Estructura algebraica

En matemáticas, una estructura algebraica consta de un conjunto no vacío A (llamado conjunto subyacente, conjunto portador o dominio), una colección de operaciones en A (normalmente operaciones binarias como la suma y la multiplicación) y un conjunto finito de identidades, conocidas como axiomas, que estas operaciones debe satisfacer.

Una estructura algebraica puede estar basada en otras estructuras algebraicas con operaciones y axiomas que involucran varias estructuras. Por ejemplo, un espacio vectorial involucra una segunda estructura llamada campo y una operación llamada multiplicación escalar entre elementos del campo (llamados escalares) y elementos del espacio vectorial (llamados vectores).

Álgebra abstracta es el nombre que comúnmente se le da al estudio de las estructuras algebraicas. La teoría general de las estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal. La teoría de categorías es otra formalización que incluye también otras estructuras y funciones matemáticas entre estructuras del mismo tipo (homomorfismos).

En álgebra universal, una estructura algebraica se llama álgebra; este término puede resultar ambiguo, ya que, en otros contextos, un álgebra es una estructura algebraica que es un espacio vectorial sobre un campo o un módulo sobre un anillo conmutativo.

La colección de todas las estructuras de un tipo dado (mismas operaciones y mismas leyes) se llama variedad en álgebra universal; este término también se usa con un significado completamente diferente en geometría algebraica, como abreviatura de variedad algebraica. En la teoría de categorías, la colección de todas las estructuras de un tipo dado y los homomorfismos entre ellas forman una categoría concreta.

Introducción

La suma y la multiplicación son ejemplos prototípicos de operaciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercer elemento del mismo conjunto. Estas operaciones obedecen a varias leyes algebraicas. Por ejemplo, a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c son leyes asociativas, y a + b = b + a y ab = ba son leyes conmutativas. Muchos sistemas estudiados por matemáticos tienen operaciones que obedecen algunas, pero no necesariamente todas, las leyes de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, los posibles movimientos de un objeto en el espacio tridimensional se pueden combinar realizando un primer movimiento del objeto y luego un segundo movimiento desde su nueva posición. Tales movimientos, llamados formalmente movimientos rígidos, obedecen la ley asociativa, pero no satisfacen la ley conmutativa.

Los conjuntos con una o más operaciones que obedecen leyes específicas se denominan estructuras algebraicas. Cuando un nuevo problema involucra las mismas leyes que una estructura algebraica de este tipo, todos los resultados que se han demostrado utilizando solo las leyes de la estructura se pueden aplicar directamente al nuevo problema.

En general, las estructuras algebraicas pueden involucrar una colección arbitraria de operaciones, incluidas operaciones que combinan más de dos elementos (operaciones de mayor aridad) y operaciones que toman solo un argumento (operaciones unarias) o incluso cero argumentos (operaciones nulas). Los ejemplos enumerados a continuación no son una lista completa, pero incluyen las estructuras más comunes que se enseñan en los cursos de pregrado.

Axiomas comunes

Axiomas de ecuación

Un axioma de una estructura algebraica a menudo tiene la forma de una identidad, es decir, una ecuación tal que los dos lados del signo igual son expresiones que involucran operaciones de la estructura algebraica y variables. Si las variables de la identidad se reemplazan por elementos arbitrarios de la estructura algebraica, la igualdad debe permanecer verdadera. Estos son algunos ejemplos comunes.

Commutativity

Una operación Alternativa Alternativa {displaystyle *} es commutative si

xAlternativa Alternativa Sí.=Sí.Alternativa Alternativa x{displaystyle x*y=y*x}

para todos x y Sí. en la estructura algebraica.

Associativity

Una operación Alternativa Alternativa {displaystyle *} es Asociación si

()xAlternativa Alternativa Sí.)Alternativa Alternativa z=xAlternativa Alternativa ()Sí.Alternativa Alternativa z){displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}

para todos x, Sí. y z en la estructura algebraica.

Distribución izquierda

Una operación Alternativa Alternativa {displaystyle *} es distributivo izquierdo con respecto a otra operación +{displaystyle +} si

xAlternativa Alternativa ()Sí.+z)=()xAlternativa Alternativa Sí.)+()xAlternativa Alternativa z){displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}

para todos x, Sí. y z en la estructura algebraica (la segunda operación se denota aquí como +, porque la segunda operación se suma en muchos ejemplos comunes).

