Fasor

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Número complejo que representa una onda sine particular

En física e ingeniería, un fasor (un acrónimo de vector de fase) es un número complejo que representa una función sinusoidal cuya amplitud ( $A$ ) y la fase inicial ( $θ$ ) son invariante y cuya frecuencia angular ( $ω$ ) es fija. Está relacionado con un concepto más general llamado representación analítica, que descompone una sinusoide en el producto de una constante compleja y un factor que depende del tiempo y la frecuencia. La constante compleja, que depende de la amplitud y la fase, se conoce como fasor o amplitud compleja y (en textos más antiguos) senor o incluso complejo.

Una aplicación común es el análisis de estado estacionario de una red eléctrica alimentada por corriente que varía en el tiempo, donde se supone que todas las señales son sinusoidales con una frecuencia común. La representación fasorial permite al analista representar la amplitud y la fase de la señal utilizando un único número complejo. La única diferencia en sus representaciones analíticas es la amplitud compleja (fasor). Una combinación lineal de tales funciones se puede representar como una combinación lineal de fasores (conocida como aritmética fasorial o álgebra fasorial) y el factor dependiente del tiempo/frecuencia que todos tienen en común.

El origen del término fasor sugiere con razón que un cálculo (diagramático) algo similar al posible para los vectores también es posible para los fasores. Una característica adicional importante de la transformada fasor es que la diferenciación e integración de señales sinusoidales (que tienen amplitud, período y fase constantes) corresponde a operaciones algebraicas simples en los fasores; la transformada fasorial permite así el análisis (cálculo) del estado estacionario de CA de los circuitos RLC resolviendo ecuaciones algebraicas simples (aunque con coeficientes complejos) en el dominio fasor en lugar de resolver ecuaciones diferenciales (con coeficientes reales) en el dominio del tiempo. El creador de la transformada fasorial fue Charles Proteus Steinmetz, que trabajaba en General Electric a finales del siglo XIX. Se inspiró en Oliver Heaviside. El cálculo operativo de Heaviside se modificó para que la variable p se convierta en jw. El número complejo j tiene un significado simple: cambio de fase.

Pasando por alto algunos detalles matemáticos, la transformada fasorial también puede verse como un caso particular de la transformada de Laplace (limitada a una sola frecuencia), que, a diferencia de la representación fasorial, puede usarse para (simultáneamente) derivar el transitorio. Respuesta de un circuito RLC. Sin embargo, la transformada de Laplace es matemáticamente más difícil de aplicar y el esfuerzo puede no estar justificado si sólo se requiere un análisis de estado estacionario.

Fig 2. Cuando la función ${displaystyle Acdot e^{i(omega t+theta)}}$ se representa en el plano complejo, el vector formado por sus partes imaginarias y reales gira alrededor del origen. Su magnitud es A, y completa un ciclo cada 2 $π$ - Está bien. *Silencio* es el ángulo que forma con el eje real positivo $t = 0$ (y en $t = n 2 π / \cdot$ para todos los valores enteros de $n$ ).

Notación

Notación de Phasor (también conocido como notación de ángulo) es una notación matemática utilizada en ingeniería electrónica e ingeniería eléctrica. Un vector cuyas coordenadas polares son magnitud ${displaystyle A}$ y ángulo ${displaystyle theta }$ está escrito ${displaystyle Aangle theta.}$ ${displaystyle 1angle theta }$ puede representar o el vector ${displaystyle (cos theta,sin theta)}$ o el número complejo ${displaystyle cos theta +isin theta =e^{itheta }}$ Con ${displaystyle i^{2}=-1}$ , ambos tienen magnitudes de 1.

