Factoriales ascendentes y descendentes

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Funciones matemáticas

En matemáticas, el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente, producto secuencial descendente o factorial inferior) es definido como el polinomio

{displaystyle {begin{aligned}(x)_{n}=x^{underline {n}}&=overbrace {x(x-1)(x-2)cdots (x-n+1)} ^{n{text{ factors}}}\&=prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=prod _{k=0}^{n-1}(x-k).end{aligned}}}

El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer, polinomio de Pochhammer, factorial ascendente, producto secuencial ascendente, o factorial superior) se define como

{displaystyle {begin{aligned}x^{(n)}=x^{overline {n}}&=overbrace {x(x+1)(x+2)cdots (x+n-1)} ^{n{text{ factors}}}\&=prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=prod _{k=0}^{n-1}(x+k).end{aligned}}}

El valor de cada uno se toma como 1 (un producto vacío) cuando $n = 0$ . Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales.

El Símbolo de Pochhammer, presentado por Leo August Pochhammer, es la notación $() x) n$ , donde $n$ es un entero no negativo. Puede representar o el aumento o la caída factorial, con diferentes artículos y autores utilizando diferentes convenciones. Pochhammer en realidad utilizado $() x) n$ con otro significado, a saber, denotar el coeficiente binomio ${displaystyle {tbinom {x}{n}}.}$

En este artículo, el símbolo $() x) n$ se utiliza para representar el factorial de caída, y el símbolo $x () n)$ se utiliza para el factorial creciente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria, aunque las notaciones de Knuth subline y overline ${displaystyle x^{underline {n}}}$ y ${displaystyle x^{overline {n}}}$ son cada vez más populares. En la teoría de las funciones especiales (en particular la función hipergeométrica) y en el trabajo de referencia estándar Abramowitz y Stegun, el símbolo Pochhammer $() x) n$ se utiliza para representar el factorial creciente.

Cuando $x$ es un número entero positivo, $(x) n$ proporciona el número de n-permutaciones (secuencias de elementos distintos) de un $x$ -conjunto de elementos, o equivalentemente el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño $n$ a un conjunto de tamaño $x$ . El factorial ascendente $x (n)$ da el número de particiones de una n-elemento establecido en $x$ ordenado secuencias (posiblemente vacías).

Ejemplos e interpretación combinatoria

Los primeros factoriales descendentes son los siguientes:

{displaystyle {begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\(x)_{1}&&=x\(x)_{2}&=x(x-1)&=x^{2}-x\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6xend{array}}}

{displaystyle {begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\x^{(1)}&&=x\x^{(2)}&=x(x+1)&=x^{2}+x\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6xend{array}}}

Cuando la variable $x$ es un entero positivo, el número $(x) n$ es igual al número de n-permutaciones de un conjunto de x elementos, es decir, el número de formas de elegir un lista ordenada de longitud $n$ que consta de distintos elementos extraídos de una colección de tamaño $x$ . Por ejemplo, $(8) 3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$ es el número de diferentes podios (asignaciones de medallas de oro, plata y bronce) posibles en una carrera de ocho personas. En este contexto, otras notaciones como $x P n$ , $x P n$ , $P n x$ , o $P (x, n)$ también se utilizan a veces. Por otro lado, $x (n)$ es "el número de formas de organizar las banderas $n$ en $x$ astas de bandera", donde se deben usar todas las banderas y cada asta de bandera puede tener cualquier número de banderas. De manera equivalente, esta es la cantidad de formas de dividir un conjunto de tamaño $n$ (las banderas) en $x$ partes distinguibles (los postes), con un orden lineal sobre los elementos asignados a cada parte (el orden de las banderas en un poste dado).

Propiedades

Los factoriales ascendentes y descendentes simplemente están relacionados entre sí:

{displaystyle {begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n}.end{array}}}

Los factoriales ascendentes y descendentes de números enteros están directamente relacionados con el factorial ordinario:

{displaystyle {begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\[6pt](m)_{n}&={frac {m!}{(m-n)!}},\[6pt]m^{(n)}&={frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.end{aligned}}}

Los factoriales ascendentes de medios enteros están directamente relacionados con el doble factorial:

{displaystyle {begin{aligned}left[{frac {1}{2}}right]^{(n)}={frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},quad left[{frac {2m+1}{2}}right]^{(n)}={frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.end{aligned}}}

Los factoriales ascendentes y descendentes se pueden utilizar para expresar un coeficiente binomial:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {(x)_{n}}{n!}}&={binom {x}{n}},\[6pt]{frac {x^{(n)}}{n!}}&={binom {x+n-1}{n}}.end{aligned}}}

Por lo tanto, muchas identidades en los coeficientes binomiales se transfieren a los factoriales ascendentes y descendentes.

Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unital y, por lo tanto, $x$ puede tomarse como, por ejemplo, un número complejo, incluidos los enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de valor complejo.

El factorial descendente se puede extender a valores reales de $x$ usando la función gamma provista $x$ y $x + n$ son números reales que no son enteros negativos:

{displaystyle (x)_{n}={frac {Gamma (x+1)}{Gamma (x-n+1)}}}

{displaystyle x^{(n)}={frac {Gamma (x+n)}{Gamma (x)}}.}

Los factoriales descendentes aparecen en la diferenciación múltiple de funciones de potencia simples:

{displaystyle left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}right)^{n}x^{a}=(a)_{n}cdot x^{a-n}.}

El factorial ascendente también es parte integral de la definición de la función hipergeométrica: la función hipergeométrica se define para $| z | < 1$ por la serie de potencias

{displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{frac {z^{n}}{n!}}}

c ل 0, -1, -2,...

() a) n

Relación con el cálculo umbral

El factorial de caída se produce en una fórmula que representa polinomios utilizando el operador de diferencia de avance ${displaystyle Delta f(x){stackrel {mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$ y que es formalmente similar al teorema de Taylor:

{displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}

En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial descendente $(x) n$ en el cálculo de diferencias finitas juega el papel de $x n$ en el cálculo diferencial. Tenga en cuenta, por ejemplo, la similitud de $Δ (x) n = n (x) n -1$ a $d / d x x n = n x n -1$ .

Un resultado similar es válido para el factorial ascendente y el operador de diferencia hacia atrás.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo umbral. Una teoría general que cubre tales relaciones, incluidas las funciones factoriales ascendentes y descendentes, está dada por la teoría de secuencias polinómicas de tipo binomial y secuencias de Sheffer. Los factoriales descendentes y ascendentes son sucesiones de Sheffer de tipo binomial, como lo muestran las relaciones:

{displaystyle {begin{aligned}(a+b)_{n}&=sum _{j=0}^{n}{binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\[6pt](a+b)^{(n)}&=sum _{j=0}^{n}{binom {n}{j}}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}end{aligned}}}

donde los coeficientes son los mismos que los del teorema del binomio.

Del mismo modo, la función generadora de los polinomios de Pochhammer equivale a la exponencial umbral,

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(x)_{n}{frac {t^{n}}{n!}}=left(1+tright)^{x},}

desde

{displaystyle operatorname {Delta } _{x}left(1+tright)^{x}=tcdot left(1+tright)^{x}.}

Coeficientes de conexión e identidades

Los factoriales descendentes y ascendentes están relacionados entre sí a través de los números de Lah:

{displaystyle {begin{aligned}(x)_{n}&=sum _{k=1}^{n}{binom {n-1}{k-1}}{frac {n!}{k!}}x^{(k)}\&=(-1)^{n}(-x)^{(n)}=(x-n+1)^{(n)}\[6pt]x^{(n)}&=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x+n-1)_{n}.end{aligned}}}

Las siguientes fórmulas relacionan potencias integrales de una variable $x$ a través de sumas usando los números de Stirling de segundo tipo, anotados por curly corchetes ${n k}$ :

{displaystyle {begin{aligned}x^{n}&=sum _{k=0}^{n}{begin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}}(x)_{k}\&=sum _{k=0}^{n}{begin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.end{aligned}}}

Dado que los factoriales descendentes son la base del anillo de polinomios, se puede expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales descendentes:

{displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=sum _{k=0}^{m}{binom {m}{k}}{binom {n}{k}}k!cdot (x)_{m+n-k}.}

Los coeficientes ${displaystyle {tbinom {m}{k}}{tbinom {n}{k}}k!}$ se llaman coeficientes de conexión, y tener una interpretación combinatorial como el número de maneras de identificar (o "glutirar juntos") $k$ elementos cada uno de un conjunto de tamaño $m$ y un conjunto de tamaño $n$ .