Distribución correcta

Una operación Alternativa Alternativa {displaystyle *} es derechos de distribución con respecto a otra operación +{displaystyle +} si

()Sí.+z)Alternativa Alternativa x=()Sí.Alternativa Alternativa x)+()zAlternativa Alternativa x){displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}

para todos x, Sí. y z en la estructura algebraica.

Distribución

Una operación Alternativa Alternativa {displaystyle *} es distributive con respecto a otra operación +{displaystyle +} si es distributivo izquierdo y distributivo derecho. Si la operación Alternativa Alternativa {displaystyle *} es distributividad conmutativa, izquierda y derecha son ambos equivalentes a la distributividad.

Axiomas existenciales

Algunos axiomas comunes contienen una cláusula existencial. En general, esa cláusula puede evitarse mediante la introducción de nuevas operaciones y la sustitución de la cláusula existencial por una identidad que implique la nueva operación. Más precisamente, consideremos un axioma de la forma "para todos X hay Sí. tales que f()X,Sí.)=g()X,Sí.){displaystyle f(X,y)=g(X,y)}" Donde X es un k-tuple de variables. Elegir un valor específico Sí. para cada valor X define una función φ φ :X↦ ↦ Sí.,{displaystyle varphi: Xmapsto y,} que se puede ver como una operación de la aridad k, y el axioma se convierte en la identidad f()X,φ φ ()X))=g()X,φ φ ()X)).{displaystyle f(X,varphi (X))=g(X,varphi (X)). }

La introducción de tal operación auxiliar complica ligeramente la declaración de un axioma, pero tiene algunas ventajas. Dada una estructura algebraica específica, la prueba de que un axioma existencial está satisfecho consiste generalmente en la definición de la función auxiliar, completada con verificaciones directas. Además, cuando se computa en una estructura algebraica, uno generalmente utiliza explícitamente las operaciones auxiliares. Por ejemplo, en el caso de los números, el inverso aditivo es proporcionado por la operación de menos x↦ ↦ − − x.{displaystyle xmapsto -x.}

Además, en álgebra universal, una variedad es una clase de estructuras algebraicas que comparten las mismas operaciones y los mismos axiomas, con la condición de que todos los axiomas sean identidades. Lo que precede muestra que los axiomas existenciales de la forma anterior se aceptan en la definición de una variedad.

Estos son algunos de los axiomas existenciales más comunes.

Elemento de identidad

Una operación binaria Alternativa Alternativa {displaystyle *} tiene un elemento de identidad si hay un elemento e tales que

xAlternativa Alternativa e=xyeAlternativa Alternativa x=x{displaystyle x*e=xquad {text{and}quad e*x=x}

para todos x en la estructura. Aquí, la operación auxiliar es la operación de la aridad cero que tiene e como resultado.

Elemento inverso

Dada una operación binaria Alternativa Alternativa {displaystyle *} que tiene un elemento de identidad e, un elemento x es invertible si tiene un elemento inverso, es decir, si existe un elemento inv⁡ ⁡ ()x){displaystyle operatorname {inv} (x)} tales que

inv⁡ ⁡ ()x)Alternativa Alternativa x=eyxAlternativa Alternativa inv⁡ ⁡ ()x)=e.{displaystyle operatorname {inv} (x)*x=equad {text{and}quad x*operatorname {inv} (x)=e.}

Por ejemplo, un grupo es una estructura algebraica con una operación binaria que es asociativa, tiene un elemento de identidad, y para el cual todos los elementos son invertibles.

Axiomas no ecuacionales

Los axiomas de una estructura algebraica pueden ser cualquier fórmula de primer orden, que es una fórmula que implica conexiones lógicas (como "y", "o" y "no"), y cuantificadores lógicos (О О ,∃ ∃ {displaystyle forallexists }) que se aplican a elementos (no a subconjuntos) de la estructura.

