Filosofía de las matemáticas

La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía que estudia los supuestos, fundamentos e implicaciones de las matemáticas. Su objetivo es comprender la naturaleza y los métodos de las matemáticas y descubrir el lugar de las matemáticas en la vida de las personas. La naturaleza lógica y estructural de las matemáticas mismas hace que este estudio sea amplio y único entre sus contrapartes filosóficas.

La filosofía de las matemáticas tiene dos temas principales: el realismo matemático y el antirrealismo matemático.

Historia

El origen de las matemáticas está sujeto a discusiones y desacuerdos. Si el nacimiento de las matemáticas fue un hecho aleatorio o inducido por la necesidad durante el desarrollo de otras materias, como la física, sigue siendo un tema de debate prolífico.

Muchos pensadores han aportado sus ideas sobre la naturaleza de las matemáticas. Hoy en día, algunos filósofos de las matemáticas pretenden dar cuenta de esta forma de investigación y sus productos tal como están, mientras que otros enfatizan un papel para ellos mismos que va más allá de la simple interpretación al análisis crítico. Hay tradiciones de filosofía matemática tanto en la filosofía occidental como en la filosofía oriental. Las filosofías occidentales de las matemáticas se remontan a Pitágoras, quien describió la teoría "todo es matemática" (matematicismo), Platón, quien parafraseó a Pitágoras y estudió el estado ontológico de los objetos matemáticos, y Aristóteles, quien estudió la lógica y las cuestiones relacionadas con el infinito. (real versus potencial).

La filosofía griega sobre las matemáticas estuvo fuertemente influenciada por su estudio de la geometría. Por ejemplo, en un momento, los griegos sostuvieron la opinión de que 1 (uno) no era un número, sino una unidad de longitud arbitraria. Un número se definió como una multitud. Por lo tanto, 3, por ejemplo, representaba una cierta multitud de unidades y, por lo tanto, no era "verdaderamente" un número. En otro momento, se hizo un argumento similar de que 2 no era un número sino una noción fundamental de un par. Estos puntos de vista provienen del punto de vista fuertemente geométrico de la regla y el compás de los griegos: así como las líneas dibujadas en un problema geométrico se miden en proporción a la primera línea dibujada arbitrariamente, también los números en una línea numérica se miden en proporción. al primer "número" o "uno" arbitrario.

Estas primeras ideas griegas de los números se vieron alteradas más tarde por el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. Hippasus, un discípulo de Pitágoras, demostró que la diagonal de un cuadrado unitario era inconmensurable con su borde (longitud unitaria): en otras palabras, demostró que no existía ningún número (racional) que representara con precisión la proporción de la diagonal de la unidad. cuadrado a su borde. Esto provocó una reevaluación significativa de la filosofía griega de las matemáticas. Según la leyenda, sus compañeros pitagóricos quedaron tan traumatizados por este descubrimiento que asesinaron a Hippasus para evitar que difundiera su idea herética. Simon Stevin fue uno de los primeros en Europa en desafiar las ideas griegas en el siglo XVI. Comenzando con Leibniz, el enfoque cambió fuertemente a la relación entre matemáticas y lógica.

Filosofía contemporánea

Un tema perenne en la filosofía de las matemáticas se refiere a la relación entre la lógica y las matemáticas en sus fundamentos conjuntos. Si bien los filósofos del siglo XX continuaron haciéndose las preguntas mencionadas al comienzo de este artículo, la filosofía de las matemáticas en el siglo XX se caracterizó por un interés predominante en la lógica formal, la teoría de conjuntos (tanto la teoría de conjuntos ingenua como la teoría de conjuntos axiomática) y cuestiones fundacionales.

Es un enigma profundo que, por un lado, las verdades matemáticas parecen tener una inevitabilidad convincente, pero por otro lado, la fuente de su "veracidad" sigue siendo difícil de alcanzar. Las investigaciones sobre este tema se conocen como los fundamentos del programa de matemáticas.

A principios del siglo XX, los filósofos de las matemáticas ya comenzaban a dividirse en varias escuelas de pensamiento acerca de todas estas cuestiones, que se distinguían ampliamente por sus imágenes de la epistemología y la ontología matemáticas. Tres escuelas, el formalismo, el intuicionismo y el logicismo, surgieron en este momento, en parte como respuesta a la preocupación cada vez más extendida de que las matemáticas tal como estaban, y el análisis en particular, no estaban a la altura de los estándares de certeza y rigor que se habían dado por sentados. otorgada. Cada escuela abordó los problemas que surgieron en ese momento, ya sea intentando resolverlos o afirmando que las matemáticas no tienen derecho a su estatus como nuestro conocimiento más confiable.

Los desarrollos sorprendentes y contrarios a la intuición en la lógica formal y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX llevaron a nuevas preguntas sobre lo que tradicionalmente se llamaba los fundamentos de las matemáticas.. A medida que avanzaba el siglo, el foco inicial de preocupación se expandió a una exploración abierta de los axiomas fundamentales de las matemáticas, el enfoque axiomático se había dado por sentado desde la época de Euclides alrededor del año 300 a. C. como la base natural de las matemáticas. Las nociones de axioma, proposición y prueba, así como la noción de que una proposición es verdadera de un objeto matemático (ver Tarea), se formalizaron, lo que permitió tratarlas matemáticamente. Se formularon los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos que proporcionaron un marco conceptual en el que se interpretaría gran parte del discurso matemático. En matemáticas, como en física, habían surgido ideas nuevas e inesperadas y se avecinaban cambios significativos. Con la numeración de Gödel, las proposiciones podrían interpretarse como refiriéndose a sí mismas o a otras proposiciones, Permitiendo la indagación sobre la consistencia de las teorías matemáticas. Esta crítica reflexiva en la que la teoría bajo revisión "se convierte en objeto de un estudio matemático" llevó a Hilbert a llamar a tal estudioMetamatemáticas o teoría de la demostración.