El ángulo se puede indicar en grados con una conversión implícita de grados a radianos. Por ejemplo ${displaystyle 1angle 90}$ se supone que ${displaystyle 1angle 90^{circ },}$ que es el vector ${displaystyle (0,,1)}$ o el número ${displaystyle e^{ipi /2}=i.}$

Definición

Una sinusoide de valor real con amplitud, frecuencia y fase constantes tiene la forma:

{displaystyle Acos(omega t+theta),}

donde sólo el parámetro ${displaystyle t}$ es tiempo-variante. La inclusión de un componente imaginario:

{displaystyle icdot Asin(omega t+theta)}

le otorga, de acuerdo con la fórmula de Euler, la propiedad de factorización descrita en el párrafo principal:

{displaystyle Acos(omega t+theta)+icdot Asin(omega t+theta)=Ae^{i(omega t+theta)}=Ae^{itheta }cdot e^{iomega t},}

cuya parte real es el sinusoide original. El beneficio de la compleja representación es que las operaciones lineales con otras representaciones complejas producen un resultado complejo cuya parte real refleja las mismas operaciones lineales con las partes reales de los otros sinusoides complejos. Además, todas las matemáticas se pueden hacer con sólo los faasores ${displaystyle Ae^{itheta },}$ y el factor común ${displaystyle e^{iomega t}}$ es reinsertado antes de la parte real del resultado.

La función ${displaystyle Ae^{i(omega t+theta)}}$ es un representación analítica de ${displaystyle Acos(omega t+theta).}$ La Figura 2 lo describe como un vector giratorio en el plano complejo. A veces es conveniente referirse a toda la función como FesorComo lo hacemos en la siguiente sección.

Aritmética

Multiplicación por una constante (scalar)

Multiplicación del fasor ${displaystyle Ae^{itheta }e^{iomega t}}$ por una constante compleja, ${displaystyle Be^{iphi }}$ , produce otro faasor. Esto significa que su único efecto es cambiar la amplitud y fase del sinusoide subyacente:

{displaystyle {begin{aligned}&operatorname {Re} left(left(Ae^{itheta }cdot Be^{iphi }right)cdot e^{iomega t}right)\={}&operatorname {Re} left(left(ABe^{i(theta +phi)}right)cdot e^{iomega t}right)\={}&ABcos(omega t+(theta +phi)).end{aligned}}}

En electrónica, ${displaystyle Be^{iphi }}$ representaría una impedancia, que es independiente del tiempo. En particular, es no la notación corta para otro faasor. Multiplying a phasor current by an impedance produces a phasor tension. Pero el producto de dos faasores (o escudriñando un faasor) representaría el producto de dos sinusoides, que es una operación no lineal que produce nuevos componentes de frecuencia. La notación de Phasor sólo puede representar sistemas con una frecuencia, como un sistema lineal estimulado por un sinusoide.

Adición

La suma de múltiples fasores produce otro fasor. Esto se debe a que la suma de sinusoides con la misma frecuencia también es una sinusoide con esa frecuencia:

{displaystyle {begin{aligned}&A_{1}cos(omega t+theta _{1})+A_{2}cos(omega t+theta _{2})\[3pt]={}&operatorname {Re} left(A_{1}e^{itheta _{1}}e^{iomega t}right)+operatorname {Re} left(A_{2}e^{itheta _{2}}e^{iomega t}right)\[3pt]={}&operatorname {Re} left(A_{1}e^{itheta _{1}}e^{iomega t}+A_{2}e^{itheta _{2}}e^{iomega t}right)\[3pt]={}&operatorname {Re} left(left(A_{1}e^{itheta _{1}}+A_{2}e^{itheta _{2}}right)e^{iomega t}right)\[3pt]={}&operatorname {Re} left(left(A_{3}e^{itheta _{3}}right)e^{iomega t}right)\[3pt]={}&A_{3}cos(omega t+theta _{3}),end{aligned}}}

{displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}cos theta _{1}+A_{2}cos theta _{2})^{2}+(A_{1}sin theta _{1}+A_{2}sin theta _{2})^{2},}

y, si tomamos ${textstyle theta _{3}in left[-{frac {pi }{2}},{frac {3pi }{2}}right]}$ Entonces ${displaystyle theta _{3}}$ es:

