Félix Hausdorff

Felix Hausdorff (HOWS-dorf, HOWZ-dorf; 8 de noviembre de 1868 - 26 de enero de 1942) fue un matemático alemán considerado uno de los fundadores de la topología moderna y que contribuyó significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría descriptiva de conjuntos, la teoría de la medida y el análisis funcional.

La vida se volvió difícil para Hausdorff y su familia después de la Kristallnacht en 1938. Al año siguiente, inició esfuerzos para emigrar a los Estados Unidos, pero no pudo hacer arreglos para recibir una beca de investigación. El 26 de enero de 1942, Felix Hausdorff, junto con su esposa y su cuñada, se suicidó tomando una sobredosis de veronal, en lugar de cumplir con las órdenes alemanas de trasladarse al campo de Endenich, y allí sufrir las probables consecuencias. sobre el que no se hacía ilusiones.

Vida

Infancia y juventud

El padre de Hausdorff, el comerciante judío Louis Hausdorff (1843–1896), se mudó con su joven familia a Leipzig en el otoño de 1870 y, con el tiempo, trabajó en varias empresas, incluida una fábrica de artículos de lino y algodón.. Era un hombre culto y se había convertido en Morenu a la edad de 14 años. Escribió varios tratados, incluido un largo trabajo sobre las traducciones arameas de la Biblia desde la perspectiva de la ley talmúdica.

La madre de Hausdorff, Hedwig (1848–1902), a quien también se hace referencia en varios documentos como Johanna, provenía de la familia judía Tietz. De otra rama de esta familia vino Hermann Tietz, fundador de la primera tienda por departamentos, y luego copropietario de la cadena de tiendas por departamentos llamada "Hermann Tietz". Durante el período de la dictadura nazi, el nombre era "arianizado" a Hertie.

De 1878 a 1887 Felix Hausdorff asistió a la Escuela Nicolai en Leipzig, una institución que tenía la reputación de ser un semillero de educación humanística. Fue un excelente estudiante, líder de clase durante muchos años y, a menudo, recitaba poemas en latín o alemán escritos por él mismo en las celebraciones escolares.

En sus últimos años de secundaria, elegir un tema principal de estudio no fue fácil para Hausdorff. Magda Dierkesmann, que a menudo era invitada en la casa de Hausdorff en los años 1926-1932, informó en 1967 que:

Su talento musical versátil fue tan grande que sólo la insistencia de su padre lo hizo renunciar a su plan de estudiar música y convertirse en compositor.

Decidió estudiar ciencias naturales, y en su promoción de 1887 fue el único que logró la nota más alta posible.

Licenciatura, Doctorado y Habilitación

De 1887 a 1891 Hausdorff estudió matemáticas y astronomía, principalmente en su ciudad natal de Leipzig, interrumpido por un semestre en Friburgo (verano de 1888) y Berlín (invierno de 1888/1889). Los testimonios sobrevivientes de otros estudiantes lo describen como un joven sumamente versátil e interesado que, además de las conferencias de matemáticas y astronomía, asistía a conferencias de física, química y geografía, y también a conferencias sobre filosofía e historia de la filosofía, así como sobre temas de lengua, literatura y ciencias sociales. En Leipzig asistió a conferencias sobre la historia de la música del musicólogo Oscar Paul. Su temprano amor por la música duró toda la vida; en casa de Hausdorff realizó impresionantes veladas musicales con el casero al piano, según testimonios de varios participantes. Incluso como estudiante en Leipzig, fue un admirador y conocedor de la música de Richard Wagner.

En semestres posteriores de sus estudios, Hausdorff estuvo cerca de Heinrich Bruns (1848–1919). Bruns fue profesor de astronomía y director del observatorio de la Universidad de Leipzig. Bajo su supervisión, Hausdorff se graduó en 1891 con un trabajo sobre la teoría de la refracción astronómica de la luz en la atmósfera. Siguieron dos publicaciones sobre el mismo tema, y en 1895 también siguió su Habilitación con una tesis sobre la absorbancia de la luz en la atmósfera. Estos primeros trabajos astronómicos de Hausdorff, a pesar de su excelente formulación matemática, fueron finalmente de poca importancia para la comunidad científica. Por un lado, más tarde se demostró que la idea subyacente de Bruns no era viable (había una necesidad de observaciones de refracción cerca del horizonte astronómico y, como mostraría Julius Bauschinger, esto no se podía obtener con la precisión requerida). Y además, el progreso en la medición directa de datos atmosféricos (a partir de los ascensos de globos meteorológicos) ha hecho que la minuciosa precisión de estos datos de las observaciones de refracción sea innecesaria. En el tiempo entre la defensa de su doctorado y su habilitación, Hausdorff completó su requisito militar de un año y trabajó durante dos años como una computadora humana en el observatorio de Leipzig.

Profesor en Leipzig

Después de su habilitación, Hausdorff se convirtió en profesor en la Universidad de Leipzig, donde comenzó a dar clases extensas en una variedad de áreas matemáticas. Además de la enseñanza y la investigación en matemáticas, también persiguió sus inclinaciones literarias y filosóficas. Un hombre de intereses variados, a menudo se asoció con varios escritores, artistas y editores famosos como Hermann Conradi, Richard Dehmel, Otto Erich Hartleben, Gustav Kirstein, Max Klinger, Max Reger y Frank Wedekind. Los años de 1897 a 1904 marcan el punto álgido de su creatividad literaria y filosófica, tiempo durante el cual se publicaron 18 de sus 22 obras seudónimas, entre ellas un libro de poesía, una obra de teatro, un libro epistemológico y un volumen de aforismos.

