Fase geométrica

En mecánica clásica y cuántica, fase geométrica es una diferencia de fase adquirida en el transcurso de un ciclo, cuando un sistema se somete a procesos adiabáticos cíclicos, que resulta de las propiedades geométricas del espacio de parámetros del hamiltoniano. El fenómeno fue descubierto de forma independiente por S. Pancharatnam (1956), en óptica clásica y por H. C. Longuet-Higgins (1958) en física molecular; fue generalizado por Michael Berry en (1984). También se conoce como fase Pancharatnam-Berry, fase Pancharatnam o fase Berry. Se puede ver en la intersección cónica de las superficies de energía potencial y en el efecto Aharonov-Bohm. Fase geométrica alrededor de la intersección cónica que involucra el estado electrónico fundamental del ion molecular C₆H₃F₃⁺ se analiza en las páginas 385–386 del libro de texto de Bunker y Jensen. En el caso del efecto Aharonov-Bohm, el parámetro adiabático es el campo magnético encerrado por dos caminos de interferencia, y es cíclico en el sentido de que estos dos caminos forman un bucle. En el caso de la intersección cónica, los parámetros adiabáticos son las coordenadas moleculares. Aparte de la mecánica cuántica, surge en una variedad de otros sistemas de ondas, como la óptica clásica. Como regla general, puede ocurrir siempre que haya al menos dos parámetros que caractericen una onda en la vecindad de algún tipo de singularidad o agujero en la topología; se requieren dos parámetros porque el conjunto de estados no singulares no estará simplemente conectado o habrá una holonomía distinta de cero.

Las ondas se caracterizan por su amplitud y fase, y pueden variar en función de esos parámetros. La fase geométrica ocurre cuando ambos parámetros se cambian simultáneamente pero muy lentamente (adiabáticamente) y finalmente se devuelven a la configuración inicial. En la mecánica cuántica, esto podría involucrar rotaciones pero también traslaciones de partículas, que aparentemente se deshacen al final. Uno podría esperar que las ondas en el sistema regresen al estado inicial, caracterizado por las amplitudes y fases (y teniendo en cuenta el paso del tiempo). Sin embargo, si las excursiones de los parámetros corresponden a un bucle en lugar de una variación de ida y vuelta con autorretroceso, entonces es posible que los estados inicial y final difieran en sus fases. Esta diferencia de fase es la fase geométrica y su aparición normalmente indica que la dependencia de parámetros del sistema es singular (su estado no está definido) para alguna combinación de parámetros.

Para medir la fase geométrica en un sistema de ondas, se requiere un experimento de interferencia. El péndulo de Foucault es un ejemplo de la mecánica clásica que a veces se utiliza para ilustrar la fase geométrica. Este análogo mecánico de la fase geométrica se conoce como el ángulo de Hannay.

Fase Berry en mecánica cuántica

En un sistema cuántico en el estado propio n-ésimo, una evolución adiabática del hamiltoniano hace que el sistema permanezca en el estado propio n-ésimo del hamiltoniano, mientras que también obteniendo un factor de fase. La fase obtenida tiene una contribución de la evolución temporal del estado y otra de la variación del estado propio con el hamiltoniano cambiante. El segundo término corresponde a la fase de Berry, y para variaciones no cíclicas del hamiltoniano se puede hacer desaparecer mediante una elección diferente de la fase asociada con los estados propios del hamiltoniano en cada punto de la evolución.

Sin embargo, si la variación es cíclica, la fase Berry no se puede cancelar; es invariante y se convierte en una propiedad observable del sistema. Revisando la demostración del teorema adiabático dada por Max Born y Vladimir Fock, en Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928), pudimos caracterizar todo el cambio del proceso adiabático en un término de fase. Bajo la aproximación adiabática, el coeficiente del estado propio n-ésimo bajo el proceso adiabático viene dado por

Cn()t)=Cn()0)exp⁡ ⁡ [− − ∫ ∫ 0t.. ↑ ↑ n()t.)Silencio↑ ↑ Í Í n()t.).. dt.]=Cn()0)eiγ γ n()t),{displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)exp left[-int _{0}^{t}langle psi _{n}(t') #### {n}(t')rangle ,dt'right]=C_{n}(0)e^{igamma _{n}(t)},}

γ γ n()t){displaystyle gamma _{n}(t)}

γ γ n[C]=i∮ ∮ C.. n,tSilencio()Silencio Silencio RSilencion,t.. )dR,{displaystyle gamma _{n}[C]=ioint ¿Qué?

R{displaystyle R.

