Evariste Galois

Évariste Galois (francés: [evaʁist ɡalwa]; 25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832) fue un matemático y activista político francés. Cuando aún era adolescente, pudo determinar una condición necesaria y suficiente para que un polinomio pudiera resolverse mediante radicales, resolviendo así un problema que había estado abierto durante 350 años. Su trabajo sentó las bases de la teoría de Galois y la teoría de grupos, dos ramas principales del álgebra abstracta. Era un republicano acérrimo y estuvo muy involucrado en la agitación política que rodeó la Revolución Francesa de 1830. Como resultado de su activismo político, fue arrestado repetidamente y cumplió una sentencia de cárcel de varios meses. Por razones que siguen siendo oscuras, poco después de salir de prisión se batió en duelo y murió a causa de las heridas que sufrió.

Vida

Primeros años

Galois nació el 25 de octubre de 1811 de Nicolas-Gabriel Galois y Adélaïde-Marie (de soltera Demante). Su padre era republicano y dirigía el partido liberal de Bourg-la-Reine. Su padre se convirtió en alcalde del pueblo después de que Luis XVIII regresara al trono en 1814. Su madre, hija de un jurista, era una lectora fluida de latín y literatura clásica y fue responsable de la educación de su hijo durante sus primeros doce años. años.

El Cour d'honneur del Licée Louis-le-Grand, al que Galois asistió como niño.

En octubre de 1823, ingresó al Lycée Louis-le-Grand donde su maestro Louis Paul Émile Richard reconoció su brillantez. A la edad de 14 años, comenzó a interesarse seriamente por las matemáticas.

Encontró una copia de Éléments de Géométrie de Adrien-Marie Legendre, que, se dice, leyó "como una novela" y dominado en la primera lectura. A los 15, estaba leyendo los artículos originales de Joseph-Louis Lagrange, como Réflexions sur la résolution algébrique des équations, que probablemente motivó su trabajo posterior sobre teoría de ecuaciones, y Leçons sur le calcul des fonctions, obra destinada a matemáticos profesionales, pero su trabajo de clase no fue inspirado y sus profesores lo acusaron de afectar la ambición y la originalidad de forma negativa.

Matemática en ciernes

En 1828, intentó el examen de ingreso a la École Polytechnique, la institución de matemáticas más prestigiosa de Francia en ese momento, sin la preparación habitual en matemáticas, y suspendió por falta de explicaciones en el examen oral. En ese mismo año, ingresó en la École Normale (entonces conocida como l'École préparatoire), una institución de estudios matemáticos muy inferior en ese momento, donde encontró algunos profesores que simpatizaban con él.

Augustin-Louis Cauchy revisó los primeros documentos matemáticos de Galois.

Al año siguiente, el primer artículo de Galois, sobre fracciones continuas, fue publicado. Fue más o menos al mismo tiempo que comenzó a hacer descubrimientos fundamentales en la teoría de las ecuaciones polinómicas. Presentó dos trabajos sobre este tema a la Academia de Ciencias. Augustin-Louis Cauchy evaluó estos documentos, pero se negó a aceptarlos para su publicación por razones que aún no están claras. Sin embargo, a pesar de muchas afirmaciones en contrario, se sostiene ampliamente que Cauchy reconoció la importancia del trabajo de Galois y que simplemente sugirió combinar los dos artículos en uno solo para participar en la competencia por la Academia. #39;s Gran Premio en Matemáticas. Cauchy, un eminente matemático de la época, aunque con opiniones políticas diametralmente opuestas a las de Galois, consideró que el trabajo de Galois era un probable ganador.

El 28 de julio de 1829, el padre de Galois se suicidó después de una amarga disputa política con el cura del pueblo. Un par de días después, Galois hizo su segundo y último intento de ingresar a la Politécnica y fracasó una vez más. Es indiscutible que Galois estaba más que calificado; sin embargo, los relatos difieren sobre por qué fracasó. Cuentas más plausibles afirman que Galois dio demasiados saltos lógicos y desconcertó al examinador incompetente, lo que enfureció a Galois. La reciente muerte de su padre también puede haber influido en su comportamiento.

Después de que se le negara la admisión a la École polytechnique, Galois tomó los exámenes de bachillerato para ingresar a la École normale. Aprobó y recibió su título el 29 de diciembre de 1829. Su examinador de matemáticas informó: "Este alumno a veces es oscuro al expresar sus ideas, pero es inteligente y muestra un notable espíritu de investigación".

