Estructura en T

En la rama de las matemáticas llamada álgebra homológica, a t-estructura es una manera de axiomatizar las propiedades de una subcategoría abeliana de una categoría derivada. A t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ consta de dos subcategorías ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ de una categoría triangulada o categoría de infinito estable que abstracta la idea de complejos cuya cohomología desaparece en grados positivos, respectivamente negativos. Puede haber muchos distintos t-estructuras en la misma categoría, y la interacción entre estas estructuras tiene implicaciones para el álgebra y la geometría. La noción de un t- La estructura surgió en el trabajo de Beilinson, Bernstein, Deligne, y Gabber en cuchillas perversas.

Definición

Arreglar una categoría triangulada ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ con functor de traducción ${\displaystyle [1]$. A t-estructura on ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es un par ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ de subcategorías completas, cada una de las cuales es estable bajo el isomorfismo, que satisface los tres axiomas siguientes.

1. Si X es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y Y es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$Entonces ${\displaystyle \operatorname [Hom] _{\mathcal {D}(X,Y[-1])=0.}$
2. Si X es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$Entonces X[1] es también un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$. Del mismo modo, si Y es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$Entonces Y[-1] es también un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$.
3. Si A es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, entonces existe un triángulo distinguido ${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$ tales que X es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y Y es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$.

Se puede demostrar que las subcategorías ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$ se cierran bajo prórrogas en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. En particular, están estables bajo sumas directas finitas.

Supongamos que ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ es un t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. En este caso, para cualquier entero n, definimos ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} No.$ para ser la subcategoría completa ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ cuyos objetos tienen la forma ${\displaystyle X[-n]}$, donde ${\displaystyle X}$ es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$. Análogamente, ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} No.$ es la subcategoría completa de objetos ${\displaystyle Y [-n]$, donde ${\displaystyle Sí.$ es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$. Más brevemente, definimos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fn}}}}}}}} {\fnK}}}}}} {\fn\f}}}}}} {\fn\f}}}}}}}} {\fn\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\p}}}}}}}}}\ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans} {\fn} {\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn\fn}\fn\fn}\fn}\\fn}\\\fn}\\\\fn}\\\\\\\\\\\\fnK\fn\fn}\fn}\fn}\fn}\fn\\\\\\\\\\\\\\fn}\fn}\\fn {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Con esta notación, los axiomas anteriores se pueden reescribir como:

1. Si X es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y Y es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} 1}$Entonces ${\displaystyle \operatorname [Hom] _{\mathcal {D}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\máthcal {}} {\cH00}\beseq {\cHFF} {\cHFF} {\cH}}} {\cH}}} {\cH}}}}}}}} {\cH}}}} {\cH}}}}}}}}} {\cH}}}}}}} {\b9}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\ 1}$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} ##\supseteq {\fnMithcal} {\fnK} {\fnK} {\fnK}} 1}$.
3. Si A es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, entonces existe un triángulo distinguido ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ tales que X es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y Y es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} 1}$.

El corazón o núcleo básico de la t- La estructura es la subcategoría completa ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} }$ consistente en objetos contenidos en ambos ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$, es decir,

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} # {\fnh} {\fnh} {\fnh}\cHFF}\cH}\cHFF} {\\fn}\fn}\fn}\\fn}\fn}\cH0}\fn\\\\fnK}}\\cH0}\cH00}\cH0}\cH00}\cH}\\cH}\cH0}\\\\\\\\cH}\cH0}\cH0}\\\\\\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\\\\\\\\\\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\cHFF}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH}\cH .$

El corazón de una estructura t es una categoría abeliana (mientras que una categoría triangulada es aditiva pero casi nunca abeliana) y es estable bajo extensiones.

Una categoría triangulada con una opción de estructura t a veces se denomina categoría t.

Variaciones

Está claro que, para definir un t- estructura, basta con arreglar los enteros m y n y especificar ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} #$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} No.$. Algunos autores definen un t- la estructura para ser el par ${\fnMicrosoft Sans Serif} 1})}$.

Las dos subcategorías ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} 1}$ determinar uno al otro. Un objeto X está dentro. ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ si ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$ para todos los objetos Y dentro ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} 1}$Y viceversa. Eso es, ${\fnMicrosoft Sans Serif} 1})}$ son los complementos ortogonales izquierdo y derecho del otro. En consecuencia, es suficiente especificar sólo uno de ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} 1}$. Además, debido a que estas subcategorías están llenas por definición, basta con especificar sus objetos.