A mediados de siglo, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane crearon una nueva teoría matemática, conocida como teoría de categorías, y se convirtió en un nuevo contendiente para el lenguaje natural del pensamiento matemático. Sin embargo, a medida que avanzaba el siglo XX, las opiniones filosóficas divergieron en cuanto a qué tan bien fundamentadas estaban las preguntas sobre los fundamentos que se plantearon a principios de siglo. Hilary Putnam resumió una visión común de la situación en el último tercio del siglo diciendo:

Cuando la filosofía descubre algo erróneo en la ciencia, a veces la ciencia tiene que ser cambiada —me viene a la mente la paradoja de Russell, al igual que el ataque de Berkeley al infinitesimal real— pero más a menudo es la filosofía la que tiene que ser cambiada. No creo que las dificultades que hoy encuentra la filosofía con las matemáticas clásicas sean verdaderas dificultades; y creo que las interpretaciones filosóficas de las matemáticas que se nos ofrecen por todas partes están equivocadas, y que la "interpretación filosófica" es justo lo que las matemáticas no necesitan.

La filosofía de las matemáticas en la actualidad procede a lo largo de varias líneas de investigación diferentes, por filósofos de las matemáticas, lógicos y matemáticos, y hay muchas escuelas de pensamiento sobre el tema. Las escuelas se abordan por separado en la siguiente sección y se explican sus supuestos.

Temas principales

Realismo matematico

El realismo matemático, como el realismo en general, sostiene que las entidades matemáticas existen independientemente de la mente humana. Por lo tanto, los humanos no inventan las matemáticas, sino que las descubren, y cualquier otro ser inteligente en el universo presumiblemente haría lo mismo. Desde este punto de vista, hay realmente un tipo de matemática que puede descubrirse; los triángulos, por ejemplo, son entidades reales, no creaciones de la mente humana.

Muchos matemáticos activos han sido realistas matemáticos; se ven a sí mismos como descubridores de objetos naturales. Los ejemplos incluyen a Paul Erdős y Kurt Gödel. Gödel creía en una realidad matemática objetiva que podía percibirse de manera análoga a la percepción sensorial. Ciertos principios (p. ej., para dos objetos cualesquiera, hay una colección de objetos que consisten precisamente en esos dos objetos) podrían verse directamente como verdaderos, pero la conjetura de la hipótesis del continuo podría resultar indecidible sólo sobre la base de tales principios. Gödel sugirió que se podría usar una metodología cuasi-empírica para proporcionar evidencia suficiente para poder asumir razonablemente tal conjetura.

Dentro del realismo, hay distinciones según el tipo de existencia que uno considere que tienen las entidades matemáticas y cómo las conocemos. Las principales formas de realismo matemático incluyen el platonismo y el aristotelismo.

Antirrealismo matemático

El antirrealismo matemático generalmente sostiene que los enunciados matemáticos tienen valores de verdad, pero que no lo hacen por corresponder a un reino especial de entidades inmateriales o no empíricas. Las principales formas de antirrealismo matemático incluyen el formalismo y el ficcionalismo.

Escuelas de pensamiento contemporáneas

Artístico

El punto de vista que afirma que las matemáticas son la combinación estética de suposiciones, y luego también afirma que las matemáticas son un arte. Un famoso matemático que afirma que es el británico GH Hardy. Para Hardy, en su libro A Mathematician's Apology, la definición de matemáticas se parecía más a la combinación estética de conceptos.

Platonismo

El platonismo matemático es la forma de realismo que sugiere que las entidades matemáticas son abstractas, no tienen propiedades espaciotemporales o causales, y son eternas e inmutables. A menudo se afirma que esta es la visión que la mayoría de la gente tiene de los números. El término platonismo se usa porque se considera que tal punto de vista es paralelo a la teoría de las formas de Platón y un "mundo de ideas" (griego: eidos (εἶδος)) descrito en la alegoría de la caverna de Platón: el mundo cotidiano solo puede aproximarse imperfectamente a un inmutable, Ultima realidad. Tanto la caverna de Platón como el platonismo tienen conexiones significativas, no solo superficiales, porque las ideas de Platón fueron precedidas y probablemente influenciadas por los enormemente populares pitagóricos.de la antigua Grecia, que creía que el mundo era, literalmente, generado por números.

Una pregunta importante que se considera en el platonismo matemático es: ¿dónde y cómo existen exactamente las entidades matemáticas y cómo las conocemos? ¿Existe un mundo, completamente separado del nuestro físico, que está ocupado por las entidades matemáticas? ¿Cómo podemos acceder a este mundo separado y descubrir verdades sobre las entidades? Una respuesta propuesta es el Ultimate Ensemble, una teoría que postula que todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente en su propio universo.

El platonismo de Kurt Gödel postula un tipo especial de intuición matemática que nos permite percibir objetos matemáticos directamente. (Este punto de vista se parece a muchas cosas que dijo Husserl sobre las matemáticas y apoya la idea de Kant de que las matemáticas son sintéticas a priori). Davis y Hersh han sugerido en su libro de 1999 The Mathematical Experience que la mayoría de los matemáticos actúan como si fueran platónicos, aunque, si se les presiona para que defiendan la posición con cuidado, pueden retirarse al formalismo. El matemático Alexander Grothendieck también fue platónico.

El platonismo de pura sangre es una variación moderna del platonismo, que es una reacción al hecho de que se puede demostrar que existen diferentes conjuntos de entidades matemáticas dependiendo de los axiomas y las reglas de inferencia empleadas (por ejemplo, la ley del medio excluido y el axioma de elección). Sostiene que todas las entidades matemáticas existen. Pueden ser demostrables, incluso si no pueden derivarse todos de un solo conjunto consistente de axiomas.

El realismo de la teoría de conjuntos (también platonismo de la teoría de conjuntos), una posición defendida por Penélope Maddy, es la opinión de que la teoría de conjuntos se trata de un único universo de conjuntos. Esta posición (que también se conoce como platonismo naturalizado porque es una versión naturalizada del platonismo matemático) ha sido criticada por Mark Balaguer sobre la base del problema epistemológico de Paul Benacerraf. La Escuela Stanford-Edmonton defendió más tarde una visión similar, denominada naturalismo platonizado: según esta visión, un tipo más tradicional de platonismo es consistente con el naturalismo; el tipo más tradicional de platonismo que defienden se distingue por principios generales que afirman la existencia de objetos abstractos.

