Experimento de cavendish

El experimento Cavendish, realizado entre 1797 y 1798 por el científico inglés Henry Cavendish, fue el primer experimento en medir la fuerza de gravedad entre masas en el laboratorio y el primero en arrojar valores precisos de la fuerza gravitacional. constante. Debido a las convenciones de unidades entonces en uso, la constante gravitatoria no aparece explícitamente en el trabajo de Cavendish. En cambio, el resultado se expresó originalmente como la gravedad específica de la Tierra o, de manera equivalente, la masa de la Tierra. Su experimento dio los primeros valores precisos para estas constantes geofísicas.

El experimento fue ideado en algún momento antes de 1783 por el geólogo John Michell, quien construyó un aparato de equilibrio de torsión para él. Sin embargo, Michell murió en 1793 sin completar la obra. Después de su muerte, el aparato pasó a Francis John Hyde Wollaston y luego a Cavendish, quien reconstruyó el aparato pero se mantuvo fiel al plan original de Michell. Cavendish luego llevó a cabo una serie de mediciones con el equipo e informó sus resultados en las Transacciones filosóficas de la Royal Society en 1798.

El experimento

El aparato consistía en una balanza de torsión hecha de una barra de madera de seis pies (1,8 m) suspendida horizontalmente de un cable, con dos esferas de plomo de 2 pulgadas de diámetro (51 mm) y 1,61 libras (0,73 kg) de peso. uno unido a cada extremo. Dos enormes bolas de plomo de 12 pulgadas (300 mm) y 348 libras (158 kg), suspendidas por separado, se podían colocar lejos o a ambos lados de las bolas más pequeñas, a 8,85 pulgadas (225 mm) de distancia. El experimento midió la débil atracción gravitacional entre las bolas pequeñas y grandes, que desviaron la barra de equilibrio de torsión en aproximadamente 0,16 & # 34; (o solo 0,03" con un cable de suspensión más rígido).

Las dos bolas grandes se pueden colocar lejos oa ambos lados de la barra de equilibrio de torsión. Su atracción mutua por las pequeñas bolas hizo que el brazo girara, torciendo el cable de suspensión. El brazo giró hasta que alcanzó un ángulo en el que la fuerza de torsión del cable equilibraba la fuerza de atracción gravitatoria combinada entre las esferas de plomo grande y pequeña. Al medir el ángulo de la varilla y conocer la fuerza de torsión (torque) del alambre para un ángulo dado, Cavendish pudo determinar la fuerza entre los pares de masas. Dado que la fuerza gravitacional de la Tierra sobre la pequeña bola se podía medir directamente pesándola, la relación de las dos fuerzas permitió calcular la densidad relativa de la Tierra, usando la ley de gravitación de Newton.

Cavendish descubrió que la densidad de la Tierra era 5,448±0.033 veces el del agua (debido a un simple error aritmético, encontrado en 1821 por Francis Baily, el valor erróneo 5.480±0.038 aparece en su artículo). El valor actual aceptado es 5,514 g/cm³.

Para encontrar el coeficiente de torsión del cable, el par ejercido por el cable para un ángulo de torsión determinado, Cavendish cronometró el período de oscilación natural de la barra de equilibrio mientras giraba lentamente en sentido horario y antihorario contra la torsión del cable.. Para los primeros 3 experimentos, el período fue de aproximadamente 15 minutos y para los siguientes 14 experimentos, el período fue de la mitad, aproximadamente 7,5 minutos. El período cambió porque después del tercer experimento Cavendish puso un cable más rígido. El coeficiente de torsión podría calcularse a partir de esto y de la masa y dimensiones de la balanza. En realidad, la vara nunca estuvo en reposo; Cavendish tuvo que medir el ángulo de desviación de la varilla mientras oscilaba.