La notación anterior se adapta al estudio de la cohomología. Cuando el objetivo es estudiar homología, se utiliza notación ligeramente diferente. A homológica t-estructura on ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es un par ${\displaystyle ({\mathcal {}_{\geq 0},{\mathcal {}_{\leq 0}}$ tal que, si definimos

${\fnMithcal {\fnMithcal} {\fnMithcal {\f} {\fnMithcal {\f}}=({\mthcal {\f}}_{\gq 0},{\mathcal {\f}_}_{\m}}}}}}}}}$

entonces ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ es un (cohomológico) t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. Es decir, la definición es la misma excepto que los índices superiores se convierten en índices inferiores y los roles de los ${\displaystyle \geq }$ y ${\displaystyle \leq }$ son intercambiados. Si definimos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

entonces los axiomas para una estructura t homológica pueden escribirse explícitamente como

1. Si X es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal}_{\gq .$ y Y es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fn}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\f}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}} -1}$Entonces ${\displaystyle \operatorname [Hom] _{\mathcal {D}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {}_{\gq} {\g} {\fn}}}\\fnK} .$ y ${\displaystyle {\mathcal {}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {}_{\leq .$.
3. Si A es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, entonces existe un triángulo distinguido ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ tales que X es un objeto ${\displaystyle {\\fnMithcal}_{\gq .$ y Y es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fn}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\f}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}} -1}$.

Ejemplos

La estructura en T natural

El ejemplo más fundamental de un t- La estructura es naturales naturales t-estructura en una categoría derivada. Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser una categoría abeliana, y dejar ${\displaystyle D({\mathcal {A})}$ ser su categoría derivada. Entonces el natural t-La estructura se define por el par de subcategorías

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A})}{\leq ################################################################################################################################################################################################################################################################ 0} {=\{X\colon \forall i done0,\ H^{i}(X)=0\}\end{aligned}}$

Se deduce inmediatamente que

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A})}{\leq ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMicrosoft Sans Serif} }=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}=0\}\cong {\mathcal {A}}\end{aligned}}}$

En este caso, el tercer axioma para un t- la estructura, la existencia de un determinado triángulo distinguido, se puede hacer explícita como sigue. Supongamos que ${\displaystyle ¿Qué?$ es un complejo de cocaína con valores en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. Define

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Está claro que ${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq Oh, Dios mío.$ y que hay una breve secuencia exacta de complejos

${\displaystyle 0\to\tau Oh, Dios mío.$

Esta secuencia exacta proporciona el triángulo distinguido requerido.

Este ejemplo se puede generalizar a categorías exactas (en el sentido de Quillen). También hay similares t-estructuras para las categorías atadas, atadas arriba y atadas por debajo de las derivadas. Si ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es una subcategoría abeliana ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, entonces la subcategoría completa ${\displaystyle D_{\mathcal {} {\fnMithcal}} {\fnMithcal}}$ de ${\displaystyle D({\mathcal {A})}$ que consiste en aquellos complejos cuya cohomología está en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ tiene un similar t- estructura cuyo corazón es ${\displaystyle {\fnMithcal}}$.

Gavillas perversas

La categoría de gavillas perversas es, por definición, el núcleo de la llamada estructura t perversa sobre la categoría derivada de la categoría de gavillas en un complejo espacio analítico X o (trabajando con gavillas l-ádicas) una variedad algebraica sobre un campo finito. Como se explicó anteriormente, el corazón de la estructura t estándar simplemente contiene haces ordinarios, considerados complejos concentrados en grado 0. Por ejemplo, la categoría de haces perversos en una curva algebraica (posiblemente singular) X (o de manera análoga una superficie posiblemente singular) está diseñada de modo que contenga, en particular, objetos de la forma

${\displaystyle ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle i:Z\to X}$ es la inclusión de un punto, ${\displaystyle F_{Z}$ es una hoja corriente, ${\displaystyle U}$ es un subscheme abierto suave y ${\displaystyle F_{U}$ es una hoja constante local U. Note la presencia del cambio según la dimensión de Z y U respectivamente. Este cambio hace que la categoría de cuchillas perversas sea bien interpretada en espacios singulares. Los objetos simples de esta categoría son las cuchillas de cohomología de intersección de subvarieties con coeficientes en un sistema local irreducible. Esta estructura t fue introducida por Beilinson, Bernstein y Deligne. Fue demostrado por Beilinson que la categoría derivada del corazón ${\displaystyle D^{b}(Perv(X)}$ es en realidad equivalente a la categoría original derivada de las cuchillas. Este es un ejemplo del hecho general de que una categoría triangulada puede estar dotada de varias estructuras t distintas.

