Estrés (mecánica)

En la mecánica de medios continuos, la tensión es una cantidad física que describe las fuerzas presentes durante la deformación. Un objeto que se separa, como una banda elástica estirada, está sujeto a un esfuerzo de tracción y puede sufrir un alargamiento. Un objeto que se junta, como una esponja arrugada, está sujeto a tensión de compresión y puede acortarse. Cuanto mayor sea la fuerza y menor el área de la sección transversal del cuerpo sobre el que actúa, mayor será la tensión. El estrés tiene unidades de fuerza por área, como newtons por metro cuadrado (N/m²) o pascal (Pa).

El estrés expresa las fuerzas internas que las partículas vecinas de un material continuo ejercen entre sí, mientras que la deformación es la medida de la deformación del material. Por ejemplo, cuando una barra vertical sólida soporta un peso superior, cada partícula en la barra empuja a las partículas inmediatamente debajo de ella. Cuando un líquido está en un recipiente cerrado bajo presión, cada partícula es empujada contra todas las partículas circundantes. Las paredes del recipiente y la superficie que induce la presión (como un pistón) empujan contra ellos en una reacción (newtoniana). Estas fuerzas macroscópicas son en realidad el resultado neto de un gran número de fuerzas intermoleculares y colisiones entre las partículas de esas moléculas. El estrés se representa con frecuencia por una letra griega minúscula sigma (σ).

La tensión dentro de un material puede surgir por varios mecanismos, como estrés aplicado por fuerzas externas al material a granel (como la gravedad) o a su superficie (como fuerzas de contacto, presión externa o fricción).). Cualquier tensión (deformación) de un material sólido genera una tensión elástica interna, análoga a la fuerza de reacción de un resorte, que tiende a restaurar el material a su estado original sin deformación. En líquidos y gases, solo las deformaciones que cambian el volumen generan tensión elástica persistente. Si la deformación cambia gradualmente con el tiempo, incluso en los fluidos suele haber alguna tensión viscosa que se opone a ese cambio. Las tensiones elásticas y viscosas suelen combinarse bajo el nombre de tensión mecánica.

Estreso mecánico

Puede existir una tensión significativa incluso cuando la deformación es insignificante o inexistente (una suposición común al modelar el flujo de agua). El estrés puede existir en ausencia de fuerzas externas; tal tensión incorporada es importante, por ejemplo, en hormigón pretensado y vidrio templado. También se puede imponer tensión sobre un material sin la aplicación de fuerzas netas, por ejemplo, por cambios en la temperatura o la composición química, o por campos electromagnéticos externos (como en los materiales piezoeléctricos y magnetoestrictivos).

La relación entre el esfuerzo mecánico, la deformación y la velocidad de cambio de la deformación puede ser bastante complicada, aunque una aproximación lineal puede ser adecuada en la práctica si las cantidades son lo suficientemente pequeñas. El estrés que excede ciertos límites de resistencia del material dará como resultado una deformación permanente (como flujo plástico, fractura, cavitación) o incluso cambiará su estructura cristalina y composición química.

Historia

Puente de la era romana en Suiza. Los arcos de piedra en el puente están sujetos a compresivo estrés.

Puente inca sobre el río Apurimac. La cuerda en el puente está sujeta a insecticida estrés.

Los humanos han sabido sobre el estrés dentro de los materiales desde la antigüedad. Hasta el siglo XVII, esta comprensión fue en gran parte intuitiva y empírica, aunque esto no impidió el desarrollo de tecnologías relativamente avanzadas como el arco compuesto y el soplado de vidrio.

Durante varios milenios, los arquitectos y los constructores en particular aprendieron a ensamblar vigas de madera y bloques de piedra cuidadosamente moldeados para resistir, transmitir y distribuir la tensión de la manera más efectiva, con dispositivos ingeniosos como capiteles, arcos y cúpulas., cerchas y los arbotantes de las catedrales góticas.

Los arquitectos antiguos y medievales desarrollaron algunos métodos geométricos y fórmulas simples para calcular los tamaños adecuados de pilares y vigas, pero la comprensión científica de la tensión fue posible solo después de que se inventaron las herramientas necesarias en los siglos XVII y XVIII: Galileo Galilei&# El riguroso método experimental de 39, las coordenadas y la geometría analítica de René Descartes, y las leyes de movimiento y equilibrio de Newton y el cálculo de los infinitesimales. Con esas herramientas, Augustin-Louis Cauchy pudo dar el primer modelo matemático riguroso y general de un cuerpo elástico deformado al introducir las nociones de tensión y deformación. Cauchy observó que la fuerza a través de una superficie imaginaria era una función lineal de su vector normal; y, además, que debe ser una función simétrica (con momento total cero). La comprensión del estrés en líquidos comenzó con Newton, quien proporcionó una fórmula diferencial para las fuerzas de fricción (esfuerzo cortante) en flujo laminar paralelo.