Silencion,t.. {displaystyle Silencio, trangle }

γ γ n[C]{displaystyle gamma _{n}[C]

C{displaystyle C}

C{displaystyle C}

C{displaystyle C}

Ejemplos de fases geométricas

Péndulo de Foucault

Uno de los ejemplos más sencillos es el péndulo de Foucault. Wilczek y Shapere dan una explicación fácil en términos de fases geométricas:

Cómo precede el péndulo cuando se toma alrededor de un camino general C? Para el transporte a lo largo del Ecuador, el péndulo no precesará. [...] Ahora si C está formado por segmentos geodésicos, la precesión vendrá desde los ángulos donde se encuentran los segmentos de la geodésica; la precesión total es igual al ángulo del déficit neto que a su vez equivale al ángulo sólido encerrado por C modulo 2π. Finalmente, podemos aproximar cualquier bucle por una secuencia de segmentos geodésicos, por lo que el resultado más general (en o fuera de la superficie de la esfera) es que la precesión neta es igual al ángulo sólido cerrado.

Para decirlo en otras palabras, no hay fuerzas de inercia que puedan hacer que el péndulo tenga una precesión, por lo que la precesión (en relación con la dirección del movimiento del camino a lo largo del cual se lleva el péndulo) se debe enteramente al giro de este camino. Así, la orientación del péndulo sufre un transporte paralelo. Para el péndulo de Foucault original, la trayectoria es un círculo de latitud y, según el teorema de Gauss-Bonnet, el cambio de fase viene dado por el ángulo sólido encerrado.

Derivación

En un marco casi inercial que se mueve en tándem con la Tierra, pero que no comparte la rotación de la Tierra sobre su propio eje, el punto de suspensión del péndulo traza una trayectoria circular durante un día sideral.

En la latitud de París, 48 grados 51 minutos norte, un ciclo completo de precesión tarda poco menos de 32 horas, por lo que después de un día sideral, cuando la Tierra vuelve a tener la misma orientación que un día sideral anterior, el plano de oscilación ha girado un poco más de 270 grados. Si el plano de oscilación era de norte a sur al principio, es de este a oeste un día sideral después.

Esto también implica que ha habido un intercambio de impulso; la Tierra y la lenteja del péndulo han intercambiado impulso. La Tierra es mucho más masiva que la lenteja del péndulo que el cambio de impulso de la Tierra es imperceptible. No obstante, dado que el plano de oscilación de la lenteja del péndulo se ha desplazado, las leyes de conservación implican que debe haber ocurrido un intercambio.

En lugar de seguir el cambio de momento, la precesión del plano de oscilación se puede describir de manera eficiente como un caso de transporte paralelo. Para ello, se puede demostrar, componiendo las rotaciones infinitesimales, que la tasa de precesión es proporcional a la proyección de la velocidad angular de la Tierra en la dirección normal a la Tierra, lo que implica que la traza del plano de oscilación sufrirá un transporte paralelo.. Después de 24 horas, la diferencia entre las orientaciones inicial y final del trazo en el marco de la Tierra es α = −2π sin φ, que corresponde al valor dado por el teorema de Gauss-Bonnet. α también se denomina holonomía o fase geométrica del péndulo. Al analizar los movimientos terrestres, el marco de la Tierra no es un marco de inercia, sino que gira alrededor de la vertical local a una velocidad efectiva de 2π sen φ radianes por día. Se puede usar un método simple que emplea transporte paralelo dentro de conos tangentes a la superficie de la Tierra para describir el ángulo de rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault.

Desde la perspectiva de un sistema de coordenadas ligado a la Tierra (el círculo de medición y el espectador están limitados a la Tierra, también si el espectador no percibe la reacción del terreno a la fuerza de Coriolis cuando se mueve), utilizando un sistema de coordenadas rectangulares con su x-eje apuntando hacia el este y su y-eje que apunta al norte, la precesión del péndulo se debe a la fuerza de Coriolis (otras fuerzas ficticias como la gravedad y la fuerza centrífuga no tienen un componente directo de precesión, la fuerza de Euler es baja porque la velocidad de rotación de la Tierra es casi constante). Considere un péndulo plano con frecuencia natural constante ω en la aproximación de ángulo pequeño. Hay dos fuerzas que actúan sobre la lenteja del péndulo: la fuerza restauradora proporcionada por la gravedad y el alambre, y la fuerza de Coriolis (la fuerza centrífuga, opuesta a la fuerza restauradora gravitatoria, puede despreciarse). La fuerza de Coriolis en la latitud φ es horizontal en la aproximación de ángulo pequeño y está dada por

Fc,x=2mΩ Ω dSí.dtpecado⁡ ⁡ φ φ Fc,Sí.=− − 2mΩ Ω dxdtpecado⁡ ⁡ φ φ {displaystyle {begin{aligned}F_{c,x} {y} {dt}sin varphi \F_{c,y} {=-2mOmega {dfrac {dx}{dt}}sin varphi end{aligned}}} {}} {} {} {}} {}} {}}} {}}} {}}}}

La fuerza restauradora, en la aproximación de ángulo pequeño y despreciando la fuerza centrífuga, está dada por

Fg,x=− − m⋅ ⋅ 2xFg,Sí.=− − m⋅ ⋅ 2Sí..{displaystyle {begin{aligned}F_{g,x} ^{2}xF_{g,y} Sí.