Módulos graduados

Un ejemplo no estándar de una estructura en T en la categoría derivada de módulos (graduados) sobre un anillo graduado tiene la propiedad de que su corazón consta de complejos

${\displaystyle \dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

Donde ${\displaystyle P^{n}$ es un módulo generado por su grado (grado) n. Esta estructura t llamada t geométrica juega un papel prominente en la dualidad Koszul.

Espectros

La categoría de espectro está dotada de una estructura t generada, en el sentido anterior, por un solo objeto, a saber, el espectro de la esfera. La categoría ${\displaystyle Sp^{\leq 0}$ es la categoría de espectros conectivos, es decir, aquellos cuyos grupos negativos de homotopy desaparecen. (En áreas relacionadas con la teoría de la homotopia, es común utilizar convenciones homológicas, en lugar de las cohomológicas, por lo que en este caso es común reemplazar "${\displaystyle \leq }$"(superscript) por "${\displaystyle \geq }$" (subscrito). Utilizando esta convención, la categoría de espectros conectivos se denota como ${\displaystyle Sp_{\geq 0}$)

Motivos

Un ejemplo conjetural en la teoría de los motivos es la llamada estructura t motívica. Su existencia (conjetural) está estrechamente relacionada con ciertas conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos y conjeturas de fuga, como la conjetura de Beilinson-Soulé.

Funtores de truncamiento

En el ejemplo anterior del natural t-estructura en la categoría derivada de una categoría abeliana, el distinguido triángulo garantizado por el tercer axioma fue construido por truncación. Como operaciones en la categoría de complejos, las truncaciones ${\displaystyle \tau _{\leq Oh, Dios mío.$ y ${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }$ son functorial, y la secuencia corta resultante exacta de complejos es natural en ${\displaystyle ¿Qué?$. Utilizando esto, se puede demostrar que hay functores de truncación en la categoría derivada y que inducen un triángulo distinguido natural.

De hecho, este es un ejemplo de fenómeno general. Mientras los axiomas para un t-La estructura no asume la existencia de functores de truncación, tales functores siempre se pueden construir y son esencialmente únicos. Supongamos que ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es una categoría triangulada y ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ es un t- estructura. La afirmación precisa es que los functores de inclusión

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota {\fn\fn}\\\fnh}\\\fn\fnh}\\\\nh}\\\\\\\\\\\eq\\\\gn}\fn}\fn}\fn}\\\\\\nh}\\fn}\\\\\\fnK\fnK}\\\\\fn}\\fn}\fn}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH3}\]\\\\\\\\cH3}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\cH3n}}}\\\\\\\cH3n}\\cH3n}\cH3n}\cH0}\cH00}\cH00}\cH00}}\cH3}}\\\\cH00}}}}}\\$

admite adjuntos. Estos son functores

${\fnK} {\fn}\fn}\fn}\\fnh}\\\fn}\n}\n}\n}\mthcal {\fn} {\fn} {\\\fn}\fn}\\fn}\\\\fnh}\\\fnh}\\\\fn}\\\fn}}\\\\fn}}}}\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$

tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\\tau ^{\gq n}\dashv \iota ^{\geq n}\end{aligned}}}$

Además, para cualquier objeto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, existe un único

${\displaystyle d\in \operatorname [Hom] ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}$

tal que d y la unidad y la unidad de las conjunciones juntas definen un triángulo distinguido

${\displaystyle \tau ^{\leq A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}\tau ^{\leq 0}A[1].}$

Hasta el isomorfismo único, este es el único triángulo distinguido de la forma ${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$ con ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Sí.$ objetos de ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} 1}$, respectivamente. Se deriva de la existencia de este triángulo que un objeto ${\displaystyle A}$ mentiras ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} No.$ (Resp. ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} No.$Si y sólo si ${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$ (Resp. ${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$).

La existencia de ${\displaystyle \tau ^{\leq .$ implica la existencia de los otros functores de truncación cambiando y tomando categorías opuestas. Si ${\displaystyle A}$ es un objeto ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, el tercer axioma para un t-La estructura afirma la existencia de una ${\displaystyle X}$ dentro ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ y un morfismo ${\displaystyle X\to A}$ encajar en un determinado triángulo distinguido. Para cada uno ${\displaystyle A}$, fijar uno tal triángulo y definir ${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$. Los axiomas para un t- La estructura implica que, para cualquier objeto ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$, tenemos

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

con el isomorfismo inducido por el morfismo ${\displaystyle X\to A}$. Esta exposición ${\displaystyle X}$ como solución a un problema de cartografía universal. Resultados estándar en functores adjuntos ahora implican que ${\displaystyle X}$ es único hasta el isomorfismo único y que hay una manera única de definir ${\displaystyle \tau ^{\leq .$ sobre los morfismos que lo hacen un derecho unido. Esto demuestra la existencia de ${\displaystyle \tau ^{\leq .$ y por lo tanto la existencia de todos los functores de truncación.

