Factor Q

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Parámetro que describe la longevidad de la energía en un resonador relativo a su frecuencia resonante

Una oscilación húmeda. Un factor Q bajo – alrededor de 5 aquí – significa que la oscilación muere rápidamente.

En física e ingeniería, el factor de calidad o factor Q es un parámetro adimensional que describe qué tan subamortiguado está un oscilador o resonador. Se define como la relación entre la energía inicial almacenada en el resonador y la energía perdida en un radián del ciclo de oscilación. El factor Q se define alternativamente como la relación entre la frecuencia central de un resonador y su ancho de banda cuando está sujeto a una fuerza impulsora oscilante. Estas dos definiciones dan resultados numéricamente similares, pero no idénticos. Un Q más alto indica una menor tasa de pérdida de energía y las oscilaciones se extinguen más lentamente. Un péndulo suspendido de un cojinete de alta calidad, que oscila en el aire, tiene una Q alta, mientras que un péndulo sumergido en aceite tiene una baja. Los resonadores con factores de alta calidad tienen un amortiguamiento bajo, por lo que suenan o vibran por más tiempo.

Explicación

El factor Q es un parámetro que describe el comportamiento de resonancia de un oscilador armónico subamortiguado (resonador). Los resonadores impulsados sinusoidalmente que tienen factores Q más altos resuenan con mayores amplitudes (a la frecuencia resonante) pero tienen un rango de frecuencias más pequeño alrededor de esa frecuencia para la que resuenan; el rango de frecuencias para el cual resuena el oscilador se llama ancho de banda. Por lo tanto, un circuito sintonizado de alto Q en un receptor de radio sería más difícil de sintonizar, pero tendría más selectividad; haría un mejor trabajo al filtrar las señales de otras estaciones cercanas en el espectro. Los osciladores de alto Q oscilan con un rango de frecuencias más pequeño y son más estables.

El factor de calidad de los osciladores varía sustancialmente de un sistema a otro, dependiendo de su construcción. Los sistemas para los que la amortiguación es importante (como los amortiguadores que evitan que una puerta se cierre de golpe) tienen Q cerca de 1⁄2. Los relojes, láseres y otros sistemas resonantes que necesitan una fuerte resonancia o estabilidad de alta frecuencia tienen factores de alta calidad. Los diapasones tienen factores de calidad de alrededor de 1000. El factor de calidad de los relojes atómicos, las cavidades de RF superconductoras utilizadas en los aceleradores y algunos láseres de alta Q pueden alcanzar hasta 10¹¹ y más alto.

Hay muchas cantidades alternativas utilizadas por físicos e ingenieros para describir qué tan amortiguado está un oscilador. Los ejemplos importantes incluyen: la relación de amortiguamiento, el ancho de banda relativo, el ancho de línea y el ancho de banda medido en octavas.

El concepto de Q se originó con K. S. Johnson del Departamento de Ingeniería de Western Electric Company mientras evaluaba la calidad de las bobinas (inductores). Su elección del símbolo Q se debió solo a que, en ese momento, se tomaron todas las demás letras del alfabeto. El término no pretendía ser una abreviatura de "calidad" o "factor de calidad", aunque estos términos se han asociado con él.

Definición

La definición de Q desde su primer uso en 1914 se ha generalizado para aplicarse a bobinas y condensadores, circuitos resonantes, dispositivos resonantes, líneas de transmisión resonantes, resonadores de cavidad y se ha expandido más allá del campo de la electrónica para aplicarse a sistemas dinámicos en general.: resonadores mecánicos y acústicos, material Q y sistemas cuánticos como líneas espectrales y resonancias de partículas.

Definición de ancho de banda

En el contexto de los resonadores, hay dos definiciones comunes para Q, que no son exactamente equivalentes. Se vuelven aproximadamente equivalentes a medida que Q se vuelve más grande, lo que significa que el resonador se vuelve menos amortiguado. Una de estas definiciones es la relación frecuencia-ancho de banda del resonador:

{displaystyle Qmathrel {stackrel {text{def}}{=}} {frac {f_{r}}{Delta f}}={frac {omega _{r}}{Delta omega }},}

donde f_r es la frecuencia de resonancia, Δf es el ancho de resonancia o ancho completo a la mitad máximo (FWHM), es decir, el ancho de banda sobre el cual la potencia de vibración es mayor que la mitad de la potencia en la frecuencia de resonancia, ω_r = 2πf_r es la frecuencia de resonancia angular y Δω es el ancho de banda de media potencia angular.

