Falso (lógica)

En lógica, falso es el estado de poseer un valor de verdad negativo o un conectivo lógico nulo. En un sistema funcional de verdad de lógica proposicional, es uno de los dos valores de verdad postulados, junto con su negación, la verdad. Las notaciones habituales del falso son 0 (especialmente en lógica booleana e informática), O (en notación de prefijos, O pq) y el símbolo de tachuela hacia arriba .

Se utiliza otro enfoque para varias teorías formales (p. ej., cálculo proposicional intuicionista), donde se introduce una constante proposicional (es decir, un conectivo nulo), cuyo valor de verdad es siempre falso en el sentido anterior. Puede tratarse como una proposición absurda y, a menudo, se le llama absurdo.

En lógica clásica y lógica booleana

En la lógica booleana, cada variable denota un valor de verdad que puede ser verdadero (1) o falso (0).

En un cálculo proposicional clásico, a cada proposición se le asignará un valor de verdad de verdadero o falso. Algunos sistemas de lógica clásica incluyen símbolos dedicados para falso (0 o ), mientras que otros se basan en fórmulas como p ∧ ¬ p y ¬(p → p).

Tanto en la lógica booleana como en los sistemas lógicos clásicos, verdadero y falso son opuestos con respecto a la negación; la negación de falso da verdadero, y la negación de verdadero da falso.

verdadero	falso
falso	verdadero

La negación de falso es equivalente a la verdad no solo en la lógica clásica y la lógica booleana, sino también en la mayoría de los demás sistemas lógicos, como se explica a continuación.

Falso, negación y contradicción.

En la mayoría de los sistemas lógicos, la negación, el condicional material y el falso se relacionan como:¬ pag ⇔ (pag → ⊥)

De hecho, esta es la definición de negación en algunos sistemas, como la lógica intuicionista, y puede probarse en cálculos proposicionales donde la negación es un conectivo fundamental. Como p → p suele ser un teorema o axioma, una consecuencia es que la negación de falso (¬ ⊥) es verdadera.

Una contradicción es la situación que surge cuando se demuestra que un enunciado que se supone verdadero es falso (es decir, φ ⊢ ⊥). Usando la equivalencia anterior, el hecho de que φ sea una contradicción puede derivarse, por ejemplo, de ⊢ ¬φ. Una declaración que implica falsa en sí misma a veces se llama una contradicción, y las contradicciones y lo falso a veces no se distinguen, especialmente debido a que el término latino falsum se usa en inglés para denotar cualquiera, pero falso es una proposición específica.

Los sistemas lógicos pueden contener o no el principio de explosión (ex falso quodlibet en latín), ⊥ ⊢ φ para todo φ. Por ese principio, las contradicciones y lo falso son equivalentes, ya que cada uno implica al otro.

Consistencia

Una teoría formal que usa el conectivo " " se define como consistente, si y solo si lo falso no está entre sus teoremas. En ausencia de constantes proposicionales, se pueden usar algunos sustitutos (como los descritos anteriormente) para definir la consistencia.