Filtro de espejo de cuadratura

En el procesamiento digital de señales, un filtro de espejo de cuadratura es un filtro cuya respuesta de magnitud es la imagen del espejo alrededor π π /2{displaystyle pi /2} de otro filtro. Juntos estos filtros, introducidos por Croisier et al., son conocidos como el par de filtros de espejo de cuadratura.

Un filtro H1()z){displaystyle H_{1}(z)} es el filtro de espejo de cuadratura H0()z){displaystyle H_{0}(z)} si H1()z)=H0()− − z){displaystyle H_{1}(z)=H_{0}(-z)}.

Las respuestas del filtro son simétricas Ω Ω =π π /2{displaystyle Omega =pi /2}:

SilencioH1()ejΩ Ω )Silencio=SilencioH0()ej()π π − − Ω Ω ))Silencio.{displaystyle {big ¿Qué? Silencio Silencio!

En los códecs de audio/voz, a menudo se usa un par de filtros de espejo en cuadratura para implementar un banco de filtros que divide una señal de entrada en dos bandas. Las señales de paso alto y paso bajo resultantes a menudo se reducen en un factor de 2, dando una representación de dos canales muestreada críticamente de la señal original. Los filtros de análisis a menudo están relacionados por la siguiente fórmula además de la propiedad de espejo cuadrático:

SilencioH0()ejΩ Ω )Silencio2+SilencioH1()ejΩ Ω )Silencio2=1,{displaystyle {big ¿Por qué? Silencio. ¿Por qué? Silencio.

Donde Ω Ω {displaystyle Omega } es la frecuencia, y la tasa de muestreo se normaliza para 2π π {displaystyle 2pi}. Esto se conoce como propiedad complementaria de poder. En otras palabras, la suma de potencia de los filtros de alto paso y bajo paso es igual a 1.

Ondículas ortogonales: las ondículas de Haar y las ondículas de Daubechies relacionadas, Coiflets y algunas desarrolladas por Mallat, se generan mediante funciones de escalado que, con la ondícula, satisfacen una relación de filtro de espejo en cuadratura.

Relación con otros bancos de filtros

Las primeras ondas se basaron en ampliar una función en términos de pasos rectangulares, las ondas Haar. Esto es generalmente una baja aproximación, mientras que las olas de Daubechies son entre las familias más simples pero más importantes de las olas. Un filtro lineal que es cero para las señales “smooth”, dado un registro de N{displaystyle N} puntos xn{displaystyle x_{n} se define como

Sí.n=.. i=0M− − 1bixn− − i.{displaystyle Y... ¿Qué?

Es deseable que desaparezca para una constante, así que tomar el orden m=4{displaystyle m=4}, por ejemplo,

b0⋅ ⋅ 1+b1⋅ ⋅ 1+b2⋅ ⋅ 1+b3⋅ ⋅ 1=0.{displaystyle B_{0}cdot 1+b_{1}cdot 1+b_{2}cdot 1+b_{3}cdot 1=0.}

Y hacer que desaparezca por una rampa lineal, de modo que

b0⋅ ⋅ 0+b1⋅ ⋅ 1+b2⋅ ⋅ 2+b3⋅ ⋅ 3=0.{displaystyle B_{0}cdot 0+b_{1}cdot 1+b_{2}cdot 2+b_{3}cdot 3=0.}

Un filtro lineal desaparecerá para cualquier x=α α n+β β {displaystyle x=alpha n+beta}Y esto es todo lo que se puede hacer con una ola de cuarto orden. Se necesitarán seis términos para desaparecer una curva cuadrática, y así sucesivamente, dadas las otras limitaciones que deben incluirse. Siguiente un filtro acompañante puede definirse como

zn=.. i=0M− − 1cixn− − i.{displaystyle z_{n}=sum ¿Qué?

Este filtro responde exactamente de manera opuesta, siendo grande para señales suaves y pequeño para señales no suaves. Un filtro lineal es solo una convolución de la señal con los coeficientes del filtro, por lo que la serie de los coeficientes es la señal a la que el filtro responde al máximo. Por lo tanto, la salida del segundo filtro desaparece cuando se ingresan los coeficientes del primero. El objetivo es tener

.. i=0M− − 1cibi=0.{displaystyle sum _{i=0}{M-1}c_{i}b_{i}=0}

Donde la serie temporal asociada invierte el orden de los coeficientes porque el filtro lineal es una convolución, por lo que ambos tienen el mismo índice en esta suma. Un par de filtros con esta propiedad se definen como filtros de espejo en cuadratura. Incluso si las dos bandas resultantes han sido submuestreadas por un factor de 2, la relación entre los filtros significa que es posible una reconstrucción aproximadamente perfecta. Es decir, las dos bandas se pueden muestrear, filtrar nuevamente con los mismos filtros y agregarlas para reproducir la señal original exactamente (pero con un pequeño retraso). (En implementaciones prácticas, los problemas de precisión numérica en la aritmética de punto flotante pueden afectar la perfección de la reconstrucción).