Finanzas matemáticas
Las finanzas matemáticas, también conocidas como finanzas cuantitativas y matemáticas financieras, es un campo de las matemáticas aplicadas, relacionado con el modelado matemático de los mercados financieros.
En general, existen dos ramas separadas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: la fijación de precios de derivados, por un lado, y la gestión de riesgos y carteras, por el otro. Las finanzas matemáticas se superponen en gran medida con los campos de las finanzas computacionales y la ingeniería financiera. El último se enfoca en aplicaciones y modelado, a menudo con la ayuda de modelos de activos estocásticos, mientras que el primero se enfoca, además del análisis, en la construcción de herramientas de implementación para los modelos. También está relacionada la inversión cuantitativa, que se basa en modelos estadísticos y numéricos (y últimamente en aprendizaje automático) en lugar del análisis fundamental tradicional cuando se gestionan carteras.
La tesis doctoral del matemático francés Louis Bachelier, defendida en 1900, se considera el primer trabajo académico sobre finanzas matemáticas. Pero las finanzas matemáticas surgieron como disciplina en la década de 1970, siguiendo el trabajo de Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton sobre la teoría de valoración de opciones. La inversión matemática se originó a partir de la investigación del matemático Edward Thorp, quien utilizó métodos estadísticos para inventar primero el conteo de cartas en el blackjack y luego aplicó sus principios a la inversión sistemática moderna.
El tema tiene una estrecha relación con la disciplina de la economía financiera, que se ocupa de gran parte de la teoría subyacente que está involucrada en las matemáticas financieras. Mientras que los economistas capacitados usan modelos económicos complejos que se basan en relaciones empíricas observadas, en contraste, el análisis financiero matemático derivará y ampliará los modelos matemáticos o numéricos sin establecer necesariamente un vínculo con la teoría financiera, tomando como entrada los precios de mercado observados. Ver: Valoración de opciones; Modelamiento financiero; Valoración de activos. El teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje es uno de los teoremas clave en las finanzas matemáticas, mientras que la ecuación y la fórmula de Black-Scholes se encuentran entre los resultados clave.Aunque los modelos financieros matemáticos pueden generar ganancias a corto plazo, este tipo de modelado a menudo entra en conflicto con un principio central de la macroeconomía moderna, la crítica de Lucas o las expectativas racionales, que establece que las relaciones observadas pueden no ser de naturaleza estructural y, por lo tanto, puede que no sea posible explotarlos para fines de política pública o con fines de lucro a menos que hayamos identificado las relaciones mediante el análisis causal y la econometría. Los modelos financieros matemáticos, por lo tanto, no incorporan elementos complejos de la psicología humana que son fundamentales para modelar los movimientos macroeconómicos modernos, como el pánico autocumplido que motiva las corridas bancarias.
Hoy en día, muchas universidades ofrecen programas de grado e investigación en finanzas matemáticas.
Historia: Q contra P
Hay dos ramas separadas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: fijación de precios de derivados y gestión de riesgos y carteras. Una de las principales diferencias es que utilizan diferentes probabilidades, como la probabilidad neutral al riesgo (o probabilidad de precio de arbitraje), denotada por "Q", y la probabilidad real (o actuarial), denotada por "P".
Precios de derivados: el mundo Q
| Meta | "extrapolar el presente" |
| Ambiente | probabilidad neutral al riesgo |
| Procesos | martingalas de tiempo continuo |
| Dimensión | bajo |
| Instrumentos | Cálculo de Itō, PDE |
| Desafíos | calibración |
| Negocio | lado de la venta |
El objetivo de la fijación de precios de derivados es determinar el precio justo de un valor dado en términos de valores más líquidos cuyo precio está determinado por la ley de la oferta y la demanda. El significado de "justo" depende, por supuesto, de si uno considera comprar o vender el valor. Ejemplos de valores cuyo precio se cotiza son opciones sencillas y exóticas, bonos convertibles, etc.
Una vez que se ha determinado un precio justo, el comerciante del lado de la venta puede crear un mercado en el valor. Por lo tanto, la fijación de precios de derivados es un ejercicio complejo de "extrapolación" para definir el valor de mercado actual de un valor, que luego es utilizado por la comunidad vendedora. La fijación de precios de derivados cuantitativos fue iniciada por Louis Bachelier en La teoría de la especulación ("Théorie de la spéculation", publicada en 1900), con la introducción de los procesos más básicos e influyentes, el movimiento browniano y sus aplicaciones a la fijación de precios de opciones.. El movimiento browniano se deriva utilizando la ecuación de Langevin y el paseo aleatorio discreto.Bachelier modeló la serie temporal de cambios en el logaritmo de los precios de las acciones como un paseo aleatorio en el que los cambios a corto plazo tenían una varianza finita. Esto hace que los cambios a más largo plazo sigan una distribución gaussiana.
La teoría permaneció inactiva hasta que Fischer Black y Myron Scholes, junto con las contribuciones fundamentales de Robert C. Merton, aplicaron el segundo proceso más influyente, el movimiento browniano geométrico, a la valoración de opciones. Por esto, M. Scholes y R. Merton recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1997. Black no fue elegible para el premio debido a su muerte en 1995.