Definición

El estrés se define como la fuerza a través de un límite pequeño por unidad de área de ese límite, para todas las orientaciones del límite. Derivado de una cantidad física fundamental (fuerza) y una cantidad puramente geométrica (área), el estrés es también una cantidad fundamental, como la velocidad, el par o la energía, que puede cuantificarse y analizarse sin consideración explícita de la naturaleza del material o de su causas físicas.

El estrés a través de un elemento superficial (disquete amarillo) es la fuerza que el material de un lado (bola superior) ejerce sobre el material del otro lado (bola inferior), dividido por el área de la superficie.

Siguiendo las premisas básicas de la mecánica de medios continuos, la tensión es un concepto macroscópico. Es decir, las partículas consideradas en su definición y análisis deben ser lo suficientemente pequeñas para ser tratadas como homogéneas en composición y estado, pero lo suficientemente grandes como para ignorar los efectos cuánticos y los movimientos detallados de las moléculas. Así, la fuerza entre dos partículas es en realidad el promedio de un gran número de fuerzas atómicas entre sus moléculas; y se supone que las cantidades físicas como la masa, la velocidad y las fuerzas que actúan a través de la mayor parte de los cuerpos tridimensionales, como la gravedad, se distribuyen uniformemente sobre ellos. Dependiendo del contexto, también se puede suponer que las partículas son lo suficientemente grandes como para permitir el promedio de otras características microscópicas, como los granos de una varilla de metal o las fibras de un trozo de madera.

Cuantitativamente, la tensión se expresa mediante el vector de tracción de Cauchy T definido como la fuerza de tracción F entre partes adyacentes del material a lo largo de un superficie de separación imaginaria S, dividida por el área de S. En un fluido en reposo la fuerza es perpendicular a la superficie y es la presión familiar. En un sólido, o en un flujo de líquido viscoso, la fuerza F puede no ser perpendicular a S; por tanto, la tensión a través de una superficie debe considerarse una cantidad vectorial, no un escalar. Además, la dirección y la magnitud generalmente dependen de la orientación de S. Así, el estado de tensión del material debe ser descrito por un tensor, llamado tensor de tensión (Cauchy); que es una función lineal que relaciona el vector normal n de una superficie S con el vector de tracción T a través de S. Con respecto a cualquier sistema de coordenadas elegido, el tensor de tensión de Cauchy se puede representar como una matriz simétrica de 3 × 3 números reales. Incluso dentro de un cuerpo homogéneo, el tensor de tensión puede variar de un lugar a otro y puede cambiar con el tiempo; por lo tanto, la tensión dentro de un material es, en general, un campo tensorial variable en el tiempo.

Normal y cortante

En general, la tensión T que una partícula P aplica sobre otra partícula Q a través de una superficie S puede tener cualquier dirección relativa a S. El vector T puede considerarse como la suma de dos componentes: el esfuerzo normal (compresión o tracción) perpendicular a la superficie, y el esfuerzo cortante que es paralelo a la superficie.

Si el vector unitario normal n de la superficie (que apunta desde Q hacia P) se supone fijo, la componente normal se puede expresar por un solo número, el producto escalar T · n. Este número será positivo si P está "tirando" en Q (esfuerzo de tracción), y negativo si P está "empujando" contra Q (esfuerzo de compresión) El componente cortante es entonces el vector T − (T · n)n.

Unidades

La dimensión del estrés es la de la presión, y por lo tanto sus coordenadas se miden en las mismas unidades que la presión: a saber, pascales (Pa, es decir, newtons por metro cuadrado) en el Sistema Internacional, o libras por pulgada cuadrada (psi) en el sistema imperial. Debido a que las tensiones mecánicas superan fácilmente un millón de pascales, MPa, que significa megapascal, es una unidad común de tensión.

Causas y efectos

Jarrón de vidrio con el craquelé Efecto. Las grietas son el resultado de un estrés breve pero intenso creado cuando la pieza semi-moldeada está cortada brevemente en agua.

