Extensión algebraica

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Ampliación de un campo matemático con raíces polinómicas

En matemáticas, una extensión algebraica es una extensión de campo $L / K$ tal que cada elemento del campo más grande $L$ es algebraico sobre el campo más pequeño $K$ ; es decir, si cada elemento de $L$ es una raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en $K$ . Una extensión de campo que no es algebraica se dice que es trascendental y debe contener elementos trascendentales, es decir, elementos que no son algebraicos.

Las extensiones algebraicas del campo $mathbb {Q}$ de los números racionales se llaman campos número algebraico y son los principales objetos de estudio de la teoría del número algebraico. Otro ejemplo de una extensión algebraica común es la extensión ${displaystyle mathbb {C} /mathbb {R} }$ de los números reales por los números complejos.

Algunas propiedades

Todas las extensiones trascendentales son de grado infinito. Esto a su vez implica que todas las extensiones finitas son algebraicas. Sin embargo, lo contrario no es cierto: hay extensiones infinitas que son algebraicas. Por ejemplo, el campo de todos los números algebraicos es una extensión algebraica infinita de los números racionales.

Sea E un campo de extensión de K, y a ∈ E. Si a es algebraico sobre K, entonces K(a), el conjunto de todos los polinomios en a con coeficientes en K, no es solo un anillo sino un campo: K(a) es una extensión algebraica de K que tiene un grado finito sobre K. Lo contrario no es cierto. Q[π] y Q[e] son campos pero π y e son trascendentales sobre Q.

Un campo algebraicamente cerrado F no tiene extensiones algebraicas propias, es decir, no tiene extensiones algebraicas E con F < E. Un ejemplo es el campo de los números complejos. Cada campo tiene una extensión algebraica que es algebraicamente cerrada (llamada su cierre algebraico), pero probar esto en general requiere alguna forma del axioma de elección.

Una extensión L/K es algebraica si y solo si cada subálgebra K de L es un campo

Propiedades

Las siguientes tres propiedades se cumplen:

Si E es una extensión algebraica de F y F es una extensión algebraica de K entonces E es una extensión algebraica de K.
Si E y F son extensiones algebraicas de K en un campo común C, entonces el compositum EF es una extensión algebraica de K.
Si E es una extensión algebraica de F y E ■ K ■ F entonces E es una extensión algebraica de K.

Estos resultados finitos se pueden generalizar mediante inducción transfinita:

La unión de cualquier cadena de extensiones algebraicas sobre un campo base es en sí misma una extensión algebraica sobre el mismo campo base.

Este hecho, junto con el lema de Zorn (aplicado a una poset apropiadamente elegida), establece la existencia de clausuras algebraicas.

Generalizaciones

La teoría de modelos generaliza la noción de extensión algebraica a teorías arbitrarias: una incrustación de M en N se denomina extensión algebraica si para cada x en N hay una fórmula p con parámetros en M, tal que p(x) es verdadero y el conjunto

{displaystyle left{yin Nmid p(y)right}}

es finito. Resulta que la aplicación de esta definición a la teoría de campos da la definición habitual de extensión algebraica. El grupo de Galois de N sobre M se puede definir nuevamente como el grupo de automorfismos, y resulta que la mayor parte de la teoría de los grupos de Galois se puede desarrollar para el caso general.

Cierres algebraicos relativos

Dado un campo k y un campo K que contiene k, se define el cierre algebraico relativo de k en K para ser el subcampo de K que consta de todos los elementos de K que son algebraicos sobre k , es decir, todos los elementos de K que son raíz de algún polinomio distinto de cero con coeficientes en k.

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