Lord Rayleigh [1842–1919] trabajó en el sonido. Los irlandeses William Rowan Hamilton (1805–1865), George Gabriel Stokes (1819–1903) y Lord Kelvin (1824–1907) produjeron varias obras importantes: Stokes fue un líder en óptica y dinámica de fluidos; Kelvin hizo descubrimientos sustanciales en termodinámica; Hamilton hizo un trabajo notable en mecánica analítica, descubriendo un enfoque nuevo y poderoso conocido hoy en día como mecánica hamiltoniana. Contribuciones muy relevantes a este enfoque se deben a su colega matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851), en particular en referencia a las transformaciones canónicas. El alemán Hermann von Helmholtz (1821–1894) realizó importantes contribuciones en los campos del electromagnetismo, las ondas, los fluidos y el sonido. En los Estados Unidos, el trabajo pionero de Josiah Willard Gibbs (1839-1903) se convirtió en la base de la mecánica estadística. Los resultados teóricos fundamentales en esta área fueron alcanzados por el alemán Ludwig Boltzmann (1844-1906). Juntos, estos individuos sentaron las bases de la teoría electromagnética, la dinámica de fluidos y la mecánica estadística.

Relativista

En la década de 1880, hubo una paradoja importante de que un observador dentro del campo electromagnético de Maxwell lo midió a una velocidad aproximadamente constante, independientemente de la velocidad del observador en relación con otros objetos dentro del campo electromagnético. Así, aunque la velocidad del observador se perdía continuamente en relación con el campo electromagnético, se conservaba en relación con otros objetos enel campo electromagnético Y, sin embargo, no se detectó ninguna violación de la invariancia galileana en las interacciones físicas entre objetos. Como el campo electromagnético de Maxwell fue modelado como oscilaciones del éter, los físicos infirieron que el movimiento dentro del éter resultó en la deriva del éter, cambiando el campo electromagnético, explicando la falta de velocidad relativa del observador. La transformación de Galileo había sido el proceso matemático utilizado para traducir las posiciones en un marco de referencia a predicciones de posiciones en otro marco de referencia, todo graficado en coordenadas cartesianas, pero este proceso fue reemplazado por la transformación de Lorentz, modelada por el holandés Hendrik Lorentz [1853– 1928].

Sin embargo, en 1887, los experimentadores Michelson y Morley no pudieron detectar la deriva del éter. Se planteó la hipótesis de que el movimiento en el éter también provocó el acortamiento del éter, como se modela en la contracción de Lorentz. Se planteó la hipótesis de que el éter mantuvo así el campo electromagnético de Maxwell alineado con el principio de invariancia de Galileo en todos los marcos de referencia inerciales, mientras que la teoría del movimiento de Newton se salvó.

El físico teórico y filósofo austriaco Ernst Mach criticó el espacio absoluto postulado por Newton. El matemático Jules-Henri Poincaré (1854–1912) cuestionó incluso el tiempo absoluto. En 1905, Pierre Duhem publicó una crítica devastadora de los fundamentos de la teoría del movimiento de Newton. También en 1905, Albert Einstein (1879-1955) publicó su teoría especial de la relatividad, explicando nuevamente tanto la invariancia del campo electromagnético como la invariancia de Galileo al descartar todas las hipótesis relacionadas con el éter, incluida la existencia del propio éter. Refutando el marco de la teoría de Newton (espacio absoluto y tiempo absoluto), la relatividad especial se refiere al espacio relativo y al tiempo relativo, por lo que la longitud se contrae y el tiempose dilata a lo largo de la ruta de viaje de un objeto.

En 1908, el exprofesor de matemáticas de Einstein, Hermann Minkowski, modeló el espacio 3D junto con el eje del tiempo 1D al tratar el eje temporal como una cuarta dimensión espacial, espacio-tiempo 4D en total, y declaró la desaparición inminente de la separación del espacio y el tiempo. Einstein inicialmente llamó a esto "conocimiento superfluo", pero luego usó el espacio-tiempo de Minkowski con gran elegancia en su teoría general de la relatividad,extendiendo la invariancia a todos los marcos de referencia, ya sea percibidos como inerciales o acelerados, y se lo atribuyó a Minkowski, quien ya había fallecido. La relatividad general reemplaza las coordenadas cartesianas con coordenadas gaussianas, y reemplaza el espacio vacío pero euclidiano afirmado por Newton, atravesado instantáneamente por el vector de fuerza gravitatoria hipotética de Newton, una acción instantánea a distancia, con un campo gravitatorio.. El campo gravitatorio es el propio espacio-tiempo de Minkowski, la topología 4D del éter de Einstein modelada en una variedad lorentziana que se "curva" geométricamente, de acuerdo con el tensor de curvatura de Riemann. El concepto de la gravedad de Newton: "dos masas se atraen" reemplazado por el argumento geométrico: "la masa transforma las curvaturas del espacio-tiempo y las partículas en caída libre con masa se mueven a lo largo de una curva geodésica en el espacio-tiempo" (la geometría de Riemann ya existía antes de la década de 1850, por matemáticos Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann en busca de la geometría intrínseca y la geometría no euclidiana), en la vecindad de la masa o la energía. (Bajo la relatividad especial, un caso especial de la relatividad general, incluso la energía sin masa ejerce un efecto gravitacional por su equivalencia de masa "curvando" localmente

