Estructura matemática

En matemáticas, una estructura es un conjunto dotado de algunas características adicionales en el conjunto (por ejemplo, una operación, relación, métrica o topología). A menudo, las características adicionales se adjuntan o se relacionan con el conjunto, para proporcionarle algún significado o significado adicional.

Una lista parcial de estructuras posibles son medidas, estructuras algebraicas (grupos, campos, etc.), topologías, estructuras métricas (geometrías), órdenes, eventos, relaciones de equivalencia, estructuras diferenciales y categorías.

A veces, un conjunto está dotado de más de una característica simultáneamente, lo que permite a los matemáticos estudiar más ricamente la interacción entre las diferentes estructuras. Por ejemplo, una ordenación impone una forma, forma o topología rígidas en el conjunto, y si un conjunto tiene tanto una característica de topología como una característica de grupo, de modo que estas dos características estén relacionadas de cierta manera, entonces la estructura se convierte en una topología. grupo.

Las asignaciones entre conjuntos que conservan estructuras (es decir, las estructuras en el dominio se asignan a estructuras equivalentes en el codominio) son de especial interés en muchos campos de las matemáticas. Ejemplos son los homomorfismos, que conservan estructuras algebraicas; homeomorfismos, que conservan estructuras topológicas; y difeomorfismos, que conservan estructuras diferenciales.

Historia

En 1939, el grupo francés con el seudónimo de Nicolas Bourbaki vio en las estructuras la raíz de las matemáticas. Primero los mencionaron en su "Fascículo" de Teoría de Conjuntos y lo ampliaron en el Capítulo IV de la edición de 1957. Identificaron tres estructuras madre: algebraica, topológica y de orden.

Ejemplo: los números reales

El conjunto de números reales tiene varias estructuras estándar:

• Un orden: cada número es menor o mayor que cualquier otro número.
• Estructura algebraica: existen operaciones de multiplicación y suma que la convierten en un campo.
• Una medida: los intervalos de la línea real tienen una longitud específica, que se puede extender a la medida de Lebesgue en muchos de sus subconjuntos.
• Una métrica: hay una noción de distancia entre puntos.
• Una geometría: está dotada de una métrica y es plana.
• Una topología: hay una noción de conjuntos abiertos.

Hay interfaces entre estos:

• Su orden e, independientemente, su estructura métrica inducen su topología.
• Su orden y estructura algebraica lo convierten en un campo ordenado.
• Su estructura algebraica y su topología lo convierten en un grupo de Lie, una especie de grupo topológico.