Matematicismo

La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematicismo) va más allá que el platonismo al afirmar que no solo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente. Es decir, en el sentido de que "en esos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente como existentes en un mundo físicamente 'real'".

Logicismo

El logicismo es la tesis de que las matemáticas son reducibles a la lógica y, por lo tanto, no son más que una parte de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo una parte de nuestro conocimiento de la lógica en general y, por lo tanto, es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todos los enunciados matemáticos son verdades lógicas necesarias.

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:

1. Los conceptos de las matemáticas pueden derivarse de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas.
2. Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos mediante deducción puramente lógica.

Gottlob Frege fue el fundador del logicismo. En su seminal Die Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética), construyó la aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamó "Ley básica V" (para los conceptos F y G, la extensión de F es igual a la extensión de G si y sólo si para todos los objetos a, Fa es igual a Ga), un principio que tomó como aceptable como parte de la lógica.

La construcción de Frege fue defectuosa. Bertrand Russell descubrió que la Ley Básica V es inconsistente (esta es la paradoja de Russell). Frege abandonó su programa logicista poco después, pero Russell y Whitehead lo continuaron. Atribuyeron la paradoja a la "circularidad viciosa" y construyeron lo que llamaron teoría de tipos ramificados para lidiar con ella. En este sistema, finalmente pudieron construir gran parte de las matemáticas modernas pero en una forma alterada y excesivamente compleja (por ejemplo, había diferentes números naturales en cada tipo, y había infinitos tipos). También tuvieron que hacer varios compromisos para desarrollar gran parte de las matemáticas, como el "axioma de reducibilidad". Incluso Russell dijo que este axioma no pertenecía realmente a la lógica.

Los lógicos modernos (como Bob Hale, Crispin Wright y quizás otros) han regresado a un programa más cercano al de Frege. Han abandonado la Ley Básica V en favor de principios de abstracción como el principio de Hume (el número de objetos que caen bajo el concepto F es igual al número de objetos que caen bajo el concepto G si y solo si la extensión de F y la extensión de Gse puede poner en correspondencia uno a uno). Frege requirió la Ley Básica V para poder dar una definición explícita de los números, pero todas las propiedades de los números pueden derivarse del principio de Hume. Esto no habría sido suficiente para Frege porque (parafraseándolo) no excluye la posibilidad de que el número 3 sea en realidad Julio César. Además, muchos de los principios debilitados que han tenido que adoptar para reemplazar la Ley Básica V ya no parecen tan obviamente analíticos y, por lo tanto, puramente lógicos.

Formalismo

El formalismo sostiene que las declaraciones matemáticas pueden considerarse como declaraciones sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de cadenas. Por ejemplo, en el "juego" de la geometría euclidiana (que se considera que consiste en algunas cadenas llamadas "axiomas" y algunas "reglas de inferencia" para generar nuevas cadenas a partir de las dadas), se puede probar que el teorema de Pitágoras se cumple (es decir, se puede generar la cadena correspondiente al teorema de Pitágoras). De acuerdo con el formalismo, las verdades matemáticas no se refieren a números, conjuntos, triángulos y cosas por el estilo; de hecho, no se refieren a nada en absoluto.

Otra versión del formalismo se conoce a menudo como deductivismo. En el deductivismo, el teorema de Pitágoras no es una verdad absoluta, sino relativa: si se asigna significado a las cadenas de tal manera que las reglas del juego se vuelven verdaderas (es decir, se asignan enunciados verdaderos a los axiomas y las reglas de inferencia preservan la verdad), entoncesuno debe aceptar el teorema, o, más bien, la interpretación que se le ha dado debe ser un enunciado verdadero. Lo mismo se considera cierto para todos los demás enunciados matemáticos. Así, el formalismo no tiene por qué significar que las matemáticas no son más que un juego simbólico sin sentido. Por lo general, se espera que exista alguna interpretación en la que se mantengan las reglas del juego. (Compare esta posición con el estructuralismo.) Pero permite que el matemático en activo continúe con su trabajo y deje tales problemas al filósofo o al científico. Muchos formalistas dirían que en la práctica, los sistemas de axiomas a estudiar serán sugeridos por las demandas de la ciencia o de otras áreas de las matemáticas.

Uno de los primeros defensores importantes del formalismo fue David Hilbert, cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y consistente de todas las matemáticas.Hilbert pretendía mostrar la consistencia de los sistemas matemáticos a partir del supuesto de que la "aritmética finitaria" (un subsistema de la aritmética habitual de los números enteros positivos, elegida para ser filosóficamente incontrovertible) era consistente. Los objetivos de Hilbert de crear un sistema de matemáticas que sea a la vez completo y consistente se vieron seriamente socavados por el segundo de los teoremas de incompletitud de Gödel, que establece que los sistemas de axiomas consistentes suficientemente expresivos nunca pueden probar su propia consistencia. Dado que cualquier sistema de axiomas de este tipo contendría la aritmética finitaria como un subsistema, el teorema de Gödel implicaba que sería imposible probar la consistencia del sistema en relación con eso (ya que entonces probaría su propia consistencia, que Gödel había demostrado que era imposible). Por lo tanto,

Hilbert fue inicialmente un deductivista, pero, como puede verse claramente desde arriba, consideró que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finitaria. Más tarde, sostuvo la opinión de que no había ninguna otra matemática significativa en absoluto, independientemente de la interpretación.

Otros formalistas, como Rudolf Carnap, Alfred Tarski y Haskell Curry, consideraban que las matemáticas eran la investigación de los sistemas de axiomas formales. Los lógicos matemáticos estudian los sistemas formales, pero con tanta frecuencia son realistas como formalistas.