El estrés en un cuerpo material puede deberse a múltiples causas físicas, incluidas influencias externas y procesos físicos internos. Algunos de estos agentes (como la gravedad, los cambios de temperatura y fase y los campos electromagnéticos) actúan sobre la mayor parte del material, variando continuamente con la posición y el tiempo. Otros agentes (como cargas y fricción externas, presión ambiental y fuerzas de contacto) pueden crear tensiones y fuerzas que se concentran en ciertas superficies, líneas o puntos; y posiblemente también en intervalos de tiempo muy cortos (como en los impulsos debidos a colisiones). En materia activa, la autopropulsión de partículas microscópicas genera perfiles de tensión macroscópicos. En general, la distribución de tensiones en un cuerpo se expresa como una función continua por partes del espacio y el tiempo.

Por el contrario, el estrés generalmente se correlaciona con varios efectos en el material, que posiblemente incluyan cambios en las propiedades físicas como la birrefringencia, la polarización y la permeabilidad. La imposición de tensión por parte de un agente externo suele crear alguna tensión (deformación) en el material, incluso si es demasiado pequeña para ser detectada. En un material sólido, dicha deformación generará a su vez una tensión elástica interna, análoga a la fuerza de reacción de un resorte estirado, que tiende a restaurar el material a su estado original sin deformar. Los materiales fluidos (líquidos, gases y plasmas) por definición solo pueden oponerse a deformaciones que modificarían su volumen. Si la deformación cambia con el tiempo, incluso en los fluidos suele haber alguna tensión viscosa que se opone a ese cambio. Estos esfuerzos pueden ser de naturaleza cortante o normal. El origen molecular de las tensiones de cizallamiento en los fluidos se proporciona en el artículo sobre viscosidad. Lo mismo para las tensiones viscosas normales se puede encontrar en Sharma (2019).

La relación entre la tensión y sus efectos y causas, incluida la deformación y la tasa de cambio de deformación, puede ser bastante complicada (aunque una aproximación lineal puede ser adecuada en la práctica si las cantidades son lo suficientemente pequeñas). El estrés que excede ciertos límites de resistencia del material dará como resultado una deformación permanente (como flujo plástico, fractura, cavitación) o incluso cambiará su estructura cristalina y composición química.

Tipos simples

En algunas situaciones, la tensión dentro de un cuerpo puede describirse adecuadamente mediante un solo número o mediante un solo vector (un número y una dirección). Tres situaciones de esfuerzo simple, que a menudo se encuentran en el diseño de ingeniería, son el esfuerzo normal uniaxial, el esfuerzo cortante simple y el estrés normal isotrópico.

Uniaxial normal

Estreso idealizado en una barra recta con sección transversal uniforme.

Una situación común con un patrón de estrés simple es cuando una varilla recta, con material uniforme y sección transversal, es sometida a tensión por fuerzas opuestas de magnitud F{displaystyle F} a lo largo de su eje. Si el sistema está en equilibrio y no cambia con el tiempo, y el peso de la barra puede ser descuidado, entonces a través de cada sección transversal de la barra la parte superior debe tirar en la parte inferior con la misma fuerza, F con continuidad a través de la zona transversal completa, A. Por lo tanto, el estrés σ en toda la barra, a través de cualquier superficie horizontal, se puede expresar simplemente por el número único σ, calculado simplemente con la magnitud de esas fuerzas, F, y el área transversal, A.

σ σ =FA{displaystyle sigma ={frac {F}{A}}

σ σ {displaystyle sigma }

La relación σ σ =F/A{displaystyle sigma =F/A} puede ser sólo un estrés promedio. El estrés puede ser distribuido desigualmente en la sección transversal (m–m), especialmente cerca de los puntos de acceso (n–n).

Este análisis supone que el estrés se distribuye uniformemente en toda la sección transversal. En la práctica, dependiendo de cómo se adjunta la barra en los extremos y cómo se fabricó, esta suposición puede no ser válida. En ese caso, el valor σ σ {displaystyle sigma } = F/A será sólo el estrés promedio, llamado estrés de ingeniería o estrés nominal. Si la longitud de la barra L es muchas veces su diámetro D, y no tiene defectos brutos o estrés incorporado, entonces el estrés se puede suponer que se distribuye uniformemente en cualquier sección transversal que es más de unas pocas veces D desde ambos extremos. (Esta observación se conoce como el principio de San Venant).

La tensión normal se produce en muchas otras situaciones además de la tensión axial y la compresión. Si una barra elástica con sección transversal uniforme y simétrica se dobla en uno de sus planos de simetría, el esfuerzo de flexión resultante seguirá siendo normal (perpendicular a la sección transversal), pero variará a lo largo de la sección transversal: la parte exterior estará bajo esfuerzo de tracción, mientras que la parte interior estará comprimida. Otra variante de la tensión normal es la tensión circunferencial que se produce en las paredes de un tubo cilíndrico o recipiente lleno de fluido a presión.

