Figura isotoxal

En geometría, un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro) o un mosaico es isotóxico (del griego τόξον 'arco') o transitivo en sus aristas si sus simetrías actúan de manera transitiva sobre sus aristas. De manera informal, esto significa que solo hay un tipo de arista en el objeto: dadas dos aristas, hay una traslación, rotación y/o reflexión que moverá una arista hacia la otra mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.

Un polígono isotoxal es un polígono equilátero, pero no todos los poligones equiláteros son isotoxales. Los duales de polígonos isotoxales son polígonos isogonales. Isotoxal ${\displaystyle 4n}$-gones son simétricos centrales, por lo tanto también son zonogones.

En general, un isotoxal (no regular) ${\displaystyle 2n}$-gon tiene ${\displaystyle \mathrm {} _{n},({*}nn)}$ simetría dihedral. Por ejemplo, un rhombus no cuadrado es un isotoxal "${\displaystyle 2}$×${\displaystyle 2}$-gon" (quadrilateral) con ${\displaystyle \mathrm {D} _{2},({*}22)}$ simetría. Todos ordinario ${\displaystyle {\color {}n}$-gones (también con extraño ${\displaystyle n}$) son isotoxales, teniendo el doble de la orden de simetría mínima: un regular ${\displaystyle n}$-gon tiene ${\displaystyle \mathrm {} _{n},({*}nn)}$ simetría dihedral.

Un isotoxal ${\displaystyle {\Mathbf}n}$- con ángulo interno exterior ${\displaystyle \alpha }$ puede ser denotado por ${\displaystyle \{n_{\alpha }$ El ángulo interno interior ${\displaystyle (\beta)}$ puede ser menor o mayor que ${\displaystyle 180}$${\displaystyle {\color {royalblue} {\Mathsf}}}}}$ fabricar polígonos convexos o concave respectivamente.

A estrella ${\displaystyle {\color {}{\mathbf {2}n}n}$- No. también puede ser isotoxal, denotado por ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$ con ${\displaystyle q\leq n-1}$ y con el mayor divisor común ${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$ Donde ${\displaystyle q}$ es el número de giro o densidad. Los vértices interiores concave pueden definirse para ${\displaystyle q maden/2.}$ Si ${\displaystyle D=\gcd(n,q)\gq 2,}$ entonces ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }=\{(Dm/Dp)_{\alpha }$ es "reducido" a un compuesto ${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }$ de ${\displaystyle D}$ copias rotativas de ${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }$

Precaución:

Los vértices de ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }$ no siempre se colocan como los de ${\displaystyle \{n_{\alpha }$ mientras que los vértices de los regulares ${\displaystyle \{n/q\}}$ se colocan como los de la regularidad ${\displaystyle \{n\}.}$

Se puede definir un conjunto de teselados "uniformes", en realidad teselados isogonales que utilizan polígonos isotoxales como caras menos simétricas que las regulares.

