Fenómeno de gibbs

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Error oscilatorio en la serie Fourier

En matemáticas, la Crimen de Gibbs es el comportamiento oscilatorio de la serie Fourier de una función periódica totalmente diferenciable alrededor de una discontinuidad de salto. El ${textstyle N}$ ^T Serie Fourier parcial de la función (formado por resumir la ${textstyle N}$ Los sinusoides constituyentes más bajos de la serie Fourier de la función) producen grandes picos alrededor del salto que superan y subsanan los valores de la función. Como se utilizan más sinusoides, este error de aproximación se acerca a un límite de alrededor del 9% del salto, aunque la suma infinita de la serie Fourier eventualmente converge casi en todas partes (convergencia puntual en puntos continuos) excepto puntos de discontinuidad.

El fenómeno de Gibbs fue observado por físicos experimentales y se creía que se debía a imperfecciones en el aparato de medición, pero en realidad es un resultado matemático. Es una de las causas de los artefactos de timbre en el procesamiento de señales.

Descripción

El fenómeno de Gibbs es un comportamiento de la serie de Fourier de una función con una discontinuidad de salto y se describe de la siguiente manera:

A medida que se toman más componentes o componentes de la serie Fourier, la serie Fourier muestra la primera onda en el comportamiento oscilatorio alrededor del punto de salto acercando ~ 9% del salto (full) y esta oscilación no desaparece pero se acerca al punto para que la parte integral de la oscilación se acerque a cero (es decir, energía cero en la oscilación).

Did you mean:

At the jump point, the Fourier series gives the average of the function 's both side limits toward the point.

Ejemplo de onda cuadrada

Las tres imágenes de la derecha muestran el fenómeno de Gibbs para una onda cuadrada (con amplitud pico-a-peak) ${textstyle c}$ desde ${textstyle -c/2}$ a ${textstyle c/2}$ y la periodicidad ${textstyle L}$ De quién ${textstyle N}$ ^T parcial Serie Fourier

{displaystyle {frac {2c}{pi }}left(sin(omega x)+{frac {1}{3}}sin(3omega x)+cdots +{frac {1}{N-1}}sin((N-1)omega x)right)}

Donde ${textstyle omega =2pi /L}$ . Más precisamente, esta onda cuadrada es la función ${textstyle f(x)}$ que es igual ${tfrac {c}{2}}$ entre ${textstyle 2n(L/2)}$ y ${textstyle (2n+1)(L/2)}$ y ${textstyle -{tfrac {c}{2}}}$ entre ${textstyle (2n+1)(L/2)}$ y ${textstyle (2n+2)(L/2)}$ para cada entero ${textstyle n}$ ; por lo tanto, esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura pico a pico ${textstyle c}$ en cada número entero de ${textstyle L/2}$ .

Como se añaden más términos sinusoidales (es decir, aumentar ${textstyle N}$ ), el error de la serie Fourier parcial converge a una altura fija. Pero debido a que el ancho del error sigue estrechando, el área del error – y por lo tanto la energía del error – converge a 0. El análisis de onda cuadrada revela que el error excede la altura (de cero) ${tfrac {c}{2}}$ de la onda cuadrada por

{displaystyle {frac {c}{pi }}int _{0}^{pi }{frac {sin(t)}{t}} dt-{frac {c}{2}}=ccdot (0.089489872236dots).}

OEIS: A243268

o alrededor del 9% del salto completo ${textstyle c}$ . Más generalmente, en cualquier discontinuidad de una función completamente diferente con un salto de ${textstyle c}$ , el ${textstyle N}$ ^T parcial Fourier serie de la función será (para una muy grande ${textstyle N}$ valor) superar este salto por un error acercando ${textstyle ccdot (0.089489872236dots)}$ en un extremo y subsuelve por la misma cantidad en el otro extremo; por lo tanto el "full salto" en la serie parcial Fourier será aproximadamente 18% más grande que el salto completo en la función original. En la discontinuidad, la serie parcial Fourier convergerá al punto medio del salto (independientemente del valor real de la función original en la discontinuidad) como consecuencia del teorema de Dirichlet. La cantidad