Cizalla

El estrés de la manguera en una barra horizontal cargada por dos bloques offset.

Otro tipo simple de estrés ocurre cuando una capa uniformemente gruesa de material elástico como el pegamento o el caucho se une firmemente a dos cuerpos rígidos que se tiran en direcciones opuestas por fuerzas paralelas a la capa; o una sección de una barra de metal suave que está siendo cortada por las mandíbulas de una herramienta similar a las tijeras. Vamos F ser la magnitud de esas fuerzas, y M ser el plan medio de esa capa. Como en el caso de estrés normal, la parte de la capa en un lado M debe tirar de la otra parte con la misma fuerza F. Suponiendo que se conozca la dirección de las fuerzas, el estrés en todo M se puede expresar simplemente por el número único τ τ {displaystyle tau }, calculado simplemente con la magnitud de esas fuerzas, F y el área transversal, A.

τ τ =FA{displaystyle tau ={frac {F}{A}}

Como en el caso de una barra cargada axialmente, en la práctica es posible que el esfuerzo cortante no se distribuya uniformemente sobre la capa; por lo tanto, como antes, la relación F/A será solo una tensión promedio ("nominal", "de ingeniería"). Ese promedio suele ser suficiente para fines prácticos. El esfuerzo cortante también se observa cuando una barra cilíndrica, como un eje, se somete a pares opuestos en sus extremos. En ese caso, el esfuerzo cortante en cada sección transversal es paralelo a la sección transversal, pero está orientado tangencialmente con respecto al eje y aumenta con la distancia desde el eje. Se produce un esfuerzo cortante significativo en la placa central (el "alma") de las vigas en I bajo cargas de flexión, debido a que el alma restringe las placas de los extremos (las "bridas").

Isotrópico

Isotropic tensile stress. Parte superior izquierda: Cada cara de un cubo de material homogéneo es tirada por una fuerza con magnitud F, aplicado uniformemente sobre toda la cara cuyo área es A. La fuerza en cualquier sección S del cubo debe equilibrar las fuerzas aplicadas debajo de la sección. En las tres secciones mostradas, las fuerzas son F (derecha), F2{displaystyle {sqrt {2}} (abajo izquierdo), y F3/2{displaystyle {sqrt {3}/2} (derecho inferior); y la zona S es A, A2{displaystyle {sqrt {2}} y A3/2{displaystyle {sqrt {3}/2}, respectivamente. Así que el estrés cruza S es F/A en los tres casos.

Otro tipo simple de estrés ocurre cuando el cuerpo material está bajo la misma compresión o tensión en todas las direcciones. Este es el caso, por ejemplo, de una porción de líquido o gas en reposo, ya sea encerrada en algún recipiente o como parte de una masa mayor de fluido; o dentro de un cubo de material elástico que está siendo presionado o tirado en las seis caras por fuerzas perpendiculares iguales, siempre que, en ambos casos, el material sea homogéneo, sin tensión incorporada, y que el efecto de la gravedad y otras fuerzas externas puede ser descuidado.

En estas situaciones, la tensión en cualquier superficie interna imaginaria resulta ser igual en magnitud y siempre dirigida perpendicularmente a la superficie, independientemente de la orientación de la superficie. Este tipo de estrés puede llamarse isotrópico normal o simplemente isotrópico; si es de compresión, se llama presión hidrostática o simplemente presión. Los gases, por definición, no pueden soportar esfuerzos de tracción, pero algunos líquidos pueden soportar cantidades muy grandes de tensión de tracción isotrópica en algunas circunstancias. ver tubo en Z.

Cilindro

Las piezas con simetría rotacional, como ruedas, ejes, tuberías y pilares, son muy comunes en ingeniería. A menudo, los patrones de tensión que ocurren en tales partes tienen simetría rotacional o incluso cilíndrica. El análisis de dichas tensiones cilíndricas puede aprovechar la simetría para reducir la dimensión del dominio y/o del tensor de tensión.

Tipos generales

A menudo, los cuerpos mecánicos experimentan más de un tipo de estrés al mismo tiempo; esto se llama estrés combinado. En el estrés normal y escarpado, la magnitud del estrés es máxima para superficies perpendiculares a cierta dirección d{displaystyle d}, y cero en cualquier superficie que sea paralela a d{displaystyle d}. Cuando el estrés del tirón es cero sólo a través de superficies que son perpendiculares a una dirección particular, el estrés se llama biaxial, y se puede ver como la suma de dos tensiones normales o jerarcas. En el caso más general, llamado estrés triaxial, el estrés no es cero en cada elemento de superficie.