El equipo de Cavendish era notablemente sensible para su época. La fuerza involucrada en torcer la balanza de torsión fue muy pequeña, 1.74×10⁻⁷ N, (el peso de solo 0.0177 miligramos) o aproximadamente 1⁄50,000,000 del peso de las bolitas. Para evitar que las corrientes de aire y los cambios de temperatura interfirieran con las mediciones, Cavendish colocó todo el aparato en una caja de caoba de aproximadamente 1,98 metros de ancho, 1,27 metros de alto y 14 cm de grosor,[1] todo en un cobertizo cerrado en su propiedad. A través de dos agujeros en las paredes del cobertizo, Cavendish usó telescopios para observar el movimiento de la barra horizontal de la balanza de torsión. El observable clave fue, por supuesto, la desviación de la barra de equilibrio de torsión, que Cavendish midió en aproximadamente 0,16 & # 34; (o solo 0.03" para el cable más rígido que se usa principalmente). Cavendish pudo medir esta pequeña desviación con una precisión superior a 0,01 pulgadas (0,25 mm) usando escalas vernier en los extremos de la varilla. La precisión del resultado de Cavendish no se superó hasta que C. V. Boys' experimento en 1895. Con el tiempo, la balanza de torsión de Michell se convirtió en la técnica dominante para medir la constante gravitacional (G) y la mayoría de las mediciones contemporáneas aún usan variaciones de la misma.

El resultado de Cavendish proporcionó evidencia adicional para un núcleo planetario hecho de metal, una idea propuesta por primera vez por Charles Hutton en base a su análisis del experimento Schiehallion de 1774. El resultado de Cavendish de 5,4 g·cm⁻³, un 23 % más grande que el de Hutton, está cerca del 80 % de la densidad del hierro líquido y un 80 % más que la densidad de la corteza exterior de la Tierra, lo que sugiere la existencia de un denso núcleo de hierro.

Si Cavendish determinó G

La formulación de la gravedad newtoniana en términos de una constante gravitacional no se volvió estándar hasta mucho después de la época de Cavendish. De hecho, una de las primeras referencias a G es de 1873, 75 años después del trabajo de Cavendish.

Cavendish expresó su resultado en términos de la densidad de la Tierra. Por esta razón, los historiadores de la ciencia han argumentado que Cavendish no midió la constante gravitatoria. Se refirió a su experimento en la correspondencia como "pesar el mundo". Autores posteriores reformularon sus resultados en términos modernos.

G=gRtierra2Mtierra=3g4π π Rtierra*** *** tierra{displaystyle G=g{frac {fnh} {fnh} {fnh}}}= {fnMicroc}} {fnh}}} {f}}}}} {fn}}}}} {fnK}}}} {fn}}}} {f}}}}}}} {fnKf}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {3g}{4pi R_{text{earth}rho - ¿Qué?

Después de convertir a unidades SI, el valor de Cavendish para la densidad de la Tierra, 5,448 g cm⁻³, da

G = 6.74×10^{−11 -}m³kg^–1s⁻²,

que difiere en solo un 1 % del valor CODATA de 2014 de 6,67408×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s ⁻². Hoy en día, los físicos a menudo usan unidades en las que la constante gravitacional toma una forma diferente. La constante gravitatoria gaussiana utilizada en dinámica espacial es una constante definida y el experimento de Cavendish puede considerarse como una medida de esta constante. En la época de Cavendish, los físicos usaban las mismas unidades para la masa y el peso, y de hecho tomaban g como una aceleración estándar. Entonces, dado que se conocía R_tierra, ρ_tierra jugó el papel de una constante gravitatoria inversa. Por lo tanto, la densidad de la Tierra era una cantidad muy solicitada en ese momento, y hubo intentos anteriores de medirla, como el experimento de Schiehallion en 1774.

Por estas razones, los físicos generalmente atribuyen a Cavendish la primera medición de la constante gravitatoria.

Derivation of G and the Earth 's mass

Lo siguiente no es el método utilizado por Cavendish, pero describe cómo los físicos modernos calcularían los resultados de su experimento. De la ley de Hooke, el par en el alambre de torsión es proporcional al ángulo de deflexión Silencio Silencio {displaystyle theta } del equilibrio. El par es κ κ Silencio Silencio {displaystyle kappa theta } Donde κ κ {displaystyle kappa } es el coeficiente de torsión del alambre. Sin embargo, un par en dirección opuesta también es generado por la atracción gravitacional de las masas. Puede ser escrito como producto de las fuerzas atractivas entre las bolas y la distancia al alambre de suspensión. Puesto que hay dos pares de bolas, cada fuerza experimentada F a distancia L/2 del eje del balance, el par es LF. En equilibrio (cuando el equilibrio se ha estabilizado en un ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta }), la cantidad total de par debe ser cero, ya que estas dos fuentes de par cancelar. Así, podemos equiparar sus intensidades dadas por las fórmulas anteriores, lo que da lo siguiente:

