Extensión de campo

En matemáticas, particularmente en álgebra, a extensión es un par de campos ${displaystyle Esubseteq F,}$ tales que las operaciones de E son los de F restringidos E. En este caso, F es un extensión sobre el terreno de E y E es un subcampo de F. Por ejemplo, bajo las nociones habituales de adición y multiplicación, los números complejos son un campo de extensión de los números reales; los números reales son un subcampo de los números complejos.

Las extensiones de campo son fundamentales en la teoría algebraica de números y en el estudio de raíces polinómicas a través de la teoría de Galois, y se utilizan ampliamente en geometría algebraica.

Subcampo

A subcampo ${displaystyle K}$ de un campo ${displaystyle L.$ es un subconjunto ${displaystyle Ksubseteq L.$ que es un campo con respecto a las operaciones sobre el terreno heredadas ${displaystyle L.$. Equivalentemente, un subcampo es un subconjunto que contiene ${displaystyle 1}$, y se cierra bajo las operaciones de adición, resta, multiplicación, y tomando el inverso de un elemento no cero de ${displaystyle K}$.

As 1 – 1 = 0, la última definición implica ${displaystyle K}$ y ${displaystyle L.$ tienen el mismo elemento cero.

Por ejemplo, el campo de los números racionales es un subcampo de los números reales, que es en sí mismo un subcampo de los números complejos. Más generalmente, el campo de los números racionales es (o es isomorfo a) un subcampo de cualquier campo de características ${displaystyle 0}$.

La característica de un subcampo es la misma que la característica del campo más grande.

Campo de extensión

Si K es un subcampo de L, entonces L es un campo de extensión o simplemente extensión de K, y este par de campos es una extensión de campo. Tal extensión de campo se denota L / K (leído como "L sobre K").

Si L es una extensión de F, que a su vez es una extensión de K, entonces F se dice que es un campo intermedio (o extensión intermedia o subextensión) de L / K< /i>.

Dada una extensión de campo L / K, el campo más grande L es un K-espacio vectorial. La dimensión de este espacio vectorial se denomina grado de extensión y se denota por [L: K].

El grado de una extensión es 1 si y solo si los dos campos son iguales. En este caso, la extensión es una extensión trivial. Las extensiones de grado 2 y 3 se denominan extensiones cuadráticas y extensiones cúbicas, respectivamente. Una extensión finita es una extensión que tiene un grado finito.

Dadas dos extensiones L / K y M / L, la extensión M / K es finita si y solo si tanto L / K como M / L son finitos. En este caso, uno tiene

${displaystyle [M:K]=[M:L]cdot [L:K].$

Dada una extensión sobre el terreno L / K y un subconjunto S de L, hay un subcampo más pequeño L que contiene K y S. Es la intersección de todos los subcampos de L que contienen K y S, y es denotado por K()S). Uno dice que K()S) es el campo generados por S sobre K, y eso S es un conjunto generador de K()S) K. Cuando ${displaystyle S={x_{1},ldotsx_{n}}$ es finito, uno escribe ${displaystyle K(x_{1},ldotsx_{n}}$ en lugar de ${displaystyle K({x_{1},ldotsx_{n}}}}$ y uno dice que K()S) es finitamente generado sobre K. Si S consiste en un único elemento s, la extensión K()s) K se llama una extensión simple y s se llama un elemento primitivo de la extensión.

Se suele decir que un campo de extensión de la forma K(S) resulta de < span class="vanchor">adjunción de S a K.

En la característica 0, toda extensión finita es una extensión simple. Este es el teorema del elemento primitivo, que no se cumple para campos de característica distinta de cero.

Si una extensión simple K(s) / K no es finita, el campo K(s) es isomorfo al campo de las fracciones racionales en s sobre K.

Advertencias

La notación L / K es puramente formal y no implica la formación de un anillo de cociente o grupo de cociente o cualquier otro tipo de división. En cambio, la barra inclinada expresa la palabra "sobre". En alguna literatura se utiliza la notación L:K.

A menudo es deseable hablar de extensiones de campo en situaciones en las que el campo pequeño no está realmente contenido en el más grande, sino que está incrustado de forma natural. Para este propósito, se define abstractamente una extensión de campo como un homomorfismo de anillo inyectivo entre dos campos. Todo homomorfismo de anillo distinto de cero entre campos es inyectivo porque los campos no poseen ideales propios no triviales, por lo que las extensiones de campo son precisamente los morfismos en la categoría de campos.