En 1899, Hausdorff se casó con Charlotte Goldschmidt, la hija del médico judío Siegismund Goldschmidt. Su madrastra fue la famosa sufragista y maestra de preescolar Henriette Goldschmidt. El único hijo de Hausdorff, su hija Lenore (Nora), nació en 1900; sobrevivió a la era del nacionalsocialismo y disfrutó de una larga vida, muriendo en Bonn en 1991.

Primera cátedra

En diciembre de 1901, Hausdorff fue nombrado profesor asociado adjunto en la Universidad de Leipzig. Un hecho que se repite a menudo, que Hausdorff recibió una llamada de Göttingen y la rechazó, no se puede verificar y lo más probable es que esté equivocado. Después de considerar la candidatura de Hausdorff a Leipzig, el decano Kirchner se sintió obligado a agregar lo siguiente al voto muy positivo de sus colegas, escrito por Heinrich Bruns:

Sin embargo, la facultad se considera obligada a informar al Ministerio Real de que la solicitud anterior, considerada el 2 de noviembre de este año cuando se celebró una reunión de profesores, no fue aceptada por todos, sino con 22 votos a 7. La minoría se opuso, porque el Dr. Hausdorff es de la fe mosaica.

Esta cita enfatiza el presente antisemitismo no disimulado, que experimentó un fuerte repunte en todo el Reich alemán después de la caída de la bolsa de valores de 1873. Leipzig fue un foco de sentimiento antisemita, especialmente entre el alumnado, lo que bien puede ser el motivo de que Hausdorff no se sintiera a gusto en Leipzig. Otro factor contribuyente también puede haber sido el estrés debido a la postura jerárquica de los profesores de Leipzig.

Después de su Habilitación, Hausdorff escribió otros trabajos sobre óptica, geometría no euclidiana y sistemas numéricos hipercomplejos, así como dos artículos sobre teoría de la probabilidad. Sin embargo, su principal área de trabajo pronto se convirtió en la teoría de conjuntos, especialmente la teoría de conjuntos ordenados. Inicialmente, fue solo por interés filosófico que Hausdorff comenzó a estudiar el trabajo de Georg Cantor, comenzando alrededor de 1897, pero ya en 1901 Hausdorff comenzó a dar conferencias sobre teoría de conjuntos. La suya fue una de las primeras conferencias sobre teoría de conjuntos; solo las conferencias de Ernst Zermelo en el Göttingen College durante el invierno de 1900/1901 fueron anteriores. Ese mismo año, publicó su primer artículo sobre tipos de órdenes en el que examinaba una generalización de las buenas ordenaciones llamadas tipos de órdenes graduadas, donde una orden lineal se califica si dos de sus segmentos no comparten el mismo tipo de orden. Generalizó el teorema de Cantor-Bernstein, que decía que la colección de tipos de orden contable tiene la cardinalidad del continuo y mostró que la colección de todos los tipos graduados de una cardinalidad idempotente m tiene una cardinalidad de 2^m.

Para el semestre de verano de 1910, Hausdorff fue nombrado profesor de la Universidad de Bonn. Allí comenzó una serie de conferencias sobre teoría de conjuntos, que revisó y amplió sustancialmente para el semestre de verano de 1912.

En el verano de 1912 también comenzó a trabajar en su obra magna, el libro Fundamentos de la teoría de conjuntos. Se completó en Greifswald, donde Hausdorff había sido designado para el semestre de verano como profesor titular en 1913, y fue puesto en libertad en abril de 1914.

La Universidad de Greifswald era la más pequeña de las universidades prusianas. El instituto matemático allí también era pequeño; durante el verano de 1916 y el invierno de 1916/17, Hausdorff fue el único matemático en Greifswald. Esto significaba que estaba casi completamente ocupado enseñando cursos básicos. Por lo tanto, fue una mejora sustancial para su carrera académica cuando Hausdorff fue designado en 1921 para Bonn. Allí tenía la libertad de enseñar sobre una gama más amplia de temas y, a menudo, daba conferencias sobre sus últimas investigaciones. Dio una conferencia particularmente notable sobre la teoría de la probabilidad (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) en el semestre de verano de 1923, en la que basó la teoría de la probabilidad en la teoría axiomática de la teoría de la medida, diez años antes que la de A. N. Kolmogorov. "Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad" (reimpreso en su totalidad en las obras completas, Volumen V). En Bonn, Hausdorff era amigo y colega de Eduard Study, y más tarde de Otto Toeplitz, ambos destacados matemáticos.

Bajo la dictadura nazi y el suicidio

Después de la toma de poder por parte del Partido Nacionalsocialista, el antisemitismo se convirtió en doctrina estatal. Hausdorff no estaba inicialmente preocupado por la "Ley para la Restauración del Servicio Civil Profesional", adoptada en 1933, porque había sido un servidor público alemán desde antes de 1914. Sin embargo, no se salvó por completo, como uno de sus conferencias fue interrumpido por funcionarios estudiantiles nacionalsocialistas. En el semestre de invierno de 1934/1935, hubo una sesión de trabajo de la Unión Nacionalsocialista de Estudiantes Alemanes (NSDStB) en la Universidad de Bonn, que eligió "Raza y etnicidad" como su tema para el semestre. Hausdorff canceló su curso de Cálculo III del semestre de invierno de 1934/1935 el 20 de noviembre, y se supone que la elección del tema estuvo relacionado con la cancelación de la clase de Hausdorff, ya que en su larga carrera como profesor universitario siempre había enseñado sus cursos hasta su fin.