El siguiente paso importante fue el teorema fundamental de fijación de precios de activos de Harrison y Pliska (1981), según el cual el precio actual P 0 adecuadamente normalizado de un valor está libre de arbitraje y, por lo tanto, es verdaderamente justo solo si existe un proceso estocástico P t con valor esperado constante que describe su evolución futura:
Un proceso que satisface (1) se llama "martingala". Una martingala no recompensa el riesgo. Por lo tanto, la probabilidad del proceso de precios de valores normalizados se denomina "neutral al riesgo" y generalmente se denota con la letra de fuente de pizarra "
La relación (1) debe cumplirse para todos los tiempos t: por lo tanto, los procesos utilizados para la fijación de precios de derivados se establecen naturalmente en tiempo continuo.
Los analistas cuantitativos que operan en el mundo Q de la fijación de precios de derivados son especialistas con un profundo conocimiento de los productos específicos que modelan.
Los valores tienen un precio individual y, por lo tanto, los problemas en el mundo Q son de naturaleza de baja dimensión. La calibración es uno de los principales desafíos del mundo Q: una vez que se ha calibrado un proceso paramétrico de tiempo continuo a un conjunto de valores negociados a través de una relación como (1), se utiliza una relación similar para definir el precio de nuevos derivados.
Las principales herramientas cuantitativas necesarias para manejar procesos Q en tiempo continuo son el cálculo estocástico de Itô, la simulación y las ecuaciones diferenciales parciales (PDE).
Gestión de riesgos y carteras: el mundo P
| Meta | "modelar el futuro" |
| Ambiente | probabilidad del mundo real |
| Procesos | serie de tiempo discreto |
| Dimensión | largo |
| Instrumentos | estadísticas multivariadas |
| Desafíos | Estimacion |
| Negocio | comprador |
La gestión de riesgos y cartera tiene como objetivo modelar la distribución de probabilidad derivada estadísticamente de los precios de mercado de todos los valores en un horizonte de inversión futuro determinado.Esta distribución de probabilidad "real" de los precios de mercado generalmente se indica con la letra de pizarra "
Por su trabajo pionero, Markowitz y Sharpe, junto con Merton Miller, compartieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1990, otorgado por primera vez por un trabajo en finanzas.
El trabajo de selección de cartera de Markowitz y Sharpe introdujo las matemáticas en la gestión de inversiones. Con el tiempo, las matemáticas se han vuelto más sofisticadas. Gracias a Robert Merton y Paul Samuelson, los modelos de un período fueron reemplazados por modelos de movimiento browniano de tiempo continuo, y la función de utilidad cuadrática implícita en la optimización de la varianza media fue reemplazada por funciones de utilidad cóncavas crecientes más generales. Además, en los últimos años, el enfoque se desplazó hacia la estimación del riesgo, es decir, los peligros de suponer incorrectamente que el análisis avanzado de series de tiempo por sí solo puede proporcionar estimaciones completamente precisas de los parámetros del mercado. Ver Gestión de riesgos financieros § Gestión de inversiones.
Se ha dedicado mucho esfuerzo al estudio de los mercados financieros y cómo los precios varían con el tiempo. Charles Dow, uno de los fundadores de Dow Jones & Company y The Wall Street Journal, enunció un conjunto de ideas sobre el tema que ahora se denomina Teoría de Dow. Esta es la base del llamado método de análisis técnico para intentar predecir cambios futuros. Uno de los principios del "análisis técnico" es que las tendencias del mercado dan una indicación del futuro, al menos a corto plazo. Muchos académicos cuestionan las afirmaciones de los analistas técnicos.
Crítica
A lo largo de los años, se han desarrollado modelos matemáticos y estrategias de precios de derivados cada vez más sofisticados, pero su credibilidad se vio dañada por la crisis financiera de 2007-2010. La práctica contemporánea de las finanzas matemáticas ha sido objeto de críticas por parte de figuras dentro del campo, en particular por Paul Wilmott y por Nassim Nicholas Taleb, en su libro The Black Swan. Taleb afirma que los precios de los activos financieros no pueden caracterizarse por los modelos simples actualmente en uso, lo que hace que gran parte de la práctica actual sea, en el mejor de los casos, irrelevante y, en el peor, peligrosamente engañosa. Wilmott y Emanuel Derman publicaron el Manifiesto de los Modeladores Financieros en enero de 2009que aborda algunas de las preocupaciones más serias. Organismos como el Instituto para el Nuevo Pensamiento Económico ahora están intentando desarrollar nuevas teorías y métodos.
En general, modelar los cambios por distribuciones con varianza finita se dice, cada vez más, que es inapropiado. En la década de 1960, Benoit Mandelbrot descubrió que los cambios en los precios no siguen una distribución gaussiana, sino que están mejor modelados por distribuciones alfa estables de Lévy. La escala de cambio, o volatilidad, depende de la duración del intervalo de tiempo a una potencia un poco más de 1/2. Los cambios grandes hacia arriba o hacia abajo son más probables de lo que se calcularía utilizando una distribución gaussiana con una desviación estándar estimada. Pero el problema es que no soluciona el problema, ya que hace mucho más difícil la parametrización y menos fiable el control de riesgos.
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