De ahora en adelante, suprimiremos el homomorfismo inyectivo y supondremos que estamos tratando con subcampos reales.

Ejemplos

El campo de los números complejos ${displaystyle mathbb {C}$ es un campo de extensión del campo de números reales ${displaystyle mathbb {R}$, y ${displaystyle mathbb {R}$ a su vez es un campo de extensión del campo de números racionales ${displaystyle mathbb {Q}$. Claramente entonces, ${displaystyle mathbb {C}Mathbb {Q}$ es también una extensión de campo. Tenemos ${displaystyle [Mathbb {C}: {R}=2}$ porque ${displaystyle {1,i}}$ es una base, por lo que la extensión ${displaystyle mathbb {C} {R}$ es finito. Esta es una extensión simple porque ${displaystyle mathbb {C} =mathbb {R} (i).}$ ${displaystyle [Mathbb {R]: {Q}={mthfrak {c}$ (el cardenalismo del continuum), por lo que esta extensión es infinita.

El campo

${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2})=left{a+b{sqrt {2}mid a,bin mathbb {Q} right}}$

es un campo de extensión ${displaystyle mathbb {Q}$ también claramente una extensión simple. El grado es 2 porque ${displaystyle left{1,{sqrt {2}right}}$ puede servir de base.

El campo

${displaystyle {begin{aligned}mathbb {Q} left({sqrt {2},{sqrt {3}right) {=mathbb {Q} left({sqrt {2}}right)left({sqrt {3}right)\cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00} {Q} left({sqrt {2}right)derecha}\\\fnMicrosoft\sqrt {2}+c{sqrt {3}+d{sqrt {6}mid a,b,c,din mathbb {Q} right},end{aligned}}}$

es un campo de extensión de ambos ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2})}$ y ${displaystyle mathbb {Q}$ de grado 2 y 4 respectivamente. También es una extensión simple, ya que se puede mostrar que

${displaystyle {begin{aligned}mathbb {Q} {fn} {fnK}} {fnK}} {fnK} {fnK}} {fn} {fnK}}} {fn}}} {fnK}} {fnK}} {f}} {f}}}}} {fnfnf}}}} {Q} {fn}+{sqrt {3})\\\\fnK}\\cH00\\cH00}\\cH00cH00}\cH00}\\cH00}\\cH00cH00}\cH00cH0}\\\cH00cH0}\cH00}\cH00}\\\cH00cH00cH00cH00cH00cH00}\\cH00}\\cH00}\\cH00cH00cH00}cH00\\cH00}\cH00\cH00\\\cH00}cH00}cH00\\\cH00}\\cH00}\\cH {2}+{sqrt {3})+c({sqrt {2}+{sqrt {3}})^{2}+d({sqrt {2}+{sqrt {3}})^{3}mid a,b,c,din mathbb {Q} right}.end{aligned}}}}}}}}}}}}}}} {2}}}}}}}}+{c} {}}} {}}}}}}}}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {cccsqcccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc$

Extensiones finitas de ${displaystyle mathbb {Q}$ también se llaman campos número algebraico y son importantes en la teoría de números. Otro campo de extensión de los racionales, que también es importante en la teoría de números, aunque no una extensión finita, es el campo de los números p-adic ${displaystyle mathbb {Q} _{p}$ para un número primo p.

Es común construir un campo de extensión de un campo dado K como anillo cociente del anillo polinomio K[X] para "crear" una raíz para un polinomio dado f()X). Supongamos por ejemplo que K no contiene ningún elemento x con x² = −1. Entonces el polinomio ${displaystyle X^{2}+1}$ es irreducible en K[X], consecuentemente el ideal generado por este polinomio es maximal, y ${displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$ es un campo de extensión K que ¿Sí? contiene un elemento cuyo cuadrado es −1 (nombre de la clase de residuos X).

Al iterar la construcción anterior, se puede construir un campo de división de cualquier polinomio de K[X]. Este es un campo de extensión L de K en el que el polinomio dado se divide en un producto de factores lineales.