El 31 de marzo de 1935, después de algunas idas y venidas, Hausdorff finalmente obtuvo el estatus de emérito. No hubo palabras de agradecimiento por sus 40 años de trabajo exitoso en el sistema de educación superior alemán.

Su legado académico muestra que Hausdorff todavía trabajaba matemáticamente durante estos tiempos cada vez más difíciles, y continuó siguiendo los desarrollos de interés actuales. Escribió, además de la edición ampliada de su obra sobre teoría de conjuntos, siete obras sobre topología y teoría descriptiva de conjuntos. Estos fueron publicados en revistas polacas: uno en Studia Mathematica, los otros en Fundamenta Mathematicae. Fue apoyado en este momento por Erich Bessel-Hagen, un amigo leal de la familia Hausdorff que obtuvo libros y revistas de la biblioteca académica, a la que Hausdorff ya no podía ingresar.

Se sabe mucho sobre las humillaciones a las que estuvieron expuestos Hausdorff y su familia especialmente después de la Kristallnacht de 1938. Hay muchas fuentes, incluidas las cartas de Bessel-Hagen.

La primera página de su carta de despedida a Hans Wollstein

En 1939, Hausdorff solicitó en vano al matemático Richard Courant una beca de investigación para poder emigrar a Estados Unidos. A mediados de 1941, los judíos de Bonn comenzaron a ser deportados al "Monasterio de la Adoración Eterna" en Endenich, Bonn, de donde habían sido expulsadas las monjas. Los transportes a los campos de exterminio en el este ocurrieron más tarde. Después de que Hausdorff, su esposa y la hermana de su esposa, Edith Pappenheim (que vivía con ellos), recibieron la orden en enero de 1942 de mudarse al campo de Endenich, los tres se suicidaron el 26 de enero de 1942 por una sobredosis. de veronal. Su lugar de descanso final se encuentra en el cementerio Poppelsdorfer en Bonn. En el tiempo entre su ubicación en campos temporales y su suicidio, entregó su Nachlass escrito a mano al egiptólogo y presbítero Hans Bonnet, quien salvó a la mayor cantidad posible de ellos, incluso a pesar de la destrucción de su casa por una bomba.

Algunos de sus compañeros judíos pueden haberse hecho ilusiones sobre el campo de Endenich, pero Hausdorff no. En la finca de Bessel-Hagen, E. Neuenschwander descubrió la carta de despedida que Hausdorff escribió a su abogado Hans Wollstein, que también era judío. Aquí está el principio y el final de la carta:

La piedra de Hausdorff en Bonn-Poppelsdorf

¡Querido amigo Wollstein!

Si usted recibe estas líneas, nosotros (tres) hemos resuelto el problema de una manera diferente, de la manera que usted ha intentado constantemente disuadirnos. El sentimiento de seguridad que nos has predicho una vez que superaríamos las dificultades del movimiento, todavía nos está eludiendo; por el contrario, ¡Endenich puede ni siquiera ser el fin!

Lo que ha sucedido en los últimos meses contra los judíos evoca el temor justificado de que no nos dejen vivir para ver una situación más soportable.

Después de agradecer a sus amigos y, con gran compostura, expresar sus últimos deseos con respecto a su funeral y su testamento, Hausdorff escribe:

Siento haberte causado aún más esfuerzo más allá de la muerte, y estoy convencido de que estás haciendo lo que estás haciendo puede hacer (que tal vez no es mucho). ¡Perdónanos nuestra deserción! Deseamos que usted y todos nuestros amigos experimenten mejores tiempos.

Tu verdaderamente devoto

Felix Hausdorff

Desafortunadamente, este deseo no se cumplió. El abogado de Hausdorff, Wollstein, fue asesinado en Auschwitz.

Hausdorffstraße (Bonn)

La biblioteca de Hausdorff fue vendida por su yerno y único heredero, Arthur König. Las partes de Nachlass de Hausdorff que Hans Bonnet pudo salvar se encuentran ahora en la Biblioteca Estatal y de la Universidad de Bonn. El Nachlass está catalogado.

Trabajo y recepción

Hausdorff como filósofo y escritor (Paul Mongré)

El volumen de aforismos de Hausdorff, publicado en 1897, fue su primera obra publicada bajo el seudónimo de Paul Mongré. Se titula Sant' Ilario: Pensamientos desde el paisaje de Zaratustra. El subtítulo juega primero con el hecho de que Hausdorff había completado su libro durante una estancia de recuperación en la costa de Liguria por Génova y que en esta misma zona, Friedrich Nietzsche escribió las dos primeras partes de Así habló Zaratustra; también alude a su cercanía espiritual con Nietzsche. En un artículo sobre Sant' Ilario en el semanario Die Zukunft, Hausdorff reconoció in expressis verbis su deuda con Nietzsche.

