Fase lineal

En el procesamiento de señales, la fase lineal es una propiedad de un filtro donde la respuesta de fase del filtro es una función lineal de la frecuencia. El resultado es que todos los componentes de frecuencia de la señal de entrada se desplazan en el tiempo (generalmente retrasados) en la misma cantidad constante (la pendiente de la función lineal), lo que se conoce como retraso de grupo. Por lo tanto, no hay distorsión de fase debido al retraso de las frecuencias entre sí.

Para señales de tiempo discreto, la fase lineal perfecta se logra fácilmente con un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) al tener coeficientes que son simétricos o antisimétricos. Las aproximaciones se pueden lograr con diseños de respuesta al impulso infinito (IIR), que son más eficientes desde el punto de vista computacional. Varias técnicas son:

• a Función de transferencia de Bessel que tiene una función de aproximación de demora de grupo máximo plano
• un ecualizador de fase

Definición

Un filtro se llama filtro de fase lineal si el componente de fase de la respuesta de frecuencia es una función lineal de la frecuencia. Para una aplicación de tiempo continuo, la respuesta de frecuencia del filtro es la transformada de Fourier de la respuesta de impulso del filtro, y una versión de fase lineal tiene la forma:

H()⋅ ⋅ )=A()⋅ ⋅ )e− − j⋅ ⋅ τ τ ,{displaystyle H(omega)=A(omega) e^{-jomega tau }

Donde:

• A(ω) es una función de valor real.
• τ τ {displaystyle tau } es el retraso del grupo.

Para una aplicación de tiempo discreto, la transformada de Fourier de tiempo discreto de la respuesta de impulso de fase lineal tiene la forma:

H2π π ()⋅ ⋅ )=A()⋅ ⋅ )e− − j⋅ ⋅ k/2,{displaystyle H_{2pi}(omega)=A(omega) e^{-jomega k/2}}

donde:

• A(ω) es una función de valor real con la periodicidad 2π.
• k es un entero, y k/2 es el retraso del grupo en unidades de muestras.

H2π π ()⋅ ⋅ ){displaystyle H_{2pi}(omega)} es una serie Fourier que también se puede expresar en términos de la Z-transforma de la respuesta del impulso del filtro. I.e.:

H2π π ()⋅ ⋅ )=H^ ^ ()z)Silencioz=ej⋅ ⋅ =H^ ^ ()ej⋅ ⋅ ),{displaystyle H_{2pi}(omega)=left.{widehat {H}(z),right sometida_{z=e^{jomega }={widehat {H}(e^{jomega )}

Donde H^ ^ {displaystyle {widehat {H}}} notación distingue el Z-transform de la transformación Fourier.

Ejemplos

Cuando un sinusoide,pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t+Silencio Silencio ),{displaystyle\\sin(omega t+theta),}pasa a través de un filtro con retraso constante (independiente de frecuencia) τ τ ,{displaystyle tau}el resultado es:

A()⋅ ⋅ )⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ ()t− − τ τ )+Silencio Silencio )=A()⋅ ⋅ )⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t+Silencio Silencio − − ⋅ ⋅ τ τ ),{displaystyle A(omega)cdot sin(omega (t-tau)+theta)=A(omega)cdot sin(omega t+theta -omega tau),}

dónde:

• A()⋅ ⋅ ){displaystyle A(omega)} es un multiplicador de amplitud dependiente de frecuencia.
• El cambio de fase ⋅ ⋅ τ τ {displaystyle omega tau } es una función lineal de frecuencia angular ⋅ ⋅ {displaystyle omega }, y − − τ τ {displaystyle -tau } es la pendiente.

Se deduce que una función exponencial compleja:

ei()⋅ ⋅ t+Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t+Silencio Silencio )+i⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t+Silencio Silencio ),{displaystyle e^{i(omega t+theta)}=cos(omega t+theta)+icdot sin(omega t+theta),}

se transforma en:

A()⋅ ⋅ )⋅ ⋅ ei()⋅ ⋅ ()t− − τ τ )+Silencio Silencio )=ei()⋅ ⋅ t+Silencio Silencio )⋅ ⋅ A()⋅ ⋅ )e− − i⋅ ⋅ τ τ {displaystyle A(omega)cdot e^{i(omega (t-tau)+theta)}=e^{i(omega t+theta)}cdot A(omega)e^{-iomega tau }}}

Para una fase lineal aproximada, es suficiente tener esa propiedad sólo en el passband(s) del filtro, donde TENA(ω) tiene valores relativamente grandes. Por lo tanto, tanto la magnitud como los gráficos de fase (Bode plots) se utilizan habitualmente para examinar la linealidad de un filtro. Un gráfico de fase "linear" puede contener discontinuidades de π y/o 2π radians. Los más pequeños ocurren donde se registran cambios A(ω). Puesto que TENA(ω) La duración no puede ser negativa, los cambios se reflejan en la trama de fase. Las discontinuidades 2π ocurren debido a la trama del valor principal de ⋅ ⋅ τ τ ,{displaystyle omega tau}en lugar del valor real.

En aplicaciones discretas, sólo se examina la región de frecuencias entre 0 y Nyquist, debido a la periodicidad y la simetría. Dependiendo de las unidades de frecuencia, la frecuencia de Nyquist puede ser de 0,5, 1.0, π, o 1⁄2 de la tasa de muestra real. A continuación se presentan algunos ejemplos de fase lineal y no lineal.

Bode plots. Las discontinuidades de fase son π radians, indicando una inversión de señal.

Las discontinuidades de fase se eliminan permitiendo la amplitud negativa.

Dos representaciones de la respuesta de frecuencia de un filtro FIR simple

Se puede lograr un filtro de tiempo discreto con fase lineal mediante un filtro FIR que sea simétrico o antisimétrico. Una condición necesaria pero no suficiente es:

. . n=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO h[n]⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ()n− − α α )+β β )=0{displaystyle sum _{n=-infty }{infty }h[n]cdot sin(omega cdot (n-alpha)+beta)=0}

para algunos α α ,β β ▪ ▪ R{displaystyle alphabeta in mathbb {R}.

Fase lineal generalizada

Los sistemas con fase lineal generalizada tienen una constante de frecuencia-independiente β β {displaystyle beta } añadido a la fase. En el caso discreto-time, por ejemplo, la respuesta de frecuencia tiene el formulario:

H2π π ()⋅ ⋅ )=A()⋅ ⋅ )e− − j⋅ ⋅ k/2+jβ β ,{displaystyle H_{2pi}(omega)=A(omega) e^{-jomega k/2+jbeta }

arg⁡ ⁡ [H2π π ()⋅ ⋅ )]=β β − − ⋅ ⋅ k/2{displaystyle arg left[H_{2pi }(omega)right]=beta - 'omega k/2' para <math alttext="{displaystyle -pi <omega − − π π c)⋅ ⋅ c)π π {displaystyle - 'pi' significa 'omega'<img alt="{displaystyle -pi <omega

Debido a esta constante, la fase del sistema no es una función estrictamente lineal de la frecuencia, pero conserva muchas de las propiedades útiles de los sistemas de fase lineal.