Using Newton 's laws of motion this leads to the system of equations

d2xdt2=− − ⋅ ⋅ 2x+2Ω Ω dSí.dtpecado⁡ ⁡ φ φ d2Sí.dt2=− − ⋅ ⋅ 2Sí.− − 2Ω Ω dxdtpecado⁡ ⁡ φ φ .{displaystyle {begin{aligned}{dfrac {2}x}{2}}} {fn0}=-omega }x+2Omega {dfrac} {y} {dt}sin varphi \{dfrac {fnMiega} ^{2}y-2Omega {dfrac {dx}sin varphi.end{aligned}}

Switching to complex coordinates z = x + iii>, the equations read

d2zdt2+2iΩ Ω dzdtpecado⁡ ⁡ φ φ +⋅ ⋅ 2z=0.{displaystyle {frac {f}{2} {f}}+2i} {f}} {fnK}} {f} {fnK}}}}}f}}f}fnK}}}}f} Omega {frac {dz} {dt}sin varphi +omega ^{2}z=0,}

Al primer orden en Ω/ω esta ecuación tiene la solución

z=e− − iΩ Ω pecado⁡ ⁡ φ φ t()c1ei⋅ ⋅ t+c2e− − i⋅ ⋅ t).{displaystyle z=e^{-i} Omega sin varphi t}left(c_{1}e^{iomega t}+c_{2}e^{-iomega t}right),}

Si el tiempo se mide en días, entonces Ω = 2π y el péndulo gira en un ángulo de −2π sin φ durante un día.

Luz polarizada en una fibra óptica

Un segundo ejemplo es la luz polarizada linealmente que ingresa a una fibra óptica monomodo. Supongamos que la fibra traza un camino en el espacio y la luz sale de la fibra en la misma dirección en que entró. Luego compare las polarizaciones inicial y final. En la aproximación semiclásica, la fibra funciona como una guía de ondas y el impulso de la luz es en todo momento tangente a la fibra. La polarización se puede considerar como una orientación perpendicular al impulso. A medida que la fibra traza su camino, el vector de momento de la luz traza un camino sobre la esfera en el espacio de momento. El camino es cerrado, ya que las direcciones inicial y final de la luz coinciden y la polarización es un vector tangente a la esfera. Ir al espacio de cantidad de movimiento es equivalente a tomar el mapa de Gauss. No hay fuerzas que puedan hacer que la polarización gire, solo la restricción de permanecer tangente a la esfera. Por lo tanto, la polarización se somete a un transporte paralelo y el cambio de fase viene dado por el ángulo sólido cerrado (multiplicado por el espín, que en el caso de la luz es 1).

Efecto bomba estocástica

Una bomba estocástica es un sistema estocástico clásico que responde con corrientes distintas de cero, en promedio, a cambios periódicos de parámetros. El efecto de bomba estocástica se puede interpretar en términos de una fase geométrica en la evolución de la función generadora de momentos de las corrientes estocásticas.

Giro 1⁄2

La fase geométrica se puede evaluar exactamente para un spin-1⁄2 partícula en un campo magnético.

Fase geométrica definida en atractores

Si bien la formulación de Berry se definió originalmente para sistemas hamiltonianos lineales, Ning y Haken pronto se dieron cuenta de que se puede definir una fase geométrica similar para sistemas completamente diferentes, como los sistemas disipativos no lineales que poseen ciertos atractores cíclicos. Demostraron que tales atractores cíclicos existen en una clase de sistemas disipativos no lineales con ciertas simetrías. Hay varios aspectos importantes de esta generalización de la fase de Berry: 1) En lugar del espacio de parámetros para la fase original de Berry, esta generalización de Ning-Haken se define en el espacio de fase; 2) En lugar de la evolución adiabática en el sistema mecánico cuántico, la evolución del sistema en el espacio de fases no necesita ser adiabática. No hay restricción en la escala de tiempo de la evolución temporal; 3) En lugar de un sistema hermitiano o un sistema no hermitiano con amortiguamiento lineal, los sistemas pueden ser generalmente no lineales y no hermitianos.