Los formalistas son relativamente tolerantes e invitan a nuevos enfoques de la lógica, sistemas numéricos no estándar, nuevas teorías de conjuntos, etc. Cuantos más juegos estudiemos, mejor. Sin embargo, en estos tres ejemplos, la motivación se extrae de preocupaciones matemáticas o filosóficas existentes. Los "juegos" no suelen ser arbitrarios.

La principal crítica al formalismo es que las ideas matemáticas reales que ocupan a los matemáticos están muy alejadas de los juegos de manipulación de cuerdas mencionados anteriormente. Por lo tanto, el formalismo guarda silencio sobre la cuestión de qué sistemas de axiomas deben estudiarse, ya que ninguno es más significativo que otro desde un punto de vista formalista.

Recientemente, algunos matemáticos formalistas han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal debe codificarse sistemáticamente en formatos legibles por computadora, para facilitar la verificación automatizada de pruebas matemáticas y el uso de demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de teorías matemáticas y software de computadora.. Debido a su estrecha conexión con la informática, esta idea también es defendida por intuicionistas matemáticos y constructivistas en la tradición de la "computabilidad"; consulte el proyecto QED para obtener una descripción general.

Convencionalismo

El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista. El uso de Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debe considerarse una verdad a priori. Sostuvo que los axiomas en geometría deben elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.

Intuicionismo

En matemáticas, el intuicionismo es un programa de reforma metodológica cuyo lema es que “no hay verdades matemáticas no experimentadas” (LEJ Brouwer). A partir de este trampolín, los intuicionistas buscan reconstruir lo que consideran la parte corregible de las matemáticas de acuerdo con los conceptos kantianos de ser, devenir, intuición y conocimiento. Brouwer, el fundador del movimiento, sostuvo que los objetos matemáticos surgen de las formas a priori de las voliciones que informan la percepción de los objetos empíricos.

Una fuerza importante detrás del intuicionismo fue LEJ Brouwer, quien rechazó la utilidad de la lógica formalizada de cualquier tipo para las matemáticas. Su alumno Arend Heyting postuló una lógica intuicionista, diferente a la lógica aristotélica clásica; esta lógica no contiene la ley del tercero excluido y por lo tanto desaprueba las pruebas por contradicción. El axioma de elección también se rechaza en la mayoría de las teorías de conjuntos intuicionistas, aunque en algunas versiones se acepta.

En el intuicionismo, el término "construcción explícita" no está claramente definido, y eso ha dado lugar a críticas. Se han hecho intentos de usar los conceptos de máquina de Turing o función computable para llenar este vacío, lo que lleva a afirmar que solo las preguntas relacionadas con el comportamiento de los algoritmos finitos son significativas y deben investigarse en matemáticas. Esto ha llevado al estudio de los números computables, introducido por primera vez por Alan Turing. No es sorprendente, entonces, que este enfoque de las matemáticas se asocie a veces con la informática teórica.

Constructivismo

Al igual que el intuicionismo, el constructivismo implica el principio regulador de que solo las entidades matemáticas que pueden construirse explícitamente en cierto sentido deben ser admitidas en el discurso matemático. Desde este punto de vista, las matemáticas son un ejercicio de la intuición humana, no un juego con símbolos sin sentido. En cambio, se trata de entidades que podemos crear directamente a través de la actividad mental. Además, algunos seguidores de estas escuelas rechazan las pruebas no constructivas, como la prueba por contradicción. Errett Bishop realizó un trabajo importante, quien logró probar versiones de los teoremas más importantes en el análisis real como análisis constructivo en sus Fundamentos del análisis constructivo de 1967.

Finitismo

El finitismo es una forma extrema de constructivismo, según la cual un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de números naturales en un número finito de pasos. En su libro Filosofía de la teoría de conjuntos, Mary Tiles caracterizó a quienes permiten objetos contablemente infinitos como finitistas clásicos, y a quienes niegan incluso objetos contablemente infinitos como finitistas estrictos.

El defensor más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker, quien dijo:

Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre.

El ultrafinitismo es una versión aún más extrema del finitismo, que rechaza no solo los infinitos sino también las cantidades finitas que no se pueden construir de manera factible con los recursos disponibles. Otra variante del finitismo es la aritmética euclidiana, un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. El sistema de Mayberry es de inspiración aristotélica en general y, a pesar de su fuerte rechazo a cualquier papel del operacionalismo o la viabilidad en los fundamentos de las matemáticas, llega a conclusiones algo similares, como, por ejemplo, que la superexponenciación no es una función finita legítima.

Estructuralismo

El estructuralismo es una posición que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras y que los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por sus lugares en tales estructuras, por lo que no tienen propiedades intrínsecas. Por ejemplo, mantendría que todo lo que se necesita saber sobre el número 1 es que es el primer número entero después del 0. Asimismo, todos los demás números enteros se definen por sus lugares en una estructura, la recta numérica. Otros ejemplos de objetos matemáticos pueden incluir líneas y planos en geometría, o elementos y operaciones en álgebra abstracta.

El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo. Sin embargo, su afirmación central solo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería claramente de la de las estructuras en las que están incrustados; diferentes subvariedades de estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto.

El estructuralismo ante rem ("antes de la cosa") tiene una ontología similar al platonismo. Se sostiene que las estructuras tienen una existencia real pero abstracta e inmaterial. Como tal, enfrenta el problema epistemológico estándar de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y matemáticos de carne y hueso (ver el problema de identificación de Benacerraf).

El in re estructuralismo ("en la cosa") es el equivalente del realismo aristotélico. Se sostiene que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifica. Esto incurre en los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas podrían accidentalmente no existir, y que un mundo físico finito podría no ser lo suficientemente "grande" para acomodar algunas estructuras legítimas.

El estructuralismo post rem ("después de la cosa") es antirrealista acerca de las estructuras de una manera paralela al nominalismo. Al igual que el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas a su lugar en una estructura relacional. De acuerdo con este punto de vista, los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común. Si algo es cierto de una estructura, será cierto de todos los sistemas que ejemplifican la estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras "comunes" entre sistemas: de hecho, no tienen una existencia independiente.