{displaystyle int _{0}^{pi }{frac {sin t}{t}} dt=(1.851937051982dots)={frac {pi }{2}}+pi cdot (0.089489872236dots)}

OEIS: A036792Wilbraham–Gibbs constante

Historia

El fenómeno Gibbs fue observado y analizado por primera vez por Henry Wilbraham en un artículo de 1848. El artículo atrajo poca atención hasta 1914, cuando fue mencionado en la reseña del análisis matemático de Heinrich Burkhardt en la enciclopedia de Klein. En 1898, Albert A. Michelson desarrolló un dispositivo que podía calcular y resintetizar la serie de Fourier. Un mito muy extendido dice que cuando se introducían en la máquina los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada, la gráfica oscilaba en las discontinuidades, y que como se trataba de un dispositivo físico sujeto a defectos de fabricación, Michelson estaba convencido de que el exceso se debía a errores. en la máquina. De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos para mostrar claramente el fenómeno de Gibbs, y es posible que Michelson no lo haya notado ya que no mencionó este efecto en su artículo (Michelson & Stratton 1898) sobre su máquina o sus posteriores. Cartas a la Naturaleza.

Inspirado por la correspondencia en Nature entre Michelson y A. E. H. Love sobre la convergencia de la serie de Fourier de la función de onda cuadrada, J. Willard Gibbs publicó una nota en 1898 señalando la importante distinción entre el límite de las gráficas de las sumas parciales de la serie de Fourier de una onda en diente de sierra y la gráfica del límite de esas sumas parciales. En su primera carta, Gibbs no se dio cuenta del fenómeno de Gibbs y el límite que describió para las gráficas de las sumas parciales era inexacto. En 1899 publicó una corrección en la que describía el exceso en el punto de discontinuidad (Nature, 27 de abril de 1899, p. 606). En 1906, Maxime Bôcher realizó un análisis matemático detallado de ese exceso y acuñó el término "fenómeno de Gibbs". y generalizar el uso del término.

Después de que la existencia del artículo de Henry Wilbraham se hiciera ampliamente conocida, en 1925 Horatio Scott Carslaw comentó: "Todavía podemos llamar a esta propiedad de la serie de Fourier (y algunas otras series) Gibbs". El fenómeno del 39; pero ya no debemos afirmar que la propiedad fue descubierta por primera vez por Gibbs."

Explicación

Informalmente, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a aproximar una función discontinua mediante una serie finita de ondas sinusoidales continuas. Es importante poner énfasis en la palabra finito, porque aunque cada suma parcial de la serie de Fourier se sobrepasa alrededor de cada discontinuidad a la que se aproxima, el límite de sumar un número infinito de ondas sinusoidales no lo hace. Los picos de exceso se acercan cada vez más a la discontinuidad a medida que se suman más términos, por lo que la convergencia es posible.

No hay contradicción (entre el error de sobreimpulso que converge a una altura distinta de cero incluso si la suma infinita no tiene sobreimpulso), porque los picos de sobreimpulso se mueven hacia la discontinuidad. Por tanto, el fenómeno de Gibbs muestra convergencia puntual, pero no convergencia uniforme. Para una función continuamente diferenciable por partes (clase C1), la serie de Fourier converge a la función en cada punto excepto en las discontinuidades de salto. En las discontinuidades de salto, la suma infinita convergerá al punto medio de la discontinuidad de salto (es decir, el promedio de los valores de la función a cada lado del salto), como consecuencia del teorema de Dirichlet.