Tal axioma típico es la inversión en campos. Este axioma no puede reducirse a axiomas de tipos anteriores. (Se deduce que los campos no forman una variedad en el sentido del álgebra universal.) Se puede afirmar: "Todo elemento distinto de cero de un campo es invertible;" o, de manera equivalente: la estructura tiene una operación unaria inv tal que

О О x,x=0ox⋅ ⋅ inv⁡ ⁡ ()x)=1.{displaystyle forall x,quad x=0quad {text{or}quad xcdot operatorname {inv} (x)=1.}

La operación inv puede verse como una operación parcial que no está definida para x = 0; o como una función ordinaria cuyo valor en 0 es arbitrario y no debe utilizarse.

Estructuras algebraicas comunes

Un conjunto con operaciones

Estructuras simples: sin operación binaria:

• Conjunto: una estructura algebraica degenerada S sin operaciones.

Estructuras tipo grupo: una operación binaria. La operación binaria se puede indicar con cualquier símbolo, o sin símbolo (yuxtaposición) como se hace para la multiplicación ordinaria de números reales.

• Grupo: un monoide con una operación inversa, dando lugar a elementos inversos.
• Abelian group: a group whose binario operation is commutative.

Estructuras en forma de anillo o Ringoides: dos operaciones binarias, a menudo llamadas suma y multiplicación, con la multiplicación distribuyéndose sobre la suma.

• Anillo: una semiring cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
• Anillo de división: un anillo notrivial en el que se define la división por elementos no cero.
• Anillo conmutativo: un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa.
• Campo: un anillo de división conmutativa (es decir, un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento no cero).

Estructuras de celosía: dos o más operaciones binarias, incluidas las operaciones llamadas encuentro y unión, conectadas por la ley de absorción.

• Lattice completo: una celosía en la que se reúnen y se unen arbitrariamente.
• Rejilla forrada: una rejilla con un elemento más grande y menos elemento.
• Lattiza distributiva: una celosía en la que cada uno de ellos se reúne y se une distribuye sobre el otro. Un poder establecido bajo unión e intersección forma una celosía distributiva.
• Álgebra booleana: una celosía distributiva complementada. Cualquier reunión o unión puede definirse en términos de la otra y complementación.

Dos conjuntos con operaciones

• Módulo: grupo abeliano M y un anillo R actuando como operadores en M. Los miembros de R a veces se llaman escalares, y la operación binaria de multiplicación del escalar es una función R×M → M, que satisface varios axiomas. Contando las operaciones de anillo estos sistemas tienen al menos tres operaciones.
• Espacio vectorial: un módulo donde el anillo R es un anillo de división o campo.

• Álgebra sobre un campo: un módulo sobre un campo, que también lleva una operación de multiplicación que es compatible con la estructura del módulo. Esto incluye la distribución sobre la adición y la linealidad con respecto a la multiplicación.
• Espacio interior de producto: un F espacio vectorial V con una forma bilineal definida V × V → F.

Estructuras híbridas

Las estructuras algebraicas también pueden coexistir con estructuras añadidas de naturaleza no algebraica, como un orden parcial o una topología. La estructura añadida debe ser compatible, en algún sentido, con la estructura algebraica.

• Grupo Topológico: un grupo con topología compatible con la operación del grupo.
• Grupo de mentira: un grupo topológico con una estructura homogénea compatible.
• Grupos ordenados, anillos ordenados y campos ordenados: cada tipo de estructura con un orden parcial compatible.
• Grupo Arquímedes: un grupo ordenado linealmente para el cual la propiedad Arquímedes sostiene.
• Espacio vectorial topológico: un espacio vectorial M tiene una topología compatible.
• Espacio vectorial Normed: un espacio vectorial con una norma compatible. Si tal espacio está completo (como un espacio métrico) entonces se llama espacio de Banach.
• Hilbert espacio: un espacio interior de producto sobre los números reales o complejos cuyo producto interior da lugar a una estructura espacial Banach.
• Álgebra de operador de Vertex
• Álgebra Von Neumann: un *-álgebra de operadores en un espacio Hilbert equipado con la topología de operador débil.

