Estimación de la densidad espectral

En el procesamiento estadístico de señales, el objetivo de la estimación de la densidad espectral (EDE), o simplemente estimación espectral, es estimar la densidad espectral (también conocida como densidad espectral de potencia) de una señal a partir de una secuencia de muestras temporales. Intuitivamente, la densidad espectral caracteriza el contenido frecuencial de la señal. Uno de los propósitos de la estimación de la densidad espectral es detectar cualquier periodicidad en los datos, observando picos en las frecuencias correspondientes a dichas periodicidades.Algunas técnicas de SDE asumen que una señal se compone de un número limitado (generalmente pequeño) de frecuencias generadoras más ruido, y buscan determinar la ubicación e intensidad de las frecuencias generadas. Otras no asumen el número de componentes y buscan estimar todo el espectro generador.

El análisis espectral, también conocido como análisis del dominio de la frecuencia o estimación de la densidad espectral, es el proceso técnico de descomponer una señal compleja en partes más simples. Como se describió anteriormente, muchos procesos físicos se describen mejor como la suma de muchos componentes de frecuencia individuales. Cualquier proceso que cuantifique las distintas cantidades (p. ej., amplitudes, potencias, intensidades) en función de la frecuencia (o fase) se denomina análisis espectral.

El análisis del espectro se puede realizar en toda la señal. Alternativamente, una señal se puede dividir en segmentos cortos (a veces llamado marcos), y el análisis del espectro se puede aplicar a estos segmentos individuales. Funciones periódicas (como ${\displaystyle \sin(t)}$) son especialmente adecuados para esta subdivisión. Técnicas matemáticas generales para el análisis de funciones no experimentales entran en la categoría de análisis de Fourier.

La transformada de Fourier de una función produce un espectro de frecuencias que contiene toda la información de la señal original, pero en una forma diferente. Esto significa que la función original puede reconstruirse completamente (sintetizarse) mediante una transformada de Fourier inversa. Para una reconstrucción perfecta, el analizador de espectro debe preservar tanto la amplitud como la fase de cada componente de frecuencia. Estos dos datos pueden representarse como un vector bidimensional, como un número complejo o como magnitud (amplitud) y fase en coordenadas polares (es decir, como un fasor). Una técnica común en el procesamiento de señales consiste en considerar el cuadrado de la amplitud, o potencia; en este caso, el gráfico resultante se denomina espectro de potencia.Debido a su reversibilidad, la transformada de Fourier se considera una representación de la función, en términos de frecuencia en lugar de tiempo; por lo tanto, es una representación en el dominio de la frecuencia. Las operaciones lineales que podrían realizarse en el dominio del tiempo tienen contrapartes que a menudo se realizan con mayor facilidad en el dominio de la frecuencia. El análisis de frecuencia también simplifica la comprensión e interpretación de los efectos de diversas operaciones en el dominio del tiempo, tanto lineales como no lineales. Por ejemplo, solo las operaciones no lineales o variables en el tiempo pueden crear nuevas frecuencias en el espectro de frecuencias.En la práctica, casi todo el software y los dispositivos electrónicos que generan espectros de frecuencia utilizan una transformada discreta de Fourier (DFT), que opera con muestras de la señal y proporciona una aproximación matemática a la solución integral completa. La DFT se implementa casi invariablemente mediante un algoritmo eficiente llamado transformada rápida de Fourier (FFT). El conjunto de componentes de magnitud cuadrada de una DFT es un tipo de espectro de potencia llamado periodograma, ampliamente utilizado para examinar las características de frecuencia de funciones sin ruido, como las respuestas a impulsos de filtros y las funciones de ventana. Sin embargo, el periodograma no proporciona ganancia de procesamiento cuando se aplica a señales con ruido o incluso a sinusoides con relaciones señal-ruido bajas. En otras palabras, la varianza de su estimación espectral a una frecuencia dada no disminuye al aumentar el número de muestras utilizadas en el cálculo. Esto se puede mitigar promediando en el tiempo (método de Welch) o en la frecuencia (suavizado). El método de Welch se utiliza ampliamente para la estimación de la densidad espectral (EDE). Sin embargo, las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos inaceptables en algunas aplicaciones. Por ello, en la siguiente sección se presentan otras alternativas.Se han desarrollado muchas otras técnicas de estimación espectral para mitigar las desventajas del periodograma básico. Estas técnicas se dividen generalmente en métodos no paramétricos, paramétricos y, más recientemente, semiparamétricos (también llamados dispersos). Los métodos no paramétricos estiman explícitamente la covarianza o el espectro del proceso sin asumir que este tenga una estructura particular. Algunos de los estimadores más comunes en aplicaciones básicas (p. ej., el método de Welch) son estimadores no paramétricos estrechamente relacionados con el periodograma. Por el contrario, los métodos paramétricos asumen que el proceso estocástico estacionario subyacente tiene una estructura específica que puede describirse utilizando un número reducido de parámetros (por ejemplo, mediante un modelo autorregresivo o de media móvil). En estos métodos, la tarea consiste en estimar los parámetros del modelo que describe el proceso estocástico. Al utilizar métodos semiparamétricos, el proceso subyacente se modela mediante un marco no paramétrico, con el supuesto adicional de que el número de componentes no nulos del modelo es pequeño (es decir, el modelo es disperso). También se pueden utilizar enfoques similares para la recuperación de datos faltantes, así como para la reconstrucción de señales.A continuación se presenta una lista parcial de técnicas de estimación de densidad espectral:

• Métodos no paramétricos para el cual las muestras de señal pueden ser desigualmente espaciadas en el tiempo (los registros pueden ser incompletos)
  • Análisis espectral de menor escala, basado en mínimos cuadrados adecuados a frecuencias conocidas
  • Lomb–Scargle periodogram, una aproximación del análisis espectral de las menos cuadras
  • Discreta no uniforme Transformación de Fourier

• Métodos no paramétricos para el cual las muestras de señal deben ser uniformemente espaciadas en el tiempo (los registros deben ser completos):
  • Periodograma, el módulo cuadrado de la discreta transformación Fourier
  • El método de Bartlett es el promedio de los periodogramas tomados de múltiples segmentos de la señal para reducir la varianza de la estimación de densidad espectral
  • El método de Welch una versión ventana del método de Bartlett que utiliza segmentos superpuestos
  • Multitaper es un método basado en periodogramas que utiliza múltiples pulsadores, o ventanas, para formar estimaciones independientes de la densidad espectral para reducir la varianza de la estimación de densidad espectral
  • El análisis de espectro es un método noparamétrico que utiliza una descomposición de valor singular de la matriz de covariancia para estimar la densidad espectral
  • Transformación de Fourier a corto plazo
  • El filtro crítico es un método no paramétrico basado en la teoría del campo de información que puede tratar con ruido, datos incompletos y funciones de respuesta instrumental
• Técnicas paramétricas (una lista incompleta):
  • Estimación del modelo autoregresivo (AR), que supone que nla muestra está correlacionada con la anterior p muestras.
  • Moving-average model (MA) estimación, que supone que nmuestra está correlacionada con términos de ruido en la anterior p muestras.
  • Estimación autoregresiva de la media móvil (ARMA), que generaliza los modelos AR y MA.
  • Clasificación SIgnal MUltiple (MUSIC) es un método popular de superresolución.
  • La estimación de los parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional (ESPRIT) es otro método de superresolución.
  • La estimación espectral de entropía máxima es una all-poles método útil para SDE cuando se esperan características espectrales singulares, como picos agudos.
• Técnicas semiparamétricas (una lista incompleta):
  • Estimación basada en la Covariancia (SPICE), y la estimación más generalizada ${\displaystyle (r,q)}$-Paz.
  • Estimación del enfoque adaptativo iterativo.
  • Lasso, similar al análisis espectral menos cuadrado, pero con una penalización de ejecución de la esporidad.

En estimación espectral paramétrica, se asume que la señal es modelada por un proceso estacionario que tiene una función de densidad espectral (SDF) ${\displaystyle S(f;a_{1},\ldotsa_{p}}$ que es una función de la frecuencia ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle p}$ parámetros ${\displaystyle a_{1},\ldotsa_{p}$. El problema de estimación se convierte entonces en uno de estimar estos parámetros.

La forma más común de la estimación paramétrica SDF utiliza como modelo un modelo autoregresivo ${\displaystyle {\text{AR}(p)}$ de orden ${\displaystyle p}$. Una secuencia de señal ${\displaystyle {Y_}}}$ obedeciendo a una media cero ${\displaystyle {\text{AR}(p)}$ proceso satisface la ecuación

${\displaystyle Y... Y... Y... +\phi Y... ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle \phi _{1},\ldots\phi _{p}$ son coeficientes fijos y ${\displaystyle \epsilon _{t}$ es un proceso de ruido blanco con cero media y diferencia de innovación ${\displaystyle \sigma _{2}}$. El SDF para este proceso es

${\displaystyle S(f;\phi _{1},\ldots\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma ¿Qué? Delta t}{\lefttención1-\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?$

con ${\displaystyle \Delta t}$ el intervalo de tiempo de muestreo y ${\displaystyle F_{N}$ la frecuencia Nyquist.