El fenómeno de Gibbs está estrechamente relacionado con el principio de que la suavidad de una función controla la tasa de desintegración de sus coeficientes Fourier. Los coeficientes más bajos de funciones más suaves se desintegrarán más rápidamente (resultando en mayor convergencia), mientras que los coeficientes de Fourier de funciones discontinuas se desintegrarán lentamente (resultando en menor convergencia). Por ejemplo, la onda cuadrada discontinua tiene coeficientes Fourier ${displaystyle ({tfrac {1}{1}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {1}{3}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {1}{5}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {1}{7}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {1}{9}},{scriptstyle {text{0}}},dots)}$ esa decadencia sólo a la tasa de ${tfrac {1}{n}}$ , mientras que la onda triángulo continuo tiene coeficientes Fourier ${displaystyle ({tfrac {1}{1^{2}}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {-1}{3^{2}}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {1}{5^{2}}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {-1}{7^{2}}},{scriptstyle {text{0}}},{tfrac {1}{9^{2}}},{scriptstyle {text{0}}},dots)}$ esa decadencia a un ritmo mucho más rápido ${displaystyle {tfrac {1}{n^{2}}}}$ .

Esto sólo proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes de Fourier absolutamente convergentes serían uniformemente convergentes según la prueba M de Weierstrass y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior. Por la misma razón, es imposible que una función discontinua tenga coeficientes de Fourier absolutamente convergentes, ya que la función sería así el límite uniforme de funciones continuas y por tanto sería continua, una contradicción. Ver Convergencia de series de Fourier § Convergencia absoluta.

Soluciones

En la práctica, las dificultades asociadas con el fenómeno de Gibbs pueden mejorarse utilizando un método más suave de suma de series de Fourier, como la suma de Fejér o la suma de Riesz, o utilizando la aproximación sigma. Utilizando una transformada wavelet continua, el fenómeno wavelet de Gibbs nunca excede al fenómeno de Fourier Gibbs. Además, al utilizar la transformada wavelet discreta con funciones de base de Haar, el fenómeno de Gibbs no ocurre en absoluto en el caso de datos continuos en discontinuidades de salto, y es mínimo en el caso discreto en puntos de cambio grandes. En el análisis de wavelets, esto se conoce comúnmente como fenómeno de Longo. En el entorno de interpolación polinomial, el fenómeno de Gibbs se puede mitigar utilizando el algoritmo S-Gibbs.

Descripción matemática formal del fenómeno de Gibbs

Vamos ${textstyle f:{mathbb {R} }to {mathbb {R} }}$ ser una función totalmente diferente que es periódica con algún período $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">L■0{textstyle L título0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd74b379e7898f161013d14206e26d84945191c7" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.844ex; height:2.176ex;"/>$ . Supongamos que en algún momento ${textstyle x_{0}}$ , el límite izquierdo ${textstyle f(x_{0}^{-})}$ y límite derecho ${textstyle f(x_{0}^{+})}$ de la función ${textstyle f}$ diferente por un salto no cero de ${textstyle c}$ :

{displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=cneq 0.}

Para cada entero positivo ${textstyle N}$ ≥ 1, ${textstyle S_{N}f(x)}$ ser el ${textstyle N}$ ^T Serie Fourier parcial ( ${textstyle S_{N}}$ puede ser tratado como un operador matemático en las funciones.)

{displaystyle S_{N}f(x):=sum _{-Nleq nleq N}{widehat {f}}(n)e^{frac {i2pi nx}{L}}={frac {1}{2}}a_{0}+sum _{n=1}^{N}left(a_{n}cos left({frac {2pi nx}{L}}right)+b_{n}sin left({frac {2pi nx}{L}}right)right),}

donde los coeficientes Fourier ${textstyle {widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}}$ para enteros ${textstyle n}$ son dados por la fórmula habitual

{displaystyle {widehat {f}}(n):={frac {1}{L}}int _{0}^{L}f(x)e^{-{frac {i2pi nx}{L}}},dx}

{displaystyle a_{0}:={frac {1}{L}}int _{0}^{L}f(x) dx}

{displaystyle a_{n}:={frac {2}{L}}int _{0}^{L}f(x)cos left({frac {2pi nx}{L}}right),dx}

{displaystyle b_{n}:={frac {2}{L}}int _{0}^{L}f(x)sin left({frac {2pi nx}{L}}right),dx.}