Tensor de Cauchy

Componentes de estrés en tres dimensiones

Ilustración de tensiones típicas (flechas) a través de diversos elementos superficiales en el límite de una partícula (sfera), en un material homogéneo bajo estrés triaxial uniforme (pero no isotrópico). Las tensiones normales en los ejes principales son +5, +2, y −3 unidades.

Las tensiones combinadas no se pueden describir mediante un solo vector. Incluso si el material se estresa de la misma manera en todo el volumen del cuerpo, la tensión en cualquier superficie imaginaria dependerá de la orientación de esa superficie, de una manera no trivial.

Cauchy observó que el vector de estrés T{displaystyle T} a través de una superficie siempre será una función lineal del vector normal de la superficie n{displaystyle n}, el vector de longitud de unidad que es perpendicular a él. Eso es, T=σ σ ()n){displaystyle T={boldsymbol {sigma}(n)}, donde la función σ σ {displaystyle {boldsymbol {sigma } satisfizo

σ σ ()α α u+β β v)=α α σ σ ()u)+β β σ σ ()v){fnMicrosoft Sans Serif}(fa u+beta v)=alpha {boldsymbol {sigma }(u)+beta {sigma }(v)}}

para cualquier vector u,v{displaystyle u,v} y cualquier número real α α ,β β {displaystyle alphabeta}. La función σ σ {displaystyle {boldsymbol {sigma }, ahora llamado el tensor de estrés (Cauchy), describe completamente el estado de estrés de un cuerpo uniformemente estresado. (Hoy, cualquier conexión lineal entre dos cantidades físicas vectoriales se llama tensor, reflejando el uso original de Cauchy para describir las "tensiones" (stresses) en un material.) En el cálculo tensor, σ σ {displaystyle {boldsymbol {sigma } se clasifica como tensor de segundo orden de tipo (0,2).

Como cualquier mapa lineal entre vectores, el tensor de estrés puede ser representado en cualquier sistema de coordenadas Cartesian elegido por una matriz 3×3 de números reales. Dependiendo de si las coordenadas están numeradas x1,x2,x3{displaystyle x_{1},x_{2},x_{3} o llamado x,Sí.,z{displaystyle x,y,z}, la matriz puede ser escrita como

[σ σ 11σ σ 12σ σ 13σ σ 21σ σ 22σ σ 23σ σ 31σ σ 32σ σ 33]{displaystyle {begin{bmatrix}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué?

[σ σ xxσ σ xSí.σ σ xzσ σ Sí.xσ σ Sí.Sí.σ σ Sí.zσ σ zxσ σ zSí.σ σ zz]{displaystyle {begin{bmatrix}sigma - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?

T=σ σ ()n){displaystyle T={boldsymbol {sigma}(n)}

n{displaystyle n}

n1,n2,n3{displaystyle No.

T=n⋅ ⋅ σ σ {displaystyle T=ncdot {boldsymbol {sigma }

[T1T2T3]=[n1n2n3]⋅ ⋅ [σ σ 11σ σ 21σ σ 31σ σ 12σ σ 22σ σ 32σ σ 13σ σ 23σ σ 33]{displaystyle {begin{bmatrix}T_{1} limitT_{2}{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}n_{1} limitn_{2} limitn_{3}end{bmatrix}cdot {begin{bmatrix}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? ¿Por qué?

La relación lineal entre T{displaystyle T} y n{displaystyle n} sigue de las leyes fundamentales de la conservación del impulso lineal y el equilibrio estático de fuerzas, y por lo tanto es matemáticamente exacto, para cualquier situación material y de estrés. Los componentes del tensor de estrés de Cauchy en cada punto de un material satisfacen las ecuaciones de equilibrio (las ecuaciones de movimiento de Cauchy para la aceleración cero). Además, el principio de conservación del impulso angular implica que el tensor de estrés es simétrico, es decir, σ σ 12=σ σ 21{displaystyle sigma _{12}=sigma _{21}, σ σ 13=σ σ 31{displaystyle sigma _{13}=sigma _{31}, y σ σ 23=σ σ 32{displaystyle sigma _{23}=sigma _{32}. Por lo tanto, el estado de estrés del medio en cualquier punto e instante puede ser especificado por sólo seis parámetros independientes, en lugar de nueve. Estas pueden ser escritas

[σ σ xτ τ xSí.τ τ xzτ τ xSí.σ σ Sí.τ τ Sí.zτ τ xzτ τ Sí.zσ σ z]{displaystyle {begin{bmatrix}sigma ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?

donde los elementos σ σ x,σ σ Sí.,σ σ z{displaystyle sigma _{x},sigma _{y},sigma _{z} son llamados tensiones normales ortogonales (en relación con el sistema de coordenadas elegido) y τ τ xSí.,τ τ xz,τ τ Sí.z{displaystyle tau _{xy},tau _{xz},tau _{yz} el estrés ortogonal.