Envió sus memorias sobre teoría de ecuaciones varias veces, pero nunca se publicó durante su vida debido a varios eventos. Aunque Cauchy rechazó su primer intento, en febrero de 1830, siguiendo la sugerencia de Cauchy, lo envió al secretario de la Academia, Joseph Fourier, para que lo considerara para el Gran Premio de la Academia. Desafortunadamente, Fourier murió poco después y las memorias se perdieron. El premio sería otorgado ese año a Niels Henrik Abel a título póstumo y también a Carl Gustav Jacob Jacobi. A pesar de las memorias perdidas, Galois publicó tres artículos ese año. Uno sentó las bases de la teoría de Galois. El segundo fue sobre la resolución numérica de ecuaciones (búsqueda de raíces en la terminología moderna). El tercero fue importante en la teoría de números, en el que se articuló por primera vez el concepto de campo finito.

Incendiario político

Batalla para el Ayuntamiento por Jean-Victor Schnetz. Galois, como republicano firme, habría querido participar en la Revolución de Julio de 1830 pero fue impedido por el director de la Escuela Normal.

Galois vivió durante una época de agitación política en Francia. Carlos X había sucedido a Luis XVIII en 1824, pero en 1827 su partido sufrió un gran revés electoral y en 1830 el partido liberal de oposición se convirtió en mayoría. Carlos, enfrentado a la oposición política de las cámaras, organizó un golpe de estado y emitió sus notorias Ordenanzas de julio, lo que provocó la Revolución de julio que terminó con la coronación de Luis Felipe. Mientras sus homólogos de la Polytechnique hacían historia en las calles, Galois, en la École Normale, estaba encerrado por el director de la escuela. Galois se indignó y escribió una carta mordaz criticando al director, que envió a la Gazette des Écoles, firmando la carta con su nombre completo. Aunque el editor de Gazette' omitió la firma para la publicación, Galois fue expulsado.

Aunque su expulsión habría entrado en vigor formalmente el 4 de enero de 1831, Galois abandonó la escuela de inmediato y se unió a la unidad de artillería de la Guardia Nacional, firmemente republicana. Dividió su tiempo entre su trabajo matemático y sus afiliaciones políticas. Debido a la controversia en torno a la unidad, poco después de que Galois se convirtiera en miembro, el 31 de diciembre de 1830, la artillería de la Guardia Nacional se disolvió por temor a que pudieran desestabilizar al gobierno. Aproximadamente al mismo tiempo, diecinueve oficiales de la antigua unidad de Galois fueron arrestados y acusados de conspiración para derrocar al gobierno.

En abril de 1831, los oficiales fueron absueltos de todos los cargos y el 9 de mayo de 1831 se celebró un banquete en su honor, con la presencia de muchas personas ilustres, como Alejandro Dumas. El proceso se volvió desenfrenado. En algún momento, Galois se puso de pie y propuso un brindis en el que dijo: "Por Louis Philippe" con una daga sobre su copa. Los republicanos en el banquete interpretaron el brindis de Galois como una amenaza contra la vida del rey y vitorearon. Fue arrestado al día siguiente en la casa de su madre y recluido en la prisión de Sainte-Pélagie hasta el 15 de junio de 1831, cuando tuvo su juicio. El abogado defensor de Galois hábilmente afirmó que Galois en realidad dijo, "A Louis-Philippe, si traiciona," pero que el calificativo quedó ahogado en los vítores. El fiscal hizo algunas preguntas más, y tal vez influido por la juventud de Galois, el jurado lo absolvió ese mismo día.

El siguiente Día de la Bastilla (14 de julio de 1831), Galois encabezó una protesta, vestía el uniforme de la artillería disuelta y llegó fuertemente armado con varias pistolas, un rifle cargado y una daga. Fue nuevamente arrestado. Durante su estancia en prisión, Galois en un momento bebió alcohol por primera vez ante la incitación de sus compañeros de prisión. Uno de estos reclusos, François-Vincent Raspail, registró lo que dijo Galois mientras estaba borracho en una carta del 25 de julio. Extraído de la carta:

Y te digo que moriré en un duelo con ocasión de algunos coquette de bas étage. ¿Por qué? Porque me invitará a vengar su honor que otro ha comprometido.
¿Sabes lo que me falta, amigo? Sólo puedo confiarlo a ti: es alguien a quien puedo amar y amar sólo en espíritu. He perdido a mi padre y nadie lo ha reemplazado, ¿me oyes?

