Eudoxo de Cnido

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Eudoxo de Cnido (griego antiguo: Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, Eúdoxos ho Knídios; c.  408 - c.  355 a. C.) fue un antiguo astrónomo, matemático, erudito y estudiante griego de Arquitas y Platón. Todas sus obras originales se han perdido, aunque se conservan algunos fragmentos en el comentario de Hipparchus sobre el poema de Aratus sobre astronomía. Los esféricos de Teodosio de Bitinia pueden estar basados ​​en una obra de Eudoxo.

Vida

Eudoxo nació y murió en Cnidus (también escrito Knidos), que era una ciudad en la costa suroeste de Asia Menor. Los años del nacimiento y la muerte de Eudoxo no se conocen por completo, pero el rango puede haber sido c.  408 – c.  355 aC, o c.  390 – c.  337 aC. Su nombre Eudoxus significa "honrado" o "de buena reputación" (εὔδοξος, de eu "bueno" y doxa "opinión, creencia, fama"). Es análogo al nombre latino Benedictus.

Al padre de Eudoxo, Esquines de Cnido, le encantaba observar las estrellas por la noche. Eudoxo viajó primero a Tarento para estudiar con Arquitas, de quien aprendió matemáticas. Mientras estaba en Italia, Eudoxus visitó Sicilia, donde estudió medicina con Philiston.

A la edad de 23 años, viajó con el médico Theomedon, quien (según Diógenes Laërtius) algunos creían que era su amante.—a Atenas para estudiar con los seguidores de Sócrates. Eventualmente asistió a conferencias de Platón y otros filósofos durante varios meses, pero debido a un desacuerdo tuvieron una pelea. Eudoxo era bastante pobre y solo podía permitirse un apartamento en El Pireo. Para asistir a las conferencias de Platón, caminó 7 millas (11 km) en cada dirección todos los días. Debido a su pobreza, sus amigos recaudaron fondos suficientes para enviarlo a Heliópolis, Egipto, para continuar sus estudios de astronomía y matemáticas. Vivió allí durante 16 meses. Desde Egipto, luego viajó al norte a Cyzicus, ubicado en la orilla sur del Mar de Mármara, el Propontis. Viajó al sur a la corte de Mausolo. Durante sus viajes reunió a muchos estudiantes propios.

Alrededor del 368 a. C., Eudoxo regresó a Atenas con sus alumnos. Según algunas fuentes, alrededor de 367 asumió la dirección (erudito) de la Academia durante el período de Platón en Siracusa y enseñó a Aristóteles. Eventualmente regresó a su Cnido natal, donde sirvió en la asamblea de la ciudad. Mientras estuvo en Cnido, construyó un observatorio y continuó escribiendo y dando conferencias sobre teología, astronomía y meteorología. Tuvo un hijo, Aristágoras, y tres hijas, Actis, Philtis y Delphis.

En astronomía matemática, su fama se debe a la introducción de las esferas concéntricas y sus primeras contribuciones a la comprensión del movimiento de los planetas.

Su trabajo sobre proporciones muestra una percepción de los números reales; permite un tratamiento riguroso de cantidades continuas y no solo de números enteros o incluso de números racionales. Cuando fue revivido por Tartaglia y otros en el siglo XVI, se convirtió en la base para el trabajo cuantitativo en la ciencia e inspiró el trabajo de Richard Dedekind.

Los cráteres de Marte y la Luna llevan su nombre en su honor. Una curva algebraica (la Kampyle de Eudoxus) también lleva su nombre.

Matemáticas

Eudoxo es considerado por algunos como el más grande de los matemáticos griegos clásicos, y en toda la Antigüedad solo superado por Arquímedes. Eudoxo fue probablemente la fuente de la mayor parte del libro V de los Elementos de Euclides. Desarrolló con rigor el método de agotamiento de Antiphon, precursor del cálculo integral que también fue utilizado de manera magistral por Arquímedes en el siglo siguiente. Al aplicar el método, Eudoxo demostró afirmaciones matemáticas tales como: las áreas de los círculos son entre sí como los cuadrados de sus radios, los volúmenes de las esferas son entre sí como los cubos de sus radios, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y altura, y el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro correspondiente.