Si p es cualquier número primo y n es un entero positivo, tenemos un campo finito GF(pⁿCon pⁿ elementos; este es un campo de extensión del campo finito ${displaystyle operatorname {GF}(p)=mathbb {Z} /pMathbb {Z}$ con p elementos.

Dado un campo K, podemos considerar el campo K(X) de todas las funciones racionales en la variable X< /i> con coeficientes en K; los elementos de K(X) son fracciones de dos polinomios sobre K, y de hecho K( X) es el campo de fracciones del anillo polinomial K[X]. Este campo de funciones racionales es un campo de extensión de K. Esta extensión es infinita.

Dada una superficie Riemann M, el conjunto de todas las funciones meromorfológicas definidas en M es un campo, denotado por ${displaystyle mathbb {C} (M).}$ Es un campo de extensión trascendental ${displaystyle mathbb {C}$ si identificamos cada número complejo con la función constante correspondiente definida en M. Más generalmente, dada una variedad algebraica V sobre algunos campos K, entonces el campo de función de V, que consiste en las funciones racionales definidas V y denotado por K()V), es un campo de extensión de K.

Extensión algebraica

Un elemento x de una extensión sobre el terreno L / K es algebraico sobre K si es una raíz de un polinomio no cero con coeficientes en K. Por ejemplo, ${displaystyle {sqrt {2}}$ es algebraico sobre los números racionales, porque es una raíz de ${displaystyle x^{2}-2.}$ Si un elemento x de L es algebraico sobre K, el polinomio monico de menor grado que tiene x como raíz se llama el polinomio mínimo x. Este mínimo polinomio es irreducible K.

Un elemento s de L es algebraico sobre K si y sólo si la extensión simple K()s)K es una extensión finita. En este caso el grado de extensión equivale al grado del mínimo polinomio, y una base del K- Espacio de vehículos K()s) consta de ${displaystyle 1,s,s^{2},ldotss^{d-1}$ Donde d es el grado del mínimo polinomio.

El conjunto de los elementos de L que son algebraicos sobre K forman una subextensión, que se denomina cierre algebraico de K en < i>L. Esto resulta de la caracterización anterior: si s y t son algebraicas, las extensiones K( s) /K y K(s)( t) /K(s) son finitos. Así K(s, t) /K es también finito, así como las subextensiones K(s ± t) /K< /i>, K(st) /K y K(1/s) /K (si < i>s ≠ 0). De ello se deduce que s ± t, st y 1/s son todos algebraicos.

An extensión algebraica L / K es una extensión tal que cada elemento de L es algebraico sobre K. Equivalentemente, una extensión algebraica es una extensión que se genera por elementos algebraicos. Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2},{sqrt {3}}}$ es una extensión algebraica de ${displaystyle mathbb {Q}$, porque ${displaystyle {sqrt {2}}$ y ${displaystyle {sqrt {3}}$ son algebraica sobre ${displaystyle mathbb {Q}$

Una extensión simple es algebraica si y solo si es finita. Esto implica que una extensión es algebraica si y sólo si es la unión de sus subextensiones finitas, y que toda extensión finita es algebraica.

Cada campo K tiene un cierre algebraico, que es hasta un isomorfismo el campo de extensión más grande K que es algebraico sobre K, y también el campo de extensión más pequeño tal que cada polinomio con coeficientes en K tiene una raíz. Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {C}$ es un cierre algebraico ${displaystyle mathbb {R}$, pero no un cierre algebraico ${displaystyle mathbb {Q}$, como no es algebraico sobre ${displaystyle mathbb {Q}$ (por ejemplo π no es algebraico sobre ${displaystyle mathbb {Q}$).

Extensión trascendental

Ver grado de trascendencia para ejemplos y discusión más extensa de extensiones trascendentales.

Dada una extensión de campo L / K, un subconjunto S de L se llama algebraicamente independiente sobre K si no existe una relación polinomial no trivial con coeficientes en K entre los elementos de S. La cardinalidad más grande de un conjunto algebraicamente independiente se denomina grado de trascendencia de L/K. Siempre es posible encontrar un conjunto S, algebraicamente independiente sobre K, tal que L/K(< i>S) es algebraica. Tal conjunto S se llama base de trascendencia de L/K. Todas las bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia de la extensión. Se dice que una extensión L/K es puramente trascendental si y solo si existe una base de trascendencia S de L/ K tal que L = K(S). Tal extensión tiene la propiedad de que todos los elementos de L excepto los de K son trascendentales sobre K, pero, sin embargo, hay extensiones con esto propiedad que no son puramente trascendentales: una clase de tales extensiones toma la forma L/K donde tanto L como K son algebraicamente cerrados. Además, si L/K es puramente trascendental y S es una base de trascendencia de la extensión, no se sigue necesariamente que L = K(S).