La primera línea es una inquietante profecía de cómo moriría Galois; el segundo muestra cómo Galois quedó profundamente afectado por la pérdida de su padre. Raspail continúa diciendo que Galois, todavía delirando, intentó suicidarse y que lo habría logrado si sus compañeros de prisión no lo hubieran detenido a la fuerza. Meses después, cuando se produjo el juicio de Galois el 23 de octubre, fue condenado a seis meses de prisión por llevar uniforme de forma ilegal. Mientras estuvo en prisión, continuó desarrollando sus ideas matemáticas. Fue puesto en libertad el 29 de abril de 1832.

Últimos días

Siméon Denis Poisson revisó el papel de Galois sobre la teoría de la ecuación y lo declaró "incomprensible".

Galois volvió a las matemáticas tras su expulsión de la École Normale, aunque siguió dedicando tiempo a actividades políticas. Tras oficializarse su expulsión en enero de 1831, intentó iniciar una clase privada de álgebra avanzada que atrajo cierto interés, pero éste decayó, ya que parecía que su activismo político tenía prioridad. Siméon Denis Poisson le pidió que presentara su trabajo sobre la teoría de ecuaciones, lo que hizo el 17 de enero de 1831. Alrededor del 4 de julio de 1831, Poisson declaró el trabajo de Galois "incomprensible", declarando que "El argumento [de Galois] no es lo suficientemente claro ni suficientemente desarrollado para permitirnos juzgar su rigor"; sin embargo, el informe de rechazo termina con una nota alentadora: "Entonces sugerimos que el autor publique la totalidad de su trabajo para formarse una opinión definitiva". Si bien el informe de Poisson se realizó antes del arresto de Galois el 14 de julio, tomó hasta octubre llegar a Galois en prisión. No sorprende, a la luz de su carácter y situación en ese momento, que Galois reaccionara violentamente a la carta de rechazo y decidiera abandonar la publicación de sus artículos a través de la Academia y, en cambio, publicarlos en privado a través de su amigo Auguste Chevalier. Aparentemente, sin embargo, Galois no ignoró el consejo de Poisson, ya que comenzó a recopilar todos sus manuscritos matemáticos mientras aún estaba en prisión y continuó puliendo sus ideas hasta su liberación el 29 de abril de 1832, después de lo cual de alguna manera lo convencieron para un duelo..

El duelo fatal de Galois tuvo lugar el 30 de mayo. Los verdaderos motivos detrás del duelo son oscuros. Se ha especulado mucho sobre ellos. Lo que sí se sabe es que, cinco días antes de su muerte, escribió una carta a Chevalier que alude claramente a un amorío roto.

Alguna investigación de archivo sobre las cartas originales sugiere que la mujer de interés romántico era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, la hija del médico del albergue donde se alojó Galois durante los últimos meses de su vida. Se encuentran disponibles fragmentos de cartas suyas, copiadas por el propio Galois (con muchas partes, como su nombre, borradas u omitidas deliberadamente). Las cartas insinúan que du Motel le había confiado algunos de sus problemas a Galois, y esto podría haberlo llevado a provocar él mismo el duelo en su nombre. Esta conjetura también está respaldada por otras cartas que Galois escribió más tarde a sus amigos la noche antes de morir. El primo de Galois, Gabriel Demante, cuando se le preguntó si sabía la causa del duelo, mencionó que Galois "se encontró en presencia de un supuesto tío y un supuesto prometido, cada uno de los cuales provocó el duelo". #34; El propio Galois exclamó: "Soy víctima de una coqueta infame y sus dos engañados".

Muchos de los biógrafos de Galois (en particular, Eric Temple Bell en Men of Mathematics) han interpolado especulaciones mucho más detalladas basadas en estos escasos detalles históricos, como la frecuentemente repetida especulación de que todo el incidente fue orquestado por la policía y las facciones realistas para eliminar a un enemigo político.

En cuanto a su oponente en el duelo, Alexandre Dumas nombra a Pescheux d'Herbinville, quien en realidad fue uno de los diecinueve oficiales de artillería cuya absolución se celebró en el banquete que ocasionó el primer arresto de Galois. Sin embargo, Dumas está solo en esta afirmación, y si tuviera razón, no está claro por qué d'Herbinville habría estado involucrado. Se ha especulado que él era el 'supuesto prometido' de du Motel. en ese momento (finalmente se casó con otra persona), pero no se ha encontrado evidencia clara que respalde esta conjetura. Por otro lado, los recortes de periódicos existentes de solo unos días después del duelo dan una descripción de su oponente (identificado por las iniciales "L.D.") que parecen aplicarse con mayor precisión a uno de los de Galois' s amigos republicanos, muy probablemente Ernest Duchatelet, que fue encarcelado con Galois por los mismos cargos. Dada la información contradictoria disponible, la verdadera identidad de su asesino bien podría perderse en la historia.