κ κ Silencio Silencio =LF{displaystyle kappa theta =LF,}

Para F, la ley de gravitación universal de Newton se utiliza para expresar la fuerza de atracción entre las bolas grandes y pequeñas:

F=GmMr2{displaystyle F={frac {fnK}},}

Sustituyendo F en la primera ecuación anterior da

κ κ Silencio Silencio =LGmMr2()1){displaystyle kappa theta =L{frac {GmM}{2}qquad qquad qquad (1),}

Para encontrar el coeficiente de torsión (κ κ {displaystyle kappa }) del alambre, Cavendish midió el período de oscilación resonante natural T del balance de la torsión:

T=2π π Iκ κ {fnMicroc} {I}{kappa }

Suponiendo que la masa de la viga de torsión en sí es insignificante, el momento de inercia de la balanza se debe a las pequeñas bolas:

I=m()L2)2+m()L2)2=2m()L2)2=mL22{displaystyle I=mleft({frac {L}{2}right)}{2}+mleft({frac {L}{2}}right)}{2}=2mleft({2}right)}{2}={2}={frac}={frac}={frac}{frac}}}}}={f}}}}}}{f}}}}}={f}}}}{f}}}={f}}}}={f}={f}f}}}}}}}}f}f}}}}}}}}}}f}}}}}}}f}}}f}}}}}}f}f}f}={f}={f}}f}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}fn {mL^{2}{2},},

y así:

T=2π π mL22κ κ {fnMicroc} {mL^{2}{2kappa ♪♪

Resolver esto para κ κ {displaystyle kappa }, sustitución en (1), y reorganización para G, el resultado es:

G=2π π 2Lr2Silencio Silencio MT2{displaystyle G={frac {2cccccccccccccc\cccccccccccc\\c\cc\\cccc\ccc\\\\\cc\\\cc\c\\\c\\\ccc\\\cc\\c\\\cc\\c\\c\\\\\c\\\\\\\c\\\c\ccc\\\\\\\\cc\cccccc\\\c ^{2}Lr^{2}theta } {MT^{2}},}

Once G has been found, the attraction of an object at the Earth 's surface to the Earth itself can be used to calculate the Earth 's mass and density:

mg=GmMearthRearth2{displaystyle mg={frac {GmM_{rm {}}{R_{rm} {earth} {} {}}},}

Mearth=gRearth2G{displaystyle M_{rm {earth}={frac {G}}

*** *** earth=Mearth43π π Rearth3=3g4π π RearthG{displaystyle rho _{rm {fnh}={frac {fnh} {fnh}{tfrac}} {fn}}} {fnK}}} {fnK}}}}} {fnf}}}} {\fnh00fnh00f}}}}}}}}}}}}}}} { {4}{3}pi} ¿Qué? {3g}{4pi ¿Qué?

Definiciones de términos

Signatura	Dependencia	Definición
Silencio Silencio {displaystyle theta }	radiantes	Deflexión del haz de balance de torsión desde su posición de reposo
F	N	Fuerza gravitacional entre las masas M y m
G	m3 kg−1 s−2	Constante gravitacional
m	kg	Masa de bola de plomo pequeña
M	kg	Masa de bola de plomo grande
r	m	Distancia entre centros de bolas grandes y pequeñas cuando el equilibrio se desvía
L	m	Longitud del haz de balance de torsión entre centros de bolas pequeñas
κ κ {displaystyle kappa }	N m rad−1	Coeficiente de suspensión de alambre
I	kg2	Momento de inercia del haz de balance de torsión
T	s	Período de oscilación del equilibrio de la torsión
g	m s−2	Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra
Mtierra	kg	Masa de la Tierra
Rtierra	m	Radius of the Earth
*** *** {displaystyle rho }tierra	kg−3	Densidad de la Tierra