Teorías de la mente encarnada

Las teorías de la mente encarnada sostienen que el pensamiento matemático es una consecuencia natural del aparato cognitivo humano que se encuentra en nuestro universo físico. Por ejemplo, el concepto abstracto de número surge de la experiencia de contar objetos discretos (que requiere los sentidos humanos como la vista para detectar los objetos, el tacto y las señales del cerebro). Se sostiene que las matemáticas no son universales y no existen en ningún sentido real, excepto en el cerebro humano. Los humanos construyen, pero no descubren, las matemáticas.

Los procesos cognitivos de encontrar patrones y distinguir objetos también están sujetos a la neurociencia; si se considera que las matemáticas son relevantes para un mundo natural (como del realismo o un grado de este, en oposición al solipsismo puro).

Su relevancia real para la realidad, si bien se acepta como una aproximación confiable (también se sugiere que la evolución de las percepciones, el cuerpo y los sentidos pueden haber sido necesarios para la supervivencia) no es necesariamente precisa para un realismo completo (y todavía está sujeto a fallas tales como ilusión, suposiciones (en consecuencia, los fundamentos y axiomas en los que las matemáticas han sido formadas por humanos), generalizaciones, engaños y alucinaciones). Como tal, esto también puede plantear preguntas para el método científico moderno por su compatibilidad con las matemáticas generales; ya que, si bien es relativamente confiable, todavía está limitado por lo que se puede medir mediante el empirismo, que puede no ser tan confiable como se suponía anteriormente (ver también: conceptos 'contraintuitivos' en la ciencia, como la no localidad cuántica y la acción a distancia).

Otro problema es que un sistema numérico puede no ser necesariamente aplicable a la resolución de problemas. Temas como los números complejos o los números imaginarios requieren cambios específicos en los axiomas matemáticos más utilizados); de lo contrario, no pueden entenderse adecuadamente.

Alternativamente, los programadores de computadoras pueden usar hexadecimal para su representación 'humana' de valores codificados en binario, en lugar de decimal (conveniente para contar porque los humanos tienen diez dedos). Los axiomas o reglas lógicas detrás de las matemáticas también varían a lo largo del tiempo (como la adaptación e invención del cero).

Como las percepciones del cerebro humano están sujetas a ilusiones, suposiciones, engaños, alucinaciones (inducidas), errores cognitivos o suposiciones en un contexto general, se puede cuestionar si son precisas o estrictamente indicativas de la verdad (ver también: filosofía del ser), y la naturaleza del empirismo en sí mismo en relación con el universo y si es independiente de los sentidos y el universo.

La mente humana no tiene un derecho especial sobre la realidad o los enfoques a ella construidos a partir de las matemáticas. Si construcciones tales como la identidad de Euler son ciertas, entonces lo son como mapa de la mente y la cognición humanas.

Los teóricos de la mente encarnada explican así la efectividad de las matemáticas: las matemáticas fueron construidas por el cerebro para ser efectivas en este universo.

El tratamiento más accesible, famoso e infame de esta perspectiva es De dónde vienen las matemáticas, de George Lakoff y Rafael E. Núñez. Además, el matemático Keith Devlin ha investigado conceptos similares con su libro The Math Instinct, al igual que el neurocientífico Stanislas Dehaene con su libro The Number Sense. Para obtener más información sobre las ideas filosóficas que inspiraron esta perspectiva, consulte la ciencia cognitiva de las matemáticas.

Realismo aristotélico

El realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que se pueden realizar literalmente en el mundo físico (o en cualquier otro mundo que pueda haber). Contrasta con el platonismo al sostener que los objetos de las matemáticas, como los números, no existen en un mundo "abstracto", sino que pueden realizarse físicamente. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de papagayos y el universal "ser papagayo" que divide el montón en tantos papagayos. El realismo aristotélico es defendido por James Franklin y la Escuela de Sydney en la filosofía de las matemáticas y se acerca a la visión de Penélope Maddy de que cuando se abre un cartón de huevos se percibe un conjunto de tres huevos (es decir, una entidad matemática realizada en el mundo físico).Un problema para el realismo aristotélico es qué dar cuenta de los infinitos superiores, que pueden no ser realizables en el mundo físico.

La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets también cae dentro de la tradición realista aristotélica. Mayberry, siguiendo a Euclid, considera que los números son simplemente "multitudes definidas de unidades" realizadas en la naturaleza, como "los miembros de la Orquesta Sinfónica de Londres" o "los árboles en el bosque de Birnam". Si hay o no multitudes definidas de unidades para las que falla la noción común 5 de Euclides (el todo es mayor que la parte) y que, en consecuencia, se considerarían infinitas, para Mayberry es esencialmente una cuestión sobre la naturaleza y no implica ninguna suposición trascendental.

Psicologismo

El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición en la que los conceptos matemáticos y/o las verdades se fundamentan, derivan o explican mediante hechos (o leyes) psicológicos.

John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX como Sigwart y Erdmann, así como una serie de psicólogos, pasados ​​y presentes: por ejemplo, Gustave Le Bon. Frege criticó el psicologismo en Los fundamentos de la aritmética y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su revisión de la Filosofía de la aritmética de Husserl. Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones Lógicas, llamado "Los prolegómenos de la lógica pura", criticó a fondo el psicologismo y buscó distanciarse de él. Los "Prolegómenos" se consideran una refutación del psicologismo más concisa, justa y completa que las críticas hechas por Frege, y también es considerado hoy por muchos como una refutación memorable por su golpe decisivo al psicologismo. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty.

Empirismo

El empirismo matemático es una forma de realismo que niega que las matemáticas puedan ser conocidas a priori en absoluto. Dice que descubrimos hechos matemáticos mediante la investigación empírica, al igual que los hechos en cualquiera de las otras ciencias. No es una de las tres posiciones clásicas defendidas a principios del siglo XX, sino que surgió principalmente a mediados de siglo. Sin embargo, uno de los primeros defensores importantes de una visión como esta fue John Stuart Mill. El punto de vista de Mill fue ampliamente criticado porque, según críticos como AJ Ayer, hace que declaraciones como "2 + 2 = 4" resulten como verdades inciertas y contingentes, que solo podemos aprender observando instancias de dos pares que se juntan y formando un cuarteto.