Eudoxo introdujo la idea de magnitud matemática no cuantificada para describir y trabajar con entidades geométricas continuas como líneas, ángulos, áreas y volúmenes, evitando así el uso de números irracionales. Al hacerlo, invirtió el énfasis pitagórico en el número y la aritmética, centrándose en cambio en los conceptos geométricos como base de las matemáticas rigurosas. Algunos pitagóricos, como Arquitas, el maestro de Eudoxo, creían que solo la aritmética podía proporcionar una base para las demostraciones. Inducido por la necesidad de comprender y operar con cantidades inconmensurables, Eudoxo estableció lo que pudo haber sido la primera organización deductiva de las matemáticas sobre la base de axiomas explícitos. El cambio de enfoque de Eudoxo estimuló una brecha en las matemáticas que duró dos mil años.

Los pitagóricos habían descubierto que la diagonal de un cuadrado no tiene una unidad de medida común con los lados del cuadrado; este es el famoso descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 no se puede expresar como la razón de dos números enteros. Este descubrimiento había anunciado la existencia de cantidades inconmensurables más allá de los números enteros y las fracciones racionales, pero al mismo tiempo cuestionaba la idea de medición y cálculo en la geometría en su conjunto. Por ejemplo, Euclides proporciona una demostración elaborada del teorema de Pitágoras (Elementos I.47), usando la suma de áreas y solo mucho más tarde (Elementos VI.31) una demostración más simple de triángulos similares, que se basa en proporciones de segmentos de línea.

Los antiguos matemáticos griegos no calculaban con cantidades y ecuaciones como lo hacemos hoy, sino que usaban proporcionalidades para expresar la relación entre cantidades. Por lo tanto, la relación de dos cantidades similares no era solo un valor numérico, como lo consideramos hoy; la razón de dos cantidades similares era una relación primitiva entre ellas.

Eudoxo pudo restaurar la confianza en el uso de proporcionalidades al proporcionar una definición asombrosa del significado de la igualdad entre dos proporciones. Esta definición de proporción forma el tema del Libro V de Euclides.

En la Definición 5 del Libro V de Euclides leemos:

Se dice que las magnitudes están en la misma razón, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta cuando, si se toma cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera, y cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta, los primeros equimúltiplos exceden igualmente, son iguales o similares a estos últimos equimúltiplos respectivamente tomados en el orden correspondiente.

Al usar la notación moderna, esto se aclara de la siguiente manera. Si tomamos cuatro cantidades: a, b, c y d, entonces la primera y la segunda tienen razón un/b; del mismo modo, el tercero y el cuarto tienen una proporción discos compactos.

Ahora para decir que a/b = c/dhacemos lo siguiente: Para cualesquiera dos enteros arbitrarios, m y n, forman los equimúltiplos m · a y m · c del primero y del tercero; forman igualmente los equimúltiplos n · b y n · d del segundo y del cuarto.

Si sucede que m · a > n · b, entonces también debemos tener m · c > n · d. Si sucede que m · a = n · b, entonces también debemos tener m · c = n · d. Finalmente, si sucede que m · a < n · b, entonces también debemos tener m · c < n · d.

Note que la definición depende de comparar las cantidades similares m · a y n · b, y las cantidades similares m · c y n · d, y no depende de la existencia de una unidad común para medir estas cantidades.

La complejidad de la definición refleja la profunda innovación conceptual y metodológica involucrada. Recuerda el famoso quinto postulado de Euclides sobre las paralelas, que es más extenso y complicado en su redacción que los otros postulados.

La definición eudoxiana de proporcionalidad usa el cuantificador, "para todo..." para aprovechar lo infinito y lo infinitesimal, tal como lo hacen las modernas definiciones epsilon-delta de límite y continuidad.