Entonces tenemos

{displaystyle lim _{Nto infty }S_{N}fleft(x_{0}+{frac {L}{2N}}right)=f(x_{0}^{+})+ccdot (0.089489872236dots)}

{displaystyle lim _{Nto infty }S_{N}fleft(x_{0}-{frac {L}{2N}}right)=f(x_{0}^{-})-ccdot (0.089489872236dots)}

{displaystyle lim _{Nto infty }S_{N}f(x_{0})={frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.}

Más generalmente, si ${textstyle x_{N}}$ es cualquier secuencia de números reales que convergen a ${textstyle x_{0}}$ como ${textstyle Nto infty }$ , y si el salto de ${textstyle a}$ es positivo entonces

{displaystyle limsup _{Nto infty }S_{N}f(x_{N})leq f(x_{0}^{+})+ccdot (0.089489872236dots)}

{displaystyle liminf _{Nto infty }S_{N}f(x_{N})geq f(x_{0}^{-})-ccdot (0.089489872236dots).}

Si en lugar del salto ${textstyle c}$ es negativo, se necesita un límite de intercambio superior ( ${textstyle limsup }$ ) con límite inferior ( ${textstyle liminf }$ ), y también intercambian el ${textstyle leq }$ y ${textstyle geq }$ signos, en las dos desigualdades anteriores.

Prueba del fenómeno de Gibbs en un caso general

De nuevo, dejemos ${textstyle f:{mathbb {R} }to {mathbb {R} }}$ ser una función totalmente diferente que es periódica con algún período $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">L■0{textstyle L título0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd74b379e7898f161013d14206e26d84945191c7" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.844ex; height:2.176ex;"/>$ , y esta función tiene múltiples puntos de discontinuidad salto denotado ${textstyle x_{i}}$ Donde ${textstyle i=0,1,2,}$ y así sucesivamente. En cada discontinuidad, la cantidad del salto vertical completo es ${textstyle c_{i}}$ .

Entonces, ${textstyle f}$ se puede expresar como la suma de una función continua ${textstyle f_{c}}$ y una función multi-paso ${textstyle f_{s}}$ que es la suma de las funciones de paso, como

{displaystyle f=f_{c}+f_{s},}

{displaystyle f_{s}=f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+cdots}

x_{i}.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">fsi()x)={}0six≤ ≤ xi,ci,six■xi.{displaystyle f_{s_{i}(x)={begin{cases}0 limit{if }xleq x_{i},c_{i}, }x títulox.x_{i}.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5af04de535cf7b1d5490f46b65b28b20be330a7" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.419ex; height:6.176ex;"/>

${textstyle S_{N}f(x)}$ como ${textstyle N}$ ^T Serie Fourier parcial ${textstyle f=f_{c}+f_{s}=f_{c}+left(f_{s_{1}}+f_{s_{2}}+f_{s_{3}}+ldots right)}$ convergerá bien ${textstyle x}$ puntos excepto puntos cercanos a la discontinuidad ${textstyle x_{i}}$ . Alrededor de cada punto de discontinuidad ${textstyle x_{i}}$ , ${textstyle f_{s_{i}}}$ sólo tendrá el fenómeno de Gibbs propio (el error máximo de convergencia oscilatoria de ~ 9 % del salto ${displaystyle c_{i}}$ , como se muestra en el análisis de onda cuadrada) porque otras funciones son continuas ( $f_{c}$ ) o plano cero ( ${displaystyle f_{s_{j}}}$ Donde $j neq i$ alrededor de ese punto. Esto demuestra cómo ocurre el fenómeno de Gibbs en cada discontinuidad.

Explicación del procesamiento de señales

Desde el punto de vista del procesamiento de señales, el fenómeno de Gibbs es la respuesta escalonada de un filtro de paso bajo, y las oscilaciones se denominan artefactos de timbre o timbre. Truncar la transformada de Fourier de una señal en la línea real, o la serie de Fourier de una señal periódica (equivalentemente, una señal en el círculo), corresponde a filtrar las frecuencias más altas con un filtro de paso bajo ideal (de pared de ladrillo). Esto se puede representar como una convolución de la señal original con la respuesta de impulso del filtro (también conocido como núcleo), que es la función sinc. Por tanto, el fenómeno de Gibbs puede verse como el resultado de convolucionar una función escalonada de Heaviside (si no se requiere periodicidad) o una onda cuadrada (si es periódica) con una función sinc: las oscilaciones en la función sinc provocan las ondulaciones en la salida.

