Falacia matemática

En matemáticas, ciertos tipos de pruebas erróneas a menudo se exhiben y, a veces, se recopilan como ilustraciones de un concepto llamado falacia matemática. Hay una distinción entre un simple error y una falacia matemática en una prueba, en la que un error en una prueba conduce a una prueba inválida mientras que en los ejemplos más conocidos de falacias matemáticas hay algún elemento de ocultamiento o engaño en la presentación de la prueba.

Por ejemplo, la razón por la que falla la validez puede atribuirse a una división por cero que está oculta por la notación algebraica. Hay una cierta cualidad de la falacia matemática: tal como se presenta típicamente, no solo conduce a un resultado absurdo, sino que lo hace de una manera astuta o astuta. Por lo tanto, estas falacias, por razones pedagógicas, suelen tomar la forma de pruebas espurias de contradicciones evidentes. Aunque las pruebas son defectuosas, los errores, generalmente por diseño, son comparativamente sutiles o están diseñados para mostrar que ciertos pasos son condicionales y no son aplicables en los casos que son las excepciones a las reglas.

La forma tradicional de presentar una falacia matemática es dar un paso de deducción inválido mezclado con pasos válidos, de modo que el significado de falacia aquí es ligeramente diferente de la falacia lógica. Este último generalmente se aplica a una forma de argumento que no cumple con las reglas de inferencia válidas de la lógica, mientras que el paso matemático problemático es típicamente una regla correcta aplicada con una suposición tácita incorrecta. Más allá de la pedagogía, la resolución de una falacia puede conducir a conocimientos más profundos sobre un tema (por ejemplo, la introducción del axioma de la geometría euclidiana de Pasch, el teorema de los cinco colores de la teoría de grafos). Pseudaria, un antiguo libro perdido de pruebas falsas, se atribuye a Euclides.

Las falacias matemáticas existen en muchas ramas de las matemáticas. En álgebra elemental, los ejemplos típicos pueden implicar un paso en el que se realiza la división por cero, en el que se extrae incorrectamente una raíz o, de manera más general, en el que se igualan diferentes valores de una función de valores múltiples. También existen falacias bien conocidas en geometría y cálculo euclidianos elementales.

Aulladores

ddx1x=dd1x2=d∖ ∖ d∖ ∖ 1x2=− − 1x2{displaystyle {begin{rray}{l};;;{dfrac {dx}{}{dfrac {1}{x}={dfrac} {d}{d}{dfrac {1}{x^{2}={dfrac} {dfnMientras! {fnMicrosoft Sans Serif}{dfrac {1}{x^{ 2}=-{dfrac {1}{x^{2}}end{array}}} {f}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Cancelación anómala en el cálculo

Existen ejemplos de resultados matemáticamente correctos derivados de líneas de razonamiento incorrectas. Tal argumento, por verdadera que parezca ser la conclusión, no es matemáticamente válido y se conoce comúnmente como aullador. El siguiente es un ejemplo de un aullador que implica una cancelación anómala:

1664=16/6/4=14.{displaystyle {frac}{64}={frac} {16fnMicroc}= {fnMicroc} {1}{4}}

Aquí, aunque la conclusión 16/ 64 = 1/4 es correcto, hay una cancelación errónea e inválida en el paso intermedio. Otro ejemplo clásico de un aullador es probar el teorema de Cayley-Hamilton simplemente sustituyendo las variables escalares del polinomio característico por la matriz.

Las pruebas, los cálculos o las derivaciones falsos construidos para producir un resultado correcto a pesar de una lógica u operaciones incorrectas se denominaron "aulladores" por Maxwell. Fuera del campo de las matemáticas el término aullador tiene varios significados, generalmente menos específicos.

División por cero

La falacia de la división por cero tiene muchas variantes. El siguiente ejemplo usa una división disfrazada por cero para "probar" que 2 = 1, pero se puede modificar para probar que cualquier número es igual a cualquier otro número.