Karl Popper fue otro filósofo que señaló los aspectos empíricos de las matemáticas, observando que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología, hipotético-deductivas: por lo tanto, las matemáticas puras resultan mucho más cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, de lo que parecía incluso recientemente". Popper también señaló que "admitiría un sistema como empírico o científico solo si es capaz de ser probado por la experiencia".

El empirismo matemático contemporáneo, formulado por WVO Quine y Hilary Putnam, se apoya principalmente en el argumento de la indispensabilidad: las matemáticas son indispensables para todas las ciencias empíricas, y si queremos creer en la realidad de los fenómenos descritos por las ciencias, también debemos creer en la realidad de aquellas entidades requeridas para esta descripción. Es decir, dado que la física necesita hablar de electrones para decir por qué las bombillas se comportan como lo hacen, entonces los electrones deben existir. Dado que la física necesita hablar de números al ofrecer cualquiera de sus explicaciones, entonces los números deben existir. De acuerdo con las filosofías generales de Quine y Putnam, este es un argumento naturalista. Argumenta la existencia de entidades matemáticas como la mejor explicación para la experiencia, despojando así a las matemáticas de ser distintas de las otras ciencias.

Putnam rechazó enérgicamente el término "platónico" por implicar una ontología demasiado específica que no era necesaria para la práctica matemática en ningún sentido real. Abogó por una forma de "realismo puro" que rechazaba las nociones místicas de la verdad y aceptaba mucho cuasi-empirismo en las matemáticas. Esto surgió a partir de la afirmación cada vez más popular a fines del siglo XX de que nunca se podría demostrar que existiera ningún fundamento de las matemáticas. A veces también se le llama "posmodernismo en matemáticas", aunque algunos consideran que ese término es sobrecargado e insultante para otros. El cuasi-empirismo argumenta que al hacer su investigación, los matemáticos prueban hipótesis y prueban teoremas. Un argumento matemático puede transmitir la falsedad de la conclusión a las premisas tan bien como puede transmitir la verdad de las premisas a la conclusión. Putnam ha argumentado que cualquier teoría del realismo matemático incluiría métodos casi empíricos. Propuso que una especie alienígena que hace matemáticas bien podría basarse principalmente en métodos casi empíricos, estando dispuesta a menudo a renunciar a pruebas rigurosas y axiomáticas, y seguir haciendo matemáticas, quizás con un riesgo algo mayor de fallar en sus cálculos. Dio un argumento detallado para esto enNuevas Direcciones. El cuasi-empirismo también fue desarrollado por Imre Lakatos.

La crítica más importante de los puntos de vista empíricos de las matemáticas es aproximadamente la misma que se planteó contra Mill. Si las matemáticas son tan empíricas como las demás ciencias, esto sugiere que sus resultados son tan falibles como los de ellas, e igualmente contingentes. En el caso de Mill la justificación empírica viene directamente, mientras que en el caso de Quine viene indirectamente, a través de la coherencia de nuestra teoría científica como un todo, es decir, la consiliencia después de EO Wilson. Quine sugiere que las matemáticas parecen completamente seguras porque el papel que juegan en nuestra red de creencias es extraordinariamente central, y que sería extremadamente difícil para nosotros revisarlo, aunque no imposible.

Para una filosofía de las matemáticas que intenta superar algunas de las deficiencias de los enfoques de Quine y Gödel tomando aspectos de cada uno, véase Realism in Mathematics de Penelope Maddy. Otro ejemplo de una teoría realista es la teoría de la mente encarnada.

Para obtener evidencia experimental que sugiera que los bebés humanos pueden hacer aritmética elemental, consulte a Brian Butterworth.

Ficcionalismo

El ficcionalismo matemático saltó a la fama en 1980 cuando Hartry Field publicó Science Without Numbers.que rechazó y de hecho revocó el argumento de indispensabilidad de Quine. Donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y, por lo tanto, deberían aceptarse como un cuerpo de verdades que hablan de entidades que existen de forma independiente, Field sugirió que las matemáticas eran prescindibles y, por lo tanto, deberían considerarse como un cuerpo de falsedades que no hablan de nada. real. Hizo esto dando una axiomatización completa de la mecánica newtoniana sin referencia alguna a números o funciones. Comenzó con la "intermediación" de los axiomas de Hilbert para caracterizar el espacio sin coordinarlo, y luego agregó relaciones adicionales entre puntos para hacer el trabajo que antes hacían los campos vectoriales. La geometría de Hilbert es matemática, porque habla de puntos abstractos, pero en la teoría de Field,

Habiendo mostrado cómo hacer ciencia sin usar números, Field procedió a rehabilitar las matemáticas como una especie de ficción útil. Demostró que la física matemática es una extensión conservadora de su física no matemática (es decir, todo hecho físico demostrable en la física matemática ya es demostrable a partir del sistema de Field), de modo que las matemáticas son un proceso fiable cuyas aplicaciones físicas son todas verdaderas, aunque sus propias afirmaciones son falsas. Así, al hacer matemáticas, podemos vernos a nosotros mismos como contando una especie de historia, hablando como si los números existieran. Para Field, una afirmación como "2 + 2 = 4" es tan ficticia como "Sherlock Holmes vivía en el 221B de Baker Street", pero ambas son verdaderas según las ficciones relevantes.

Otra novelista, Mary Leng, expresa la perspectiva de manera sucinta al descartar cualquier conexión aparente entre las matemáticas y el mundo físico como "una feliz coincidencia". Este rechazo separa el ficcionalismo de otras formas de antirrealismo, que ven las matemáticas en sí mismas como artificiales pero aún limitadas o ajustadas a la realidad de alguna manera.

Por esta cuenta, no hay problemas metafísicos o epistemológicos especiales a las matemáticas. Las únicas preocupaciones que quedan son las preocupaciones generales sobre la física no matemática y sobre la ficción en general. El enfoque de Field ha sido muy influyente, pero es ampliamente rechazado. Esto se debe en parte al requisito de fuertes fragmentos de lógica de segundo orden para llevar a cabo su reducción, y porque la declaración de conservatividad parece requerir cuantificación sobre modelos abstractos o deducciones.

