Exclusividad mutua

En la lógica y la teoría de la probabilidad, dos eventos (o proposiciones) son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. Un claro ejemplo es el conjunto de resultados de un solo lanzamiento de moneda, que puede resultar en cara o cruz, pero no en ambos.

En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, ambos resultados son, en teoría, colectivamente exhaustivos, lo que significa que al menos uno de los resultados debe ocurrir, por lo que estas dos posibilidades juntas agotan todas las posibilidades. Sin embargo, no todos los eventos mutuamente excluyentes son colectivamente exhaustivos. Por ejemplo, los resultados 1 y 4 de una sola tirada de un dado de seis caras son mutuamente excluyentes (ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo) pero colectivamente no son exhaustivos (hay otros resultados posibles: 2,3,5,6).

Lógica

En lógica, dos proposiciones mutuamente excluyentes son proposiciones que lógicamente no pueden ser verdaderas en el mismo sentido al mismo tiempo. Decir que más de dos proposiciones son mutuamente excluyentes, según el contexto, significa que una no puede ser verdadera si la otra es verdadera, o al menos una de ellas no puede ser verdadera. El término mutuamente excluyentes por pares siempre significa que dos de ellos no pueden ser verdaderos simultáneamente.

Probabilidad

En la teoría de la probabilidad, se dice que los eventos E ₁, E ₂,..., E _n son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos implica la no ocurrencia de los n − 1 eventos restantes. Por lo tanto, dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir a la vez. Dicho formalmente, la intersección de cada dos de ellos está vacía (el evento nulo): A ∩ B = ∅. En consecuencia, los eventos mutuamente excluyentes tienen la propiedad: P(A ∩ B) = 0.

Por ejemplo, en una baraja estándar de 52 cartas con dos colores, es imposible sacar una carta que sea roja y un trébol porque los tréboles siempre son negros. Si solo se saca una carta de la baraja, se sacará una carta roja (corazón o diamante) o una carta negra (trébol o espada). Cuando A y B son mutuamente excluyentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Para encontrar la probabilidad de sacar una tarjeta roja o un trébol, por ejemplo, sume la probabilidad de sacar una tarjeta roja y la probabilidad de sacar un trébol. En una baraja estándar de 52 cartas, hay veintiséis cartas rojas y trece tréboles: 26/52 + 13/52 = 39/52 o 3/4.

Uno tendría que sacar al menos dos cartas para sacar tanto una tarjeta roja como un trébol. La probabilidad de hacerlo en dos sorteos depende de si la primera carta extraída fue reemplazada antes del segundo sorteo, ya que sin reemplazo hay una carta menos después de que se extrajo la primera carta. Las probabilidades de los eventos individuales (rojo y trébol) se multiplican en lugar de sumarse. La probabilidad de sacar una roja y un trébol en dos sorteos sin reemplazo es entonces 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652, o 13/51. Con reemplazo, la probabilidad sería 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 o 13/52.

En la teoría de la probabilidad, la palabra o permite la posibilidad de que sucedan ambos eventos. La probabilidad de que ocurra uno o ambos eventos se denota como P(A ∪ B) y, en general, es igual a P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Por lo tanto, en el caso de sacar una carta roja o un rey, sacar cualquiera de un rey rojo, un no rey rojo o un rey negro se considera un éxito. En una baraja estándar de 52 cartas, hay veintiséis cartas rojas y cuatro reyes, dos de los cuales son rojos, por lo que la probabilidad de sacar una roja o un rey es 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/ 52.

Los eventos son colectivamente exhaustivos si todas las posibilidades de resultados se agotan por esos posibles eventos, por lo que al menos uno de esos resultados debe ocurrir. La probabilidad de que al menos uno de los eventos ocurra es igual a uno. Por ejemplo, teóricamente solo hay dos posibilidades para lanzar una moneda. Sacar cara y cruz son eventos colectivamente exhaustivos, y existe la probabilidad de que uno de ellos saque cara o cruz. Los eventos pueden ser tanto mutuamente excluyentes como colectivamente exhaustivos.En el caso de lanzar una moneda, lanzar cara y cruz también son eventos mutuamente excluyentes. Ambos resultados no pueden ocurrir para un solo intento (es decir, cuando una moneda se lanza solo una vez). La probabilidad de sacar cara y la probabilidad de sacar cruz se pueden sumar para obtener una probabilidad de 1: 1/2 + 1/2 = 1.

Estadísticas

En estadística y análisis de regresión, una variable independiente que puede tomar solo dos valores posibles se denomina variable ficticia. Por ejemplo, puede tomar el valor 0 si la observación es de un sujeto blanco o 1 si la observación es de un sujeto negro. Las dos categorías posibles asociadas con los dos valores posibles son mutuamente excluyentes, por lo que ninguna observación cae en más de una categoría, y las categorías son exhaustivas, por lo que cada observación cae en alguna categoría. A veces hay tres o más categorías posibles, que se excluyen mutuamente por pares y son colectivamente exhaustivas, por ejemplo, menores de 18 años, de 18 a 64 años y de 65 años o más. En este caso, se construye un conjunto de variables ficticias, cada variable ficticia tiene dos categorías mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivas; en este ejemplo,₁) sería igual a 1 si la edad es menor de 18 años, y sería igual a 0 en caso contrario; una segunda variable ficticia (llamada D ₂) sería igual a 1 si la edad está en el rango de 18 a 64 años, y 0 en caso contrario. En esta configuración, los pares de variables ficticias (D ₁, D ₂) puede tener los valores (1,0) (menor de 18 años), (0,1) (entre 18 y 64) o (0,0) (65 años o más) (pero no (1,1), lo que sería absurdo implica que un sujeto observado tiene menos de 18 años y entre 18 y 64 años). Luego, las variables ficticias se pueden incluir como variables independientes (explicativas) en una regresión. Tenga en cuenta que el número de variables ficticias siempre es uno menos que el número de categorías: con las dos categorías en blanco y negro hay una sola variable ficticia para distinguirlas, mientras que con las tres categorías de edad se necesitan dos variables ficticias para distinguirlas.

Estos datos cualitativos también se pueden utilizar para las variables dependientes. Por ejemplo, un investigador podría querer predecir si alguien será arrestado o no, utilizando los ingresos familiares o la raza como variables explicativas. Aquí la variable a explicar es una variable ficticia que vale 0 si el sujeto observado no es arrestado y vale 1 si el sujeto es arrestado. En tal situación, los mínimos cuadrados ordinarios (la técnica de regresión básica) se consideran inadecuados; en su lugar, se utiliza la regresión probit o la regresión logística. Además, a veces hay tres o más categorías para la variable dependiente, por ejemplo, sin cargos, cargos y sentencias de muerte. En este caso se utiliza la técnica probit multinomial o logit multinomial.