Cambio de coordenadas

El tensor de tensión de Cauchy obedece a la ley de transformación del tensor ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de distribución de tensiones de Mohr.

Como matriz simétrica 3×3 real, el tensor de estrés σ σ {displaystyle {boldsymbol {sigma } tiene tres eigenvectores de longitud unitaria ortogonal mutuamente e1,e2,e3{displaystyle E_{1},e_{2},e_{3} y tres valores reales λ λ 1,λ λ 2,λ λ 3{displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda ¿Qué?, tal que σ σ ei=λ λ iei{displaystyle {boldsymbol {sigma }e_{i}=lambda ¿Qué?. Por lo tanto, en un sistema de coordenadas con ejes e1,e2,e3{displaystyle E_{1},e_{2},e_{3}, el tensor de estrés es una matriz diagonal, y sólo tiene los tres componentes normales λ λ 1,λ λ 2,λ λ 3{displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda ¿Qué? las principales tensiones. Si los tres eigenvalues son iguales, el estrés es una compresión isotrópica o tensión, siempre perpendicular a cualquier superficie, no hay estrés de derrame, y el tensor es una matriz diagonal en cualquier marco de coordenadas.

Campo tensor

En general, la tensión no se distribuye uniformemente sobre un cuerpo material y puede variar con el tiempo. Por lo tanto, el tensor de esfuerzos debe definirse para cada punto y cada momento, considerando una partícula infinitesimal del medio que rodea ese punto, y tomando los esfuerzos promedio en esa partícula como los esfuerzos en el punto.

Placas finas

Un carro de tanque de chapas de acero dobladas y soldadas.

Los objetos hechos por el hombre a menudo se fabrican a partir de placas de varios materiales mediante operaciones que no cambian su carácter esencialmente bidimensional, como cortar, taladrar, doblar suavemente y soldar a lo largo de los bordes. La descripción de la tensión en tales cuerpos se puede simplificar modelando esas partes como superficies bidimensionales en lugar de cuerpos tridimensionales.

Desde ese punto de vista, uno redefine una "partícula" como un parche infinitesimal de la superficie de la placa, de modo que el límite entre partículas adyacentes se convierte en un elemento de línea infinitesimal; ambos están implícitamente extendidos en la tercera dimensión, normales a (directamente a través) de la placa. "Estrés" se redefine entonces como una medida de las fuerzas internas entre dos "partículas" a través de su elemento de línea común, dividido por la longitud de esa línea. Se pueden ignorar algunos componentes del tensor de tensión, pero dado que las partículas no son infinitesimales en la tercera dimensión, ya no se puede ignorar el par que una partícula aplica a sus vecinas. Ese par se modela como un esfuerzo de flexión que tiende a cambiar la curvatura de la placa. Estas simplificaciones pueden no ser válidas en las soldaduras, en las curvas pronunciadas y en los pliegues (donde el radio de curvatura es comparable al espesor de la placa).

Vigas delgadas

Para el modelado del estrés, un poste de pesca puede considerarse unidimensional.

El análisis de tensión se puede simplificar considerablemente también para barras delgadas, vigas o alambres de composición y sección transversal uniformes (o que varían suavemente) que están sujetos a flexión y torsión moderadas. Para esos cuerpos, uno puede considerar solo las secciones transversales que son perpendiculares al eje de la barra y redefinir una "partícula" como si fuera un trozo de alambre con una longitud infinitesimal entre dos de esas secciones transversales. El esfuerzo ordinario se reduce entonces a un escalar (tensión o compresión de la barra), pero también se debe tener en cuenta un esfuerzo de flexión (que trata de cambiar la curvatura de la barra, en algunos casos). dirección perpendicular al eje) y un esfuerzo torsional (que intenta torcer o destorcer sobre su eje).

Análisis

El análisis de tensión es una rama de la física aplicada que cubre la determinación de la distribución interna de fuerzas internas en objetos sólidos. Es una herramienta esencial en ingeniería para el estudio y diseño de estructuras como túneles, presas, partes mecánicas y marcos estructurales, bajo cargas prescritas o esperadas. También es importante en muchas otras disciplinas; por ejemplo, en geología, para estudiar fenómenos como la tectónica de placas, el vulcanismo y las avalanchas; y en biología, para comprender la anatomía de los seres vivos.