Además, la propiedad de Arquímedes establecida como definición 4 del libro V de Euclides se debe originalmente no a Arquímedes sino a Eudoxo.

Astronomía

En la antigua Grecia, la astronomía era una rama de las matemáticas; los astrónomos buscaron crear modelos geométricos que pudieran imitar las apariencias de los movimientos celestes. Identificar el trabajo astronómico de Eudoxo como una categoría separada es, por lo tanto, una conveniencia moderna. Algunos de los textos astronómicos de Eudoxo cuyos nombres han sobrevivido incluyen:

Estamos bastante bien informados sobre el contenido de Phaenomena, ya que el texto en prosa de Eudoxus fue la base para un poema del mismo nombre de Aratus. Hipparchus citó el texto de Eudoxus en su comentario sobre Aratus.

Modelos planetarios Eudoxan

Una idea general del contenido de Sobre las velocidades puede extraerse de la Metafísica XII, 8 de Aristóteles, y de un comentario de Simplicio de Cilicia (siglo VI dC) sobre De caelo, otra obra de Aristóteles. Según una historia relatada por Simplicius, Platón planteó una pregunta a los astrónomos griegos: "¿Bajo la suposición de qué movimientos uniformes y ordenados pueden explicarse los movimientos aparentes de los planetas?" Platón propuso que los movimientos errantes aparentemente caóticos de los planetas podrían explicarse mediante combinaciones de movimientos circulares uniformes centrados en una Tierra esférica, aparentemente una idea novedosa en el siglo IV a.

En la mayoría de las reconstrucciones modernas del modelo Eudoxan, a la Luna se le asignan tres esferas:

Al Sol también se le asignan tres esferas. El segundo completa su movimiento en un año en lugar de un mes. La inclusión de una tercera esfera implica que Eudoxo creyó erróneamente que el Sol tenía movimiento en latitud.

A los cinco planetas visibles (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) se les asignan cuatro esferas cada uno:

Importancia del sistema Eudoxan

Calipo, un astrónomo griego del siglo IV, agregó siete esferas a las 27 originales de Eudoxo (además de las esferas planetarias, Eudoxo incluyó una esfera para las estrellas fijas). Aristóteles describió ambos sistemas, pero insistió en agregar esferas de "desenrollamiento" entre cada conjunto de esferas para cancelar los movimientos del conjunto exterior. Aristóteles estaba preocupado por la naturaleza física del sistema; sin desenrolladores, los movimientos exteriores se transferirían a los planetas interiores.

Una gran falla en el sistema Eudoxiano es su incapacidad para explicar los cambios en el brillo de los planetas vistos desde la Tierra. Debido a que las esferas son concéntricas, los planetas siempre permanecerán a la misma distancia de la Tierra. Este problema fue señalado en la Antigüedad por Autólico de Pitane. Los astrónomos respondieron introduciendo el deferente y el epiciclo, lo que provocó que un planeta variara su distancia. Sin embargo, la importancia de Eudoxo para la astronomía y en particular para la astronomía griega es considerable.

Ética

Aristóteles, en la Ética a Nicómaco, atribuye a Eudoxo un argumento a favor del hedonismo, es decir, que el placer es el bien último por el que lucha la actividad. Según Aristóteles, Eudoxo presentó los siguientes argumentos para esta posición:

  1. Todas las cosas, racionales e irracionales, apuntan al placer; las cosas apuntan a lo que creen que es bueno; una buena indicación de cuál es el principal bien sería aquello a lo que apuntan la mayoría de las cosas.
  2. De manera similar, el opuesto del placer, el dolor, se evita universalmente, lo que brinda un apoyo adicional a la idea de que el placer se considera universalmente bueno.
  3. Las personas no buscan el placer como un medio para otra cosa, sino como un fin en sí mismo.
  4. Cualquier otro bien que se te ocurra sería mejor si se le añadiera placer, y sólo con el bien se puede aumentar el bien.
  5. De todas las cosas que son buenas, la felicidad es peculiar por no ser alabada, lo que puede mostrar que es el bien supremo.