Según esta definición, Q es el recíproco del ancho de banda fraccional.

Definición de energía almacenada

La otra definición común casi equivalente para Q es la relación entre la energía almacenada en el resonador oscilante y la energía disipada por ciclo mediante procesos de amortiguamiento:

{displaystyle Qmathrel {stackrel {text{def}}{=}} 2pi times {frac {text{energy stored}}{text{energy dissipated per cycle}}}=2pi f_{r}times {frac {text{energy stored}}{text{power loss}}}.}

El factor 2π hace que Q se pueda expresar en términos más simples, involucrando solo los coeficientes de la ecuación diferencial de segundo orden que describe la mayoría de los sistemas resonantes, eléctricos o mecánicos. En los sistemas eléctricos, la energía almacenada es la suma de las energías almacenadas en inductores y capacitores sin pérdidas; la energía perdida es la suma de las energías disipadas en resistencias por ciclo. En los sistemas mecánicos, la energía almacenada es la suma de las energías potencial y cinética en algún momento; la energía perdida es el trabajo realizado por una fuerza externa, por ciclo, para mantener la amplitud.

De manera más general y en el contexto de la especificación de componentes reactivos (especialmente inductores), se utiliza la definición dependiente de la frecuencia de Q:

{displaystyle Q(omega)=omega times {frac {text{maximum energy stored}}{text{power loss}}},}

donde ω es la frecuencia angular a la que se miden la energía almacenada y la pérdida de potencia. Esta definición es consistente con su uso en la descripción de circuitos con un solo elemento reactivo (capacitor o inductor), donde se puede demostrar que es igual a la relación entre la potencia reactiva y la potencia real. (Ver Componentes reactivos individuales.)

Factor Q y amortiguamiento

El factor Q determina el comportamiento cualitativo de los osciladores amortiguados simples. (Para obtener detalles matemáticos sobre estos sistemas y su comportamiento, consulte el oscilador armónico y el sistema lineal invariante en el tiempo (LTI).)

Un sistema con factor de baja calidad ()Q.1.2) se dice que overdamped. Tal sistema no oscila en absoluto, pero cuando se desplaza de su equilibrio de salida de estado estable vuelve a él por decadencia exponencial, acercando el valor de estado estable asintomáticamente. Tiene una respuesta de impulso que es la suma de dos funciones exponenciales decadentes con diferentes tasas de decadencia. A medida que el factor de calidad disminuye el modo de desintegración más lento se vuelve más fuerte en relación con el modo más rápido y domina la respuesta del sistema dando lugar a un sistema más lento. Un filtro de baja velocidad de segundo orden con un factor de calidad muy bajo tiene una respuesta paso casi de primer orden; la salida del sistema responde a una entrada de paso aumentando lentamente hacia un asinto.
Un sistema con factor de alta calidad ()Q■1.2) se dice que infradamped. Los sistemas subdampados combinan oscilación a una frecuencia específica con una decaimiento de la amplitud de la señal. Sistemas infradamped con un factor de baja calidad (un poco arriba) Q =1.2) puede oscilar sólo una o varias veces antes de morir. A medida que aumenta el factor de calidad, la cantidad relativa de amortiguación disminuye. Anillos de campana de alta calidad con un solo tono puro durante mucho tiempo después de ser golpeado. Un sistema puramente oscilatorio, como una campana que suena para siempre, tiene un factor de calidad infinita. Más generalmente, la salida de un filtro de paso bajo de segundo orden con un factor de calidad muy alta responde a una entrada paso aumentando rápidamente por encima, oscilando alrededor, y eventualmente convergendo a un valor de estado estable.
Un sistema con un factor de calidad intermedio ()Q=1.2) se dice que críticamente húmedo. Como un sistema overdamped, la salida no oscila, y no sobresuelve su salida de estado estable (es decir, se acerca a un asinto de estado estable). Como una respuesta insuficiente, la salida de dicho sistema responde rápidamente a una entrada de paso de la unidad. El amortiguamiento crítico resulta en la respuesta más rápida (aproximadamente al valor final) posible sin sobresueldo. Las especificaciones reales del sistema generalmente permiten algunos overshoot para una respuesta inicial más rápida o requieren una respuesta inicial más lenta para proporcionar un margen de seguridad contra la resolución excesiva.