Cualesquiera que fueran las razones detrás del duelo, Galois estaba tan convencido de su muerte inminente que se quedó despierto toda la noche escribiendo cartas a sus amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático, la famosa carta a Auguste Chevalier exponiendo sus ideas, y tres manuscritos adjuntos. El matemático Hermann Weyl dijo de este testamento: "Esta carta, a juzgar por la novedad y la profundidad de las ideas que contiene, es quizás el escrito más importante de toda la literatura de la humanidad". Sin embargo, la leyenda de Galois vertiendo sus pensamientos matemáticos sobre el papel la noche antes de morir parece haber sido exagerada. En estos documentos finales, describió los aspectos básicos de algún trabajo que había estado haciendo en análisis y anotó una copia del manuscrito enviado a la Academia y otros documentos.

El monumento de Galois en el cementerio de Bourg-la-Reine. Évariste Galois fue enterrado en una tumba común y la ubicación exacta sigue siendo desconocida.

Temprano en la mañana del 30 de mayo de 1832, recibió un disparo en el abdomen, fue abandonado por sus oponentes y sus propios padrinos, y fue encontrado por un granjero que pasaba. Murió a la mañana siguiente a las diez en punto en el Hôpital Cochin (probablemente de peritonitis), después de rechazar los oficios de sacerdote. Su funeral terminó en disturbios. Había planes para iniciar un levantamiento durante su funeral, pero durante el mismo tiempo los líderes se enteraron de la muerte del general Jean Maximilien Lamarque y el levantamiento se pospuso sin que se produjera ningún levantamiento hasta el 5 de junio. Solo el hermano menor de Galois fue notificado de los hechos antes de la muerte de Galois. Galois tenía 20 años. Sus últimas palabras a su hermano menor Alfred fueron:

"¡Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon coraje pour mourir à vingt ans !"
¡No llores, Alfred! ¡Necesito todo mi coraje para morir a los veinte!)

El 2 de junio, Évariste Galois fue enterrado en una fosa común del cementerio de Montparnasse cuya ubicación exacta se desconoce. En el cementerio de su ciudad natal, Bourg-la-Reine, se erigió un cenotafio en su honor junto a las tumbas de sus familiares.

En 1843, Joseph Liouville revisó su manuscrito y lo declaró correcto. Finalmente se publicó en el número de octubre-noviembre de 1846 del Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. La contribución más famosa de este manuscrito fue una prueba novedosa de que no existe una fórmula quíntica, es decir, que las ecuaciones de quinto grado y superiores generalmente no se pueden resolver mediante radicales. Aunque Niels Henrik Abel ya había demostrado la imposibilidad de una "fórmula quíntica" por los radicales en 1824 y Paolo Ruffini había publicado una solución en 1799 que resultó ser defectuosa, los métodos de Galois condujeron a una investigación más profunda en lo que ahora se llama teoría de Galois. Por ejemplo, se puede utilizar para determinar, para cualquier ecuación polinomial, si tiene solución por radicales.

Contribuciones a las matemáticas

La página final del testamento matemático de Galois, en su propia mano. La frase "para descifrar todo este desorden" ("déchiffrer tout ce gâchis") está en el segundo a la última línea.

De las últimas líneas de una carta de Galois a su amigo Auguste Chevalier, fechada el 29 de mayo de 1832, dos días antes de la muerte de Galois:

Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Pregunte a Jacobi o Gauss públicamente a dar su opinión, no a la verdad, sino a la importancia de estos teoremas. Más tarde habrá, espero, algunas personas que lo encontrarán a su ventaja para descifrar todo este desastre.)

Dentro de las aproximadamente 60 páginas de las obras completas de Galois hay muchas ideas importantes que han tenido consecuencias de largo alcance para casi todas las ramas de las matemáticas. Su trabajo se ha comparado con el de Niels Henrik Abel (1802 - 1829), un matemático contemporáneo que murió a una edad muy temprana, y gran parte de su trabajo tuvo una superposición significativa.

