Exsecante

El exsecante (exsec, exs) y el excosecante (excosec, excsc, exc) son funciones trigonométricas definidas en términos de las funciones secante y cosecante. Solían ser importantes en campos como la topografía, la ingeniería ferroviaria, la ingeniería civil, la astronomía y la trigonometría esférica y podrían ayudar a mejorar la precisión, pero hoy en día rara vez se utilizan, excepto para simplificar algunos cálculos.

Exsecante

La exsecante, (latín: secans exterior) también conocida como exterior, externa, hacia afuera o secante exterior y abreviada como exsec o exs, es una función trigonométrica definida en términos de la función secante sec(< i>θ):

$${\displaystyle \operatorname {exsec}(\theta)=\theta)-1={\frac {1}{\cos(\theta)}-1.}$$

El nombre exsecante puede entenderse a partir de una construcción gráfica de las distintas funciones trigonométricas a partir de un círculo unitario, tal como se utilizó históricamente. sec(θ) es la línea secante OE, y la exsecante es la porción DE de esta secante que se encuentra exterior al círculo (ex en latín significa fuera de).

Excossecante

Una función relacionada es la excosecante o coexsecante, también conocida como exterior, externa, hacia afuera o cossecante exterior y abreviado como excosec, coexsec, excsc o exc, la exsecante del ángulo complementario:

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta)=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}}-\theta\right)=\csc(\theta)-1={\frac {1}{\sin(\theta)}-1.}$$

Uso

Importante en campos como la topografía, la ingeniería ferroviaria (por ejemplo, para trazar curvas y peraltes de ferrocarril), la ingeniería civil, la astronomía y la trigonometría esférica hasta la década de 1980, la función exsecante ahora se utiliza poco. Principalmente, esto se debe a que la amplia disponibilidad de calculadoras y computadoras ha eliminado la necesidad de tablas trigonométricas de funciones especializadas como ésta.

La razón para definir una función especial para la exsecante es similar a la razón para el versino: para ángulos pequeños θ, la función sec(θ) se aproxima a uno, y así, usar la fórmula anterior para la exsecante implicará la resta de dos cantidades casi iguales, lo que resultará en una cancelación catastrófica. Por lo tanto, una tabla de la función secante necesitaría una precisión muy alta para usarse para la exsecante, lo que hace que una tabla de exsecantes especializada sea útil. Incluso con una computadora, los errores de coma flotante pueden ser problemáticos para las exsecantes de ángulos pequeños, si se utiliza la definición basada en el coseno. Una fórmula más precisa en este límite sería utilizar la identidad:

$${\theta)} {\theta)} {\theta)} {\theta)} {\theta)}}}=\frac {\fnuncio {\fnuncio} {\theta)} {\theta)}} {\fnuncio} {\theta)}} {\fnuncio} {\theta)} {\fnun}} {\fnun}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMinun}}}}}}}}} {\sigualgo)}$$

$${\displaystyle \operatorname {excsc} {\theta)={\frac {1-\sin(\theta)}{\sin(\theta)}}={\frac {\operatorname {\coversin} {\theta)}{\sin(\theta)}}=\operatorname {coversin} (\theta)\cscscsc(\theta). }$$

Antes de que existieran las computadoras, esto requería multiplicaciones que requerían mucho tiempo.

La función exsecante ya fue utilizada por Galileo Galilei en 1632, aunque todavía la llamaba segante (que significa secante). El término latino secans exterior se utiliza al menos alrededor de 1745. El uso del término inglés external secante y la abreviatura ex. sec. se remonta al menos a 1855, cuando Charles Haslett publicó la primera tabla conocida de exsecantes. Variaciones como ex secante y exsec se utilizaban en 1880, y ex secante era la que menos se utilizaba desde 1894.

Los términos coexsecante y coexsec se pueden encontrar ya en 1880, seguidos por excosecante desde 1909. La función también se utilizó por Albert Einstein para describir la energía cinética de los fermiones.

Identidades matemáticas

Derivados

${\displaystyle {\frac {\mathrm}{\mathrm {d} {}} {\m}} {\m}}} {\m}}} {\m} \theta ¿Qué?$

${\displaystyle {\frac {\mathrm} }{\mathrm {d} \theta ¿Qué?$

Integrales

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta)\,\mathrm {d} Bien.$

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta)\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }\right)\right]-\theta +C}$

Funciones inversas

Las funciones inversas arcexsecant (arcexsec, aexsec, aexs, exsec^{− 1}) y arcexcosecant (arcexcosec, arcexcsc, aexcsc, aexc, arccoexsecant, arccoexsec, excsc⁻¹) también existen:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}\right)=\arctan({\sqrt) {y^{2}+2y}}) }$ (por Sí.≤ 2, o Sí.≥ 0)

$${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}\right)}$$

Otras propiedades

Derivado del círculo unitario:

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta)=\theta)-\cos(\theta)-\operatorname {versin} (\theta).}$$

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta)=\operatorname {csc} (\theta)-\sin(\theta)-\operatorname {coversin} (\theta).}$$

La función exsecante está relacionada con la función tangente por

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta)=\tan(\theta)\tan \left({\frac {\theta }{2}\right). }$$

En analogía, la función excosecante está relacionada con la función cotangente por

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta)=\cot(\theta)\cot \left({\frac {\theta }\right). }$$

La función exsecante está relacionada con la función seno por

$${\displaystyle \operatorname {exsec} {\theta)={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta)}}}}-1.}$$

En analogía, la función excosecante está relacionada con la función cosina por

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta)={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta)}}}}-1.}$$

Las funciones exsecante y excosecante se pueden extender al plano complejo.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} {\theta)}{\theta }=0}$

${\fnMicrosoftware} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoftware {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta)+\operatorname {versin} (\theta))\,(\operatorname {excsc} (\theta)+\operatorname {coversin} (\theta)=\sin(\theta)\cos(\theta)}}$

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta)={\frac {2\sin ^{2}(\theta)}{1-2\sin ^{2}}}} {\theta)}}}$

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta)\,\cos(2\theta)=\tan(\theta)}$

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta)+2\operatorname {exsec} (\theta)=\tan ^{2}(\theta)}$