En los sistemas de retroalimentación negativa, la respuesta de circuito cerrado dominante a menudo está bien modelada por un sistema de segundo orden. El margen de fase del sistema de bucle abierto establece el factor de calidad Q del sistema de bucle cerrado; a medida que disminuye el margen de fase, el sistema de circuito cerrado de segundo orden aproximado se vuelve más oscilatorio (es decir, tiene un factor de calidad más alto).

Algunos ejemplos

Una topología de filtro de bajapasa Sallen-Key con condensadores iguales y resistores iguales se amortigua críticamente (es decir, Q = 1.2).
Un filtro Bessel de segunda orden (es decir, filtro de tiempo continuo con retraso de grupo más plano) tiene una subdifusión Q = 1.√3.
Un filtro Butterworth de segunda orden (es decir, filtro de tiempo continuo con la respuesta más plana de la frecuencia de la banda) tiene un subdampedado Q = 1.√2.
El factor Q de un péndulo es: ${textstyle Q={Momega }/{Gamma }}$ , donde M es la masa del bob, ω = 2π/T es la frecuencia radiante del péndulo de la oscilación, y la luminaria es la fuerza de amortiguación friccional en el péndulo por velocidad de unidad.
El diseño de un gyrotron de alta energía (cerca de THz) considera tanto el factor Q difractivo, ${textstyle Q_{D}approx 30left({frac {L}{lambda }}right)^{2}}$ como función de la longitud del resonador (L) y longitud de onda ( $lambda$ ), y ohmic Q-factor ( ${displaystyle TE_{m,p}}$ –modes)
${displaystyle Q_{Omega }={frac {R_{w}}{delta }}{frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}}}$ ,
Donde $R_w$ es el radio de la pared de la cavidad, $delta$ es la profundidad de la piel de la pared de la cavidad, ${displaystyle V_{m.p}}$ es el escalar eigenvalue (m es índice de azimut, p es índice radial; en esta aplicación, la profundidad de la piel es ${textstyle delta ={1}/{sqrt {pi fsigma u_{o}}}}$ )
En la ultrasonografía médica, un transductor con un Q-factor alto es adecuado para la ultrasonografía doppler debido a su largo tiempo de redondeo, donde puede medir las velocidades del flujo sanguíneo. Mientras tanto, un transductor con un factor Q bajo tiene un corto tiempo de redondeo y es adecuado para la imagen de órgano porque puede recibir una amplia gama de ecos reflejados de órganos corporales.

Interpretación física

Físicamente hablando, Q es aproximadamente la relación entre la energía almacenada y la energía disipada en un radián de la oscilación; o casi equivalentemente, a valores de Q lo suficientemente altos, 2π veces la relación entre la energía total almacenada y la energía perdida en un solo ciclo.

Es un parámetro adimensional que compara la constante de tiempo exponencial $τ$ para el decaimiento de la amplitud de un sistema físico oscilante con su período de oscilación. De manera equivalente, compara la frecuencia a la que oscila un sistema con la velocidad a la que disipa su energía. Más precisamente, la frecuencia y el período utilizados deben basarse en la frecuencia natural del sistema, que a valores bajos de Q es algo más alta que la frecuencia de oscilación medida por los cruces por cero.

De manera equivalente (para valores grandes de Q), el factor Q es aproximadamente el número de oscilaciones requeridas para que la energía de un sistema que oscila libremente caiga a e^−2π, o sobre 1⁄535 o 0.2%, de su energía original. Esto significa que la amplitud cae a aproximadamente e^−π o 4% de su amplitud original.

El ancho (ancho de banda) de la resonancia viene dado por (aproximadamente):

{displaystyle Delta f={frac {f_{mathrm {N} }}{Q}},,}

donde f_N es la frecuencia natural, y Δf, el ancho de banda, es el ancho del rango de frecuencias para el cual el la energía es al menos la mitad de su valor máximo.