Álgebra

Mientras que muchos matemáticos antes de Galois consideraron lo que ahora se conoce como grupos, fue Galois el primero en usar la palabra grupo (en francés groupe) en un sentido cercano al sentido técnico que se entiende hoy, lo que lo convierte en uno de los fundadores de la rama del álgebra conocida como teoría de grupos. Desarrolló el concepto que hoy se conoce como subgrupo normal. Llamó a la descomposición de un grupo en sus clases laterales izquierda y derecha una descomposición propia si las clases laterales izquierda y derecha coinciden, que es lo que hoy se conoce como un subgrupo normal. También introdujo el concepto de campo finito (también conocido como campo de Galois en su honor) esencialmente de la misma forma en que se entiende hoy.

En su última carta a Chevalier y los manuscritos adjuntos, la segunda de tres, realizó estudios básicos de grupos lineales sobre campos finitos:

• Construyó el grupo lineal general sobre un campo primario, GL(., p) y computó su orden, en el estudio del grupo Galois de la ecuación general del grado p^..
• Construyó el grupo lineal especial de proyecto PSL(2,p). Galois los construyó como transformados lineales fraccionados, y observó que eran simples excepto si p 2 ó 3. Éstas fueron la segunda familia de grupos simples finitos, después de los grupos alternos.
• Señaló el hecho excepcional de que PSL(2,p) es simple y actúa en puntos p si y sólo si p 5, 7, o 11.

Teoría de Galois

La contribución más significativa de Galois a las matemáticas es su desarrollo de la teoría de Galois. Se dio cuenta de que la solución algebraica de una ecuación polinomial está relacionada con la estructura de un grupo de permutaciones asociadas con las raíces del polinomio, el grupo de Galois del polinomio. Encontró que una ecuación se puede resolver en radicales si se puede encontrar una serie de subgrupos de su grupo de Galois, cada uno normal en su sucesor con cociente abeliano, es decir, su grupo de Galois es resoluble. Este resultó ser un enfoque fértil, que los matemáticos posteriores adaptaron a muchos otros campos de las matemáticas además de la teoría de ecuaciones a la que Galois la aplicó originalmente.

Análisis

Galois también hizo algunas contribuciones a la teoría de las integrales abelianas y las fracciones continuas.

Como escribió en su última carta, Galois pasó del estudio de las funciones elípticas a la consideración de las integrales de las diferenciales algebraicas más generales, hoy llamadas integrales abelianas. Clasificó estas integrales en tres categorías.

Fracciones continuas

En su primer documento en 1828, Galois demostró que la fracción continua regular representa un surd cuadrático Especificaciones es puramente periódica si y sólo si Especificaciones es un surd reducido, es decir, 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Especificaciones Especificaciones ■1{displaystyle zeta1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9118241d7cfd653b3d887a8c23b11f98747e5f05" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.356ex; height:2.509ex;"/> y su conjugado .. {displaystyle eta }satisfizo <math alttext="{displaystyle -1<eta − − 1... .0{displaystyle -1 se hizo eta #<img alt="-1<eta .

De hecho, Galois mostró más que esto. También demostró que si ζ es un irónico cuadrático reducido y η es su conjugado, entonces las fracciones continuas para ζ y para (−1/ η) son puramente periódicas, y el bloque que se repite en una de esas fracciones continuas es la imagen especular del bloque que se repite en la otra. En símbolos tenemos

Especificaciones Especificaciones =[a0;a1,a2,...... ,am− − 1̄ ̄ ]− − 1.. =[am− − 1;am− − 2,am− − 3,...... ,a0̄ ̄ ]{displaystyle {begin{aligned}zeta > {fnMicrosoft Sans Serif} {a_{0};a_{1},a_{2},dotsa_{m-1},][3pt]{frac {-1}{eta ♪♪♪♪♪ {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},dotsa_{0},end{aligned}}}

donde ζ es cualquier enfado cuadrático reducido, y η es su conjugado.

De estos dos teoremas de Galois se puede deducir un resultado ya conocido por Lagrange. Si r > 1 es un número racional que no es un cuadrado perfecto, entonces

r=[a0;a1,a2,...... ,a2,a1,2a0̄ ̄ ].{fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} Vale.

En particular, si n es cualquier número entero positivo no cuadrado, la expansión de fracción continua regular de √n contiene un bloque repetido de longitud m, en el que los primeros m − 1 denominadores parciales forman una cadena palindrómica.