Ejemplos de polígonos y compuestos isotoxales no regulares

Número de lados: ${\displaystyle 2n}$	2×2 (Cent. sym.)	2×3	2×4 (Cent. sym.)	2×5	2×6 (Cent. sym.)	2×7	2×8 (Cent. sym.)
${\displaystyle \{n_{\alpha }$ Convex: ${\displaystyle \beta }$ Concave: ${\displaystyle \beta >180^{\circ }$	${\displaystyle \{2_{\alpha }$	${\displaystyle \{3_{\alpha }$	${\displaystyle \{4_{\alpha }$	${\displaystyle \{5_{\alpha }$	${\displaystyle \{6_{\alpha }$	${\displaystyle \{7_{\alpha }$	${\displaystyle \{8_{\alpha }$
2 vueltas ${\displaystyle \{(n/2)_{\alpha }$	--	${\displaystyle \{(3/2)_{\alpha }$	${\displaystyle 2\{2_{\alpha }$	${\displaystyle \{(5/2)_{\alpha }$	${\displaystyle 2\{3_{\alpha }$	${\displaystyle \{(7/2)_{\alpha }$	${\displaystyle 2\{4_{\alpha }$
3 vueltas ${\displaystyle \{(n/3)_{\alpha }$	--	--	${\displaystyle \{(4/3)_{\alpha }$	${\displaystyle \{(5/3)_{\alpha }$	${\displaystyle 3\{2_{\alpha }$	${\displaystyle \{(7/3)_{\alpha }$	${\displaystyle \{(8/3)_{\alpha }$
4 vueltas ${\displaystyle \{(n/4)_{\alpha }$	--	--	--	${\displaystyle \{(5/4)_{\alpha }$	${\displaystyle 2\{(3/2)_{\alpha }$	${\displaystyle \{(7/4)_{\alpha }$	${\displaystyle 4\{2_{\alpha }$
5-voz ${\displaystyle \{(n/5)_{\alpha }$	--	--	--	--	${\displaystyle \{(6/5)_{\alpha }$	${\displaystyle \{(7/5)_{\alpha }$	${\displaystyle \{(8/5)_{\alpha }$
6 vueltas ${\displaystyle \{(n/6)_{\alpha }$	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(7/6)_{\alpha }$	${\displaystyle 2\{(4/3)_{\alpha }$
7-voz ${\displaystyle \{(n/7)_{\alpha }$	--	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(8/7)_{\alpha }$

Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos por las caras), isogonales (transitivos por los vértices) e isotoxales (transitivos por las aristas).

Los poliedros cuasiregulares, como el cuboctaedro y el icosidodecaedro, son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus duales, incluidos el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico, son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.

Ejemplos

Quasiregular poliedro	Doble cuasiregular poliedro	Quasiregular estrella poliedron	Doble cuasiregular estrella poliedron	Quasiregular azulejos	Doble cuasiregular azulejos
Un cuboctaedro es un poliedro isogonal e isotoxal	Un dodecaedro rhombic es un isohedral y poliedro isotoxal	Un gran icosidodecahedro es una estrella isogonal e isotoxal poliedron	Un gran triacontahedro rhombic es un isohedral y una estrella isotoxal poliedron	El revestimiento trihexagonal es un revestimiento isogonal e isotoxal	La baldosa rhombille es una baldosa isohedral e isotoxal con p6m (*632) simetría.

No todos los poliedros o teselaciones bidimensionales construidas a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el conocido balón de fútbol) no es isotoxal, ya que tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva una arista hexágono-hexágono sobre una arista hexágono-pentágono.

Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedro en todas sus aristas.

El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo.

El dual de un poliedro no convexo es también un poliedro no convexo. (Por contraposición.)

El dual de un poliedro isotoxal es también un poliedro isotoxal. (Véase el artículo Poliedro dual.)

Hay nueve poliedros isotoxales convexos: los cinco sólidos platónicos (regulares), los dos núcleos comunes (cuasirregulares) de los sólidos platónicos duales y sus dos duales.

Hay catorce poliedros isotoxales no convexos: los cuatro poliedros Kepler-Poinsot (regulares), los dos núcleos comunes (cuasirregulares) de poliedros duales Kepler-Poinsot y sus dos duales, más los tres poliedros estelares ditrigonales cuasirregulares (3 | p q) y sus tres duales.

Existen al menos cinco compuestos poliédricos isotoxales: los cinco compuestos poliédricos regulares; sus cinco duales son también los cinco compuestos poliédricos regulares (o un gemelo quiral).

Existen al menos cinco teselados poligonales isotoxales del plano euclidiano, y un número infinito de teselados poligonales isotoxales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff a partir de los teselados hiperbólicos regulares {p,q} y grupos no rectos (p q r).

• Tabla de ángulos dihedral de poliedro
• Vertex-transitive
• Face-transitive
• Cell-transitive

• Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2, Transitivity, p. 371
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Azulejos y patrones. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 Isotoxal tilings, págs. 309 a 321)
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), "Uniform polyhedra", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas, 246 (916): 401–450, código:1954RSPTA.246..401C, doi:10.1098/rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, S2CID 202575183