La frecuencia de resonancia a menudo se expresa en unidades naturales (radianes por segundo), en lugar de usar la f_N en hercios, como

{displaystyle omega _{mathrm {N} }=2pi f_{mathrm {N} }.}

Los factores Q, la relación de amortiguamiento ζ, la frecuencia natural ω_N, la tasa de atenuación α y la constante de tiempo exponencial $τ$ están relacionados de tal manera que:

{displaystyle Q={frac {1}{2zeta }}={frac {omega _{mathrm {N} }}{2alpha }}={frac {tau omega _{mathrm {N} }}{2}},}

y la relación de amortiguamiento se puede expresar como:

{displaystyle zeta ={frac {1}{2Q}}={alpha over omega _{mathrm {N} }}={1 over tau omega _{mathrm {N} }}.}

La envolvente de oscilación decae proporcionalmente a e^−αt o e^{−t/ $τ$}, donde α y $τ$ se pueden expresar como:

{displaystyle alpha ={omega _{mathrm {N} } over 2Q}=zeta omega _{mathrm {N} }={1 over tau }}

{displaystyle tau ={2Q over omega _{mathrm {N} }}={1 over zeta omega _{mathrm {N} }}={frac {1}{alpha }}.}

La energía de oscilación, o la disipación de potencia, decae el doble de rápido, es decir, el cuadrado de la amplitud, como e^−2αt o e^{−2t/ $τ$}.

Para un filtro de paso bajo de dos polos, la función de transferencia del filtro es

{displaystyle H(s)={frac {omega _{mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+underbrace {frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}} _{2zeta omega _{mathrm {N} }=2alpha }s+omega _{mathrm {N} }^{2}}},}

Para este sistema, cuando Q > 1⁄2 (es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dos polos conjugados complejos que tienen cada uno una parte real de −α. Es decir, el parámetro de atenuación α representa la tasa de caída exponencial de las oscilaciones (es decir, de la salida después de un impulso) en el sistema. Un factor de calidad más alto implica una tasa de atenuación más baja, por lo que los sistemas de alta Q oscilan durante muchos ciclos. Por ejemplo, las campanas de alta calidad tienen un tono sinusoidal aproximadamente puro durante mucho tiempo después de haber sido golpeadas por un martillo.

Tipo de filtro (2a orden)	Función de transferencia
Lowpass	${displaystyle H(s)={frac {omega _{mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+omega _{mathrm {N} }^{2}}}}$
Bandpass	${displaystyle H(s)={frac {{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+omega _{mathrm {N} }^{2}}}}$
Notch (bandstop)	${displaystyle H(s)={frac {s^{2}+omega _{mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+omega _{mathrm {N} }^{2}}}}$
Highpass	${displaystyle H(s)={frac {s^{2}}{s^{2}+{frac {omega _{mathrm {N} }}{Q}}s+omega _{mathrm {N} }^{2}}}}$

Sistemas eléctricos

Un gráfico de la magnitud de ganancia de un filtro, que ilustra el concepto de −3 dB a una ganancia de voltaje de 0.707 o ancho de banda de media potencia. El eje de frecuencia de este diagrama simbólico puede ser lineal o logarítmicamente escalado.

Para un sistema eléctricamente resonante, el factor Q representa el efecto de la resistencia eléctrica y, para los resonadores electromecánicos como los cristales de cuarzo, la fricción mecánica.

Relación entre Q y ancho de banda

El ancho de banda bilateral relativo a una frecuencia resonante de F₀ Hz es F₀/Q.

Por ejemplo, una antena sintonizada para tener un valor Q de 10 y una frecuencia central de 100 kHz tendría un ancho de banda de 3 dB de 10 kHz.

En audio, el ancho de banda suele expresarse en términos de octavas. Entonces la relación entre Q y el ancho de banda es

{displaystyle Q={frac {2^{frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={frac {1}{2sinh left({frac {1}{2}}ln(2)BWright)}},}

donde BE es el ancho de banda en octavas.

Circuitos RLC

En un circuito RLC en serie ideal y en un receptor de radiofrecuencia sintonizado (TRF), el factor Q es:

{displaystyle Q={frac {1}{R}}{sqrt {frac {L}{C}}}={frac {omega _{0}L}{R}}={frac {1}{omega _{0}RC}}}

donde R, L y C son la resistencia, la inductancia y la capacitancia del circuito sintonizado, respectivamente. Cuanto mayor sea la resistencia en serie, menor será el Q del circuito.

Para un circuito paralelo RLC, el factor Q es el inverso del caso de la serie:

{displaystyle Q=R{sqrt {frac {C}{L}}}={frac {R}{omega _{0}L}}=omega _{0}RC}

Considere un circuito donde R, L y C están todos en paralelo. Cuanto menor sea la resistencia en paralelo, más efecto tendrá en la amortiguación del circuito y, por lo tanto, menor será el Q. Esto es útil en el diseño de filtros para determinar el ancho de banda.