Hausdorff no intentaba copiar ni superar a Nietzsche. "De la imitación de Nietzsche no hay rastro", dice una reseña contemporánea. Sigue a Nietzsche en un intento de liberar el pensamiento individual, de tomarse la libertad de cuestionar estándares obsoletos. Hausdorff mantuvo una distancia crítica con las obras tardías de Nietzsche. En su ensayo sobre el libro La voluntad de poder, compilado a partir de notas dejadas en el Archivo Nietzsche, dice:

En Nietzsche brilla un fanático. Su moralidad de cría, erigida sobre nuestros actuales fundamentos biológicos y fisiológicos del conocimiento: eso podría ser un escándalo histórico mundial contra el cual las pruebas de la Inquisición y la bruja se desvanecen en aberraciones inofensivas.

Su estándar crítico lo tomó del mismo Nietzsche,

De la clase, modesta, comprensiva Nietzsche y del espíritu libre del fresco, libre de dogmas, escéptico no sistemático Nietzsche...

En 1898, también bajo el seudónimo de Paul Mongré, Hausdorff publicó un experimento epistemológico titulado Caos en la selección cósmica. La crítica de la metafísica presentada en este libro tuvo su punto de partida en la confrontación de Hausdorff con la idea de Nietzsche del eterno retorno. En última instancia, se trata de destruir cualquier tipo de metafísica. Del mundo mismo, del núcleo trascendente del mundo, como dice Hausdorff, no sabemos nada y no podemos saber nada. Debemos asumir "el mundo mismo" como indeterminado e indeterminable, como mero caos. El mundo de nuestra experiencia, nuestro cosmos, es el resultado de las selecciones que hemos hecho y siempre haremos instintivamente según nuestra capacidad de comprensión. Visto desde ese caos, todos los demás marcos, otros cosmos, son concebibles. Es decir, del mundo de nuestro cosmos no se puede sacar ninguna conclusión sobre el mundo trascendente.

En 1904, en la revista The New Rundschau, apareció la obra de teatro de Hausdorff, la obra en un acto El doctor en su honor. Es una sátira cruda sobre el duelo y sobre los conceptos tradicionales de honor y nobleza del cuerpo de oficiales prusianos, que en la sociedad burguesa en desarrollo eran cada vez más anacrónicos. El doctor en su honor fue la obra literaria más popular de Hausdorff. En 1914-1918 hubo numerosas representaciones en más de treinta ciudades. Hausdorff luego escribió un epílogo para la obra, pero no se representó en ese momento. Solo en 2006 este epílogo tuvo su estreno en la reunión anual de la Sociedad Matemática Alemana en Bonn.

Además de las obras mencionadas anteriormente, Hausdorff también escribió numerosos ensayos que aparecieron en algunas de las principales revistas literarias de la época. También escribió un libro de poemas, Éxtasis (1900). El compositor austríaco Joseph Marx puso música a algunos de sus poemas.

Teoría de conjuntos ordenados

La entrada de Hausdorff en un estudio minucioso de conjuntos ordenados fue impulsada en parte por el problema continuo de Cantor: donde debe el número cardenal א א =2א א 0{displaystyle aleph =2^{aleph - Sí. ser colocado en la secuencia {}א א α α }{displaystyle {aleph _{alpha }? En una carta a Hilbert el 29 de septiembre de 1904, habla de este problema, "me ha plagado casi como monomania". Hausdorff vio una nueva estrategia para atacar el problema en el conjunto card()T()א א 0))=א א {displaystyle mathrm {card} (T(aleph _{0})=aleph }. Cantor había sospechado א א =א א 1{displaystyle aleph =aleph ¿Qué?, pero sólo había podido demostrar que א א ≥ ≥ א א 1{displaystyle aleph geq aleph ¿Qué?. Mientras tanto א א 1{displaystyle aleph _{1} es el "número" de posibles ordenes bien de un conjunto contable, א א {displaystyle aleph } había surgido ahora como el "número" de todas las órdenes posibles de tal cantidad. Por lo tanto, era natural estudiar sistemas más específicos que órdenes, pero más generales que bien ordenados. Hausdorff hizo justo eso en su primer volumen de 1901, con la publicación de estudios teóricos de "grupos de grado". Sin embargo, sabemos de los resultados de Kurt Gödel y Paul Cohen que esta estrategia para resolver el problema continuo es tan ineficaz como la estrategia de Cantor, que estaba dirigida a generalizar el principio Cantor-Bendixson de conjuntos cerrados a conjuntos generales incontables.

En 1904 Hausdorff publicó la recursión llamada después de él, que afirma que para cada ordinal no ilimitado μ μ {displaystyle mu } tenemos א א μ μ א א α α =א א μ μ א א μ μ − − 1א א α α .{displaystyle aleph _{mu ♫ {aleph _{alpha }=aleph _{mu };aleph _{mu - ¿Qué? _{alpha }}

Esta fórmula fue, junto con una noción posterior llamada cofinalidad introducida por Hausdorff, la base de todos los resultados posteriores para la exponenciación de Aleph. El excelente conocimiento de Hausdorff de fórmulas de recurrencia de este tipo también le permitió descubrir un error en la conferencia de Julius König en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1904 en Heidelberg. Allí, König había argumentado que el continuo no puede estar bien ordenado, por lo que su cardinalidad no es un Aleph en absoluto y, por lo tanto, causó un gran revuelo. El hecho de que fuera Hausdorff quien aclarara el error tiene un significado especial, ya que una falsa impresión de los hechos de Heidelberg perduró durante más de 50 años.

