Extensión Alexandroff

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En el campo matemático de la topología, la extensión de Alexandroff es una forma de extender un espacio topológico no compacto uniendo un solo punto de tal manera que el espacio resultante sea compacto. Lleva el nombre del matemático ruso Pavel Alexandroff. Más precisamente, sea X un espacio topológico. Entonces la extensión de Alexandroff de X es cierto espacio compacto X* junto con una incrustación abierta c: X → X* tal que el complemento de X en X* consta de un único punto, normalmente denominado ∞. El mapa c es una compactación de Hausdorff si y solo si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto, no compacto. Para tales espacios, la extensión de Alexandroff se denomina compactación de un punto o compactación de Alexandroff. Las ventajas de la compactación de Alexandroff radican en su estructura simple, a menudo geométricamente significativa, y en el hecho de que, en un sentido preciso, es mínima entre todas las compactaciones; la desventaja radica en el hecho de que solo proporciona una compactación de Hausdorff en la clase de espacios de Hausdorff no compactos localmente compactos, a diferencia de la compactación de Stone-Čech que existe para cualquier espacio topológico (pero proporciona una incrustación exactamente para los espacios de Tychonoff).

Ejemplo: proyección estereográfica inversa

Un ejemplo geométricamente atractivo de compactación de un punto es dado por la proyección estereográfica inversa. Recordemos que la proyección estereográfica S da un homeomorfismo explícito de la esfera unidad menos el polo norte (0,0,1) al plano Euclideano. La proyección estereográfica inversa $S^{{-1}}:{mathbb {R}}^{2}hookrightarrow S^{2}$ es un espacio abierto, denso que se incrusta en un espacio compacto Hausdorff obtenido al unir el punto adicional $infty =(0,0,1)$ . Bajo la proyección estereográfica círculos latitudinales $z=c$ ser mapeado a los círculos de planar ${textstyle r={sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ . Sigue que la base de barrio eliminada $(0,0,1)$ dadas por las puntuadas capas esféricas $<math alttext="{displaystyle cleq zc\leq \leq z.1{displaystyle cleq z obedeció] <img alt="cleq z$ corresponde a los complementos de discos de planos cerrados ${textstyle rgeq {sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ . Más cualitativamente, una base de barrio $infty$ está amueblado por los conjuntos $S^{{-1}}({mathbb {R}}^{2}setminus K)cup {infty }$ como K rangos a través de los subconjuntos compactos de $mathbb {R} ^{2}$ . Este ejemplo ya contiene los conceptos clave del caso general.

Motivación

Vamos $c:Xhookrightarrow Y$ ser una incrustación de un espacio topológico X a un espacio topológico compacto Hausdorff Y, con imagen densa y un punto restante ${infty }=Ysetminus c(X)$ . Entonces... c()X) está abierto en un espacio compacto Hausdorff así que es localmente compacto Hausdorff, por lo tanto su preimage homeomorfo X es también Hausdorff compacto localmente. Además, si X fueron compactos entonces c()X) estaría cerrado Y y por lo tanto no denso. Así un espacio sólo puede admitir una compactación de un punto de Hausdorff si es localmente compacta, no compacta y Hausdorff. Además, en una compactación de un solo punto la imagen de una base vecinal para x dentro X da una base para el vecindario c()xEn c()X), y -porque un subconjunto de un espacio compacto Hausdorff es compacto si y sólo si está cerrado - los barrios abiertos de $infty$ debe ser todos los conjuntos obtenidos por $infty$ a la imagen bajo c de un subconjunto X con complemento compacto.

La ampliación de Alexandroff

Put $X^{*}=Xcup {infty }$ , y topologize $X^{*}$ tomando como conjunto abierto todos los subconjuntos abiertos U de X junto con todos los conjuntos ${displaystyle V=(Xsetminus C)cup {infty }}$ Donde C está cerrado y compacto en X. Aquí, ${displaystyle Xsetminus C}$ denota el complemento $C$ dentro $X$ . Note que $V$ es un barrio abierto $infty$ , y por lo tanto, cualquier cubierta abierta ${displaystyle {infty }}$ contendrá todo excepto un subconjunto compacto $C$ de $X^{*}$ , implicando que $X^{*}$ es compacto (Kelley 1975, p. 150).

El mapa de inclusión $c:Xrightarrow X^{*}$ se llama Extensión de Alexandroff de X (Willard, 19A).

Las siguientes propiedades se derivan de la discusión anterior:

El mapa c es continua y abierta: incrusta X como subconjunto abierto de $X^{*}$ .
El espacio $X^{*}$ es compacto.
La imagen c()X) es denso en $X^{*}$ , si X no está completo.
El espacio $X^{*}$ es Hausdorff si y sólo si X es Hausdorff y localmente compacto.
El espacio $X^{*}$ es T1 si y sólo si X T₁.

La compactación de un punto

En particular, la extensión Alexandroff $c:Xrightarrow X^{*}$ es una compactación Hausdorff de X si X es Hausdorff, no completo y localmente compacto. En este caso se llama el compactación de un punto o Adecuación de Alexandroff de X.

Recordad de la discusión anterior que cualquier compactación Hausdorff con un punto restante es necesariamente (isomorfo a) la compactación Alexandroff. En particular, si $X$ es un espacio compacto Hausdorff y $p$ es un punto límite $X$ (es decir, no un punto aislado $X$ ), $X$ es la compactación de Alexandroff ${displaystyle Xsetminus {p}}$ .