Cuántico

Otro desarrollo revolucionario del siglo XX fue la teoría cuántica, que surgió de las contribuciones fundamentales de Max Planck (1856-1947) (sobre la radiación del cuerpo negro) y el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico. En 1912, el matemático Henri Poincaré publicó Sur la théorie des quanta.Introdujo la primera definición no ingenua de cuantización en este documento. El desarrollo de la física cuántica temprana seguido de un marco heurístico ideado por Arnold Sommerfeld (1868–1951) y Niels Bohr (1885–1962), pero pronto fue reemplazado por la mecánica cuántica desarrollada por Max Born (1882–1970), Werner Heisenberg (1901–1976), Paul Dirac (1902–1984), Erwin Schrödinger (1887–1961), Satyendra Nath Bose (1894–1974) y Wolfgang Pauli (1900–1958). Este revolucionario marco teórico se basa en una interpretación probabilística de los estados, la evolución y las medidas en términos de operadores autoadjuntos en un espacio vectorial de dimensión infinita. Eso se llama espacio de Hilbert (introducido por los matemáticos David Hilbert (1862-1943),Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, donde construyó una parte relevante del análisis funcional moderno en los espacios de Hilbert, la teoría espectral (introducida por David Hilbert, quien investigó formas cuadráticas con infinitas variables. Muchos años después, se reveló que su teoría espectral está asociado con el espectro del átomo de hidrógeno. Le sorprendió esta aplicación.) en particular. Paul Dirac usó construcciones algebraicas para producir un modelo relativista para el electrón, prediciendo su momento magnético y la existencia de su antipartícula, el positrón.

Lista de destacados contribuyentes a la física matemática en el siglo XX

Los principales contribuyentes a la física matemática del siglo XX incluyen (ordenados por fecha de nacimiento) William Thomson (Lord Kelvin) [1824–1907], Oliver Heaviside [1850–1925], Jules Henri Poincaré [1854–1912], David Hilbert [1862– 1943], Arnold Sommerfeld [1868–1951], Constantin Carathéodory [1873–1950], Albert Einstein [1879–1955], Max Born [1882–1970], George David Birkhoff [1884-1944], Hermann Weyl [1885–1955] ], Satyendra Nath Bose [1894-1974], Norbert Wiener [1894-1964], John Lighton Synge [1897-1995], Wolfgang Pauli [1900-1958], Paul Dirac [1902-1984], Eugene Wigner [1902-1995] ], Andrey Kolmogorov [1903-1987], Lars Onsager [1903-1976], John von Neumann [1903-1957], Sin-Itiro Tomonaga [1906-1979], Hideki Yukawa [1907-1981], Nikolay Nikolayevich Bogolyubov [1909 –1992], Subrahmanyan Chandrasekhar [1910-1995], Mark Kac [1914–1984],Julian Schwinger [1918–1994], Richard Phillips Feynman [1918–1988], Irving Ezra Segal [1918–1998], Ryogo Kubo [1920–1995], Arthur Strong Wightman [1922–2013], Chen-Ning Yang [1922– ], Rudolf Haag [1922–2016], Freeman John Dyson [1923–2020], Martin Gutzwiller [1925–2014], Abdus Salam [1926–1996], Jürgen Moser [1928–1999], Michael Francis Atiyah [1929–2019] ], Joel Louis Lebowitz [1930– ], Roger Penrose [1931– ], Elliott Hershel Lieb [1932– ], Sheldon Glashow [1932– ], Steven Weinberg [1933–2021], Ludvig Dmitrievich Faddeev [1934–2017], David Ruelle [1935– ], Yakov Grigorevich Sinai [1935– ], Vladimir Igorevich Arnold [1937–2010], Arthur Michael Jaffe [1937–], Roman Wladimir Jackiw [1939– ], Leonard Susskind [1940– ], Rodney James Baxter [ 1940– ], Michael Victor Berry [1941- ], Giovanni Gallavotti [1941- ], Stephen William Hawking [1942–2018],Jerrold Eldon Marsden [1942–2010], Michael C. Reed [1942–], Israel Michael Sigal [1945–], Alexander Markovich Polyakov [1945–], Barry Simon [1946–], Herbert Spohn [1946–], John Lawrence Cardy [1947– ], Giorgio Parisi [1948– ], Edward Witten [1951– ], Ashoke Sen [1956–] y Juan Martín Maldacena [1968– ].