${textstyle operatorname {sgn}(A_{1}sin(theta _{1})+A_{2}sin(theta _{2}))cdot {frac {pi }{2}},}$ si ${displaystyle A_{1}cos theta _{1}+A_{2}cos theta _{2}=0,}$ con ${displaystyle operatorname {sgn} }$ la función signum;
${displaystyle arctan left({frac {A_{1}sin theta _{1}+A_{2}sin theta _{2}}{A_{1}cos theta _{1}+A_{2}cos theta _{2}}}right),}$ si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A1#⁡ ⁡ Silencio Silencio 1+A2#⁡ ⁡ Silencio Silencio 2■0{displaystyle A_{1}cos theta ¿Por qué? ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec5a03f49da00309567ebae4d4d6f67d3fb3f2e" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.756ex; height:2.509ex;"/>$ ;
${displaystyle pi +arctan left({frac {A_{1}sin theta _{1}+A_{2}sin theta _{2}}{A_{1}cos theta _{1}+A_{2}cos theta _{2}}}right),}$ si $<math alttext="{displaystyle A_{1}cos theta _{1}+A_{2}cos theta _{2}A1#⁡ ⁡ Silencio Silencio 1+A2#⁡ ⁡ Silencio Silencio 2c)0{displaystyle A_{1}cos theta ¿Por qué?<img alt="{displaystyle A_{1}cos theta _{1}+A_{2}cos theta _{2}$ .

o, mediante la ley de los cosenos en el plano complejo (o la identidad trigonométrica para diferencias de ángulos):

{displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}cos(180^{circ }-Delta theta)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(Delta theta),}

{displaystyle Delta theta =theta _{1}-theta _{2}.}

Un punto clave es que A₃ y θ₃ no dependen de ω o t, que es lo que hace posible la notación fasorial. La dependencia del tiempo y la frecuencia se puede suprimir y reinsertar en el resultado siempre que las únicas operaciones utilizadas en el medio sean aquellas que produzcan otro fasor. En notación de ángulos, la operación que se muestra arriba se escribe:

{displaystyle A_{1}angle theta _{1}+A_{2}angle theta _{2}=A_{3}angle theta _{3}.}

Otra forma de ver la suma es que dos vectores con coordenadas $[A 1 cos(ωt + θ 1), A 1 sin(ωt + θ 1)]$ y $[A 2 cos(ωt + θ 2), A 2 sin(ωt + θ 2)]$ se suman vectorialmente para producir un vector resultante con coordenadas $[A 3 cos(ωt + θ 3), A 3 sin(ωt + θ 3)]$ (ver animación).

En física, este tipo de suma ocurre cuando las sinusoides interfieren entre sí, de manera constructiva o destructiva. El concepto de vector estático proporciona información útil sobre preguntas como ésta: "¿Qué diferencia de fase se requeriría entre tres sinusoides idénticas para una cancelación perfecta?" En este caso, simplemente imagine tomar tres vectores de igual longitud y colocarlos cabeza con cola de manera que la última cabeza coincida con la primera cola. Claramente, la forma que satisface estas condiciones es un triángulo equilátero, por lo que el ángulo entre cada fasor y el siguiente es 120° (2 $π$ ⁄3 radianes), o un tercio de una longitud de onda λ⁄3 . Por lo que la diferencia de fase entre cada onda también debe ser de 120°, como ocurre en la energía trifásica.

En otras palabras, lo que esto muestra es que:

{displaystyle cos(omega t)+cos left(omega t+{frac {2pi }{3}}right)+cos left(omega t-{frac {2pi }{3}}right)=0.}

En el ejemplo de tres olas, la diferencia de fase entre la primera y la última ola fue de 240°, mientras que para dos olas la interferencia destructiva ocurre a 180°. En el límite de muchas olas, los fasores deben formar un círculo para la interferencia destructiva, de modo que el primer fasor es casi paralelo con el último. Esto significa que para muchas fuentes, la interferencia destructiva ocurre cuando la primera y última onda difieren en 360 grados, una longitud de onda completa ${displaystyle lambda }$ . Es por eso que en la difracción de solas, el minima ocurre cuando la luz del borde lejano viaja una longitud de onda completa más allá de la luz del borde cercano.

A medida que el vector gira en sentido antihorario, su punta en el punto A girará una revolución completa de 360° o 2 $π$ radianes que representan un ciclo completo. Si la longitud de su punta móvil se transfiere en diferentes intervalos angulares en el tiempo a un gráfico como se muestra arriba, se dibujaría una forma de onda sinusoidal comenzando por la izquierda con tiempo cero. Cada posición a lo largo del eje horizontal indica el tiempo transcurrido desde el tiempo cero, $t = 0$ . Cuando el vector es horizontal, la punta del vector representa los ángulos de 0°, 180° y 360°.