Por ejemplo, considere la extensión ${displaystyle mathbb {Q} (x,{sqrt {x})/mathbb {Q}$ Donde x es trascendental ${displaystyle mathbb {Q}$ El set ${displaystyle {x}}$ es algebraicamente independiente desde x es trascendental. Obviamente, la extensión ${displaystyle mathbb {Q} (x,{sqrt {x})/mathbb {Q} (x)}$ es algebraico, por lo tanto ${displaystyle {x}}$ es una base de trascendencia. No genera toda la extensión porque no hay expresión polinomio en ${displaystyle x}$ para ${displaystyle {sqrt {x}}$. Pero es fácil ver que ${displaystyle {sqrt {x}}}$ es una base de trascendencia que genera ${displaystyle mathbb {Q} (x,{sqrt {x}}),}$ así que esta extensión es puramente trascendental.

Extensiones normales, separables y Galois

Una extensión algebraica L/K se llama normal si todo polinomio irreducible en K[X] que tiene una raíz en L se factoriza completamente en factores lineales sobre L. Toda extensión algebraica F/K admite una clausura normal L, que es un campo de extensión de F tal que < i>L/K es normal y que es mínimo con esta propiedad.

Una extensión algebraica L/K se llama separable si el polinomio mínimo de cada elemento de L sobre K es separable, es decir, no tiene raíces repetidas en un cierre algebraico sobre K. Una extensión de Galois es una extensión de campo que es a la vez normal y separable.

Una consecuencia del teorema del elemento primitivo establece que toda extensión separable finita tiene un elemento primitivo (es decir, es simple).

Dada cualquier extensión de campo L/K, podemos considerar su grupo de automorfismos Aut(L/< i>K), que consta de todos los automorfismos de campo α: L → L con α(x) = x para todo x en K. Cuando la extensión es Galois, este grupo de automorfismos se denomina grupo de Galois de la extensión. Las extensiones cuyo grupo de Galois es abeliano se denominan extensiones abelianas.

Para una extensión de campo determinada L/K, uno suele estar interesado en los campos intermedios F (subcampos de L< /i> que contienen K). La importancia de las extensiones de Galois y los grupos de Galois es que permiten una descripción completa de los campos intermedios: existe una biyección entre los campos intermedios y los subgrupos del grupo de Galois, descrita por el teorema fundamental de la teoría de Galois.

Generalizaciones

Las extensiones de campo se pueden generalizar a extensiones de anillo que constan de un anillo y uno de sus subanillos. Un análogo no conmutativo más cercano son las álgebras simples centrales (CSA): extensiones de anillos sobre un campo, que son álgebra simple (sin ideales de dos lados no triviales, como para un campo) y donde el centro del anillo es exactamente el campo. Por ejemplo, la única extensión de campo finito de los números reales son los números complejos, mientras que los cuaterniones son un álgebra simple central sobre los reales, y todos los CSA sobre los reales son equivalentes de Brauer a los reales o los cuaterniones. Los CSA se pueden generalizar aún más a las álgebras de Azumaya, donde el campo base se reemplaza por un anillo local conmutativo.

Extensión de escalares

Dada una extensión de campo, uno puede "extender escalares" en objetos algebraicos asociados. Por ejemplo, dado un espacio vectorial real, se puede producir un espacio vectorial complejo a través de la complejización. Además de los espacios vectoriales, se pueden realizar extensiones de escalares para álgebras asociativas definidas sobre el campo, como polinomios o álgebras de grupo y las representaciones de grupo asociadas. La extensión de escalares de polinomios a menudo se usa implícitamente, al considerar los coeficientes como elementos de un campo más grande, pero también se puede considerar de manera más formal. La extensión de escalares tiene numerosas aplicaciones, como se discutió en extensión de escalares: aplicaciones.