1. Vamos a y b ser igual, cantidades no cero

   a=b{displaystyle a=b}

2. Multiply by a

   a2=ab{displaystyle a^{2}=ab}

3. Subtract b²

   a2− − b2=ab− − b2{displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}

4. Factor ambos lados: los factores izquierdos como diferencia de plazas, la derecha se factoriza mediante la extracción b desde ambos términos

   ()a− − b)()a+b)=b()a− − b){displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)}

5. Divide hacia fuera (a − b)

   a+b=b{displaystyle a+b=b}

6. Use el hecho de que a = b

   b+b=b{displaystyle b+b=b}

7. Combine como términos en la izquierda

   2b=b{displaystyle 2b=b}

8. Divide por el no-cero b

   2=1{displaystyle 2=1}

Q.E.D.

La falacia está en la línea 5: la progresión de la línea 4 a la línea 5 implica la división por a − b, que es cero ya que a = b. Dado que la división por cero no está definida, el argumento no es válido.

Análisis

El análisis matemático como el estudio matemático del cambio y los límites puede conducir a falacias matemáticas, si se ignoran las propiedades de las integrales y diferenciales. Por ejemplo, un uso ingenuo de la integración por partes puede usarse para dar una prueba falsa de que 0 = 1. Dejar u = 1/registro x y dv = dx/x, podemos escribir:

∫ ∫ 1xlog⁡ ⁡ xdx=1+∫ ∫ 1xlog⁡ ⁡ xdx{displaystyle int {frac {1}{x,log x},dx=1+int {frac {1}{x,log x},dx}

después de lo cual las antiderivadas pueden cancelarse dando como resultado 0 = 1. El problema es que las antiderivadas solo se definen hasta una constante y se permite cambiarlas por 1 o, de hecho, cualquier número. El error realmente sale a la luz cuando introducimos límites de integración arbitrarios a y b.

∫ ∫ ab1xlog⁡ ⁡ xdx=1Silencioab+∫ ∫ ab1xlog⁡ ⁡ xdx=0+∫ ∫ ab1xlog⁡ ⁡ xdx=∫ ∫ ab1xlog⁡ ⁡ xdx{displaystyle int _{a}{b}{frac {1}{x,log ################################################################################################################################################################################################################################################################

Dado que la diferencia entre dos valores de una función constante desaparece, la misma integral definida aparece en ambos lados de la ecuación.

Funciones multivalor

Muchas funciones no tienen inversa única. Por ejemplo, mientras que elevar un número al cuadrado da un valor único, hay dos posibles raíces cuadradas de un número positivo. La raíz cuadrada tiene varios valores. Se puede elegir un valor por convención como el valor principal; en el caso de la raíz cuadrada, el valor no negativo es el valor principal, pero no hay garantía de que la raíz cuadrada dada como el valor principal del cuadrado de un número sea igual al número original (por ejemplo, la raíz cuadrada principal del cuadrado de −2 es 2). Esto sigue siendo cierto para las raíces enésimas.

Raíces positivas y negativas

Se debe tener cuidado al sacar la raíz cuadrada de ambos lados de una igualdad. De lo contrario, se obtiene una "prueba" de 5 = 4.

Prueba:

Empieza desde

− − 20=− − 20{displaystyle -20=-20}

Escribe esto

25− − 45=16− − 36{displaystyle 25-45=16-36}

Reescribir como

52− − 5× × 9=42− − 4× × 9{displaystyle 5^{2}-5times 9=4^{2}-4times 9}

Añadir 81/4 en ambos lados:

52− − 5× × 9+814=42− − 4× × 9+814{displaystyle 5^{2}-5times 9+{frac {81}{4}=4^{2}-4times 9+{frac {81}{4}}}

Estos son cuadrados perfectos:

()5− − 92)2=()4− − 92)2{displaystyle left(5-{frac {9}{2}right)}{2}=left(4-{frac {9}{2}right)}{2}}}} {2}}

Tome la raíz cuadrada de ambos lados:

5− − 92=4− − 92{displaystyle 5-{frac {9}{2}=4-{frac {9}{2}}

Añadir 9/2 en ambos lados:

5=4{displaystyle 5=4}

Q.E.D.