Objetivos y suposiciones

El análisis de tensión generalmente se ocupa de objetos y estructuras que se puede suponer que están en equilibrio estático macroscópico. Según las leyes de movimiento de Newton, cualquier fuerza externa que se aplique a dicho sistema debe equilibrarse con las fuerzas de reacción internas, que casi siempre son fuerzas de contacto superficial entre partículas adyacentes, es decir, como tensión. Dado que cada partícula debe estar en equilibrio, esta tensión de reacción generalmente se propagará de partícula a partícula, creando una distribución de tensión en todo el cuerpo. El problema típico en el análisis de tensiones es determinar estas tensiones internas, dadas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Estas últimas pueden ser fuerzas del cuerpo (como la gravedad o la atracción magnética), que actúan en todo el volumen de un material; o cargas concentradas (como la fricción entre un eje y un cojinete, o el peso de una rueda de tren sobre un riel), que se imagina que actúan sobre un área bidimensional, a lo largo de una línea o en un solo punto.

En el análisis de tensiones, normalmente se ignoran las causas físicas de las fuerzas o la naturaleza precisa de los materiales. En cambio, se supone que las tensiones están relacionadas con la deformación (y, en problemas no estáticos, con la tasa de deformación) del material mediante ecuaciones constitutivas conocidas.

Métodos

El análisis de tensión puede llevarse a cabo experimentalmente, aplicando cargas al artefacto real o al modelo a escala, y midiendo las tensiones resultantes, mediante cualquiera de varios métodos disponibles. Este enfoque se utiliza a menudo para la certificación y el control de la seguridad. La mayoría de las tensiones se analizan mediante métodos matemáticos, especialmente durante el diseño. El problema básico del análisis de tensiones se puede formular mediante las ecuaciones de movimiento de Euler para cuerpos continuos (que son consecuencias de las leyes de Newton para la conservación del momento lineal y del momento angular) y el principio de tensiones de Euler-Cauchy, junto con las ecuaciones constitutivas apropiadas. Así se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que involucran el campo tensor de tensiones y el campo tensor de deformaciones, como funciones desconocidas a determinar. Las fuerzas externas del cuerpo aparecen como el término independiente ('lado derecho') en las ecuaciones diferenciales, mientras que las fuerzas concentradas aparecen como condiciones de contorno. Por lo tanto, el problema básico del análisis de tensiones es un problema de valores en la frontera.

El análisis de tensión para estructuras elásticas se basa en la teoría de la elasticidad y la teoría de la deformación infinitesimal. Cuando las cargas aplicadas provocan deformaciones permanentes, se deben utilizar ecuaciones constitutivas más complicadas, que puedan dar cuenta de los procesos físicos involucrados (flujo plástico, fractura, cambio de fase, etc.). Las estructuras de ingeniería generalmente se diseñan de modo que las tensiones máximas esperadas estén dentro del rango de elasticidad lineal (la generalización de la ley de Hooke para medios continuos); es decir, las deformaciones causadas por esfuerzos internos están relacionadas linealmente con ellos. En este caso las ecuaciones diferenciales que definen el tensor de tensión son lineales y el problema se vuelve mucho más fácil. Por un lado, la tensión en cualquier punto también será una función lineal de las cargas. Para tensiones lo suficientemente pequeñas, incluso los sistemas no lineales pueden suponerse que son lineales.

Modelo simplificado de una tress para el análisis del estrés, asumiendo elementos unidimensionales bajo tensión axial uniforme o compresión.

El análisis de tensiones se simplifica cuando las dimensiones físicas y la distribución de cargas permiten tratar la estructura como unidimensional o bidimensional. En el análisis de armaduras, por ejemplo, se puede suponer que el campo de esfuerzos es uniforme y uniaxial sobre cada miembro. Luego, las ecuaciones diferenciales se reducen a un conjunto finito de ecuaciones (generalmente lineales) con un número finito de incógnitas. En otros contextos, se puede reducir el problema tridimensional a uno bidimensional y/o reemplazar los tensores generales de tensión y deformación por modelos más simples como tensión/compresión uniaxial, cortante simple, etc.

Aún así, para casos bidimensionales o tridimensionales, se debe resolver un problema de ecuación diferencial parcial. Las soluciones analíticas o de forma cerrada para las ecuaciones diferenciales se pueden obtener cuando la geometría, las relaciones constitutivas y las condiciones de contorno son lo suficientemente simples. De lo contrario, generalmente se debe recurrir a aproximaciones numéricas como el método de elementos finitos, el método de diferencias finitas y el método de elementos de contorno.