Constructivismo social

El constructivismo social ve a las matemáticas principalmente como una construcción social, como un producto de la cultura, sujeto a corrección y cambio. Al igual que las otras ciencias, las matemáticas son vistas como un esfuerzo empírico cuyos resultados se evalúan constantemente y pueden descartarse. Sin embargo, mientras que desde un punto de vista empirista la evaluación es una especie de comparación con la "realidad", los constructivistas sociales enfatizan que la dirección de la investigación matemática está dictada por las modas del grupo social que la realiza o por las necesidades de la sociedad que la financia. Sin embargo, aunque tales fuerzas externas pueden cambiar la dirección de algunas investigaciones matemáticas, existen fuertes restricciones internas (las tradiciones, los métodos, los problemas, los significados y los valores matemáticos en los que se culturizan los matemáticos) que funcionan para conservar la disciplina definida históricamente.

Esto va en contra de las creencias tradicionales de los matemáticos que trabajan, que las matemáticas son de alguna manera puras u objetivas. Pero los constructivistas sociales argumentan que, de hecho, las matemáticas se basan en mucha incertidumbre: a medida que la práctica matemática evoluciona, el estado de las matemáticas anteriores se pone en duda y se corrige en la medida en que lo requiere o desea la comunidad matemática actual. Esto se puede ver en el desarrollo del análisis a partir del reexamen del cálculo de Leibniz y Newton. Argumentan además que a las matemáticas completas a menudo se les otorga demasiado estatus, y las matemáticas populares no lo suficiente, debido a un énfasis excesivo en la prueba axiomática y la revisión por pares como prácticas.

La naturaleza social de las matemáticas se destaca en sus subculturas. Se pueden hacer descubrimientos importantes en una rama de las matemáticas y ser relevantes para otra, pero la relación no se descubre por falta de contacto social entre los matemáticos. Los constructivistas sociales argumentan que cada especialidad forma su propia comunidad epistémica y, a menudo, tiene grandes dificultades para comunicar o motivar la investigación de conjeturas unificadoras que puedan relacionar diferentes áreas de las matemáticas. Los constructivistas sociales ven el proceso de "hacer matemáticas" como la creación real del significado, mientras que los realistas sociales ven una deficiencia, ya sea de la capacidad humana para abstraer, o del sesgo cognitivo humano, o de la inteligencia colectiva de los matemáticos, como algo que impide la comprensión de un universo real de cosas. objetos matemáticos.

Imre Lakatos y Thomas Tymoczko han hecho contribuciones a esta escuela, aunque no está claro si ninguno respaldaría el título. Más recientemente, Paul Ernest ha formulado explícitamente una filosofía constructivista social de las matemáticas. Algunos consideran que el trabajo de Paul Erdős en su conjunto ha promovido este punto de vista (aunque él personalmente lo rechazó) debido a sus colaboraciones excepcionalmente amplias, lo que llevó a otros a ver y estudiar "matemáticas como una actividad social", por ejemplo, a través del número de Erdős.. Reuben Hersh también ha promovido la visión social de las matemáticas, llamándola un enfoque "humanista", similar pero no exactamente igual al asociado con Alvin White; uno de los coautores de Hersh, Philip J. Davis, también ha expresado simpatía por la visión social.

Más allá de las escuelas tradicionales

Efectividad irrazonable

En lugar de centrarse en debates estrechos sobre la verdadera naturaleza de la verdad matemática, o incluso en prácticas exclusivas de los matemáticos como la demostración, un movimiento creciente desde la década de 1960 hasta la década de 1990 comenzó a cuestionar la idea de buscar fundamentos o encontrar una respuesta correcta a por qué las matemáticas funcionan. El punto de partida para esto fue el famoso artículo de Eugene Wigner de 1960 "La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales", en el que argumentaba que la feliz coincidencia de que las matemáticas y la física coincidieran tan bien parecía irrazonable y difícil de explicar.

Los dos sentidos de las declaraciones numéricas de Popper

Las teorías realista y constructivista normalmente se toman como contrarias. Sin embargo, Karl Popper argumentó que un enunciado numérico como "2 manzanas + 2 manzanas = 4 manzanas" puede tomarse en dos sentidos. En un sentido es irrefutable y lógicamente cierto. En el segundo sentido es factualmente verdadero y falsable. Otra forma de expresar esto es decir que un solo enunciado numérico puede expresar dos proposiciones: una de las cuales puede explicarse según líneas constructivistas; el otro en líneas realistas.

Filosofia del lenguaje

Las innovaciones en la filosofía del lenguaje durante el siglo XX renovaron el interés por saber si las matemáticas son, como suele decirse, el lenguajede Ciencia. Aunque algunos matemáticos y filósofos aceptarían la declaración "las matemáticas son un lenguaje", los lingüistas creen que se deben considerar las implicaciones de tal declaración. Por ejemplo, las herramientas de la lingüística generalmente no se aplican a los sistemas de símbolos de las matemáticas, es decir, las matemáticas se estudian de una manera marcadamente diferente a otros idiomas. Si las matemáticas son un lenguaje, es un tipo de lenguaje diferente de los lenguajes naturales. De hecho, debido a la necesidad de claridad y especificidad, el lenguaje de las matemáticas está mucho más limitado que los lenguajes naturales estudiados por los lingüistas. Sin embargo, los métodos desarrollados por Frege y Tarski para el estudio del lenguaje matemático han sido ampliados en gran medida por Tarski.

Mohan Ganesalingam ha analizado el lenguaje matemático utilizando herramientas de la lingüística formal. Ganesalingam señala que algunas características del lenguaje natural no son necesarias cuando se analiza el lenguaje matemático (como el tiempo verbal), pero se pueden usar muchas de las mismas herramientas analíticas (como las gramáticas independientes del contexto). Una diferencia importante es que los objetos matemáticos tienen tipos claramente definidos, que se pueden definir explícitamente en un texto: "Efectivamente, se nos permite introducir una palabra en una parte de una oración y declarar su parte del discurso en otra; y esta operación no tiene análogo en el lenguaje natural".