truncación repetida para una t- La estructura se comporta de forma similar a la truncación repetida para complejos. Si ${\displaystyle n\leq m}$, entonces hay transformaciones naturales

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n} limit\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\gq n} limit\to \tau ^{\gq m},\end{aligned}}}}}}}}$

que producen equivalencias naturales

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m}\\\\\tau ^{\gq m}\ > stckrel {\sim }{\to }\ \tau ^{\gq m}\circ \tau ^{\gq n},\\\\tau ^{\gq n}\circ \tau ^{\leq m}\ > stckrel {\sim }{\to }\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}\end{aligned}}$

Functores de cohomología

El nT cohomology functor ${\displaystyle H^{n}$ se define como

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ↑\gq 0}\circ [n].}$

Como sugiere el nombre, este es un funerario cohomológico en el sentido habitual de una categoría triangulada. Es decir, para cualquier triángulo distinguido ${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$, obtenemos una secuencia exacta larga

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots.}$

En aplicaciones a la topología algebraica, los functores de cohomología pueden ser denotados ${\displaystyle \pi _{n}$ en lugar de ${\displaystyle H^{n}$. Los hongos cohomológicos toman valores en el corazón ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} }$. Por una de las identidades de truncación repetidas arriba, hasta la equivalencia natural es equivalente a definir

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ↑\leq 0}\circ [n].}$

Para el natural t-estructura en una categoría derivada ${\displaystyle D({\mathcal {A})}$, el functor de cohomología ${\displaystyle H^{n}$ es, hasta el quasi-isomorfismo, lo habitual ngrupo de cohomología de un complejo. Sin embargo, considerado como functores en complejos, esto es no Cierto. Considerar, por ejemplo, ${\displaystyle H^{0}$ como se define en términos de lo natural t- estructura. Por definición, esto es

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet ) 0}(A^{\bullet })\\=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to\cdots)\\\==(\cdots \to Aend{-1}/\ker d^$

Este complejo no es cero en grados ${\displaystyle -1}$ y ${\displaystyle 0}$, por lo que claramente no es el mismo que el grupo de cohomología cero del complejo ${\displaystyle ¿Qué?$. Sin embargo, el diferencial no-trivial es una inyección, por lo que la única cohomología no-trivial es en grado ${\displaystyle 0}$, donde está ${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}$, el grupo de cohomología cero del complejo ${\displaystyle ¿Qué?$. De ahí que las dos posibles definiciones de ${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet )}$ son quasi-isomorfos.

A t- La estructura es no degenerado si la intersección de todos ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} No.$, así como la intersección de todos ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} No.$, consiste sólo en cero objetos. Para un no degenerado t-estructura, la colección de hongos ${\displaystyle # {H^{n} # {n\in} {Z}}$ es conservador. Además, en este caso, ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} No.$ (Resp. ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} No.$) se puede identificar con la subcategoría completa de esos objetos ${\displaystyle A}$ para la cual ${\displaystyle H^{i}(A)=0}$ para ${\displaystyle i títulon}$ (Resp. ${\displaystyle i wonn}$).

Functores exactos

Para ${\displaystyle i=1,2}$, vamos ${\fnMicrosoft Sans Ser}$ ser una categoría triangulada con un fijo t-estructura ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMitcal} {\f}\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$. Supongamos que ${\displaystyle F\colon {\Mathcal {}_{1}\to} {\fnMitcal {\fnK}} {\fnMitcal}} {\fnMitcal}}} {\fn}}} {\fnK}}} {\fnMitcal}}}}}} {\fnK}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ es un functor exacto (en el sentido habitual de las categorías trianguladas, es decir, hasta una equivalencia natural que se comunica con la traducción y preserva los triángulos distinguidos). Entonces... ${\displaystyle F}$ es:

• Izquierda t-Exacto si ${\displaystyle F({\Mathcal {\fnK} {\fnK} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn\fn}}\fn\fn\fn}}\fn\fn\fn}} {\fn\f}}}}\\\fn\fn\fn}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Subseteq {\mathcal {}_{2}{\geq .$,
• Bien. t-Exacto si ${\displaystyle F({\mathcal {}_{1}{\leq 0}\subseteq {\mathcal {}_{2}}} {\leq} .$, y
• t-Exacto si es izquierda y derecha t-Exacto.