Álgebra universal

Las estructuras algebraicas se definen a través de diferentes configuraciones de axiomas. El álgebra universal estudia de manera abstracta tales objetos. Una dicotomía importante es entre las estructuras que están totalmente axiomatizadas por identidades y las estructuras que no lo están. Si todos los axiomas que definen una clase de álgebras son identidades, entonces esta clase es una variedad (que no debe confundirse con las variedades algebraicas de la geometría algebraica).

Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando solo las operaciones que permite la estructura y variables que se cuantifican tácitamente universalmente en el universo relevante. Las identidades no contienen conectivos, variables existencialmente cuantificadas o relaciones de ningún tipo que no sean las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante del álgebra universal. Una estructura algebraica en una variedad puede entenderse como el álgebra cociente del álgebra de términos (también llamada "álgebra absolutamente libre") dividida por las relaciones de equivalencia generadas por un conjunto de identidades. Entonces, una colección de funciones con firmas dadas genera un álgebra libre, el término álgebra T. Dado un conjunto de identidades ecuacionales (los axiomas), uno puede considerar su clausura simétrica y transitiva E. El álgebra cociente T/E es entonces la estructura o variedad algebraica. Así, por ejemplo, los grupos tienen una firma que contiene dos operadores: el operador de multiplicación m, que toma dos argumentos, y el operador inverso i, que toma un argumento, y el elemento identidad e, una constante, que puede considerarse un operador que no acepta argumentos. Dado un conjunto (contable) de variables x, y, z, etc., el álgebra de términos es la colección de todos los términos posibles que involucran m, i, e y las variables; por ejemplo, m(i(x), m(x, m(y,e))) sería un elemento del término álgebra. Uno de los axiomas que definen a un grupo es la identidad m(x, i(x)) = e; otro es m(x,e) = x. Los axiomas se pueden representar como árboles. Estas ecuaciones inducen clases de equivalencia en el álgebra libre; el álgebra del cociente tiene entonces la estructura algebraica de un grupo.

Algunas estructuras no forman variedades porque:

1. Es necesario que 0 ل 1, 0 siendo el elemento de identidad aditivo y 1 siendo un elemento de identidad multiplicativo, pero esto es una no identidad;
2. Estructuras tales como campos tienen algunos axiomas que sostienen sólo para miembros no cero de S. Para una estructura algebraica para ser una variedad, sus operaciones deben ser definidas para Todos miembros de S; no puede haber operaciones parciales.

Estructuras cuyos axiomas inevitablemente incluyen no-identidades están entre las más importantes en matemáticas, por ejemplo, campos y anillos de división. Las estructuras con no identidades presentan desafíos que las variedades no. Por ejemplo, el producto directo de dos campos no es un campo, porque ()1,0)⋅ ⋅ ()0,1)=()0,0){displaystyle (1,0)cdot (0,1)=(0,0)}, pero los campos no tienen divisores cero.

Teoría de categorías

La teoría de categorías es otra herramienta para estudiar estructuras algebraicas (ver, por ejemplo, Mac Lane 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados. Cada estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo, es decir, cualquier función compatible con las operaciones que definen la estructura. De esta forma, toda estructura algebraica da lugar a una categoría. Por ejemplo, la categoría de grupos tiene todos los grupos como objetos y todos los homomorfismos de grupo como morfismos. Esta categoría concreta puede verse como una categoría de conjuntos con una estructura teórica de categorías añadida. Asimismo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupos continuos) es una categoría de espacios topológicos con estructura extra. Un funtor olvidadizo entre categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.

Hay varios conceptos en la teoría de categorías que intentan capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo

• categoría algebraica
• esencialmente algebraica categoría
• categoría actual
• categoría local
• functores y categorías monadic
• propiedad universal.

Diferentes significados de "estructura"

En un ligero abuso de notación, la palabra "estructura" también puede referirse a las operaciones en una estructura, en lugar del conjunto subyacente. Por ejemplo, la frase, "Hemos definido un anillo estructura en el set A{displaystyle A}," significa que hemos definido el anillo operaciones en el set A{displaystyle A}. Por otro ejemplo, el grupo ()Z,+){displaystyle (mathbb {Z}+)} se puede ver como un conjunto Z{displaystyle mathbb {Z} que está equipado con un estructura algebraica, a saber: operación +{displaystyle +}.