La falacia está en la penúltima línea, donde se saca la raíz cuadrada de ambos lados: a² = b² solo implica a = b si a y b tienen el mismo signo, que es no es el caso aquí. En este caso, implica que a = –b, por lo que la ecuación debería decir

5− − 92=− − ()4− − 92){displaystyle 5-{frac {9}=-left(4-{frac {9}{2}}right)}

que, al agregar 9/2 en ambos lados, se reduce correctamente a 5 = 5.

Otro ejemplo que ilustra el peligro de sacar la raíz cuadrada de ambos lados de una ecuación implica la siguiente identidad fundamental

#2⁡ ⁡ x=1− − pecado2⁡ ⁡ x{displaystyle cos ^{2}x=1-sin ^{2}x}

lo cual se cumple como consecuencia del teorema de Pitágoras. Entonces, sacando una raíz cuadrada,

#⁡ ⁡ x=1− − pecado2⁡ ⁡ x{displaystyle cos x={sqrt {1-sin ^{2}x}}

Evaluando esto cuando x = π obtenemos que

− − 1=1− − 0{displaystyle -1={sqrt {1-0}}

o

− − 1=1{displaystyle -1=1}

lo cual es incorrecto.

El error en cada uno de estos ejemplos radica fundamentalmente en el hecho de que cualquier ecuación de la forma

x2=a2{displaystyle ¿Qué?

Donde aل ل 0{displaystyle aneq 0}, tiene dos soluciones:

x=± ± a{displaystyle x=pm a}

y es esencial verificar cuál de estas soluciones es relevante para el problema en cuestión. En la falacia anterior, la raíz cuadrada que permitió deducir la segunda ecuación de la primera es válida solo cuando cos x es positivo. En particular, cuando x se establece en π, la segunda ecuación se invalida.

Raíces cuadradas de números negativos

Las demostraciones no válidas que utilizan potencias y raíces suelen ser del siguiente tipo:

1=1=()− − 1)()− − 1)=− − 1− − 1=i⋅ ⋅ i=− − 1.{displaystyle 1={sqrt {1}={sqrt {(-1)}={sqrt {-1}{sqrt {-1}=icdot i=-1.}

La falacia es que la regla xSí.=xSí.{fnK} {fn} {fnK}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}} es generalmente válido sólo si al menos uno de x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} es no negativo (cuando se trata de números reales), que no es el caso aquí.

Alternativamente, las raíces imaginarias se ofuscan de la siguiente manera:

i=− − 1=()− − 1)24=()()− − 1)2)14=114=1{displaystyle i={sqrt {-1}=left(-1right)}{frac {2}{4}=left(left(-1right)^{2}right)^{frac {1}{4}=1^{frac} {1}{4}=1}

El error aquí radica en la tercera igualdad, como regla abc=()ab)c{displaystyle a^{bc}=(a^{b} sólo sostiene para positivo real a y reales b, c.

Exponentes complejos

Cuando un número se eleva a una potencia compleja, el resultado no se define de forma única (ver Exponenciación § Fallo de identidades de potencia y logaritmo). Si no se reconoce esta propiedad, pueden producirse errores como los siguientes:

e2π π i=1()e2π π i)i=1ie− − 2π π =1{displaystyle {begin{aligned}e^{2pi} i} {=1\\left(e^{2pi i}right)}{i} {=1^{i}e^{-2pi }

El error aquí es que la regla de multiplicar exponentes como cuando se va a la tercera línea no se aplica sin modificar con exponentes complejos, incluso si al poner ambos lados a la potencia i solo el valor principal es elegido. Cuando se tratan como funciones multivaluadas, ambos lados producen el mismo conjunto de valores, siendo {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometría

Muchas falacias matemáticas en geometría surgen del uso de una igualdad aditiva que implica cantidades orientadas (como sumar vectores a lo largo de una línea dada o sumar ángulos orientados en el plano) a una identidad válida, pero que fija solo el valor absoluto de (uno de) estas cantidades. Luego, esta cantidad se incorpora a la ecuación con la orientación incorrecta, para producir una conclusión absurda. Esta orientación incorrecta generalmente se sugiere implícitamente al proporcionar un diagrama impreciso de la situación, donde las posiciones relativas de puntos o líneas se eligen de una manera que es realmente imposible bajo las hipótesis del argumento, pero no lo es de manera obvia.

