Filtro de sincronización

En el procesamiento de señales, un filtro sinc es un filtro idealizado que elimina todos los componentes de frecuencia por encima de una frecuencia de corte determinada, sin afectar las frecuencias inferiores, y tiene respuesta de fase lineal. La respuesta del impulso del filtro es una función sinc en el dominio del tiempo ()pecado⁡ ⁡ ()π π t)π π t),{displaystyle left({tfrac {pi t)}{pi t}right),} y su respuesta de frecuencia es una función rectangular. Es un filtro "ideal" de baja velocidad en el sentido de frecuencia, frecuencias perfectamente bajas, corte perfectamente frecuencias altas; y por lo tanto puede ser considerado como un filtro de pared de ladrillo.

Los filtros en tiempo real solo pueden aproximarse a este ideal, ya que un filtro sinc ideal (también conocido como filtro rectangular) no es causal y tiene un retraso infinito, pero se encuentra comúnmente en demostraciones o pruebas conceptuales., como el teorema de muestreo y la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon.

En términos matemáticos, la respuesta de frecuencia deseada es la función rectangular:

B,\{frac {1}{2}},&{text{if }}|f|=B,\1,&{text{if }}|f|H()f)=rectificado⁡ ⁡ ()f2B)={}0,siSilenciofSilencio■B,12,siSilenciofSilencio=B,1,siSilenciofSilencio.B,{displaystyle H(f)=operatorname {rect} left({frac {f}{2B}right)={begin{cases}0, limit{text{if} - ¿Qué? }sobrevivir=B,1, }Principalmente bajo palabraB,\{frac {1}{2}},&{text{if }}|f|=B,\1,&{text{if }}|f|

donde B es una frecuencia de corte arbitraria (también conocida como ancho de banda). La respuesta de impulso de dicho filtro viene dada por la transformada inversa de Fourier de la respuesta de frecuencia:

h()t)=F− − 1{}H()f)}=∫ ∫ − − BBexp⁡ ⁡ ()2π π ift)df=2Bsinc⁡ ⁡ ()2Bt){displaystyle {begin{aligned}h(t)={mathcal {F}{-1}{H(f)} {=int ¿Por qué?

donde sinc es la función sinc normalizada.

Como el filtro sinc tiene una respuesta de impulso infinita en direcciones de tiempo positivas y negativas, debe aproximarse para aplicaciones del mundo real (no abstractas); en su lugar, a menudo se usa un filtro de sincronización con ventana. La creación de ventanas y el truncamiento de un kernel de filtro sinc para usarlo en cualquier conjunto de datos prácticos del mundo real reduce sus propiedades ideales.

Filtros de pared de ladrillo

Un filtro electrónico idealizado con transmisión completa en la banda de paso, atenuación completa en la banda de parada y transiciones abruptas se conoce coloquialmente como "filtro de pared de ladrillo" (en referencia a la forma de la función de transferencia). El filtro sinc es un filtro de paso bajo de pared de ladrillo, a partir del cual se construyen fácilmente filtros de paso de banda de pared de ladrillo y filtros de paso alto.

El filtro de paso bajo con corte de pared de ladrillo en la frecuencia B_L tiene una respuesta de impulso y una función de transferencia dadas por:

hLPF()t)=2BLsinc⁡ ⁡ ()2BLt){displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}operatorname {sinc} left(2B_{L}tright)}

HLPF()f)=rectificado⁡ ⁡ ()f2BL).{displaystyle H_{LPF}(f)=operatorname {rect} left({frac {f}{2B_{L}}right).}

El filtro de paso de banda con borde de banda inferior B_L y borde de banda superior B _H es solo la diferencia de dos de estos filtros sinc (dado que los filtros son de fase cero, sus respuestas de magnitud se restan directamente):

hBPF()t)=2BHsinc⁡ ⁡ ()2BHt)− − 2BLsinc⁡ ⁡ ()2BLt){displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}operatorname {sinc} left(2B_{H}tright)-2B_{L}operatorname {sinc} left(2B_{L}tright)}

HBPF()f)=rectificado⁡ ⁡ ()f2BH)− − rectificado⁡ ⁡ ()f2BL).{displaystyle H_{BPF}(f)=operatorname {rect} left({frac {f}{2B_{H}}right)-operatorname {rect} left({frac {f}{2B_{L}}derecha).}

El filtro de paso alto con borde de banda inferior B_H es solo un filtro transparente menos un filtro de sincronización, lo que deja en claro que la función delta de Dirac es el límite de un filtro sinc estrecho en el tiempo:

hHPF()t)=δ δ ()t)− − 2BHsinc⁡ ⁡ ()2BHt){displaystyle h_{HPF}(t)=delta (t)-2B_{H}operatorname {sinc} left(2B_{H}tright)}

HHPF()f)=1− − rectificado⁡ ⁡ ()f2BH).{displaystyle H_{HPF}(f)=1-operatorname {rect} left({frac {f}{2B_{H}}right).}

Los filtros de pared de ladrillo que se ejecutan en tiempo real no son físicamente realizables ya que tienen una latencia infinita (es decir, su soporte compacto en el dominio de la frecuencia obliga a su respuesta de tiempo a no tener un soporte compacto, lo que significa que es eterno) y un orden infinito (es decir, la respuesta no se puede expresar como una ecuación diferencial lineal con una suma finita), pero a veces se utilizan implementaciones aproximadas y con frecuencia se denominan filtros de pared de ladrillo.

Frecuencia-dominio sinc

El nombre "sinc filter" se aplica también a la forma del filtro que es rectangular en el tiempo y una función sinc en la frecuencia, a diferencia del filtro sinc de paso bajo ideal, que es sinc en el tiempo y rectangular en la frecuencia. En caso de confusión, uno puede referirse a estos como sinc-in-frequency y sinc-in-time, según el dominio en el que se sincroniza el filtro.

Los filtros de peine integrador en cascada (CIC) de sincronización en frecuencia, entre muchas otras aplicaciones, se usan casi universalmente para diezmar los ADC delta-sigma, ya que son fáciles de implementar y casi óptimos para este uso.

La implementación más simple de un filtro Sinc-in-frequency es un filtro de promedio de grupo, también conocido como filtro de acumulación y volcado. Este filtro también realiza una reducción de la tasa de datos.

Recopila N muestras de datos, las acumula y proporciona el valor acumulador como salida. Así, el factor de decimación de este filtro es N. Puede ser modelado como filtro FIR con todo N coeficientes iguales, seguido de un bloque de muestreo N-time. La sencillez del filtro, que requiere sólo un acumulador como bloque central de procesamiento de datos, se ve frustrada con fuertes efectos de aliado: un filtro de muestra N alia todos los componentes de señal no atenuados por encima fS2N{textstyle {frac {f}{2N}} a la banda base de 0 a 0 fS2N{textstyle {frac {f}{2N}} ()f_S es la tasa de muestra de entrada).

Un filtro de promedio de grupo que procesa N muestras tiene N/2 ceros de transmisión.
La imagen "función de transmisión de un filtro promedio de grupo de 16 muestras" muestra cómo se ve la función de transmisión por encima de la frecuencia de Nyquist.

Estabilidad

El filtro sinc no es estable de entrada limitada-salida limitada (BIBO). Es decir, una entrada limitada puede producir una salida ilimitada, porque la integral del valor absoluto de la función sinc es infinita. Una entrada limitada que produce una salida ilimitada es sgn(sinc(t)). Otro es sin(2πBt)u( t), una onda sinusoidal que comienza en el tiempo 0, en la frecuencia de corte.