Evento (teoría de la probabilidad)

En teoría de probabilidad, una evento es un conjunto de resultados de un experimento (un subconjunto del espacio muestral) al que se asigna una probabilidad. Un solo resultado puede ser un elemento de muchos eventos diferentes, y diferentes eventos en un experimento generalmente no son igualmente probables, ya que pueden incluir grupos muy diferentes de resultados. Un evento consistente en un solo resultado se llama un Evento primario o un evento atómico; es decir, es un conjunto de un soloton. Un evento S{displaystyle S. se dice que ocurre si S{displaystyle S. contiene el resultado x{displaystyle x} del experimento (o prueba) (es decir, si x▪ ▪ S{displaystyle xin S}). La probabilidad (con respecto a alguna medida de probabilidad) de que un evento S{displaystyle S. ocurre es la probabilidad de que S{displaystyle S. contiene el resultado x{displaystyle x} de un experimento (es decir, es la probabilidad de que x▪ ▪ S{displaystyle xin S}). Un evento define un evento complementario, a saber, el conjunto complementario (el evento) no y juntos estos definen un juicio de Bernoulli: ¿se produjo o no el evento?

Normalmente, cuando el espacio muestral es finito, cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento (es decir, todos los elementos del conjunto potencia del espacio muestral se definen como eventos). Sin embargo, este enfoque no funciona bien en los casos en que el espacio muestral es incontablemente infinito. Por lo tanto, al definir un espacio de probabilidad, es posible, y a menudo necesario, excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral para que no sean eventos (ver Eventos en espacios de probabilidad, a continuación).

Un ejemplo sencillo

Si armamos una baraja de 52 cartas sin comodines y sacamos una sola carta de la baraja, entonces el espacio de muestra es un conjunto de 52 elementos, ya que cada carta es un resultado posible. Un evento, sin embargo, es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluido cualquier conjunto único (un evento elemental), el conjunto vacío (un evento imposible, con probabilidad cero) y el espacio muestral mismo (un evento determinado, con probabilidad uno). Otros eventos son subconjuntos propios del espacio muestral que contienen múltiples elementos. Entonces, por ejemplo, los eventos potenciales incluyen:

Un diagrama de Euler de un evento. B{displaystyle B} es el espacio de la muestra y A{displaystyle A} es un evento.
Por la proporción de sus áreas, la probabilidad de A{displaystyle A} es aproximadamente 0.4.

• "Rojo y negro al mismo tiempo sin ser un bromista" (0 elementos),
• "El 5 de los Corazones" (1 elemento),
• "A King" (4 elementos),
• "Una tarjeta facial" (12 elementos),
• "A Spade" (13 elementos),
• "Una tarjeta facial o un traje rojo" (32 elementos),
• "Una tarjeta" (52 elementos).

Como todos los eventos son conjuntos, generalmente se escriben como conjuntos (por ejemplo, {1, 2, 3}), y se representan gráficamente utilizando diagramas Venn. En la situación donde cada resultado en el espacio muestral Ω es igualmente probable, la probabilidad P{displaystyle P} de un evento A{displaystyle A} es el siguiente fórmula:

P()A)=SilencioASilencioSilencioΩ Ω Silencio()alternativamente:Pr()A)=SilencioASilencioSilencioΩ Ω Silencio){displaystyle mathrm {A)={frac {Sobrevivir*}{Principalmente:}fncipalmente:}fncipalmente Pr(A)={frac {Sobrevivir}{ SobrevivirOmega tención}right)}

Eventos en espacios de probabilidad

Definir todos los subconjuntos del espacio muestral como eventos funciona bien cuando solo hay un número finito de resultados, pero genera problemas cuando el espacio muestral es infinito. Para muchas distribuciones de probabilidad estándar, como la distribución normal, el espacio muestral es el conjunto de números reales o algún subconjunto de los números reales. Los intentos de definir las probabilidades para todos los subconjuntos de los números reales se topan con dificultades cuando se considera que el 'mal comportamiento' conjuntos, como los que no son medibles. Por tanto, es necesario restringir la atención a una familia más limitada de subconjuntos. Para que las herramientas estándar de la teoría de la probabilidad, como las probabilidades conjuntas y condicionales, funcionen, es necesario utilizar un σ-álgebra, es decir, una familia cerrada bajo complementación y uniones contables de sus miembros. La elección más natural de σ-álgebra es el conjunto medible de Borel derivado de uniones e intersecciones de intervalos. Sin embargo, la clase más grande de conjuntos medibles de Lebesgue resulta más útil en la práctica.

En la descripción general de la teoría de la medida de los espacios de probabilidad, un evento puede definirse como un elemento de un 𝜎-álgebra seleccionada de subconjuntos del espacio muestral. Según esta definición, cualquier subconjunto del espacio muestral que no sea un elemento del álgebra 𝜎 no es un evento y no tiene probabilidad. Sin embargo, con una especificación razonable del espacio de probabilidad, todos los eventos de interés son elementos del 𝜎-álgebra.

Una nota sobre la notación

Aunque los eventos son subconjuntos de algún espacio de muestra Ω Ω ,{displaystyle ¡Oh! a menudo se escriben como predicados o indicadores que implican variables aleatorias. Por ejemplo, si X{displaystyle X} es una variable aleatoria de valor real definida en el espacio de muestra Ω Ω ,{displaystyle ¡Oh! el evento

X{displaystyle X}

⋅ ⋅ ▪ ▪ X− − 1()()u,v]){displaystyle omega in X^{-1}(u,v)}