En el caso de convolver con una función de paso Heaviside, la función resultante es exactamente la parte integral de la función sinc, la integral sine; para una onda cuadrada la descripción no se indica simplemente. Para la función de paso, la magnitud de la subida es exactamente la parte integral de la cola izquierda hasta el primer cero negativo: para el seno normalizado del período de muestreo de unidad, esto es ${textstyle int _{-infty }^{-1}{frac {sin(pi x)}{pi x}},dx.}$ El overshoot es en consecuencia de la misma magnitud: la parte integral de la cola derecha o (equivalentemente) la diferencia entre la parte integral de la infinidad negativa al primer cero positivo menos 1 (el valor no resolución).

El exceso y el defecto se pueden entender de la siguiente manera: los núcleos generalmente se normalizan para tener una integral 1, por lo que resultan en una asignación de funciones constantes a funciones constantes; de lo contrario, tienen ganancia. El valor de una convolución en un punto es una combinación lineal de la señal de entrada, con coeficientes (pesos) de los valores del núcleo.

Si un núcleo no es negativo, como en el caso de un núcleo gaussiano, entonces el valor de la señal filtrada será una combinación convexa de los valores de entrada (los coeficientes (el núcleo) se integran a 1 y no son negativos), y por lo tanto caerá entre el mínimo y el máximo de la señal de entrada: no alcanzará ni sobrepasará. Si, por otro lado, el núcleo asume valores negativos, como la función sinc, entonces el valor de la señal filtrada será una combinación afín de los valores de entrada y puede quedar fuera del mínimo y máximo de la señal de entrada. resultando en un sobreimpulso o un sobreimpulso, como en el fenómeno de Gibbs.

Tomar una expansión más larga (cortar a una frecuencia más alta) corresponde en el dominio de la frecuencia a ensanchar la pared de ladrillos, lo que en el dominio del tiempo corresponde a estrechar la función sinc y aumentar su altura en el mismo factor, dejando las integrales entre puntos correspondientes sin cambios. Ésta es una característica general de la transformada de Fourier: el ensanchamiento en un dominio corresponde al estrechamiento y aumento de la altura en el otro. Esto da como resultado que las oscilaciones en sinc sean más estrechas y más altas, y (en la función filtrada después de la convolución) produce oscilaciones que son más estrechas (y por lo tanto con una área más pequeña) pero que no tienen magnitud reducida: el corte en cualquier frecuencia finita da como resultado una función sinc, por estrecha que sea, con las mismas integrales de cola. Esto explica la persistencia del exceso y del defecto.

Las oscilaciones se pueden interpretar como convolución con un sinc.
El corte superior hace que el sinc sea más estrecho pero más alto, con la misma magnitud integrales de cola, dando oscilaciones de mayor frecuencia, pero cuya magnitud no desaparece.

Así, las características del fenómeno de Gibbs se interpretan de la siguiente manera:

el subsueldo se debe a la respuesta del impulso que tiene una integral de cola negativa, que es posible porque la función toma valores negativos;
el overshoot compensa esto, por simetría (la integral general no cambia bajo filtro);
la persistencia de las oscilaciones es porque el aumento del corte estrecha la respuesta del impulso pero no reduce su integral – las oscilaciones así se mueven hacia la discontinuidad, pero no disminuyen en magnitud.

Análisis de ondas cuadradas

Animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada (con la periodicidad como 1 y la amplitud pico a pico como 2 de -1 a 1) con un número creciente de armónicos. El fenómeno de Gibbs como oscilaciones alrededor de las discontinuidades de salto es visible especialmente cuando el número de armónicos es grande.