Existen varios enfoques para estimar los parámetros ${\displaystyle \phi _{1},\ldots\phi _{p},\sigma _{p}^{2}$ de la ${\displaystyle {\text{AR}(p)}$ proceso y por lo tanto la densidad espectral:

• El estimadores de Yule-Walker se encuentran resolviendo recursivamente las ecuaciones Yule-Walker para una ${\displaystyle {\text{AR}(p)}$ proceso
• El Estimadores de Burg son encontrados por tratar las ecuaciones Yule-Walker como una forma de problema mínimo cuadrado ordinario. Los estimadores de Burg son generalmente considerados superiores a los estimadores Yule-Walker. Burg los asoció con una estimación espectral de entropía máxima.
• El estimadores de las categorías menos avanzadas tratar el ${\displaystyle {\text{AR}(p)}$ proceso como un problema de regresión y resuelve ese problema usando el método de retroceso hacia adelante. Son competitivos con los estimadores de Burg.
• El estimadores de probabilidad máxima estimar los parámetros utilizando un enfoque de probabilidad máxima. Esto implica una optimización no lineal y es más compleja que las tres primeras.

Los métodos paramétricos alternativos incluyen el ajuste a un modelo de media móvil (MA) y a un modelo de media móvil autorregresivo (ARMA) completo.

La estimación de frecuencia es el proceso de estimar la frecuencia, la amplitud y el desfase de una señal en presencia de ruido, a partir de suposiciones sobre el número de componentes. Esto contrasta con los métodos generales mencionados anteriormente, que no hacen suposiciones previas sobre los componentes.

Si solo se desea estimar la frecuencia de la señal de tono puro más fuerte, se puede utilizar un algoritmo de detección de tono.Si la frecuencia dominante cambia con el tiempo, el problema reside en la estimación de la frecuencia instantánea, tal como se define en la representación tiempo-frecuencia. Los métodos para la estimación de la frecuencia instantánea incluyen aquellos basados en la distribución de Wigner-Ville y funciones de ambigüedad de orden superior.Si se desea conocer todos los componentes de frecuencia (posiblemente complejos) de una señal recibida (incluyendo la señal transmitida y el ruido), se utiliza un enfoque de tonos múltiples.

Un modelo típico para una señal ${\displaystyle x(n)}$ consiste en una suma de ${\displaystyle p}$ complejos exponenciales en presencia de ruido blanco, ${\displaystyle w(n)}$

${\displaystyle x(n)=\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$.

La densidad espectral de potencia ${\displaystyle x(n)}$ se compone de ${\displaystyle p}$ funciones de impulso además de la función de densidad espectral debido al ruido.

Los métodos más comunes para la estimación de frecuencia implican la identificación del subespacio de ruido para extraer estos componentes. Estos métodos se basan en la descomposición propia de la matriz de autocorrelación en un subespacio de señal y un subespacio de ruido. Una vez identificados estos subespacios, se utiliza una función de estimación de frecuencia para encontrar las frecuencias de los componentes del subespacio de ruido. Los métodos más populares de estimación de frecuencia basados en el subespacio de ruido son el método de Pisarenko, el método de clasificación de señales múltiples (MUSIC), el método de vectores propios y el método de la norma mínima.

Método de Pisarenko

${\displaystyle {\hat {\f} {\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left perpetua\mathbf {e}\Mathbf {v} _{ min}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$

MUSIC

${\displaystyle {\hat {\f}_{\text{MU}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum ¿Por qué?$,

Método Eigenvector

${\displaystyle {\hat {\f}_{\text{EV}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum ¿Por qué? {1}{\lambda ¿Qué?$

Método de norma mínima

${\displaystyle {\hat {\f}_{\text{MN}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left perpetua\mathbf {e}\mathbf {\i}\mathbf {a}}}}}}}}}}\ {a} =\lambda \mathbf Oh, Dios mío. ¿Qué?$

Suppose ${\displaystyle x_{n}$, de ${\displaystyle n=0}$ a ${\displaystyle N-1}$ es una serie de tiempo (tiempo discreto) con cero media. Supongamos que es una suma de un número finito de componentes periódicos (todas las frecuencias son positivas):