Vamos X ser cualquier espacio Tychonoff no completo. Bajo el orden parcial natural del conjunto ${mathcal {C}}(X)$ de clases de equivalencia de compactificaciones, cualquier elemento mínimo es equivalente a la extensión Alexandroff (Engelking, Theorem 3.5.12). De ello se desprende que un espacio Tychonoff no compacto admite una compactación mínima si es y sólo si es localmente compacto.

Compactificaciones de un punto que no son de Hausdorff

Vamos $(X,tau)$ ser un espacio topológico arbitrario no completo. Uno puede querer determinar todas las compactaciones (no necesariamente Hausdorff) de $X$ obtenido añadiendo un solo punto, que también podría llamarse compactaciones de un punto en este contexto. Así que uno quiere determinar todas las formas posibles de dar ${displaystyle X^{*}=Xcup {infty }}$ una topología compacta tal que $X$ es denso en ella y la topología subespacial en $X$ inducido del $X^{*}$ es lo mismo que la topología original. La última condición de compatibilidad en la topología implica automáticamente que $X$ es denso en $X^{*}$ , porque $X$ no es compacto, por lo que no se puede cerrar en un espacio compacto. Además, es un hecho que el mapa de inclusión ${displaystyle c:Xto X^{*}}$ es necesariamente una incrustación abierta, es decir, $X$ debe estar abierto $X^{*}$ y la topología en $X^{*}$ debe contener a cada miembro de $tau$ . Así que la topología en $X^{*}$ es determinado por los barrios de $infty$ . Cualquier barrio $infty$ es necesariamente el complemento $X^{*}$ de un subconjunto compacto cerrado $X$ , como se discutió anteriormente.

Las topologías en $X^{*}$ que lo hacen una compactación $X$ son los siguientes:

La extensión Alexandroff $X$ definido anteriormente. Aquí tomamos los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de $X$ como barrios de $infty$ . Esta es la topología más grande que hace $X^{*}$ una compactación de un punto $X$ .
La topología de la extensión abierta. Aquí agregamos un solo barrio $infty$ , a saber, todo el espacio $X^{*}$ . Esta es la topología más pequeña que hace $X^{*}$ una compactación de un punto $X$ .
Cualquier topología intermedia entre las dos topologías anteriores. Para barrios de $infty$ uno tiene que elegir una subfamilia adecuada de los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de $X$ ; por ejemplo, los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados finitos, o los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados contables.

Más ejemplos

Compactaciones de espacios discretos

La compactación de un punto del conjunto de enteros positivos es homeomorfa al espacio que consiste en K U {1/n Silencio n es un entero positivo con la topología del orden.
Una secuencia ${a_{n}}$ en un espacio topológico $X$ converge a un punto $a$ dentro $X$ , si y sólo si el mapa $fcolon {mathbb N}^{*}to X$ dado por $f(n)=a_{n}$ para $n$ dentro $mathbb N$ y $f(infty)=a$ es continuo. Aquí. $mathbb N$ tiene la topología discreta.
Los espacios poliádicos se definen como espacios topológicos que son la imagen continua de la potencia de una compactación de un punto de un espacio Hausdorff discreto y compacto localmente.

Compactaciones de espacios continuos

La compactación de un punto n-dimensional Espacio euclidiano Rⁿ es homeomorfo para el n- Esphere Sⁿ. Como antecede, el mapa se puede dar explícitamente como un n- proyección estereográfico inverso.
La compactación de un punto del producto $kappa$ copias del intervalo medio cerrado [0,1), es decir, de ${displaystyle [0,1)^{kappa }}$ , es (homeomorfo a) ${displaystyle [0,1]^{kappa }}$ .
Dado que el cierre de un subconjunto conectado está conectado, la extensión Alexandroff de un espacio conectado no compacto está conectado. Sin embargo, una compactación de un punto puede "conectar" un espacio desconectado: por ejemplo la compactación de un punto de la unión descomunal de un número finito $n$ de copias del intervalo (0,1) es un cuñada de $n$ círculos.
La compactación de un punto de la unión descomunal de un número contable de copias del intervalo (0,1) es el pendiente hawaiano. Esto es diferente de la cuña de muchos círculos, que no es compacto.
Dado $X$ Hausdorff compacto y $C$ cualquier subconjunto cerrado $X$ , la compactación de un punto $Xsetminus C$ es ${displaystyle X/C}$ , donde el barranco de avance denota el espacio cociente.
Si $X$ y $Y$ son locales compactos Hausdorff, entonces ${displaystyle (Xtimes Y)^{*}=X^{*}wedge Y^{*}}$ Donde $wedge$ es el producto destrozado. Recordemos que la definición del producto destrozado: ${displaystyle Awedge B=(Atimes B)/(Avee B)}$ Donde $Avee B$ es la suma de cuña, y otra vez, / denota el espacio de cociente.

Como funtor

La extensión Alexandroff se puede ver como un functor de la categoría de espacios topológicos con mapas continuos apropiados como morfismos a la categoría cuyos objetos son mapas continuos ${displaystyle ccolon Xrightarrow Y}$ y para los cuales los morfismos ${displaystyle c_{1}colon X_{1}rightarrow Y_{1}}$ a ${displaystyle c_{2}colon X_{2}rightarrow Y_{2}}$ son pares de mapas continuos ${displaystyle f_{X}colon X_{1}rightarrow X_{2}, f_{Y}colon Y_{1}rightarrow Y_{2}}$ tales que $f_{Y}circ c_{1}=c_{2}circ f_{X}$ . En particular, los espacios homeomorficos tienen extensiones isomorfas Alexandroff.

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