Asimismo, cuando la punta del vector es vertical representa el valor máximo positivo, ( $+ A max$ ) a 90° o $π$ ⁄ 2 y el valor máximo negativo, ( $- A max$ ) a 270° o 3 $π$ ⁄2. Entonces, el eje temporal de la forma de onda representa el ángulo en grados o radianes a través del cual se ha movido el fasor. Entonces podemos decir que un fasor representa un valor de voltaje o corriente escalado de un vector giratorio que está "congelado" en el tiempo. en algún momento, ( $t$ ) y en nuestro ejemplo anterior, esto está en un ángulo de 30°.

A veces, cuando analizamos formas de onda alternas, es posible que necesitemos conocer la posición del fasor, que representa la cantidad alterna en algún instante particular en el tiempo, especialmente cuando queremos comparar dos formas de onda diferentes en el mismo eje. Por ejemplo, voltaje y corriente. Hemos asumido en la forma de onda anterior que la forma de onda comienza en el tiempo $t = 0$ con un ángulo de fase correspondiente en grados o radianes.

Pero si una segunda forma de onda comienza a la izquierda o a la derecha de este punto cero, o si queremos representar en notación fasorial la relación entre las dos formas de onda, entonces necesitaremos tener en cuenta esta diferencia de fase, Φ de la forma de onda. Considere el siguiente diagrama del tutorial anterior de Diferencia de Fase.

Diferenciación e integración

La derivada temporal o integral de un fasor produce otro fasor. Por ejemplo:

{displaystyle {begin{aligned}&operatorname {Re} left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{mathord {left(Ae^{itheta }cdot e^{iomega t}right)}}right)\={}&operatorname {Re} left(Ae^{itheta }cdot iomega e^{iomega t}right)\={}&operatorname {Re} left(Ae^{itheta }cdot e^{ipi /2}omega e^{iomega t}right)\={}&operatorname {Re} left(omega Ae^{i(theta +pi /2)}cdot e^{iomega t}right)\={}&omega Acdot cos left(omega t+theta +{frac {pi }{2}}right).end{aligned}}}

Por lo tanto, en representación fáser, el derivado del tiempo de un sinusoide se convierte en la multiplicación justa por la constante ${textstyle iomega =e^{ipi /2}cdot omega }$ .

Del mismo modo, integrar un faasor corresponde a la multiplicación por ${textstyle {frac {1}{iomega }}={frac {e^{-ipi /2}}{omega }}.}$ El factor que depende del tiempo, ${displaystyle e^{iomega t},}$ no está afectado.

Cuando resolvemos una ecuación diferencial lineal con aritmética del fásor, simplemente estamos factorizando ${displaystyle e^{iomega t}}$ de todos los términos de la ecuación, y reinsertarla en la respuesta. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial para el voltaje a través del condensador en un circuito RC:

{displaystyle {frac {mathrm {d} ,v_{text{C}}(t)}{mathrm {d} t}}+{frac {1}{RC}}v_{text{C}}(t)={frac {1}{RC}}v_{text{S}}(t).}

Cuando la fuente de tensión en este circuito es sinusoidal:

{displaystyle v_{text{S}}(t)=V_{text{P}}cdot cos(omega t+theta),}

podemos sustituir ${displaystyle v_{text{S}}(t)=operatorname {Re} left(V_{text{s}}cdot e^{iomega t}right).}$

{displaystyle v_{text{C}}(t)=operatorname {Re} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right),}

{displaystyle V_{text{s}}=V_{text{P}}e^{itheta },}

{displaystyle V_{text{c}}}

En la notación abreviada de fasores, la ecuación diferencial se reduce a:

{displaystyle iomega V_{text{c}}+{frac {1}{RC}}V_{text{c}}={frac {1}{RC}}V_{text{s}}.}