En los años 1906-1909, Hausdorff realizó su trabajo innovador y fundamental sobre conjuntos ordenados. De fundamental importancia para toda la teoría es el concepto de cofinalidad, que introdujo Hausdorff. Un ordinal se llama regular si es cofinal con cualquier ordinal menor; de lo contrario, se llama singular. La pregunta de Hausdorff, si existen números regulares que indexen un ordinal límite, fue el punto de partida para la teoría de los cardinales inaccesibles. Hausdorff ya se había dado cuenta de que tales números, si existen, deben ser de "tamaño exorbitante".

El siguiente teorema debido a Hausdorff es también de importancia fundamental: para cada conjunto denso sin límites y ordenado A{displaystyle A} hay dos números iniciales regulares únicos ⋅ ⋅ .. ,⋅ ⋅ .. {displaystyle omega _{xi },omega _{eta } así A{displaystyle A} es cofinal con ⋅ ⋅ .. {displaystyle omega _{xi } y coinitial con ⋅ ⋅ .. Alternativa Alternativa {displaystyle omega _{eta}{*}} (donde * denota el orden inverso). Este teorema proporciona, por ejemplo, una técnica para caracterizar elementos y lagunas en conjuntos ordenados.

Si W{displaystyle W. es un conjunto predeterminado de caracteres (element y caracteres de distancia), la pregunta surge si hay conjuntos ordenados cuyo conjunto de caracteres es exactamente W{displaystyle W.. Uno puede encontrar fácilmente una condición necesaria W{displaystyle W., pero Hausdorff también pudo demostrar que esta condición es suficiente. Para ello se necesita un rico depósito de conjuntos ordenados, que Hausdorff también fue capaz de crear con su teoría de productos y poderes generales. En este embalse se pueden encontrar estructuras interesantes como el Hausdorff .. α α {displaystyle eta _{alpha } tipos normales, en relación con los cuales Hausdorff formuló primero la hipótesis continuum generalizada. Hausdorff's .. α α {displaystyle eta _{alpha }-sets formó el punto de partida para el estudio de la importante teoría modelo de la estructura saturada.

Los productos generales y potencias de cardinalidades de Hausdorff lo llevaron a estudiar el concepto de conjunto parcialmente ordenado. La pregunta de si algún subconjunto ordenado de un conjunto parcialmente ordenado está contenido en un subconjunto ordenado máximo fue respondida positivamente por Hausdorff utilizando el teorema del buen orden. Este es el principio maximal de Hausdorff, que se deriva del teorema del buen orden o del axioma de elección y, como se vio después, también es equivalente al axioma de elección.

Escribiendo en 1908, Arthur Moritz Schoenflies descubrió en su informe sobre la teoría de conjuntos que la nueva teoría de conjuntos ordenados (es decir, la que ocurrió después de las extensiones de Cantor) se debía casi exclusivamente a Hausdorff.

La "Magnum Opus": "Principios de la teoría de conjuntos"

Según las nociones anteriores, la teoría de conjuntos incluía no solo la teoría general de conjuntos y la teoría de conjuntos de puntos, sino también la teoría de dimensiones y medidas. El libro de texto de Hausdorff fue el primero en presentar toda la teoría de conjuntos en este sentido amplio, sistemáticamente y con demostraciones completas. Hausdorff era consciente de la facilidad con que la mente humana puede errar al tiempo que busca el rigor y la verdad, por lo que en el prefacio de su obra promete:

... ser lo más económico posible con el privilegio humano del error.

Este libro fue mucho más allá de su representación magistral de conceptos ya conocidos. También contenía una serie de importantes contribuciones originales del autor.

Los primeros capítulos tratan de los conceptos básicos de la teoría general del conjunto. Al principio Hausdorff proporciona un álgebra de conjunto detallado con algunos conceptos nuevos pioneros (cadena de diferencias, anillos de conjunto y campos de conjunto, δ δ {displaystyle delta }- y σ σ {displaystyle sigma }-sistemas). Los párrafos introductorios sobre conjuntos y sus conexiones incluían, por ejemplo, la noción moderna de funciones teóricas. Los capítulos 3 a 5 discutieron la teoría clásica de números cardinales, tipos de orden y ordinals, y en el sexto capítulo "Relaciones entre conjuntos ordenados y bien ordenados" Hausdorff presenta, entre otras cosas, los resultados más importantes de su propia investigación sobre conjuntos ordenados.

En los capítulos sobre "puntos" —los capítulos topológicos—Hausdorff se desarrolló por primera vez, sobre la base de los axiomas del vecindario conocidos, una teoría sistemática de los espacios topológicos, donde además añadió el axioma de separación más tarde nombrado por él. Esta teoría surge de una síntesis completa de enfoques anteriores de otros matemáticos y de las propias reflexiones de Hausdorff sobre el problema del espacio. Los conceptos y teoremas de la teoría de los puntos clásicos Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} son, en la medida de lo posible, transferidos al caso general, y por lo tanto se convierten en parte de la topología general o teórica recién creada. Pero Hausdorff no sólo realizó este "trabajo de traducción", sino que también desarrolló métodos básicos de construcción de topología como la formación básica (núcleo abierto, núcleo auto-denso) y la formación de conchas (cerrado), y trabaja a través de la importancia fundamental del concepto de un conjunto abierto (llamado "área" por él) y del concepto de compactidad introducido por Fréchet. También fundó y desarrolló la teoría del conjunto conectado, especialmente mediante la introducción de los términos "componente" y "quasi-componente".

