Existencia de Yang-Mills y brecha de masas

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Problema del Premio Milenio

El Yang-Mills problema de existencia y brecha de masas es un problema sin resolver en la física matemática y las matemáticas, y uno de los siete Problemas del Premio del Milenio definidos por el Instituto de Matemáticas de Clay, que ha ofrecido un premio de US$1,000,000 por su solución.

El problema se enuncia como sigue:

Yang-Mills Existence and Mass Gap. Demostrar que para cualquier grupo de calibre simple compacto G, existe una teoría cuántica no-trivial Yang-Mills sobre

{displaystyle mathbb {R} ^{4}}

y tiene una brecha de masa Δ 0. La existencia incluye el establecimiento de propiedades axiomáticas por lo menos tan fuertes como las citadas en Streater " Wightman (1964), Osterwalder " Schrader (1973) y Osterwalder " Schrader (1975).

En esta declaración, una teoría cuántica de Yang-Mills es una teoría de campo cuántico no abeliana similar a la subyacente del Modelo Estándar de la física de partículas; ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ es Euclidean 4-espacio; la brecha de masa Δ es la masa de la partícula menos masiva predicha por la teoría.

Por lo tanto, el ganador debe probar que:

Yang-Mills teoría existe y satisface el estándar de rigor que caracteriza la física matemática contemporánea, en particular la teoría constructiva del campo cuántico, y
La masa de todas las partículas del campo de fuerza predicho por la teoría es estrictamente positiva.

Por ejemplo, en el caso de G=SU(3), la interacción nuclear fuerte, el ganador debe demostrar que las bolas de pegamento tienen un límite de masa inferior y, por lo tanto, no pueden ser arbitrariamente ligeras.

Se sabe que el problema general de determinar la presencia de una brecha espectral en un sistema es indecidible.

Antecedentes

[...] uno todavía no tiene un ejemplo matemáticamente completo de una teoría del calibre cuántico en el espacio-tiempo cuatro dimensiones, ni siquiera una definición precisa de la teoría del calibre cuántico en cuatro dimensiones. ¿Este cambio en el siglo XXI? ¡Eso esperamos!
—De la descripción oficial del problema del Instituto Clay por Arthur Jaffe y Edward Witten.

El problema requiere la construcción de un QFT que satisfaga los axiomas de Wightman y muestre la existencia de una brecha de masa. Ambos temas se describen en las secciones siguientes.

Los axiomas de Wightman

El problema del Milenio requiere que la teoría de Yang-Mills propuesta satisfaga los axiomas de Wightman o axiomas igualmente estrictos. Hay cuatro axiomas:

W0 (asunciones de mecánica cuántica relativista)

La mecánica cuántica se describe según von Neumann; en particular, los estados puros están dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable.

Los axiomas de Wightman requieren que el grupo de Poincaré actúe unitariamente en el espacio de Hilbert. En otras palabras, tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré.

El grupo de traducciones espacio-tiempo es conmutativo, por lo que los operadores pueden ser simultáneamente diagonalizados. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autónomos, ${displaystyle P_{j},j=0,1,2,3}$ , que se transforma bajo el grupo homogéneo como un cuatro-vector, llamado el cuatro-vector de energía-momentum.

La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U(a, A) cumple la condición espectral: que el El espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono delantero:

{displaystyle P_{0}geq 0,;;;;P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}geq 0.}

La tercera parte del axioma es que existe un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.

W1 (asunciones sobre el dominio y la continuidad del campo)

Para cada función de prueba f, existe un conjunto de operadores ${displaystyle A_{1}(f),ldotsA_{n}(f)}$ que, junto con sus conjuntos, se definen en un subconjunto denso del espacio estatal Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas valoradas por el operador. El espacio del estado de Hilbert es azotado por los polinomios de campo que actúan en el vacío (condicion de la ciclicidad).

W2 (Ley de transformación del campo)

Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré, y se transforman según alguna representación S del grupo de Lorentz, o SL(2,C) si el espín no es entero:

{displaystyle U(a,L)^{dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).}

W3 (comutatividad local o causalidad microscópica)

Si los soportes de dos campos están separados como un espacio, entonces los campos conmutan o anticonmutan.

Ciclicidad de un vacío, y singularidad de un vacío se consideran a veces por separado. Además, existe la propiedad de la integridad asintotica - que el espacio del estado de Hilbert es abarcado por los espacios asintoticos ${displaystyle H^{in}}$ y ${displaystyle H^{out}}$ , apareciendo en la matriz S de colisión. La otra característica importante de la teoría del campo es la brecha de masa que no es requerida por los axiomas, que el espectro de energía-momentum tiene una brecha entre cero y algún número positivo.

Brecha de masa

En la teoría cuántica de campos, la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo. La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía puedan considerarse como partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.

Para un campo real dado ${displaystyle phi (x)}$ , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad

{displaystyle langle phi (0,t)phi (0,0)rangle sim sum _{n}A_{n}exp left(-Delta _{n}tright)}

con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ 0■0{displaystyle Delta ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2060d33ac218f529c9b1f24eab707b22b4842a8" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.251ex; height:2.509ex;"/>$ siendo el valor energético más bajo en el espectro del Hamiltonian y por lo tanto la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es lo que generalmente se mide en computaciones de celo. Se demostró de esta manera que la teoría Yang-Mills desarrolla una brecha de masa en una celosía.

Importancia de la teoría de Yang-Mills

Las teorías de campos cuánticos en 4 dimensiones más conocidas y no triviales (es decir, que interactúan) son teorías de campos efectivas con una escala de corte. Dado que la función beta es positiva para la mayoría de los modelos, parece que la mayoría de estos modelos tienen un polo Landau, ya que no está del todo claro si tienen o no puntos fijos UV no triviales. Esto significa que si dicha QFT está bien definida en todas las escalas, como debe estarlo para satisfacer los axiomas de la teoría cuántica de campos axiomática, tendría que ser trivial (es decir, una teoría de campo libre).

La teoría cuántica de Yang-Mills con un grupo de calibre no abeliano y sin quarks es una excepción, porque la libertad asintótica caracteriza esta teoría, lo que significa que tiene un punto fijo ultravioleta trivial. Por lo tanto, es el QFT constructivo no trivial más simple en 4 dimensiones. (QCD es una teoría más complicada porque involucra quarks).

Confinamiento de quarks

En el nivel de rigor de la física teórica, está bien establecido que la teoría cuántica de Yang-Mills para un grupo de Lie no abeliano exhibe una propiedad conocida como confinamiento; aunque la física matemática adecuada tiene requisitos más exigentes para la demostración. Una consecuencia de esta propiedad es que por encima de la escala de confinamiento, las cargas de color están conectadas por tubos de flujo cromodinámico que conducen a un potencial lineal entre las cargas. Por tanto, no pueden existir cargas de color aisladas ni gluones aislados. En ausencia de confinamiento, esperaríamos ver gluones sin masa, pero como están confinados, todo lo que veríamos son estados unidos de gluones de color neutro, llamados bolas de pegamento. Si existen bolas de pegamento, son masivas, por lo que se espera una brecha de masa.

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