Derivación

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}operatorname {Re} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)+{frac {1}{RC}}operatorname {Re} (V_{text{c}}cdot e^{iomega t})={frac {1}{RC}}operatorname {Re} left(V_{text{s}}cdot e^{iomega t}right)}

()Eq.1)

Puesto que esto debe permanecer para todos ${displaystyle t}$ , específicamente: ${textstyle t-{frac {pi }{2omega }},}$ De ahí que:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}operatorname {Im} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)+{frac {1}{RC}}operatorname {Im} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)={frac {1}{RC}}operatorname {Im} left(V_{text{s}}cdot e^{iomega t}right).}

()Eq.2)

También se ve fácilmente que:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}operatorname {Re} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)&=operatorname {Re} left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{mathord {left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)}}right)=operatorname {Re} left(iomega V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)\{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}operatorname {Im} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)&=operatorname {Im} left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{mathord {left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)}}right)=operatorname {Im} left(iomega V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right).end{aligned}}}

Sustitúyalos Eq.1 y Eq.2, multiplicación Eq.2 por ${displaystyle i,}$ y añadir ambas ecuaciones da:

{displaystyle {begin{aligned}iomega V_{text{c}}cdot e^{iomega t}+{frac {1}{RC}}V_{text{c}}cdot e^{iomega t}&={frac {1}{RC}}V_{text{s}}cdot e^{iomega t}\left(iomega V_{text{c}}+{frac {1}{RC}}V_{text{c}}right)!cdot e^{iomega t}&=left({frac {1}{RC}}V_{text{s}}right)cdot e^{iomega t}\iomega V_{text{c}}+{frac {1}{RC}}V_{text{c}}&={frac {1}{RC}}V_{text{s}}.end{aligned}}}

Resolver el voltaje del capacitor fasor da:

{displaystyle V_{text{c}}={frac {1}{1+iomega RC}}cdot V_{text{s}}={frac {1-iomega RC}{1+(omega RC)^{2}}}cdot V_{text{P}}e^{itheta }.}

Como hemos visto, el factor multiplicando ${displaystyle V_{text{s}}}$ representa diferencias de la amplitud y fase de ${displaystyle v_{text{C}}(t)}$ relativa a ${displaystyle V_{text{P}}}$ y ${displaystyle theta.}$

En forma de coordenadas polares, el primer término de la última expresión es:

{displaystyle {frac {1-iomega RC}{1+(omega RC)^{2}}}={frac {1}{sqrt {1+(omega RC)^{2}}}}cdot e^{-iphi (omega)},}

{displaystyle phi (omega)=arctan(omega RC)}

Por lo tanto:

{displaystyle v_{text{C}}(t)=operatorname {Re} left(V_{text{c}}cdot e^{iomega t}right)={frac {1}{sqrt {1+(omega RC)^{2}}}}cdot V_{text{P}}cos(omega t+theta -phi (omega)).}

Relación de fasores

Una cantidad llamada impedancia compleja es la relación de dos fasores, que no es un fasor, porque no corresponde a una función que varía sinusoidalmente.

Aplicaciones

Leyes de circuito

Con los fasores, las técnicas para resolver circuitos de CC se pueden aplicar para resolver circuitos de CA lineales.

Ohm ley para los resistores: Un resistor no tiene demoras de tiempo y por lo tanto no cambia la fase de una señal por lo tanto $V = IR$ sigue siendo válido.
Ohm ley para resistores, inductores y condensadores: $V = IZ$ Donde $Z$ es la impedancia compleja.
Las leyes del circuito de Kirchhoff: Trabajar con voltajes y corriente como fasores complejos.

En un circuito AC tenemos potencia real ( $P$ ) que es una representación de la potencia promedio en el circuito y la energía reactiva (Q) lo que indica el poder fluye de ida y vuelta. También podemos definir el poder complejo $S = P + jQ$ y el poder aparente que es la magnitud $S$ . La ley de poder para un circuito AC expresado en faasores es entonces $S = VI *$ (donde) $I *$ es el complejo conjugado de $I$ , y las magnitudes del voltaje y los faasores actuales $V$ y de $I$ son los valores RMS del voltaje y la corriente, respectivamente).