En un circuito paralelo LC donde la pérdida principal es la resistencia del inductor, R, en serie con la inductancia, L, Q es como en el circuito en serie. Esta es una circunstancia común para los resonadores, donde el resultado deseado es limitar la resistencia del inductor para mejorar Q y reducir el ancho de banda.

Componentes reactivos individuales

La Q de un componente reactivo individual depende de la frecuencia a la que se evalúa, que suele ser la frecuencia de resonancia del circuito en el que se utiliza. La Q de un inductor con una resistencia de pérdida en serie es el Q de un circuito resonante que usa ese inductor (incluyendo su pérdida en serie) y un capacitor perfecto.

Q_{L}={frac {X_{L}}{R_{L}}}={frac {omega _{0}L}{R_{L}}}

donde:

⋅₀ es la frecuencia de resonancia en radians por segundo,
L es la inductancia,
X_L es la reacción inductiva, y
R_L es la resistencia de la serie del ductor.

El Q de un capacitor con una resistencia de pérdida en serie es el mismo que el Q de un circuito resonante que usa ese capacitor con un inductor perfecto:

{displaystyle Q_{C}={frac {-X_{C}}{R_{C}}}={frac {1}{omega _{0}CR_{C}}}}

donde:

⋅₀ es la frecuencia de resonancia en radians por segundo,
C es la capacitancia,
X_C es la reacción capacitiva, y
R_C es la resistencia de la serie del condensador.

En general, el Q de un resonador que involucra una combinación en serie de un capacitor y un inductor se puede determinar a partir de los valores de Q de los componentes, ya sea que sus pérdidas provengan de la resistencia en serie o de otro modo:

{displaystyle Q={frac {1}{{frac {1}{Q_{L}}}+{frac {1}{Q_{C}}}}}}

Sistemas mecánicos

Para un solo sistema de masa-resorte amortiguado, el factor Q representa el efecto del amortiguamiento viscoso simplificado o arrastre, donde la fuerza de amortiguamiento o fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad. La fórmula para el factor Q es:

{displaystyle Q={frac {sqrt {Mk}}{D}},,}

donde M es la masa, k es la constante del resorte y D es el coeficiente de amortiguamiento, definido por la ecuación F_{amortiguación} = −Dv, donde v es la velocidad.

Sistemas acústicos

La Q de un instrumento musical es fundamental; una Q excesivamente alta en un resonador no amplificará uniformemente las múltiples frecuencias que produce un instrumento. Por esta razón, los instrumentos de cuerda suelen tener cuerpos con formas complejas, por lo que producen una amplia gama de frecuencias de manera bastante uniforme.

La Q de un instrumento de metal o de viento debe ser lo suficientemente alta como para seleccionar una frecuencia del zumbido de espectro más amplio de los labios o la lengüeta. Por el contrario, una vuvuzela está hecha de plástico flexible y, por lo tanto, tiene una Q muy baja para un instrumento de metal, lo que le da un tono turbio y entrecortado. Los instrumentos hechos de plástico más rígido, latón o madera tienen una Q más alta. Una Q excesivamente alta puede dificultar tocar una nota. Q en un instrumento puede variar entre frecuencias, pero esto puede no ser deseable.

Los resonadores de Helmholtz tienen una Q muy alta, ya que están diseñados para seleccionar un rango de frecuencias muy estrecho.

Sistemas ópticos

En óptica, el factor Q de una cavidad resonante viene dado por

{displaystyle Q={frac {2pi f_{o},E}{P}},,}

donde f_o es la frecuencia de resonancia, E es la energía almacenada en la cavidad y P = −dE/dt es el poder disipado. El Q óptico es igual a la relación entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda de la resonancia de la cavidad. El tiempo de vida promedio de un fotón resonante en la cavidad es proporcional al Q de la cavidad. Si el factor Q de la cavidad de un láser cambia abruptamente de un valor bajo a uno alto, el láser emitirá un pulso de luz mucho más intenso que el del láser. s salida continua normal. Esta técnica se conoce como Q-switching. El factor Q es de particular importancia en plasmónica, donde la pérdida está relacionada con la amortiguación de la resonancia del plasmón superficial. Si bien la pérdida normalmente se considera un obstáculo en el desarrollo de dispositivos plasmónicos, es posible aprovechar esta propiedad para presentar nuevas funcionalidades mejoradas.

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