Examinamos el ${textstyle N}$ ^T Serie Fourier parcial ${textstyle S_{N}f(x)}$ de una onda cuadrada ${textstyle f(x)}$ con la periodicidad ${textstyle L}$ y una discontinuidad de un salto vertical "full" ${textstyle c}$ desde ${textstyle y=y_{0}}$ a ${textstyle x=x_{0}}$ . Porque el caso es extraño ${textstyle N}$ es muy similar, vamos a tratar con el caso cuando ${textstyle N}$ es incluso:

{displaystyle S_{N}f(x)=left(y_{0}+{frac {c}{2}}right)+{frac {2c}{pi }}left(sin(omega (x-x_{0}))+{frac {1}{3}}sin(3omega (x-x_{0}))+cdots +{frac {1}{N-1}}sin((N-1)omega (x-x_{0}))right)}

con ${textstyle omega ={frac {2pi }{L}}}$ . () ${textstyle N=2N'}$ Donde ${textstyle N'}$ es el número de no cero sinusoidal Componentes de serie Fourier para que haya literatura usando ${textstyle N'}$ en lugar de ${textstyle N}$ .) Sustitución ${textstyle x=x_{0}}$ (un punto de discontinuidad), obtenemos

{displaystyle S_{N}f(x_{0})=left(y_{0}+{frac {c}{2}}right)={frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}={frac {y_{0}+(y_{0}+c)}{2}}}

A continuación, encontramos el primer máximo de la oscilación alrededor de la discontinuidad ${textstyle x=x_{0}}$ comprobando los derivados primero y segundo de ${textstyle S_{N}f(x)}$ . La primera condición para el máximo es que el primer derivado equivale a cero como

{displaystyle {frac {d}{dx}}S_{N}f(x)={frac {2c}{pi }}left(cos(omega (x-x_{0}))+cos(3omega (x-x_{0}))+cdots +cos((N-1)omega (x-x_{0}))right)={frac {c}{pi }}{frac {sin(Nomega (x-x_{0}))}{sin(omega (x-x_{0}))}}=0}

donde el 2^nd la igualdad es de una de las identidades trigonométricas de Lagrange. Resolver esta condición da ${textstyle x-x_{0}=kpi /(Nomega)=kL/(2N)}$ para enteros ${textstyle k}$ excluyendo múltiples de ${textstyle Nomega }$ para evitar el denominador cero, así ${textstyle k=1,2,ldotsNomega -1,Nomega +1,ldots }$ y sus negativos están permitidos.

El segundo derivado de ${textstyle S_{N}f(x)}$ a ${textstyle x-x_{0}=kL/(2N)}$ es

{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)={frac {comega }{pi }}left({frac {Ncos(Nomega (x-x_{0}))sin(omega (x-x_{0}))-sin(Nomega (x-x_{0}))cos(omega (x-x_{0}))}{sin ^{2}(omega (x-x_{0}))}}right),}

{displaystyle left.{frac {d^{2}}{dx^{2}}}S_{N}f(x)rightvert _{x_{0}+kL/(2N)}={begin{cases}{frac {2c}{L}}{frac {N}{sin(kpi /N)}},&{text{if }}k{text{ is even,}}\[4pt]{frac {2c}{L}}{frac {-N}{sin(kpi /N)}},&{text{if }}k{text{ is odd.}}end{cases}}}

Así, el primer máximo ocurre en ${textstyle x=x_{0}+L/(2N)}$ () ${textstyle k=1}$ ) y ${textstyle S_{N}f(x)}$ en esto ${textstyle x}$ valor

{displaystyle S_{N}fleft(x_{0}+{frac {L}{2N}}right)=left(y_{0}+{frac {c}{2}}right)+{frac {2c}{pi }}left(sin left({frac {pi }{N}}right)+{frac {1}{3}}sin left({frac {3pi }{N}}right)+cdots +{frac {1}{N-1}}sin left({frac {(N-1)pi }{N}}right)right)}

Si presentamos la función sinc normalizada ${textstyle operatorname {sinc} (x)={frac {sin(pi x)}{pi x}}}$ para ${textstyle xneq 0}$ , podemos reescribir esto como