Argumentos

Argumento de la indispensabilidad del realismo

Este argumento, asociado con Willard Quine y Hilary Putnam, es considerado por Stephen Yablo como uno de los argumentos más desafiantes a favor de la aceptación de la existencia de entidades matemáticas abstractas, como números y conjuntos. La forma del argumento es la siguiente.

1. Uno debe tener compromisos ontológicos con todas las entidades que son indispensables para las mejores teorías científicas, y solo con esas entidades (comúnmente denominadas "todos y solo").
2. Las entidades matemáticas son indispensables para las mejores teorías científicas. Por lo tanto,
3. Uno debe tener compromisos ontológicos con las entidades matemáticas.

La justificación de la primera premisa es la más controvertida. Tanto Putnam como Quine invocan el naturalismo para justificar la exclusión de todas las entidades no científicas y, por tanto, para defender la "única" parte del "todo y sólo". La afirmación de que "todas" las entidades postuladas en las teorías científicas, incluidos los números, deben aceptarse como reales se justifica por el holismo de confirmación. Dado que las teorías no se confirman por partes, sino como un todo, no hay justificación para excluir ninguna de las entidades a las que se hace referencia en las teorías bien confirmadas. Esto pone al nominalista que desea excluir la existencia de conjuntos y geometría no euclidiana, pero incluir la existencia de quarks y otras entidades físicas indetectables, por ejemplo, en una posición difícil.

Argumento epistémico contra el realismo

El "argumento epistémico" antirrealista contra el platonismo ha sido elaborado por Paul Benacerraf y Hartry Field. El platonismo postula que los objetos matemáticos son entidades abstractas. Por acuerdo general, las entidades abstractas no pueden interactuar causalmente con entidades físicas concretas ("los valores de verdad de nuestras afirmaciones matemáticas dependen de hechos que involucran entidades platónicas que residen en un reino fuera del espacio-tiempo"). Si bien nuestro conocimiento de objetos físicos concretos se basa en nuestra capacidad para percibirlos y, por lo tanto, para interactuar causalmente con ellos, no existe un relato paralelo de cómo los matemáticos llegan a tener conocimiento de objetos abstractos.Otra forma de señalar es que si el mundo platónico desapareciera, no cambiaría la capacidad de los matemáticos para generar pruebas, etc., que ya es totalmente responsable en términos de procesos físicos en sus cerebros.

Field desarrolló sus puntos de vista en el ficcionalismo. Benacerraf también desarrolló la filosofía del estructuralismo matemático, según la cual no hay objetos matemáticos. No obstante, algunas versiones del estructuralismo son compatibles con algunas versiones del realismo.

El argumento gira en torno a la idea de que se puede dar una explicación naturalista satisfactoria de los procesos de pensamiento en términos de procesos cerebrales para el razonamiento matemático junto con todo lo demás. Una línea de defensa es mantener que esto es falso, de modo que el razonamiento matemático utiliza alguna intuición especial que implica el contacto con el ámbito platónico. Sir Roger Penrose da una forma moderna de este argumento.

Otra línea de defensa es mantener que los objetos abstractos son relevantes para el razonamiento matemático de una manera que no es causal y no es análoga a la percepción. Este argumento es desarrollado por Jerrold Katz en su libro Racionalismo realista de 2000.

Una defensa más radical es la negación de la realidad física, es decir, la hipótesis del universo matemático. En ese caso, el conocimiento matemático de un matemático es un objeto matemático que hace contacto con otro.

Estética

Muchos matemáticos practicantes se han sentido atraídos por su tema debido a la sensación de belleza que perciben en él. A veces se escucha el sentimiento de que a los matemáticos les gustaría dejar la filosofía a los filósofos y volver a las matemáticas, donde, presumiblemente, reside la belleza.

En su trabajo sobre la proporción divina, HE Huntley relaciona la sensación de leer y comprender la demostración de un teorema matemático de otra persona con la del espectador de una obra maestra de arte: el lector de una demostración tiene una sensación similar de júbilo al comprenderla. el autor original de la prueba, tanto como, argumenta, el espectador de una obra maestra tiene una sensación de euforia similar a la del pintor o escultor original. De hecho, uno puede estudiar escritos matemáticos y científicos como literatura.

Philip J. Davis y Reuben Hersh han comentado que el sentido de la belleza matemática es universal entre los matemáticos practicantes. A modo de ejemplo, proporcionan dos pruebas de la irracionalidad de √ 2. La primera es la prueba tradicional por contradicción, atribuida a Euclides; la segunda es una prueba más directa que involucra el teorema fundamental de la aritmética que, según argumentan, llega al meollo del problema. Davis y Hersh argumentan que los matemáticos encuentran la segunda prueba más atractiva estéticamente porque se acerca más a la naturaleza del problema.

Paul Erdős era bien conocido por su noción de un "Libro" hipotético que contenía las pruebas matemáticas más elegantes o hermosas. No existe un acuerdo universal de que un resultado tenga una prueba "más elegante"; Gregory Chaitin ha argumentado en contra de esta idea.

Los filósofos a veces han criticado el sentido de la belleza o la elegancia de los matemáticos por ser, en el mejor de los casos, vagamente expresado. Sin embargo, de la misma manera, los filósofos de las matemáticas han tratado de caracterizar lo que hace que una prueba sea más deseable que otra cuando ambas son lógicamente sólidas.

Otro aspecto de la estética en relación con las matemáticas son las opiniones de los matemáticos sobre los posibles usos de las matemáticas para fines que se consideran poco éticos o inapropiados. La exposición más conocida de este punto de vista se encuentra en el libro A Mathematician's Apology de GH Hardy, en el que Hardy argumenta que las matemáticas puras son superiores en belleza a las matemáticas aplicadas precisamente porque no pueden usarse para la guerra y fines similares.

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