Medición

Otras medidas de tensión útiles incluyen el primer y el segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff, el tensor de tensión de Biot y el tensor de tensión de Kirchhoff.

Tensor de Piola-Kirchhoff

En el caso de deformaciones finitas, Piola-Kirchhoff tensión tensores expresar el estrés relativo a la configuración de referencia. Esto contrasta con el tensor de estrés de Cauchy que expresa el estrés relativo a la configuración actual. Para deformaciones y rotaciones infinitesimal, los tensores Cauchy y Piola-Kirchhoff son idénticos. Mientras que el tensor de estrés Cauchy σ σ {displaystyle {boldsymbol {sigma } relaciona tensiones en la configuración actual, el gradiente de deformación y tensores de cepa se describen al relacionar el movimiento con la configuración de referencia; por lo tanto no todos los tensores que describen el estado del material están en la configuración de referencia o actual. Describir el estrés, la tensión y la deformación ya sea en la configuración de referencia o actual haría más fácil definir modelos constitutivos (por ejemplo, el tensor Cauchy Stress es variante a una rotación pura, mientras que el tensor de la deformación es invariante; creando así problemas en la definición de un modelo constitutivo que relaciona un tensor variable, en términos de uno invariante durante la rotación pura; como por definición constitutiva El primer tensor de estrés Piola-Kirchhoff, P{displaystyle {boldsymbol {}}} es una solución posible para este problema. Define una familia de tensores, que describen la configuración del cuerpo en el estado actual o en el estado de referencia. El primer tensor de estrés Piola-Kirchhoff, P{displaystyle {boldsymbol {}}} relaciona fuerzas en presentes configuración ("espacial") con áreas en referencia Configuración ("material").

P=Jσ σ F− − T{displaystyle {boldsymbol {P}=J~{boldsymbol {sigma }~ {boldsymbol {f}} {fn}}} {fnMicrosoft}

Donde F{displaystyle {boldsymbol {F}} es el gradiente de deformación y J=DetF{displaystyle J=det {boldsymbol {F} es el determinante Jacobiano.

En términos de componentes con respecto a una base ortonormal, la primera tensión de Piola-Kirchhoff viene dada por

PiL=Jσ σ ikFLk− − 1=Jσ σ ik∂ ∂ XL∂ ∂ xk{displaystyle P_{iL}=J~sigma ¿Por qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft}}} {cH}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}} {b}}}}}}}}b}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}} {b}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¡Oh!

Debido a que relaciona diferentes sistemas de coordenadas, la primera tensión de Piola-Kirchhoff es un tensor de dos puntos. En general, no es simétrico. La primera tensión de Piola-Kirchhoff es la generalización 3D del concepto 1D de tensión de ingeniería.

Si el material gira sin un cambio en el estado de tensión (rotación rígida), los componentes del primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff variarán con la orientación del material.

La primera tensión de Piola-Kirchhoff es energía conjugada con el gradiente de deformación.

Mientras que el primer estrés Piola–Kirchhoff relaciona fuerzas en la configuración actual con áreas en la configuración de referencia, el segundo tensor de estrés Piola–Kirchhoff S{displaystyle {boldsymbol {S}} relaciona fuerzas en la configuración de referencia a áreas en la configuración de referencia. La fuerza en la configuración de referencia se obtiene mediante un mapeo que preserva la relación relativa entre la dirección de fuerza y el área normal en la configuración de referencia.

S=JF− − 1⋅ ⋅ σ σ ⋅ ⋅ F− − T.{displaystyle {boldsymbol {S}=J~{boldsymbol {F}{-1}cdot {boldsymbol {sigma}cdot {boldsymbol {F}{-T}~}

En notación de índice con respecto a una base ortonormal,

SIL=JFIk− − 1FLm− − 1σ σ km=J∂ ∂ XI∂ ∂ xk∂ ∂ XL∂ ∂ xmσ σ km{displaystyle ¿Qué? # {km}=J~{cfrac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}} { # {fnK} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF}} {cH00}}} {cH00}}}} {cHFF} {cHFF}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft}}} {cH}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}} {b}}}}}}}}b}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}} {b}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¡No!

Este tensor, un tensor de un punto, es simétrico. Si el material gira sin un cambio en el estado de tensión (rotación rígida), los componentes del segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff permanecen constantes, independientemente de la orientación del material.

El segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff es energía conjugada con el tensor de deformación finita de Green-Lagrange.