{displaystyle S_{N}fleft(x_{0}+{frac {L}{2N}}right)=(y_{0}+{frac {c}{2}})+cleft[{frac {2}{N}}operatorname {sinc} left({frac {1}{N}}right)+{frac {2}{N}}operatorname {sinc} left({frac {3}{N}}right)+cdots +{frac {2}{N}}operatorname {sinc} left({frac {(N-1)}{N}}right)right].}

Para un suficientemente grande ${textstyle N}$ , la expresión en los corchetes es una suma Riemann aproximación a la parte integral ${textstyle int _{0}^{1}operatorname {sinc} (x) dx}$ (más precisamente, es una regla de punto medio aproximación con espaciado ${displaystyle {tfrac {2}{N}}}$ ). Puesto que la función sincical es continua, esta aproximación converge a la integral como $Nto infty$ . Así, tenemos

{displaystyle {begin{aligned}lim _{Nto infty }S_{N}fleft(x_{0}+{frac {L}{2N}}right)&=(y_{0}+{frac {c}{2}})+cint _{0}^{1}operatorname {sinc} (x),dx\[8pt]&=(y_{0}+{frac {c}{2}})+{frac {c}{pi }}int _{x=0}^{1}{frac {sin(pi x)}{pi x}},d(pi x)\[8pt]&=(y_{0}+{frac {c}{2}})+{frac {c}{pi }}int _{0}^{pi }{frac {sin(t)}{t}} dtquad =quad (y_{0}+c)+ccdot (0.089489872236dots),end{aligned}}}

que fue reclamado en el apartado anterior. Un cálculo similar muestra

{displaystyle lim _{Nto infty }S_{N}fleft(x_{0}-{frac {L}{2N}}right)=-cint _{0}^{1}operatorname {sinc} (x),dx=y_{0}-ccdot (0.089489872236dots).}

Consecuencias

El fenómeno de Gibbs es indeseable porque causa artefactos, es decir, recortes por sobreimpulso y subimpulso, y artefactos de zumbido por las oscilaciones. En el caso del filtrado de paso bajo, estos se pueden reducir o eliminar utilizando diferentes filtros de paso bajo.

En la resonancia magnética, el fenómeno de Gibbs provoca artefactos en presencia de regiones adyacentes con intensidades de señal marcadamente diferentes. Esto se encuentra con mayor frecuencia en resonancias magnéticas de columna, donde el fenómeno de Gibbs puede simular la apariencia de siringomielia.

El fenómeno de Gibbs se manifiesta como un artefacto de patrón cruzado en la transformada discreta de Fourier de una imagen, donde la mayoría de las imágenes (por ejemplo, micrografías o fotografías) tienen una marcada discontinuidad entre los límites en la parte superior/inferior e izquierda/derecha de una imagen. Cuando se imponen condiciones de contorno periódicas en la transformada de Fourier, esta discontinuidad de salto se representa mediante un continuo de frecuencias a lo largo de los ejes en el espacio recíproco (es decir, un patrón cruzado de intensidad en la transformada de Fourier).

Y aunque este artículo se centró principalmente en la dificultad de intentar construir discontinuidades sin artefactos en el dominio del tiempo con solo una serie de Fourier parcial, también es importante considerar que debido a que la transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier, De manera equivalente, existe dificultad al intentar construir discontinuidades en el dominio de la frecuencia utilizando sólo una serie parcial de Fourier. Así, por ejemplo, debido a que los filtros rectangulares y de pared de ladrillos idealizados tienen discontinuidades en el dominio de la frecuencia, su representación exacta en el dominio del tiempo requiere necesariamente una respuesta de impulso del filtro sinc infinitamente larga, ya que una respuesta de impulso finita dará como resultado una onda de Gibbs en la respuesta de frecuencia. cerca de frecuencias de corte, aunque esta ondulación se puede reducir colocando ventanas en filtros de respuesta de impulso finitos (a expensas de bandas de transición más anchas).

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