Con el primer axioma de contable Hausdorff, y finalmente el segundo, los espacios considerados fueron gradualmente más especializados. Una gran clase de espacios que satisfacen el primer axioma contable son espacios métricos. Fueron introducidos en 1906 por Fréchet bajo el nombre de "clases (E)". El término "espacio métrico" viene de Hausdorff. In Principios, desarrolló la teoría de los espacios métricos y la enriqueció sistemáticamente a través de una serie de nuevos conceptos: Hausdorff métrica, completa, total atado, *** *** {displaystyle rho }- conectividad, juegos reducibles. El trabajo de Fréchet no es particularmente famoso; sólo a través de Hausdorff Principios los espacios métricos se convirtieron en conocimiento común para los matemáticos.

El capítulo sobre ilustraciones y el capítulo final Principios sobre la medida y la teoría de la integración están enriquecidas por la generalidad del material y la originalidad de la presentación. La mención de Hausdorff de la importancia de la teoría de la medida para la probabilidad tuvo un gran efecto histórico, a pesar de su brevedad laónica. Uno encuentra en este capítulo la primera prueba correcta de la fuerte ley de gran número de Émile Borel. Finalmente, el apéndice contiene el resultado más espectacular de todo el libro, a saber, el teorema de Hausdorff que uno no puede definir un volumen para todos los subconjuntos atados de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} para n≥ ≥ 3{displaystyle ngeq 3}. La prueba se basa en la descomposición de bolas paradójicas de Hausdorff, cuya producción requiere el axioma de elección.

Durante el siglo XX, se convirtió en el estándar para construir teorías matemáticas sobre la teoría axiomática de conjuntos. La creación de teorías generalizadas fundamentadas axiomáticamente, como la topología general, sirvió entre otras cosas para señalar el núcleo estructural común para varios casos o regiones específicos y luego establecer una teoría abstracta, que contenía todas estas partes como casos especiales. Esto trajo un gran éxito en forma de simplificación y armonización y, en última instancia, trajo consigo una economía de pensamiento. El propio Hausdorff destacó este aspecto en los Principios. En el capítulo topológico, los conceptos básicos son metodológicamente un esfuerzo pionero y allanaron el camino para el desarrollo de las matemáticas modernas.

Principios de la teoría de conjuntos aparecieron en abril de 1914, en vísperas de la Primera Guerra Mundial, que afectó dramáticamente la vida científica en Europa. Bajo estas circunstancias, los efectos del libro de Hausdorff sobre el pensamiento matemático no se verían hasta cinco o seis años después de su aparición. Después de la guerra, una nueva generación de jóvenes investigadores se dispuso a ampliar las abundantes sugerencias que se incluyeron en este trabajo. Sin duda, la topología fue el principal foco de atención. La revista Fundamenta Mathematicae, fundada en Polonia en 1920, jugó un papel especial en la recepción de las ideas de Hausdorff. Fue una de las primeras revistas matemáticas con especial énfasis en teoría de conjuntos, topología, teoría de funciones reales, teoría de la medida e integración, análisis funcional, lógica y fundamentos de las matemáticas. En todo este espectro, se puso un enfoque especial en la topología. Los Principios de Hausdorff fueron citados en el primer volumen de Fundamenta Mathematicae, y a través del conteo de citas, su influencia continuó a un ritmo notable. De las 558 obras (no se incluyen las tres obras del propio Hausdorff), que aparecieron en los primeros veinte volúmenes de Fundamenta Mathematicae entre 1920 y 1933, 88 de ellas citan Principios. También hay que tener en cuenta el hecho de que, a medida que las ideas de Hausdorff se hicieron cada vez más comunes, también se utilizaron en una serie de obras que no las citaban explícitamente.

La escuela topológica rusa, fundada por Paul Alexandroff y Paul Urysohn, se basó en gran medida en los Principios de Hausdorff. Así lo demuestra la correspondencia sobreviviente en Nachlass de Hausdorff con Urysohn, y especialmente en Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes de Alexandroff y Urysohn, una obra del tamaño de un libro, en la que Urysohn desarrollado teoría de la dimensión y Principios se cita no menos de 60 veces.

Después de la Segunda Guerra Mundial hubo una gran demanda del libro de Hausdorff, y hubo tres reimpresiones en Chelsea de 1949, 1965 y 1978.

Teoría descriptiva de conjuntos, teoría de la medida y análisis

En 1916, Alexandroff y Hausdorff resolvieron independientemente el problema continuo de Borel: Cada Borel establecido en un espacio métrico separable completo es contable o tiene la cardinalidad del continuum. Este resultado generaliza el teorema Cantor-Bendixson que tal declaración sostiene para los conjuntos cerrados de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. Para linear Gδ δ {displaystyle G_{delta } William Henry Young había probado el resultado en 1903, para Gδ δ σ σ δ δ {displaystyle G_{delta sigma delta } sets Hausdorff obtuvo un resultado correspondiente en 1914 en Principios. El teorema de Alexandroff y Hausdorff fue un fuerte impulso para el desarrollo de la teoría de conjuntos descriptivos.

Entre las publicaciones de Hausdorff en su etapa en Greifswald destaca la obra Dimensión y medida exterior de 1919. En este trabajo se introdujeron los conceptos que ahora se conocen como medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff. Se ha mantenido de gran actualidad y en años posteriores ha sido uno de los trabajos matemáticos más citados de la década de 1910 a 1920.