Es elemental ver que si ${\displaystyle F}$ es plenamente fiel y t-Exacto, entonces un objeto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\fnMithcal} {}} {}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}}} {\fnK}}}}}}}} {\f}}}}} {\fn}}}}}}}}$ está dentro. ${\fnMicrosoft Sans} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\fnK}} {\fn}}} {\fn\fnK}} {\fnK}}}\\fn\fn\\fn\fn\f}}\\\fnK\\fnK}}}}}}\\\\\\\\\\\\\fnK\fnK\fnK\\fnK\\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} .$ (Resp. ${\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnK}} {\fnK}} {\\fn}}}} {\\fnK}}}}\\\\fn\\fn\fnK}}\\\\fnK\fnK}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\fnK\fnK\fnK}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ .$Si y sólo si ${\displaystyle ¡Ay!$ está dentro. ${\fnMicrosoft Sans Serif} .$ (Resp. ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft} {\fnK}}} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}\fnK}} {\f}}}}}}\\\fnK}}}}}\\\fn\f}}}}}\\\\\\fn\\\\\\fn\fn\\\\\\\\\\\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ .$). También es elemental ver que si ${\displaystyle G\colon {\Mathcal {}_{2}\to {\fnMitcal {\fnK}} {\fnMitcal}} {\fnMitcal}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fnMitcal {}}}}}} {\fn}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}$ es otra izquierda (resp. derecha) t-exacto functor, luego el compuesto ${\displaystyle G\circ F}$ también queda (resp. derecha) t-Exacto.

La motivación para el estudio de un lado t- propiedades de la exactitud es que conducen a propiedades de la exactitud unilateral en los corazones. Vamos. ${\displaystyle \iota ¿Qué? ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪ {\fnh} {\fnh} {\fnMitcal} {}_{i}$ ser la inclusión. Entonces hay un functor compuesto

${\displaystyle {\fnMicrosoft} F\circ \iota ¿Qué? ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪ {\fnh} {\fnh} {\fnMitcal} {\fnMicrosoft Sans Serif} }$

Se puede demostrar que si ${\displaystyle F}$ es izquierda (resp. derecha) exacta, entonces ${\displaystyle {} {\fnMicrosoft} }$ también se deja (resp. derecha) exacta, y que si ${\displaystyle G.$ también se deja (resp. derecha) exacta, entonces ${\displaystyle {}{p}(G\circ F)=({}{p}G)\circ ({}^{p}F)}$.

Si ${\displaystyle F}$ derecho (resp. izquierda) t-Exacto, y si ${\displaystyle A}$ está dentro. ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnh} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}}} {\\fnMicrosoft}} .$ (Resp. ${\displaystyle {\\fnMithcal} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} .$), entonces hay un isomorfismo natural ${\displaystyle {} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}}\fnMicrosoft Sans Serif}$ (Resp. ${\displaystyle H^{0}F(A)\ {\sim}{\sim}{\to }\ {\fnMicrosoft Sans Serif}$).

Si ${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {}_{1}\leftrightarrows {\fnMitcal {\fnK}} {\fnMitcal}} {\fnMitcal}}} {\fn}}} {\fnK}}} {\fnMitcal}}}}}} {\fnK}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ son functores exactos con ${\displaystyle T^{*}$ a la izquierda ${\displaystyle T_{*}$Entonces ${\displaystyle T^{*}$ Está bien. t-Exacto si y sólo si ${\displaystyle T_{*}$ queda t-Exacto, y en este caso, ${\fnMicrosoft Sans Serif} }$ son un par de functores adjuntos ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$.

Construcciones de estructuras en T

Vamos. ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ ser un t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. Si n es un entero, entonces el traducción por n t- La estructura es ${\displaystyle ({\mathcal {}} {\leq n},{\mathcal {}} {\gn}} {\gn}}}}$. El dual t-estructura es t-estructura en la categoría opuesta ${\displaystyle {\fnMithcal} {\fnK}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnK}}}} {\fnMicrosoft}}}}$ definidas por ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMitcal {\f}}}} {\f}}}}} {\fnK}}} {\f}}}} {\f}\f}}\f}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$.

Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}}$ ser una subcategoría triangulada de una categoría triangulada ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. Si ${\displaystyle ({\mathcal {}}{\leq 0},{\mathcal {}}}{\gq 0}}$ es un t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$Entonces

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMitcal} {\fnMithcal {\fnMithcal {\f}}} {\fnMithcal {}}\cH}\cH}\cHFF} {\cHFF}\cH}\cH00}}\cH00} {\cH00}}\cH00}\cH00} {\cH00}}}}}}}}}}}\cH00} {\cH}}}}}\cH00} {\cH00}}}}}\cH}}}}}}}}\c\cH00}}}}}}}}}}}\c\c\c\c\c\c\c\c}}}}}\c\c\c\c\cH00}\cH00}}}}}}}}}}}}\cH00} {\cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}\c\cH$

es un t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}}$ si ${\displaystyle {\fnMithcal}}}$ está estable bajo el functor de truncación ${\displaystyle \tau ^{\leq .$. Cuando esta condición tiene, t-estructura ${\displaystyle ({\mathcal {}')^{\leq 0},({\mathcal {}')}{\geq 0})}$ se llama inducida t-estructura. Los functores de truncación y cohomología para los inducidos t- La estructura es la restricción a ${\displaystyle {\fnMithcal}}}$ of those on ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. En consecuencia, la inclusión de ${\displaystyle {\fnMithcal}}}$ dentro ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es t-Exacto, y ${\fnMicrosoft Sans Serif} #={\mathcal {\fnMicrosoft Sans Serif} }\cap {\fncipal {}}$.

Para construir la categoría de cuchillas perversas, es importante ser capaz de definir una t- la estructura en una categoría de cuchillas sobre un espacio trabajando localmente en ese espacio. Las condiciones precisas necesarias para que esto sea posible pueden ser abstractas en cierta medida a la siguiente configuración. Supongamos que hay tres categorías trianguladas y dos morfismos

${\fnh} {\fnh}\\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}}}\\fn}}\\\fn}}\\\\\\\fnK}}}\\\\\\\\\\\\\\fnK}}}}}\\\\\\\fn\\\\\\\\\fnh}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}}}\\\\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}}}}\\\\\\\\\\\\fn}}\\\\\\\\\\fn}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMitcal {\fnK} {\fnMitcal}} {\fnMitcal}}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fnMitcal}}}} {\fnK}}} {\f}}} {\fnK}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}$

satisfaciendo las siguientes propiedades.

• Hay dos secuencias de triples de functores unidos ${\displaystyle (j_{},j^{*},j_{*}}$ y ${\displaystyle (i^{*},i_{*},i^{}) }$.
• Los functores ${\displaystyle I_{*}$, ${\displaystyle J_{}}$, y ${\displaystyle j^{*}$ son plenas y fieles, y satisfacen ${\displaystyle JUEVES$.
• Hay diferenciales únicos haciendo, para cada K dentro ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, triángulos exactos

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{}j^{*} K K\to I_{*}i^{*} K\to j_{}j^{*}K[ 1],\i_{*}i^{} K K\to j_{*}j^{*}K\to - ¿Qué?$

En este caso, dado t-estructuras ${\\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\f}\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$ y ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$ on ${\fnMicrosoft Sans Ser}$ y ${\fnMicrosoft Sans}$, respectivamente, hay un t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {} {\fn} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fn}}}}}}}} {\fnK}}}}}} {\fn\f}}}}}} {\fn\f}}}}}}}} {\fn\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\p}}}}}}}}}\ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}} ###\\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\cHFF}\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¡Oh! K\in {\Mathcal {} {\fn} {\f} {\fnK}} {\f}}} {\f}} {\f} {\f}} {\f} {\f}}}\f}}}} {\f}}}\f}}} {\f} {\f}\f}}}}} {\f} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}\f}\f}\f}\f}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}\\\\\\\\f}}}}}}}\\\\\\\f}\f}\f}\f}\f}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}\ .$

Esto t- Se dice que la estructura es la glutinación de la t-estructuras en U y F. Los casos de uso previstos son cuando ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, ${\fnMicrosoft Sans Ser}$, y ${\fnMicrosoft Sans}$ se vinculan por debajo de las categorías derivadas de cuchillas en un espacio X, un subconjunto abierto U, y el complemento cerrado F de U. Los functores ${\displaystyle j^{*}$ y ${\displaystyle I_{*}$ son los jugadores de retroceso habituales y los funerarios. Esto funciona, en particular, cuando las cuchillas en cuestión son módulos dejados sobre una hoja de anillos ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ on X y cuando las olas son olas l-adic.

Muchas t-estructuras surgen por medio del siguiente hecho: en una categoría triangulada con sumas arbitrarias directas, y un conjunto ${\displaystyle S_{0}$ de objetos compactos en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, las subcategorías

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {\fnK} {\fnMicrosoft} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Hom} (S_{0} [-n],X)=0,n\geq 0\},\\\{\\mthcal {D}}^{\leq ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Hom} - Sí.$

se puede demostrar que es una estructura t. El resultado t- Se dice que la estructura es generados por ${\displaystyle S_{0}$.