Exposición en intersecciones de superficies de potencial adiabático molecular

Hay varias maneras de calcular la fase geométrica en moléculas dentro del marco Born-Oppenheimer. Una manera es a través del "acoplamiento no diabático M× × M{displaystyle Mtimes M} matriz definida por

τ τ ijμ μ =.. ↑ ↑ iSilencio∂ ∂ μ μ ↑ ↑ j.. ,{displaystyle tau _{}{mu} }=langle psi _{i}Sobrevivir

↑ ↑ i{displaystyle psi _{i}Rμ μ {displaystyle R_{mu}.. {displaystyle "Gamma"Rμ μ ()t),{displaystyle R_{mu }(t),}t▪ ▪ [0,1]{displaystyle tin [0,1]}Rμ μ ()t+1)=Rμ μ ()t){displaystyle R_{mu}(t+1)=R_{mu }(t)}D

D[.. ]=P^ ^ e∮ ∮ .. τ τ μ μ dRμ μ {displaystyle D[Gamma]={hat}e^{oint ¿Qué? },dR_{mu}}

P^ ^ {displaystyle {hat {}}}}M{displaystyle M}eiβ β j,{displaystyle e^{ibeta ¿Qué?β β j{displaystyle beta _{j}}j{displaystyle j}

Para hamiltonianos electrónicos simétricos con inversión de tiempo, la fase geométrica refleja el número de intersecciones cónicas rodeadas por el bucle. Con más precisión,

eiβ β j=()− − 1)Nj,{displaystyle e^{ibeta ¿Qué?

Nj{displaystyle N_{j}↑ ↑ j{displaystyle psi _{j}.. .{displaystyle Gamma.}

Una alternativa a la D-El enfoque de la matriz sería un cálculo directo de la fase Pancharatnam. Esto es especialmente útil si uno está interesado sólo en las fases geométricas de un solo estado adiabático. En este enfoque, se toma un número N+1{displaystyle N+1} de puntos ()n=0,...... ,N){displaystyle (n=0,dotsN)} a lo largo del bucle R()tn){displaystyle R(t_{n}} con t0=0{displaystyle T_{0}=0} y tN=1,{displaystyle T_{N}=1,} entonces usando sólo el j- estados diabáticos ↑ ↑ j[R()tn)]{displaystyle psi _{j}[R(t_{n}]} calcula el producto Pancharatnam de solapas:

Ij().. ,N)=∏ ∏ n=0N− − 1.. ↑ ↑ j[R()tn)]Silencio↑ ↑ j[R()tn+1)].. .{displaystyle I_{j}(GammaN)=prod limits _{n=0}^{N-1}langle psi _{j}[R(t_{n})... [R(t_{n+1}]rangle.}

En el límite N→ → JUEGO JUEGO {displaystyle Nto infty uno tiene (ver Ryb & Baer 2004 para explicación y algunas aplicaciones)

Ij().. ,N)→ → eiβ β j.{displaystyle I_{j}(GammaN)to e^{ibeta - Sí.

Fase geométrica y cuantificación del movimiento del ciclotrón

Un electron sometido al campo magnético B{displaystyle B} se mueve en una órbita circular (ciclotron). Clásicamente, cualquier radio de ciclotrón Rc{displaystyle R_{c} es aceptable. Quantum-mechanically, only discrete energy levels (Landau levels) are allowed, and since Rc{displaystyle R_{c} está relacionado con la energía del electrón, esto corresponde a valores cuantificados de Rc{displaystyle R_{c}. La condición de cuantificación energética obtenida mediante la resolución de la ecuación de Schrödinger lee, por ejemplo, E=()n+α α )▪ ▪ ⋅ ⋅ c,{displaystyle E=(n+alpha)hbar omega _{c},} α α =1/2{displaystyle alpha =1/2} para electrones libres (en vacío) o E=v2()n+α α )eB▪ ▪ ,α α =0{textstyle E=v{sqrt {2(n+alpha)eBhbar }},quad alpha =0} para electrones en grafeno, donde n=0,1,2,...... {displaystyle n=0,1,2,ldots }. Aunque la derivación de estos resultados no es difícil, hay una forma alternativa de conducirlos, que ofrece en cierto sentido una mejor comprensión física de la cuantificación del nivel de Landau. Esta forma alternativa se basa en la condición de cuantización semiclásica Bohr-Sommerfeld

▪ ▪ ∮ ∮ dr⋅ ⋅ k− − e∮ ∮ dr⋅ ⋅ A+▪ ▪ γ γ =2π π ▪ ▪ ()n+1/2),{displaystyle hbar oint dmathbf {r} cdot mathbf {k} -eoint dmathbf {r} cdot mathbf {A} +hbar gamma =2pi hbar (n+1/2),}

γ γ {displaystyle gamma }γ γ =0,{displaystyle gamma =0,}γ γ =π π {displaystyle gamma =pi}α α =1/2{displaystyle alpha =1/2}α α =0{displaystyle alpha =0}