El concepto de dimensión de Hausdorff es útil para la caracterización y comparación de "cantidades altamente robustas". Los conceptos de dimensión y medida externa han experimentado aplicaciones y desarrollos posteriores en muchas áreas, como en la teoría de sistemas dinámicos, la teoría de la medida geométrica, la teoría de conjuntos autosimilares y fractales, la teoría de procesos, análisis armónico, teoría del potencial y teoría de números.

La labor analítica significativa de Hausdorff tuvo lugar en su segunda vez en Bonn. In Métodos de adición y secuencias de momento I en 1921 desarrolló toda una clase de métodos de summation para la serie divergente, que hoy se llaman métodos Hausdorff. En el clásico de Hardy Divergent Series, un capítulo entero se dedica al método Hausdorff. Los métodos clásicos de Hölder y Cesàro resultaron ser casos especiales del método Hausdorff. Cada método Hausdorff es dado por una secuencia de momento; en este contexto Hausdorff dio una solución elegante del problema de momento para un intervalo finito, superando la teoría de fracciones continuas. En su papel Problemas de movimiento para un intervalo finito de 1923 trató problemas de momento más especiales, como aquellos con ciertas restricciones para generar densidad φ φ ()x){displaystyle varphi (x)}, por ejemplo φ φ ()x)▪ ▪ Lp[0,1]{displaystyle varphi (x)in L^{p}[0,1]}. Criterios para la soledad y la decidibilidad de los problemas de momento ocupados Hausdorff durante muchos años, como cientos de páginas de notas escritas a mano en su atestigua de Nachlass.

Una contribución significativa al campo emergente del análisis funcional en la década de 1920 fue la extensión de Hausdorff del teorema Riesz-Fischer a Lp{displaystyle L^{p} espacios en su trabajo de 1923 Una extensión del teorema de Parseval en la serie Fourier. Demostró las desigualdades ahora llamadas por él y W.H. Young. Las desigualdades Hausdorff-Young se convirtieron en el punto de partida de grandes novedades.

El libro Teoría de conjuntos de Hausdorff apareció en 1927. Se declaró como una segunda edición de Principios, pero en realidad era un libro completamente nuevo. Dado que la escala se redujo significativamente debido a su aparición en la biblioteca de enseñanza de Goschen, se eliminaron gran parte de la teoría de conjuntos ordenados y medidas y la teoría de la integración. En su prefacio, Hausdorff escribe: "Quizás aún más que estas supresiones, el lector lamentará más que, para ahorrar más espacio en la teoría de conjuntos de puntos, he abandonado el punto de vista topológico a través del cual la primera edición aparentemente ha adquirido muchos amigos, y se centró en la teoría más simple de los espacios métricos".

De hecho, esto fue un arrepentimiento explícito de algunos revisores del trabajo. Como una especie de compensación, Hausdorff mostró por primera vez el estado actual de la teoría descriptiva de conjuntos. Este hecho aseguró al libro una recepción casi tan intensa como la de Principles, especialmente en Fundamenta Mathematicae. Como libro de texto fue muy popular. En 1935 se publicó una edición ampliada, y Dover la reimprimió en 1944. En 1957 apareció una traducción al inglés con reimpresiones en 1962 y 1967.

También hubo una edición rusa (1937), aunque solo fue parcialmente una traducción fiel y en parte una reelaboración de Alexandroff y Kolmogorov. En esta traducción, el punto de vista topológico volvió a pasar a primer plano. En 1928, Hans Hahn escribió una revisión de Teoría de conjuntos, quien quizás tenía en mente el peligro del antisemitismo alemán cuando cerró su discusión con la siguiente oración:

Una representación ejemplar en todos los aspectos de una zona difícil y espinosa, un trabajo a la par con los que han llevado la fama de la ciencia alemana en todo el mundo, y de tal manera que todos los matemáticos alemanes puedan estar orgullosos.

Sus últimas obras

En 1938, el último trabajo de Hausdorff Ampliación de un mapa continuo mostró que una función continua de un subconjunto cerrado F{displaystyle F} de un espacio métrico E{displaystyle E} se puede ampliar a todos E{displaystyle E} (aunque la imagen puede necesitar ser extendida). Como caso especial, cada homeomorfismo de F{displaystyle F} puede extenderse a un homeomorfismo desde E{displaystyle E}. Este trabajo continuó la investigación de años anteriores. En 1919, en Sobre las funciones semicontinuas y su generalización, Hausdorff había, entre otras cosas, dado otra prueba del teorema de extensión Tietze. En 1930, en Extender un homeomorfismo, mostró lo siguiente: Vamos E{displaystyle E} ser un espacio métrico, F⊆ ⊆ E{displaystyle Fsubseteq E} un subconjunto cerrado. Si F{displaystyle F} se da una nueva métrica sin cambiar la topología, esta métrica se puede extender a todo el espacio sin cambiar la topología. El trabajo Espacios estructurados apareció en 1935, donde Hausdorff discutió espacios que cumplieron el cierre de Kuratowski axiomas hasta el axioma de la idempotencia. Estos espacios son a menudo llamados espacios de cierre, y Hausdorff los utilizó para estudiar relaciones entre los espacios límite de Fréchet y los espacios topológicos.

