Finitismo

El finitismo es una filosofía de las matemáticas que acepta la existencia únicamente de objetos matemáticos finitos. Se entiende mejor en comparación con la filosofía principal de las matemáticas, donde se aceptan como legítimos objetos matemáticos infinitos (por ejemplo, conjuntos infinitos).

Idea principal

La idea principal de las matemáticas finitas es no aceptar la existencia de objetos infinitos como conjuntos infinitos. Si bien todos los números naturales se aceptan como existentes, el conjunto de todos los números naturales no se considera que exista como un objeto matemático. Por lo tanto, la cuantificación en dominios infinitos no se considera significativa. La teoría matemática a menudo asociada con el finitismo es la aritmética recursiva primitiva de Thoralf Skolem.

Historia

La introducción de objetos matemáticos infinitos ocurrió hace unos siglos cuando el uso de objetos infinitos ya era un tema controvertido entre los matemáticos. El tema entró en una nueva fase cuando Georg Cantor en 1874 introdujo lo que ahora se llama teoría de conjuntos ingenua y la utilizó como base para su trabajo sobre los números transfinitos. Cuando se descubrieron paradojas como la paradoja de Russell, la paradoja de Berry y la paradoja de Burali-Forti en la ingenua teoría de conjuntos de Cantor, el tema se convirtió en un tema candente entre los matemáticos.

Hubo varias posiciones adoptadas por los matemáticos. Todos coincidieron en objetos matemáticos finitos como los números naturales. Sin embargo, hubo desacuerdos con respecto a los objetos matemáticos infinitos. Una posición era la matemática intuicionista defendida por L. E. J. Brouwer, que rechazaba la existencia de objetos infinitos hasta que se construyen.

Otra posición fue respaldada por David Hilbert: los objetos matemáticos finitos son objetos concretos, los objetos matemáticos infinitos son objetos ideales y aceptar objetos matemáticos ideales no genera ningún problema con respecto a los objetos matemáticos finitos. Más formalmente, Hilbert creía que es posible demostrar que cualquier teorema sobre objetos matemáticos finitos que se puede obtener usando objetos infinitos ideales también se puede obtener sin ellos. Por lo tanto, permitir objetos matemáticos infinitos no causaría un problema con respecto a los objetos finitos. Esto condujo al programa de Hilbert de probar tanto la consistencia como la integridad de la teoría de conjuntos usando medios finitistas, ya que esto implicaría que agregar objetos matemáticos ideales es conservador sobre la parte finitista. Las opiniones de Hilbert también están asociadas con la filosofía formalista de las matemáticas. El objetivo de Hilbert de probar la consistencia y la integridad de la teoría de conjuntos o incluso la aritmética a través de medios finitistas resultó ser una tarea imposible debido a los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel. Sin embargo, la gran conjetura de Harvey Friedman implicaría que la mayoría de los resultados matemáticos son demostrables utilizando medios finitos.

Hilbert no dio una explicación rigurosa de lo que él consideraba finitista y se refirió como elemental. Sin embargo, basándose en su trabajo con Paul Bernays, algunos expertos como William Tait han argumentado que la aritmética recursiva primitiva puede considerarse un límite superior en lo que Hilbert consideraba matemáticas finitas.

Como resultado de los teoremas de Gödel, ya que quedó claro que no hay esperanza de probar tanto la consistencia como la integridad de las matemáticas, y con el desarrollo de teorías de conjuntos axiomáticas aparentemente consistentes como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la mayoría de los matemáticos modernos no se centran en este tema. Hoy en día, la mayoría de los matemáticos se consideran platónicos y fácilmente usan objetos matemáticos infinitos y un universo teórico de conjuntos.

Finitismo clásico versus finitismo estricto

En su libro La filosofía de la teoría de conjuntos, Mary Tiles caracterizó a quienes permiten objetos potencialmente infinitos como finitistas clásicos, y a quienes lo hacen no permitir objetos potencialmente infinitos como finitistas estrictos: por ejemplo, un finitista clásico permitiría afirmaciones como "todo número natural tiene un sucesor" y aceptaría el significado de series infinitas en el sentido de límites de sumas parciales finitas, mientras que un finitista estricto no lo haría. Históricamente, la historia escrita de las matemáticas fue así clásicamente finitista hasta que Cantor creó la jerarquía de cardinales transfinitos a fines del siglo XIX.

Opiniones sobre infinitos objetos matemáticos

Leopold Kronecker siguió siendo un oponente estridente de la teoría de conjuntos de Cantor:

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Dios creó los enteros; todo lo demás es la obra del hombre.

—Conferencia de 1886 Berliner Naturforscher-Versammlung

Reuben Goodstein fue otro defensor del finitismo. Parte de su trabajo involucró la construcción del análisis a partir de fundamentos finitistas.

Aunque él lo negó, gran parte de los escritos matemáticos de Ludwig Wittgenstein tienen una fuerte afinidad con el finitismo.

Si se contrasta a los finitistas con los transfinitistas (defensores de, por ejemplo, la jerarquía de los infinitos de Georg Cantor), entonces también se puede caracterizar a Aristóteles como un finitista. Aristóteles promovió especialmente el infinito potencial como una opción intermedia entre el finitismo estricto y el infinito actual (siendo este último una actualización de algo que nunca termina en la naturaleza, en contraste con el infinito actual cantorista que consiste en los números cardinales y ordinales transfinitos, que no tienen nada que ver). hacer con las cosas de la naturaleza):

Pero, por otro lado, suponer que el infinito no existe de ninguna manera conduce obviamente a muchas consecuencias imposibles: habrá un principio y fin del tiempo, una magnitud no será divisible en magnitudes, el número no será infinito. Si, en vista de las consideraciones anteriores, ninguna alternativa parece posible, se debe llamar a un árbitro.

—Aristóteles, Física, Libro 3, Capítulo 6

Otras filosofías de las matemáticas relacionadas

Ultrafinitism (también conocido como ultraintuitionism) tiene una actitud aún más conservadora hacia los objetos matemáticos que el finitismo, y tiene objeciones a la existencia de objetos matemáticos finitos cuando son demasiado grande.

Hacia finales del siglo XX, John Penn Mayberry desarrolló un sistema de matemáticas finitarias al que llamó "aritmética euclidiana". El principio más llamativo de su sistema es un rechazo completo y riguroso del estatus fundamental especial que normalmente se otorga a los procesos iterativos, incluida en particular la construcción de los números naturales mediante la iteración '+1'. En consecuencia, Mayberry está en marcado desacuerdo con aquellos que buscarían equiparar las matemáticas finitarias con la aritmética de Peano o cualquiera de sus fragmentos, como la aritmética recursiva primitiva.