También hay una fórmula de conexión para la razón de dos factoriales ascendentes dada por

{displaystyle {frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},quad {text{for }}ngeq i.}

Además, podemos expandir las leyes exponenciales generalizadas y las potencias crecientes y decrecientes negativas a través de las siguientes identidades:

{displaystyle {begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\[6pt]x^{(-n)}&={frac {Gamma (x-n)}{Gamma (x)}}={frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={frac {1}{(x-1)_{n}}}={frac {1}{(x-1)(x-2)cdots (x-n)}}={frac {1}{n!{binom {x-1}{n}}}}=(-n)!{binom {x-n-1}{-n}}\[6pt](x)_{-n}&={frac {Gamma (x+1)}{Gamma (x+n-1)}}={frac {x!}{(x+n)!}}={frac {1}{(x+n)_{n}}}={frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={frac {1}{(x+1)(x+2)cdots (x+n)}}={frac {1}{(-n)!{binom {x+n}{-n}}}}=(-n)!{binom {x}{-n}}.end{aligned}}}

Finalmente, las fórmulas de duplicación y multiplicación para los factoriales ascendentes y descendentes proporcionan las siguientes relaciones:

{displaystyle {begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}prod _{j=0}^{m-1}left({frac {x-k-j}{m}}right)_{n},,&{text{for }}m&in mathbb {N} \[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}prod _{j=0}^{m-1}left({frac {x+k+j}{m}}right)^{(n)},&{text{for }}m&in mathbb {N} \[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}prod _{j=0}^{n-1}left(a+{frac {b+j}{x}}right),&{text{for }}x&in mathbb {Z} ^{+}\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}left(x+{frac {1}{2}}right)^{(n)}.end{aligned}}}

Notaciones alternativas

Una notación alternativa para el factorial ascendente

{displaystyle x^{overline {m}}equiv (x)_{+m}equiv (x)_{m}=overbrace {x(x+1)ldots (x+m-1)} ^{m{text{ factors}}}quad {text{for integer }}mgeq 0}

y para el factorial descendente

{displaystyle x^{underline {m}}equiv (x)_{-m}=overbrace {x(x-1)ldots (x-m+1)} ^{m{text{ factors}}}quad {text{for integer }}mgeq 0}

se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939), respectivamente. Graham, Knuth y Patashnik propone pronunciar estas expresiones como " $x$ a la $m$ ascendente" y " $x$ a $m$ cayendo", respectivamente.

Otras notaciones para el factorial descendente incluyen $P (x, n)$ , $x P n$ , $P x, n$ , $P n x$ , o $x P n$ . (Ver permutación y combinación.)

Una notación alternativa para el factorial ascendente $x (n)$ es el menor $(x) + n$ . Cuando $(x) + n$ se utiliza para indicar el aumento factorial, la notación $(x) - n$ suele utilizarse para el factorial ordinario descendente, para evitar confusiones.

Generalizaciones

El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada denominada símbolo de Pochhammer generalizado, que se utiliza en el análisis multivariado. También hay un q-análogo, el símbolo q-Pochhammer.

Una generalización del factorial descendente en el que se evalúa una función en una secuencia aritmética descendente de enteros y los valores se multiplican es:

{displaystyle {bigl [}f(x){bigr ]}^{k/-h}=f(x)cdot f(x-h)cdot f(x-2h)cdots f{bigl (}x-(k-1)h{bigr)},}

donde $- h$ es el decremento y $k$ es el número de factores. La generalización correspondiente del factorial ascendente es

{displaystyle {bigl [}f(x){bigr ]}^{k/h}=f(x)cdot f(x+h)cdot f(x+2h)cdots f{bigl (}x+(k-1)h{bigr)}.}

Esta notación unifica los factoriales ascendentes y descendentes, que son $[x] k /+1$ y $[x] k /-1$ respectivamente.

Para cualquier función aritmética fija ${displaystyle f:mathbb {N} rightarrow mathbb {C} }$ y parámetros simbólicos $x$ , $t$ , productos factorializados relacionados de la forma

{displaystyle (x)_{n,f,t}:=prod _{k=0}^{n-1}left(x+{frac {f(k)}{t^{k}}}right)}

puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados de primera clase definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de $x$ en las expansiones de $(x) n, f, t$ y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente:

{displaystyle {begin{aligned}left[{begin{matrix}n\kend{matrix}}right]_{f,t}&=left[x^{k-1}right](x)_{n,f,t}\&=f(n-1)t^{1-n}left[{begin{matrix}n-1\kend{matrix}}right]_{f,t}+left[{begin{matrix}n-1\k-1end{matrix}}right]_{f,t}+delta _{n,0}delta _{k,0}.end{aligned}}}

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling de primera clase, así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con el $f$ -números armónicos,