Hausdorff como dadora de nombres

El nombre Hausdorff se encuentra en todas las matemáticas. Entre otros, estos conceptos recibieron su nombre:

• Terminación de Hausdorff
• Convergencia Hausdorff
• Densidad Hausdorff
• Dimensión Hausdorff
• Distancia Hausdorff
• Hausdorff gap
• Principio máximo de Hausdorff
• Medida Hausdorff
• Hausdorff metric
• Problema del momento de Hausdorff
• Hausdorff paradox
• Espacio Hausdorff
• Hausdorff – desigualdad juvenil
• Baker-Campbell–Hausdorff fórmula

En las universidades de Bonn y Greifswald, estas cosas fueron nombradas en su honor:

• Hausdorff Center for Mathematics in Bonn,
• el Hausdorff Research Institute for Mathematics en Bonn y
• el Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum en Greifswald.

Además de estos, en Bonn está la Hausdorffstraße (Calle Hausdorff), donde vivió por primera vez. (Haus-Nr. 61). En Greifswald hay una Felix-Hausdorff–Straße, donde se encuentran los Institutos de Bioquímica y Física, entre otros. Desde 2011, hay un "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) en medio de Leipziger Ortsteil Gohlis.

El asteroide 24947 Hausdorff recibió su nombre.

Escritos

Como Paul Mongré

Aquí solo se muestra una selección de los ensayos que aparecieron en el texto.

• Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1897.
• Das Chaos en kosmischer Auslese — Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1898; Reimpreso con prólogo de Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN 3-87007-013-7
• Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
• Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
• Ekstasen. Volumen de poesía. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
• Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
• Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
• Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
• Der Arzt seiner Ehre, Groteske. In: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Nueva edición como: Der Arzt seiner Ehre. Komödie en einem Akt mit einem Epilog. Con 7 retratos y cortes de madera de Hans Alexander Müller después de dibujos de Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Quinta impresión de Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Nueva edición: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

Como Félix Hausdorff

• Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Matemáticas.-fis. Classe 53 (1901), S. 152–178.
• Über eine gewisse Geordneter de arte Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Matemáticas.-fis. Classe 53 (1901), S. 460-475.
• Das Raumproblem (Conferencia inaugural en la Universidad de Leipzig el 4 de julio de 1903). Ostwald's Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 1–23.
• Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Informe anual del DMV 13 (1904), S. 569–571.
• Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 58 (1906), S. 106-169.
• Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 59 (1907), S. 84–159.
• Über dichte Ordnungstypen. Informe anual del DMV 16 (1907), S. 541-546.
• Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Matemáticas. Annalen 65 (1908), S. 435-505.
• Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 31 (1909), S. 295-334.
• Grundzüge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Más impresiones: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978.
• Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Matemáticas. Annalen 77 (1916), S. 430-437.
• Dimension und äußeres Maß. Math. Annalen 79 (1919), S. 157–179.
• Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. Matemáticas. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309.
• Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Matemáticas. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74-109, II: S. 280–299.
• Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. Matemáticas. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169.
• Momentprobleme für ein endliches Intervall. Matemáticas. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248.
• Mengenlehre, segunda edición reelaborada. Verlag Walter de Gruyter " Co., Berlín. 285 S. con 12 figuras.
• Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353-360.
• Mengenlehre, tercera edición. Con un capítulo adicional y varios apéndices. Verlag Walter de Gruyter " Co., Berlín. 307 S. mit 12 Figuren. Dover Pub, Nueva York, 1944. Edición Englisch: Teoría de conjunto. Traducido del alemán por J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., Nueva York 1957, 1962, 1967.
• Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502.
• Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47.
• Nachgelassene Schriften2 volúmenes. G. Bergmann, Teubner, Stuttgart, 1969. Desde Nachlass, Volumen Incluye fascículos 510–543, 545–559, 561–577, fascículos del volumen II 578–584, 598–658 (todos los fascículos dados en facsímil).

Hausdorff sobre conjuntos ordenados. Trans. y Ed.: Jacob M. Plotkin, Sociedad Matemática Estadounidense 2005.

Obras completas

La "Hausdorff-Edition", editada por E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (todo Bonn), R. Remmert (†) (Münster) y E Scholz (Wuppertal), con la colaboración de más de veinte matemáticos, historiadores, filósofos y académicos, es un proyecto en curso de la Academia de Ciencias, Humanidades y Artes de Renania del Norte-Westfalia para presentar las obras de Hausdorff, con comentarios y mucho material adicional.. Los volúmenes han sido publicados por Springer-Verlag, Heidelberg. Se han publicado nueve volúmenes y el volumen I se divide en el volumen IA y el volumen IB. Consulte el sitio web del sitio web Hausdorff Project de la edición Hausdorff (alemán) para obtener más información. Los volúmenes son:

• Band IA: Allgemeine Mengenlehre. 2013, ISBN 978-3-642-25598-4.
• Banda IB: Felix Hausdorff – Paul Mongré (Biografía). 2018, ISBN 978-3-662-56380-9.
• Banda II: Grundzüge der Mengenlehre (1914), 2002, ISBN 978-3-540-42224-2
• Banda III: Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie, 2008, ISBN 978-3-540-76806-7
• Banda IV: Análisis, Álgebra und Zahlentheorie2001 ISBN 978-3-540-41760-6
• Banda V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie, 2006 ISBN 978-3-540-30624-5
• Banda VI: Geometrie, Raum und ZeitISBN 978-3-540-77838-7
• Banda VII: Philosophisches Werk, 2004, ISBN 978-3-540-20836-5
• Banda VIII: Literarisches Werk2010 ISBN 978-3-540-77758-8
• Banda IX: Korrespondenz. 2012, ISBN 978-3-642-01116-0.

Referencias