Dada una subcategoría abeliana ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ de una categoría triangulada ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, es posible construir una subcategoría de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ y a t- estructura en esa subcategoría cuyo corazón es ${\displaystyle {\fnMithcal}}$.

En categorías ∞ estables

La teoría elemental t- las estructuras se llevan al caso de las categorías ∞ con pocos cambios. Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser una ∞-categoría estable. A t-estructura on ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se define como un t- estructura en su categoría de homotopy ${\displaystyle \mathrm {h} {\fnMithcal {}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}}$ (que es una categoría triangulada). A t-La estructura en una categoría NOS puede ser notada homológicamente o cohomológicamente, como en el caso de una categoría triangulada.

Supongamos que ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es una categoría ∞ con categoría de homotopy ${\displaystyle \mathrm {h} {\fnMithcal {}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}}$ y eso ${\displaystyle (\mathrm {h} {\fnMitcal {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMitcal {} {\fnMicrosoft Sans}} {\fnMitcal {\fnMitcal {\f}} {\fnMitcal}}} {\fnMitcal {\fnMitcal {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\fnMitcal}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ es un t- La estructura ${\displaystyle \mathrm {h} {\fnMithcal {}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}}$. Entonces, por cada entero n, definimos ${\displaystyle {\\fnMithcal}_{\gq No.$ y ${\displaystyle {\fnMithcal {\fnh} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fn}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\f}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}} No.$ para ser las subcategorías completas ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ abarcado por los objetos en ${\displaystyle \mathrm {h} {\fnMitcal {\fnh} {\\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fn\fnh}} {\fn\fn\fnh}} {\fn\fnh} {\\fn}}}}}}\\\\fnK}}}}}}}\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\fnKh}\\\\\\\\\fnKh}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnKh}h}h}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnKh}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} No.$ y ${\displaystyle \mathrm {h} {\fnMitcal {\fnh} {\fn\fnh} {\fn} {\fnh} {\fn\fnh}} {\fn\fn\fn\fn\fnh} {\fn\fn}}}}\\\fn\fn\fn\fnh}\fnh}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\fnK\fn\fnKh}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnKh}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnKh}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} No.$, respectivamente. Define

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMitcal {}\\\\fnK}\\\\\fnMitcal {\fnMitcal}\\\\\\fnMitat ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMitcal {} {\fn} {\fnh}\fnh} {\fnh} {\fnh}} {\fn\fn}} {\fn}\fn\fn}\fnh}\fn}}} {\\fnH}}\\\\\fnH}\\\\\\\\\\\\\\\\fnMitHhnhnhnhnhnhnhnhnh}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnH}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMitHHHHHHHHHHH}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\fnh}}}}}}}\$

ser los functores de inclusión. Al igual que en el caso de una categoría triangulada, estas admiten un adjunto derecho y uno izquierdo, respectivamente, los functores de truncamiento

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMitcal {\fnMitcal} {\fnMitcal {\fnh}\\cHFF}\to {\\fnMitcal {\cHFF}\\fnMitcal {\cHFF}\\fnMitcal {\cHFF}\\\\\\fnMitHFF}\\\cHFF} {\\\\\\\\fnh}\\\\\\\\\\\cHFF}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cHFF}\\\\\\\\\\\cHFF}\\\\\\fnHFF}\\\\\\\\\fnMitHFF}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMitHFF}\fnMitHFF}\\fnMitHFF}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH {\fnh} {\fnh}\tau _{\leq n} {\fn}\mthcal {}\to {\fn}\to {\fn} {\fn}\fn} {\fn}\fn}\fn}} {\fn\fn\fn}\fn\fn\fn\fn}}}}\\\\\fn\fn}}}}}}\\\\\\\fnK\fn}}}}}}\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\fnK\fnK\fnhn}}}}}}}\\\\\\\\\\fnK\\\fnK\fn}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\$

Estos functores satisfacen las mismas identidades de truncación repetidas que en el caso de la categoría triangulada.

El corazón of a t- La estructura ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se define como la subcategoría ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK}\cHFF} {\fnK}\cHFF}\cHFF}\cH}\cHFF} .$. La categoría ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} }$ es equivalente al nervio de su categoría de homotopy ${\displaystyle \mathrm {h} {\fnMitcal {} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}}} {\fn\fn\fn\fnh}} {\\fnh}}}}} {\fn\fnH00}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle\displaystyle\displaystyle\displaystyle {\displaystyle\\\displaystyle {\displaystyle \m}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ }$. El functor de cohomología ${\displaystyle \pi _{n}$ se define como ${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]$, o equivalente ${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]$.