En general, tal falacia es fácil de exponer dibujando una imagen precisa de la situación, en la que algunas posiciones relativas serán diferentes de las del diagrama proporcionado. Para evitar tales falacias, un argumento geométrico correcto usando la suma o resta de distancias o ángulos siempre debe probar que las cantidades se están incorporando con su orientación correcta.

Falacia del triángulo isósceles

La falacia del triángulo isósceles, de (Maxwell 1959, Capítulo II, § 1), pretende mostrar que todo triángulo es isósceles, lo que significa que dos lados del triángulo son congruentes. Lewis Carroll conocía esta falacia y es posible que él la haya descubierto. Fue publicado en 1899.

Dado un triángulo △ABC, prueba que AB = AC:

1. Dibuja una línea de bisección ∠A.
2. Dibuja el bisector perpendicular del segmento BC, que bisectos BC en un punto D.
3. Que estas dos líneas se reúnan en un punto O.
4. Línea de dibujo O perpendicular a AB, línea OQ perpendicular a AC.
5. Dibujar líneas OB y OC.
6. Por AAS, RAO ≅QAO ().ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (lado común)).
7. Por RHS, ROB alimentos QOC (ROBRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hipotenusa); RO = OQ (leg)).
8. Así, AR = AQ, RB = QC y AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

Como corolario, se puede demostrar que todos los triángulos son equiláteros, demostrando que AB = BC y AC = BC de la misma manera.

El error en la prueba es la suposición en el diagrama de que el punto O está dentro del triángulo. De hecho, O siempre se encuentra en el circuncírculo del △ABC (excepto en los triángulos isósceles y equiláteros donde AO y OD coinciden). Además, se puede demostrar que, si AB es más largo que AC, entonces R estará dentro de AB, mientras que Q estará fuera de AC, y viceversa (de hecho, cualquier diagrama dibujado con instrumentos suficientemente precisos verificará los dos hechos anteriores). Debido a esto, AB sigue siendo AR + RB, pero AC es en realidad AQ − QC; y por lo tanto las longitudes no son necesariamente las mismas.

Prueba por inducción

Existen varias pruebas falaces por inducción en las que uno de los componentes, caso base o paso inductivo, es incorrecto. Intuitivamente, las demostraciones por inducción funcionan al argumentar que si un enunciado es verdadero en un caso, lo es en el siguiente y, por lo tanto, al aplicarlo repetidamente, se puede demostrar que es verdadero en todos los casos. La siguiente "prueba" muestra que todos los caballos son del mismo color.

1. Digamos que cualquier grupo de N Los caballos son del mismo color.
2. Si quitamos un caballo del grupo, tenemos un grupo de N1 caballos del mismo color. Si añadimos otro caballo, tenemos otro grupo de N caballos. Por nuestra suposición anterior, todos los caballos son del mismo color en este nuevo grupo, ya que es un grupo de N caballos.
3. Así hemos construido dos grupos de N caballos todo el mismo color, con N1 caballos en común. Dado que estos dos grupos tienen algunos caballos en común, los dos grupos deben ser del mismo color que los otros.
4. Por lo tanto, combinando todos los caballos utilizados, tenemos un grupo de N+ 1 caballos del mismo color.
5. Así si N los caballos son todo el mismo color, cualquier N+ 1 caballos son el mismo color.
6. Esto es claramente cierto para N= 1 (es decir, un caballo es un grupo donde todos los caballos son el mismo color). Así, por inducción, N los caballos son el mismo color para cualquier entero positivo N, y así todos los caballos son del mismo color.

La falacia de esta prueba surge en la línea 3. Para N = 1, los dos grupos de caballos tienen N − 1 = 0 caballos en común y, por lo tanto, son no necesariamente del mismo color, por lo que el grupo de N + 1 = 2 caballos no es necesariamente del mismo color. La implicación "cada N caballos son del mismo color, entonces N + 1 caballos son del mismo color" funciona para cualquier N > 1, pero no es cierto cuando N = 1. El caso base es correcto, pero el paso de inducción tiene un defecto fundamental.