Teniendo esto en cuenta podemos aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos de CA lineales de frecuencia única que contienen resistencias, condensadores e inductores. Se pueden analizar circuitos de CA lineales de frecuencia múltiple y circuitos de CA con diferentes formas de onda para encontrar voltajes y corrientes transformando todas las formas de onda en componentes de onda sinusoidal (usando series de Fourier) con magnitud y fase y luego analizando cada frecuencia por separado, según lo permite el teorema de superposición. Este método de solución se aplica sólo a entradas sinusoidales y a soluciones que están en estado estacionario, es decir, después de que todos los transitorios hayan desaparecido.

El concepto está frecuentemente involucrado en la representación de una impedancia eléctrica. En este caso, el ángulo de fase es la diferencia de fase entre el voltaje aplicado a la impedancia y la corriente que la atraviesa.

Ingeniería energética

En el análisis de sistemas de energía CA trifásicos, generalmente un conjunto de fasores se define como las tres raíces cúbicas complejas de la unidad, representadas gráficamente como magnitudes unitarias en ángulos de 0, 120 y 240 grados. Al tratar las cantidades de circuitos de CA polifásicos como fasores, los circuitos balanceados se pueden simplificar y los circuitos desequilibrados se pueden tratar como una combinación algebraica de componentes simétricos. Este enfoque simplifica enormemente el trabajo requerido en los cálculos eléctricos de caída de voltaje, flujo de potencia y corrientes de cortocircuito. En el contexto del análisis de sistemas de potencia, el ángulo de fase a menudo se da en grados y la magnitud en valor RMS en lugar de la amplitud máxima de la sinusoide.

La técnica de los sincrofasores utiliza instrumentos digitales para medir los fasores que representan los voltajes del sistema de transmisión en puntos extendidos de una red de transmisión. Las diferencias entre los fasores indican el flujo de energía y la estabilidad del sistema.

Telecomunicaciones: modulaciones analógicas

La imagen de marco giratorio que utiliza fasores puede ser una herramienta poderosa para comprender modulaciones analógicas como la modulación de amplitud (y sus variantes) y la modulación de frecuencia.

{displaystyle x(t)=operatorname {Re} left(Ae^{itheta }cdot e^{i2pi f_{0}t}right),}

El fasor tiene longitud ${displaystyle A}$ , gira contra el reloj a una velocidad ${displaystyle f_{0}}$ revoluciones por segundo, y a la vez ${displaystyle t=0}$ hace un ángulo ${displaystyle theta }$ con respecto al eje real positivo.

La forma de onda ${displaystyle x(t)}$ entonces se puede ver como una proyección de este vector en el eje real. Una forma de onda modulada está representada por este fasor (el portador) y dos faasores adicionales (los fasores de modulación). Si la señal de modulación es un solo tono de la forma ${displaystyle Amcos {2pi f_{m}t}}$ , donde ${displaystyle m}$ es la profundidad de modulación y ${displaystyle f_{m}}$ es la frecuencia de la señal de modulación, entonces para la modulación de amplitud los dos faasores de modulación son dados por,

{displaystyle {1 over 2}Ame^{itheta }cdot e^{i2pi (f_{0}+f_{m})t},}

{displaystyle {1 over 2}Ame^{itheta }cdot e^{i2pi (f_{0}-f_{m})t}.}

Los dos fasores de modulación son graduales tal que su suma vectorial siempre está en fase con el fasor del portador. Una representación alternativa es dos contadores de fasores girando alrededor del extremo del fasor de portador a un ritmo ${displaystyle f_{m}}$ relativo al fasor de portador. Eso es,

{displaystyle {1 over 2}Ame^{itheta }cdot e^{i2pi f_{m}t},}

{displaystyle {1 over 2}Ame^{itheta }cdot e^{-i2pi f_{m}t}.}

La modulación de frecuencia es una representación similar excepto que los faasores moduladores no están en fase con el portador. En este caso, la suma vectorial de los faasores moduladores se desplaza 90° de la fase portadora. Estrictamente, la representación de modulación de frecuencia requiere faasores de modulación pequeño adicionales ${displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$ etc, pero para fines más prácticos se ignoran porque su efecto es muy pequeño.

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