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n} ################################################################################################################################################################################################################################################################ \nu _{k}n+\phi _{k})\\ ¿Por qué? {a_{k} ^{A_{k}\sin(\phi _{k}}\cos(2\pi \nu _{k}n)+\overbrace {b_{k}} {\fn}\sin(2\pi\pi\nu _{k}n)\right)\end{aligned}}}$

La diferencia ${\displaystyle x_{n}$ es, para una función cero-medio como arriba, dada por

${\displaystyle {\frac {\fn}}\sum} ¿Qué?$

Si estos datos fueran muestras tomadas de una señal eléctrica, esta sería su potencia promedio (la potencia es energía por unidad de tiempo, por lo que es análoga a la varianza si la energía es análoga a la amplitud al cuadrado).

Ahora, para la simplicidad, supongamos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo, así que pasamos al límite como ${\displaystyle N\to \infty.}$ Si el poder promedio está ligado, que es casi siempre el caso en realidad, entonces el siguiente límite existe y es la variabilidad de los datos.

${\displaystyle \lim _{N\to \infty}{\frac {1}{N}\sum} ¿Qué?$

De nuevo, para simplificar, pasaremos al tiempo continuo y asumiremos que la señal se extiende infinitamente en ambas direcciones. Entonces, estas dos fórmulas se convierten en:

${\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}$

Y

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}dt.}$

La raíz media cuadrado de ${\displaystyle \sin }$ es ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}$, por lo que la diferencia ${\displaystyle A_{k}\sin(2\pi\nu _{k}t+\phi _{k}}$ es ${\displaystyle {\tfrac {2}A_{k}}$ Por lo tanto, la contribución al poder promedio ${\displaystyle x(t)}$ procedente del componente con frecuencia ${\displaystyle \nu _{k}$ es ${\displaystyle {\tfrac {2}A_{k}}$ Todas estas contribuciones suman al poder promedio ${\displaystyle x(t).}$

Entonces el poder como función de frecuencia es ${\displaystyle {\tfrac {2}A_{k}{2}}$ y su función de distribución acumulativa estadística ${\displaystyle S(\nu)}$ será

${\displaystyle S(\nu)=\sum _{k:\nu _{k}{}{\frac {1}{2}A_{k}} {2}}}}$

${\displaystyle S.$ es una función paso, monotonicamente no disminuyendo. Sus saltos ocurren en las frecuencias de los componentes periódicos de ${\displaystyle x}$, y el valor de cada salto es la potencia o varianza de ese componente.

La diferencia es la covariancia de los datos por sí misma. Si ahora consideramos los mismos datos pero con un retraso ${\displaystyle \tau }$, podemos tomar la covariancia de ${\displaystyle x(t)}$ con ${\displaystyle x(t+\tau)}$, y definir esto para ser la función de autocorrelación ${\displaystyle c}$ de la señal (o datos) ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle c(\tau)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}{T}x(t)x(t+\tau)dt.}$

Si existe, es una función uniforme ${\displaystyle \tau.}$ Si el poder promedio está atado, entonces ${\displaystyle c}$ existe en todas partes, es finito, y está obligado por ${\displaystyle c(0),}$ que es la potencia promedio o la variabilidad de los datos.

Se puede demostrar que ${\displaystyle c}$ se puede descomponer en componentes periódicos con los mismos períodos ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle c(\tau)=\sum _{k}{\frac {1}{2}A_{k} {2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau).}$

Esto es de hecho la descomposición espectral ${\displaystyle c}$ sobre las diferentes frecuencias, y está relacionado con la distribución de poder ${\displaystyle x}$ sobre las frecuencias: la amplitud de un componente de frecuencia ${\displaystyle c}$ es su contribución al poder promedio de la señal.

El espectro de potencia de este ejemplo no es continuo y, por lo tanto, no tiene derivada, por lo que esta señal no tiene función de densidad espectral de potencia. En general, el espectro de potencia suele ser la suma de dos partes: un espectro de líneas, como el de este ejemplo, que no es continuo ni tiene función de densidad, y un residuo, que es absolutamente continuo y sí tiene función de densidad.

• Estimación espectral multidimensional
• Periodograma
• SigSpec
• Espectrograma
• Análisis de frecuencia y tiempo
• Representación de la frecuencia del tiempo
• Whittle likelihood
• Distribución de energía espectral

• Porat, B. (1994). Procesamiento digital de señales aleatorias: Teoría " Métodos. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-063751-2.
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