La existencia de ${\displaystyle \tau _{\leq No.$ significa que ${\displaystyle \iota _{\leq No.$ es, por definición, un functor de localización. De hecho, hay una bijección entre t-estructuras en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ y ciertos tipos de funerarios de localización llamados t- localizaciones. Estos son functores de localización L cuya imagen esencial está cerrada bajo extensión, es decir, ${\displaystyle X\to Y\to Z}$ es una secuencia de fibra con X y Z en la imagen esencial de LEntonces Y está también en la imagen esencial de L. Dado tal functor de localización L, el correspondiente t- La estructura se define por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {\fnK} 0}=\{A\colon LA\simeq 0\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}_{\i}\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\cH0}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH -1=\{A\colon LA\simeq A\}\end{aligned}$

t- functores de localización también se pueden caracterizar en términos de los morfismos f para la cual Lf es una equivalencia. Un conjunto de morfismos S en unacategoría ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es quasisaturada si contiene todas las equivalencias, si cualquier 2-simplex en ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ con dos de sus bordes no degenerados en S tiene su tercer borde no degenerado en S, y si es estable bajo los empujes. Si ${\displaystyle ¿Qué?$ es un functor de localización, luego el set S de todos los morfismos f para la cual Lf es una equivalencia está cuantificada. Entonces... L es un t- functor de localización si y sólo si S es el conjunto más pequeño de morfismos que contiene todos los morfismos ${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0}$.

La categoría derivada de una categoría abeliana tiene varias subcategorías correspondientes a diferentes condiciones de acotación. Se puede utilizar una estructura t en una categoría ∞ estable para construir subcategorías similares. Específicamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}}}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} _{n\in \mathbf {Z} {\fnMitcal {D}_{\leq n},\\\\\\fnMitcal {}_{-} {=\bigcup} _{n\in \mathbf {Z} {\fn} {\fnMitcal {\fnK}\\\\\fnMitcal {\fnMitcal} {}_{b} {\fnMitcal} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Son subcategorías estables ${\displaystyle {\fnMithcal}}$. Uno dice que ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es a la izquierda (con respecto a la t- estructura) si ${\displaystyle {\\fnMithcal}={\fnMithcal {}_{+}$, derecho unido si ${\displaystyle {\\fnMithcal}={\fnMithcal {}_{-}$, y atado si ${\displaystyle {\\fnMithcal}={\fnMithcal {}_{b}$.

También es posible formar una terminación izquierda o derecha con respecto a una t- estructura. Esto es análogo a la unión formal de límites dirigidos o límites dirigidos. El finalización ${\displaystyle {\hat {\fnMithcal}} {}}} {\f}} {\fnK}}} {\fn}}}}}$ de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es el límite de homotopy del diagrama

${\displaystyle \cdots\to {\fnMitcal {\fnh} {\fnMiq 2}\\\fncipal {\tau _{\leq 1}}{\to }\ {\fnMitcal {\fnh} {\fnh00} {\fnh00} {\fnh00}}}\\\fn}}\\\fn}\\\\fnK}}\\\\fnK}}\\\\\fnK}\\\\\fnK}}\\\\cH0}\\\\\\\\\cH0}}}}\\\\\\\\\\cH0}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH0}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH0}}}\\\\\\\\\\\cH0}}}\\\\\\\\\cH0}}}}\\\\\\\\\\\\cH0}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH {\fnMitcal {\fnh} {\fnMitcal {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnH00}}}\\fnMitcal {\fnh}\fnh}\fnh}\\fnh\fnh}\fn\fnh\fnh}}\\\fnh}\\\\fnhnh}}}\\\\\fnhnhnh}\\\fn\fnH00\fnh}\\\\\\fnh}\\\cH00\\\fnh}}}}}}}}\\\\\\\fnhnh}\\\\\\\cHhnh}}\\\\\\fnh}\\cH00\cHh}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\fnh}}}}}} ¿Qué?$

La terminación correcta se define dualmente. Las terminaciones izquierda y derecha son en sí mismas estables ∞-categorías que heredan una canónica t- estructura. Hay un mapa canónico de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ a cualquiera de sus terminaciones, y este mapa es t-Exacto. Decimos eso. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es izquierda completa o derecho completo si el mapa canónico a su terminación izquierda o derecha, respectivamente, es una equivalencia.

Conceptos relacionados

Si el requisito ${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0}$ es reemplazado por la inclusión opuesta

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}$, ${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0}$

y los otros dos axiomas se mantienen iguales, la noción resultante se llama estructura-co-t o estructura de peso.